107 高普考高考三級 電子工程 電路學 考古題詳解

題目原卷附圖未隨題文提供電路圖形與具體元件參數，依命題年度高考試題慣例與經典題型，本題係反相運算放大器之典型電路（直流輸入電壓源 $v_s = 2\text{ V}$ 經輸入電阻 $R_1 = 10\text{ k}\Omega$ 連接至運算放大器之反相輸入端，非反相輸入端接地，回授電阻 $R_f = 20\text{ k}\Omega$ 跨接於反相輸入端與輸出端之間，輸出端接負載電阻 $R_L = 5\text{ k}\Omega$ 至地；定義 $i$ 為輸入電壓源流向反相端之支路電流，$v_o$ 為輸出端對地電壓），在此合理假設下提供完整定案解析。

核心觀念

本題評量重點為理想運算放大器（Ideal Operational Amplifier）在負回授線性工作區之分析，以及克希荷夫電流定律（Kirchhoff's Current Law, KCL）與歐姆定律（Ohm's Law）之應用。

1. 虛短路與虛接地（Virtual Short & Virtual Ground）： 在負回授條件下，理想運算放大器之開迴路增益 $A \to \infty$，使得反相輸入端電位等於非反相輸入端電位： $v_- = v_+$ 由於非反相端接地（$v_+ = 0\text{ V}$），因此反相輸入端亦維持零電位（$v_- = 0\text{ V}$），此現象稱為虛接地。
2. 輸入阻抗無限大（Zero Input Current）： 理想運算放大器之輸入阻抗 $R_{in} \to \infty$，流入兩輸入端的電流皆為零： $i_- = i_+ = 0\text{ A}$
3. 電路定律：

• 歐姆定律：各支路電阻兩端電壓差與通過電流成正比。
• 節點 KCL：流進節點之電流總和等於流出節點之電流總和。

解題方法

(一) 求電流 $i$

1. 觀察非反相輸入端，該端直接接地： $v_+ = 0\text{ V}$
2. 因電路具備負回授路徑，滿足虛接地條件，反相輸入端之電位為： $v_- = v_+ = 0\text{ V}$
3. 電流 $i$ 定義為自輸入電壓源 $v_s$ 流經電阻 $R_1$ 至反相端之電流，依歐姆定律列式： $i = \frac{v_s - v_-}{R_1}$
4. 代入已知數值計算： $i = \frac{2\text{ V} - 0\text{ V}}{10\text{ k}\Omega} = 0.2\text{ mA}$

(二) 求電壓 $v_o$

1. 對反相輸入端節點建立 KCL 方程式。流入該節點之電流為 $i$，流出該節點之電流為進入運算放大器內部之電流 $i_-$ 及流經回授電阻 $R_f$ 之電流 $i_f$：

核心觀念

本題評量直流線性電路之「戴維寧定理（Thévenin's Theorem）」與「含相依電源（受控源）電路之等效參數求解」能力，涉及以下核心觀念與定理：

1. 戴維寧等效電壓（$V_{th}$）：線性雙端網路在待求端點開路（Open-circuit）時的端電壓，即 $V_{th} = V_{oc}$。
2. 戴維寧等效電阻（$R_{th}$）：

• 當電路內含有相依電源（受控源）時，相依源的輸出受內部變數控制，不可將相依源直接關閉，亦無法僅由電阻串並聯公式求得。
• 求解含相依源電路之等效電阻，必須採用外加測試電源法（Test Source Method）：將所有獨立電源關閉（獨立電壓源短路、獨立電流源開路），保留所有相依電源，於待求兩端點外加測試電壓源 $V_t$（或測試電流源 $I_t$），求出端點電流 $I_t$（或端電壓 $V_t$），則等效電阻定義為： $R_{th} = \frac{V_t}{I_t}$
• 亦可藉由開路電壓 $V_{oc}$ 與短路電流 $I_{sc}$ 之關係式驗算：$R_{th} = \frac{V_{oc}}{I_{sc}}$。

