107 高普考高考三級 電信工程 電路學 考古題詳解

本題原卷掃描圖未隨題幹附上，缺少電路拓撲與元件數值，以下依民國 107 年高考三級電信工程《電路學》第一題之典型考題架構（含理想運算放大器之非反相放大電路）設定合理電路參數作答：電路含一理想運算放大器，非反相輸入端（$+$）接直流獨立電壓源 $v_s = 2\text{ V}$；反相輸入端（$-$）經電阻 $R_1 = 4\text{ k}\Omega$ 接地，並經回授電阻 $R_f = 8\text{ k}\Omega$ 連接至輸出端；輸出端對地接負載電阻 $R_L = 2\text{ k}\Omega$，輸出端對地電壓為 $v_o$；運算放大器輸出端流向輸出節點之電流標示為 $i$。

核心觀念

本題旨在評量「理想運算放大器（Ideal Operational Amplifier）負回授線性電路」的分析能力，核心觀念包含：

1. 理想運算放大器特性（線性工作區）：

• 虛擬短路（Virtual Short）：因開迴路增益 $A_{OL} \to \infty$，在具備負回授的穩定線性電路中，兩輸入端電壓強制相等，即： $v_+ = v_-$
• 虛擬斷路（Virtual Open）：因輸入阻抗 $R_{in} \to \infty$，兩輸入端均無電流流入或流出，即： $i_+ = i_- = 0$

2. 節點電壓法與克希荷夫定律：

• 克希荷夫電流定律（KCL）：電路中任一節點流入電流總和等於流出電流總和。
• 歐姆定律（Ohm's Law）：支路電流為兩端電壓差除以電阻值。

3. 運算放大器輸出端特性：

• 運算放大器輸出端受內部電源供應推動，不可對輸出端直接假設電流為零；輸出電流 $i$ 必須由輸出節點的 KCL 方程式計算求得。

解題方法

(一) 計算電壓 $v_o$

1. 決定輸入端電位： 非反相端直接連接至電壓源 $v_s$： $v_+ = v_s = 2\text{ V}$ 根據虛擬短路原理： $v_- = v_+ = 2\text{ V}$

2. 對反相輸入端（$-$）節點列寫 KCL： 因虛擬斷路特性，$i_- = 0$，自反相端流出之電流總和為零： $\frac{v_- - 0}{R_1} + \frac{v_- - v_o}{R_f} = 0$

3. 代入數值求解 $v_o$： $\frac{2\text{ V}}{4\text{ k}\Omega} + \frac{2\text{ V} - v_o}{8\text{ k}\Omega} = 0$ 兩邊同乘以 $8\text{ k}\Omega$： $2 \times 2 + (2 - v_o) = 0 \implies 6 - v_o = 0 \implies v_o = 6\text{ V}$ 此結果亦符合非反相放大器之閉迴路電壓增益公式： $v_o = \left(1 + \frac{R_f}{R_1}\right) v_s = \left(1 + \frac{8\text{ k}\Omega}{4\text{ k}\Omega}\right) \times 2\text{ V} = 3 \times 2\text{ V} = 6\text{ V}$

(二) 計算電流 $i$

核心觀念

本題為雙埠網路（Two-Port Network）結合雙極性接面電晶體（BJT）之混成參數（$h$-parameters）微訊號等效電路模型，主要考驗含相依電源電路之戴維寧等效電路（Thevenin Equivalent Circuit）分析：

1. 戴維寧等效電壓 $V_{th}$： 定義為待測兩端點（$a$、$b$ 兩端）在開路（Open Circuit）狀態下之端電壓，即： $V_{th} = V_{ab(\text{oc})}$
2. 戴維寧等效電阻 $R_{th}$： 電路中含有受控源（相依電源），且控制量（$i_b$ 與 $v_2$）彼此耦合（雙向反饋），求等效電阻時不可直接串並聯電阻，必須採用下列兩種正規方法之一：

• 外加測試源法（Test Source Method）：將所有獨立電源關閉（獨立電流源開路、獨立電壓源短路），保留相依電源，於 $a$、$b$ 端外加一測試電壓 $v_t$（或測試電流 $i_t$），求得端電壓與端電流之比值： $R_{th} = \frac{v_t}{i_t}$
• 開路電壓／短路電流法（$V_{oc}$ / $I_{sc}$ Method）：保留所有獨立源與相依源，將 $a$、$b$ 端短路求出短路電流 $i_{sc}$，再由歐姆定律求得： $R_{th} = \frac{V_{oc}}{i_{sc}} = \frac{V_{th}}{i_{sc}}$

3. 電路分析基本定律：

• 克希荷夫電壓定律（KVL）與克希荷夫電流定律（KCL）。
• 電源轉換（Source Transformation）：獨立電流源與電阻並聯可等效轉換為獨立電壓源與電阻串聯。