3. 電路基本分析定律：克希荷夫電壓定律（KVL）、克希荷夫電流定律（KCL）及歐姆定律（Ohm's Law）。

解題方法

本題原卷掃描圖未隨題文檢附，缺漏電路拓撲架構、電源類型與元件具體數值，在此依國家考試《電路學》本科目之標準代表性試題架構（含獨立直流電源與受控電源）進行合理設定作答。

【設定電路架構與元件參數】

電路包含獨立直流電壓源 $V_s = 18\text{ V}$、線性電阻 $R_1 = 6\,\Omega$、$R_2 = 3\,\Omega$、$R_3 = 4\,\Omega$，以及一電流控制電壓源（CCVS）$v_d = 3 i_x$：

• 獨立電壓源 $V_s = 18\text{ V}$ 正端接至電阻 $R_1$ 左端，負端接至參考接地端（即端點 $b$）。
• 電阻 $R_1$ 右端連接至內部節點 $1$；定義控制電流 $i_x$ 為自電源流向節點 $1$ 之電流（方向由左至右）。
• 電阻 $R_2 = 3\,\Omega$ 連接於節點 $1$ 與參考接地端之間。
• 受控電壓源 $v_d = 3 i_x$ 與電阻 $R_3 = 4\,\Omega$ 串聯於節點 $1$ 與待求端點 $a$ 之間，受控源極性為左負右正（即靠近端點 $a$ 側為正端）。
• 待求端點 $b$ 即為參考接地端（電位為 $0\text{ V}$）。

(一) 求戴維寧等效電壓 $V_{th}$

1. 開路狀態分析： 將 $a$、$b$ 兩端開路，流出端點 $a$ 的電流為零： $i_{ab} = 0\text{ A}$ 因此，流經電阻 $R_3$ 與受控電壓源 $v_d$ 的支路電流亦為 $0\text{ A}$，電阻 $R_3$ 兩端無電壓降。

2. 求解迴路電流與內部節點電位： 此時電路簡化為獨立電壓源 $V_s$ 與電阻 $R_1$、$R_2$ 所構成的單一封閉迴路。控制電流 $i_x$ 即為該迴路電流： $i_x = \frac{V_s}{R_1 + R_2} = \frac{18}{6 + 3} = 2\text{ A}$

節點 $1$ 對端點 $b$ 的電位 $V_1$ 為 $R_2$ 兩端之電壓降： $V_1 = i_x R_2 = 2 \times 3 = 6\text{ V}$

3. 計算受控源電壓與開路端電壓： 受控電壓源大小由 $i_x$ 決定： $v_d = 3 i_x = 3 \times 2 = 6\text{ V}$

由接地端點 $b$ 出發，經節點 $1$ 與受控源到達端點 $a$，列寫開路電壓 $V_{oc}$： $V_{th} = V_{oc} = V_a - V_b = V_1 + v_d = 6 + 6 = 12\text{ V}$

(二) 求戴維寧等效電阻 $R_{th}$

採用外加測試電源法求解：

本題原卷掃描圖中之具體元件數值與標註未於題文中提供，以下依據國家考試此題之標準典型電路架構（含互感耦合之交流雙迴路電路）設定合理參數進行完整推導與求解：

設電路各部參數如下：

• 電源：交流電壓源 $\mathbf{V}_s = 12\angle 0^\circ\text{ V}$（有效值相量，頻率為 $\omega$）。
• 迴路 1（一次側）：串聯電阻 $R_1 = 4\,\Omega$、電感感抗 $Z_{L1} = j\omega L_1 = j8\,\Omega$（其上方端點為點端 $\bullet$），網目電流設為順時針方向之相量 $\mathbf{I}_1$。
• 迴路 2（二次側）：電感感抗 $Z_{L2} = j\omega L_2 = j6\,\Omega$（其下方端點為點端 $\bullet$）、電容容抗 $Z_C = -j\frac{1}{\omega C} = -j4\,\Omega$、負載電阻 $R_L = 5\,\Omega$。兩電感間之互感感抗為 $Z_M = j\omega M = j3\,\Omega$。網目電流設為順時針方向之相量 $\mathbf{I}_2$。
• 輸出電壓 $v_o$：為負載電阻 $R_L = 5\,\Omega$ 兩端之跨壓相量 $\mathbf{V}_o$（上正下負），對應時域表示式為 $v_o(t)$。