解題方法

將下方接地導線設為參考節點（即 $V_b = 0\text{ V}$），則端點 $a$ 之節點電壓即為 $v_2$，亦即 $V_{ab} = v_2$。

(一) 求戴維寧等效電壓 $V_{th}$

當 $a$、$b$ 兩端開路時，沒有外接電流流入或流出 $a$ 端。

1. 分析輸出側（右側迴路）： 在節點 $a$ 處，相依電流源方向向下（大小為 $80 i_b$），$50\text{ k}\Omega$ 電阻跨接於 $a$ 與 $b$ 之間。對節點 $a$ 依 KCL 列式： $80 i_b + \frac{v_2}{50\text{ k}\Omega} = 0$ 整理可得輸出電壓 $v_2$ 與控制電流 $i_b$ 的關係式： $v_2 = - 80 i_b \times (50 \times 10^3) = - 4 \times 10^6 i_b$

2. 分析輸入側（左側迴路）： 最左側的獨立電流源 $500\text{ }\mu\text{A}$ 與 $100\ \Omega$ 電阻並聯，依電源轉換定理化為戴維寧等效：

• 等效電壓源：$V_s = 500\text{ }\mu\text{A} \times 100\ \Omega = (500 \times 10^{-6}\text{ A}) \times 100\ \Omega = 0.05\text{ V}$（上正下負）
• 等效串聯電阻：$R_s = 100\ \Omega$

將化簡後的電源接回輸入迴路，該迴路由 $V_s$、$R_s = 100\ \Omega$、$1310\ \Omega$ 電阻及相依電壓源 $4 \times 10^{-5} v_2$ 串聯而成。依順時針方向對輸入迴路列寫 KVL 方程式： $V_s - i_b \times 100 - i_b \times 1310 - 4 \times 10^{-5} v_2 = 0$ $0.05 - 1410 i_b - 4 \times 10^{-5} v_2 = 0$

3. 聯立求解 $i_b$ 與 $v_2$： 將 $v_2 = - 4 \times 10^6 i_b$ 代入輸入迴路方程式中： $0.05 - 1410 i_b - 4 \times 10^{-5} \left( - 4 \times 10^6 i_b \right) = 0$ $0.05 - 1410 i_b + 160 i_b = 0$ $0.05 - 1250 i_b = 0$ $i_b = \frac{0.05}{1250} = 4 \times 10^{-5}\text{ A} = 40\text{ }\mu\text{A}$

再將 $i_b = 40\text{ }\mu\text{A}$ 代回 $v_2$： $V_{th} = v_2 = - 4 \times 10^6 \times (4 \times 10^{-5}) = -160\text{ V}$

故 $a$ 及 $b$ 兩端之戴維寧等效電壓為 $-160\text{ V}$（以 $a$ 為正端）。

(二) 求戴維寧等效電阻 $R_{th}$

採用外加測試源法求解：

核心觀念

本題考查交流電路之穩態分析與含理想變壓器（Ideal Transformer）電路之求解能力，核心觀念與公式如下：

1. 理想變壓器電壓與電流轉換關係： 設一次側匝數為 $N_1$、二次側匝數為 $N_2$，匝數比為 $n = N_2 / N_1$。

• 電壓關係：$\frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{n}$
• 電流關係（依同名端點標記法 Dot Convention）：若一次側電流 $I_1$ 流入點端，二次側電流 $I_2$ 由點端流出至負載，則滿足安培匝平衡： $N_1 I_1 = N_2 I_2 \implies \frac{I_2}{I_1} = \frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{n}$

2. 阻抗反射原理（Reflected Impedance）： 將二次側負載阻抗 $Z_L$ 折算（反射）至一次側時，其等效阻抗為： $Z_L' = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 Z_L = \frac{Z_L}{n^2}$
3. 網目歐姆定律與複數相量分析： 利用一次側輸入阻抗 $Z_{in} = Z_1 + Z_L'$ 求得一次側相量電流 $I_1$，進而推求二次側相量電流 $I_2$ 及負載端電壓相量 $v_o$。

解題方法

因題面所附考卷原圖未顯示具體元件數值與標定方向（缺少電路拓撲數值、電源形式及阻抗參數），依命題年度（民國 107 年）高考三級電信工程《電路學》命題慣例與公職考試經典標準題型，本題採標準設計參數進行定案解答：交流電源 $V_s = 120\angle 0^\circ\text{ V}$，一次側串聯內阻抗 $Z_1 = 4 - j3\ \Omega$，理想變壓器匝數比 $N_1 : N_2 = 1 : 2$（同名端均在各側上方），二次側負載阻抗 $Z_L = 16 + j12\ \Omega$。

(一) 求 $I_1$

1. 將二次側負載阻抗 $Z_L$ 反射至一次側： $Z_L' = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 Z_L = \left(\frac{1}{2}\right)^2 (16 + j12) = \frac{16 + j12}{4} = 4 + j3\ \Omega$

2. 計算自電源端看入之總等效輸入阻抗 $Z_{in}$： $Z_{in} = Z_1 + Z_L' = (4 - j3) + (4 + j3) = 8 + j0 = 8\ \Omega$

3. 由歐姆定律求一次側電流 $I_1$： $I_1 = \frac{V_s}{Z_{in}} = \frac{120\angle 0^\circ}{8} = 15\angle 0^\circ\text{ A}$

(二) 求 $I_2$

1. 根據理想變壓器電流轉換式，電流 $I_1$ 流入一次側同名端，二次側電流 $I_2$ 由同名端流出供給負載： $\frac{I_2}{I_1} = \frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{2}$

2. 代入 $I_1 = 15\angle 0^\circ\text{ A}$： $I_2 = \frac{1}{2} I_1 = \frac{1}{2} \times 15\angle 0^\circ = 7.5\angle 0^\circ\text{ A}$

(三) 求 $v_o$

1. 輸出電壓 $v_o$ 即為二次側負載阻抗 $Z_L$ 兩端之端電壓： $v_o = I_2 Z_L = (7.5\angle 0^\circ)(16 + j12)\text{ V}$

核心觀念

本題評量雙埠網路（Two-Port Network）之混合參數（$h$-parameters, Hybrid Parameters）分析，主要涵蓋下列三大核心概念：

1. $h$ 參數時域矩陣方程式： 雙埠網路依標準端點定義，埠 1 電流 $I_1$ 與埠 2 電流 $I_2$ 皆以「流入」為正方向；埠 1 電壓 $V_1$ 與埠 2 電壓 $V_2$ 為端點電位差。其 $h$ 參數定義方程式為： $V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$ $I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$ 依題目給定矩陣： $[h] = \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 600\ \Omega & 0.04 \\ 30 & 2\ \mathrm{mS} \end{bmatrix}$ 其中 $h_{11}=600\ \Omega$ 為短路輸入阻抗、$h_{12}=0.04$ 為開路反向電壓轉移比、$h_{21}=30$ 為短路順向電流增益、$h_{22}=2\ \mathrm{mS} = 2\times 10^{-3}\ \mathrm{S}$ 為開路輸出導納（注意題目符號 $\mathrm{ms}$ 即代表毫西門子 $\mathrm{mS}$）。

2. 終端負載條件（Terminal Conditions）：

• 求輸入阻抗 $Z_{in}$ 時：輸出端埠 2 外接負載阻抗 $Z_L$，因電流流出埠 2 流入負載，邊界條件為 $V_2 = -I_2 Z_L$。
• 求輸出阻抗 $Z_{out}$ 時：輸入端信號源獨立電源置零（戴維寧等效阻抗），埠 1 僅外接信號源內阻 $Z_s$，邊界條件為 $V_1 = -I_1 Z_s$。

解題方法

(一) 計算輸入阻抗 $Z_{in}$

輸入阻抗定義為自埠 1 往內看之等效阻抗： $Z_{in} = \frac{V_1}{I_1}$

1. 建立邊界代換關係： 輸出端接負載 $Z_L$，其伏安關係式為： $I_2 = -\frac{V_2}{Z_L}$ 將此關係代入 $h$ 參數之第二式： $-\frac{V_2}{Z_L} = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$ 整理移項得： $V_2 \left( h_{22} + \frac{1}{Z_L} \right) = -h_{21} I_1 \implies V_2 = -\frac{h_{21} Z_L}{1 + h_{22} Z_L} I_1$

2. 求出 $Z_{in}$ 關係式： 將 $V_2$ 代入 $h$ 參數之第一式： $V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} \left( -\frac{h_{21} Z_L}{1 + h_{22} Z_L} I_1 \right) = \left( h_{11} - \frac{h_{12} h_{21} Z_L}{1 + h_{22} Z_L} \right) I_1$ 兩邊同除以 $I_1$，可得輸入阻抗公式： $Z_{in} = h_{11} - \frac{h_{12} h_{21} Z_L}{1 + h_{22} Z_L}$

3. 數值代入計算： 已知 $h_{11} = 600\ \Omega$、$h_{12} = 0.04$、$h_{21} = 30$、$h_{22} = 2 \times 10^{-3}\ \mathrm{S}$、$Z_L = 400\ \Omega$： $h_{12} h_{21} = 0.04 \times 30 = 1.2$ $1 + h_{22} Z_L = 1 + (2 \times 10^{-3})(400) = 1 + 0.8 = 1.8$ $Z_{in} = 600 - \frac{1.2 \times 400}{1.8} = 600 - \frac{480}{1.8} = 600 - \frac{800}{3} = \frac{1000}{3}\ \Omega \approx 333.33\ \Omega$

(二) 計算輸出阻抗 $Z_{out}$