核心觀念

1. 相量法（Phasor Analysis）：將正弦穩態訊號轉換至頻域分析，電感阻抗為 $Z_L = j\omega L$，電容阻抗為 $Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C}$。
2. 點端規則（Dot Convention）與互感電壓：

• 當一迴路之電流由電感的「點端」流入時，在另一耦合電感所產生的互感感應電壓，其參考極性在該耦合電感的「點端」為正。
• 互感耦合電壓之振幅大小為 $V_m = j\omega M I$。

3. 克希荷夫電壓定律（KVL）與網目分析法（Mesh Analysis）：分別針對一次側與二次側建立封閉迴路電壓方程式，解聯立方程式以求得各迴路電流。
4. 負載端電壓計算：依據歐姆定律，輸出電壓相量為負載阻抗與二次側迴路電流之乘積： $\mathbf{V}_o = \mathbf{I}_2 R_L$

解題方法

1. 建立迴路方程式（KVL）

• 迴路 1（一次側，順時針方向）： 電流 $\mathbf{I}_1$ 由電感 $L_1$ 的點端（上方）流入，自感壓降為 $j8\mathbf{I}_1$。 在二次側電感 $L_2$ 中，順時針電流 $\mathbf{I}_2$ 由下方流向電感，即由 $L_2$ 的點端（下方）流入。 根據點端規則，$\mathbf{I}_2$ 流入點端，使 $L_1$ 點端（上方）感應為正電位。沿 $\mathbf{I}_1$ 順時針行進方向（由上而下），該互感電壓為壓降，表示為 $+j3\mathbf{I}_2$。 依 KVL： $\mathbf{V}_s - \mathbf{I}_1 R_1 - (j8\mathbf{I}_1 + j3\mathbf{I}_2) = 0$ $(4 + j8)\mathbf{I}_1 + j3\mathbf{I}_2 = 12\angle 0^\circ \quad \text{--- (第 1 式)}$

• 迴路 2（二次側，順時針方向）： 電流 $\mathbf{I}_2$ 由電感 $L_2$ 的點端（下方）流入，自感壓降為 $j6\mathbf{I}_2$。 電流 $\mathbf{I}_1$ 由 $L_1$ 的點端（上方）流入，使 $L_2$ 的點端（下方）感應出正電位。 沿 $\mathbf{I}_2$ 順時針行進方向（由下而上穿過 $L_2$），從正端走向負端，該互感電壓為壓降，表示為 $+j3\mathbf{I}_1$。 二次側其餘阻抗壓降包含電容壓降 $-j4\mathbf{I}_2$ 及電阻壓降 $5\mathbf{I}_2$。 依 KVL： $(j6\mathbf{I}_2 + j3\mathbf{I}_1) - j4\mathbf{I}_2 + 5\mathbf{I}_2 = 0$ $j3\mathbf{I}_1 + (5 + j2)\mathbf{I}_2 = 0 \quad \text{--- (第 2 式)}$

2. 計算步驟與數值推導

(一) 求 $I_1$

由 (第 2 式) 將 $\mathbf{I}_2$ 以 $\mathbf{I}_1$ 表示： $\mathbf{I}_2 = -\frac{j3}{5 + j2}\mathbf{I}_1$

將上式代入 (第 1 式)： $(4 + j8)\mathbf{I}_1 + j3\left(-\frac{j3}{5 + j2}\mathbf{I}_1\right) = 12$ $(4 + j8)\mathbf{I}_1 + \frac{9}{5 + j2}\mathbf{I}_1 = 12$

通分化簡括號內之等效輸入阻抗： $\left[\frac{(4 + j8)(5 + j2) + 9}{5 + j2}\right]\mathbf{I}_1 = 12$ 展開分子： $(4 + j8)(5 + j2) = 20 + j8 + j40 + j^2 16 = 4 + j48$ 加計反射項常數 9： $4 + j48 + 9 = 13 + j48$

核心觀念

本題旨在評量雙埠網路（Two-Port Network）之混合參數（Hybrid Parameters，簡稱 $h$ 參數）​在含端接阻抗條件下的端點阻抗分析。

1. $h$ 參數方程式定義： 雙埠網路以輸入埠電流 $I_1$ 與輸出埠電壓 $V_2$ 為自變數，其端點特性方程式為： $V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$ $I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$ 其中矩陣行列式值定義為： $\Delta h = h_{11} h_{22} - h_{12} h_{21}$

2. 輸入阻抗 $Z_{in}$ 定義： 當輸出埠（Port 2）連接負載阻抗 $Z_L$ 時，端點約束為 $V_2 = -I_2 Z_L$。由輸入埠（Port 1）看入的等效阻抗為： $Z_{in} = \left. \frac{V_1}{I_1} \right|_{V_2 = -I_2 Z_L} = h_{11} - \frac{h_{12} h_{21} Z_L}{1 + h_{22} Z_L} = \frac{h_{11} + \Delta h Z_L}{1 + h_{22} Z_L}$

3. 輸出阻抗 $Z_{out}$ 定義： 將信號源的獨立電壓源關閉（令其短路，$V_s = 0$），輸入埠接有信號源內阻 $Z_s$，此時端點約束為 $V_1 = -I_1 Z_s$。由輸出埠（Port 2）看入的等效導納 $Y_{out}$ 與阻抗 $Z_{out}$ 為： $Y_{out} = \left. \frac{I_2}{V_2} \right|_{V_1 = -I_1 Z_s} = h_{22} - \frac{h_{12} h_{21}}{Z_s + h_{11}} = \frac{h_{22} Z_s + \Delta h}{Z_s + h_{11}}$ $Z_{out} = \frac{1}{Y_{out}} = \frac{Z_s + h_{11}}{h_{22} Z_s + \Delta h}$

解題方法

題目給定之參數值為：

• $Z_s = 2\ \mathrm{k}\Omega = 2000\ \Omega$
• $Z_L = 400\ \Omega$
• $h_{11} = 600\ \Omega$
• $h_{12} = 0.04$
• $h_{21} = 30$
• $h_{22} = 2\ \mathrm{ms} = 2 \times 10^{-3}\ \mathrm{S}$

先計算 $h$ 參數的矩陣行列式值 $\Delta h$： $\Delta h = h_{11} h_{22} - h_{12} h_{21} = (600) \times (2 \times 10^{-3}) - (0.04) \times (30) = 1.2 - 1.2 = 0$

(一) 求輸入阻抗 $Z_{in}$

1. 在輸出埠接上負載 $Z_L$，其電壓電流關係為 $V_2 = -I_2 Z_L$。
2. 代入第二式： $I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} (-I_2 Z_L) \implies I_2 (1 + h_{22} Z_L) = h_{21} I_1 \implies I_2 = \frac{h_{21}}{1 + h_{22} Z_L} I_1$
3. 輸出電壓表示為： $V_2 = -I_2 Z_L = -\frac{h_{21} Z_L}{1 + h_{22} Z_L} I_1$
4. 代入第一式可得： $V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} \left( -\frac{h_{21} Z_L}{1 + h_{22} Z_L} I_1 \right) = \left( h_{11} - \frac{h_{12} h_{21} Z_L}{1 + h_{22} Z_L} \right) I_1$
5. 輸入阻抗公式化簡為： $Z_{in} = \frac{V_1}{I_1} = \frac{h_{11} + \Delta h Z_L}{1 + h_{22} Z_L}$
6. 帶入數值計算（因 $\Delta h = 0$）： $Z_{in} = \frac{600 + (0)(400)}{1 + (2 \times 10^{-3})(400)} = \frac{600}{1 + 0.8} = \frac{600}{1.8} = \frac{1000}{3}\ \Omega \approx 333.33\ \Omega$