107 年高普考高考三級電信工程考古題與詳解

Question 1

若 $A$ 與 $B$ 互為相似（similar）之 $n	imes n$ 矩陣，$\operatorname{trace}(A)$ 為矩陣 $A$ 之跡數（trace），且 $\lambda$ 為任意常數。令 $I$ 為 $n	imes n$ 單位矩陣，試證明： (一) $\lambda I+A$ 與 $\lambda I+B$ 相似。（5 分） (二) $\operatorname{trace}(A)=\operatorname{trace}(B)$。（5 分） (三) $\det(\lambda I+A)=\det(\lambda I+B)$。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 1. 相似矩陣（Similar Matrices）的定義： 設 $A, B$ 皆為 $n	imes n$ 方陣。若存在一個可逆矩陣 $P$（即 $\det(P) 
eq 0$），使得 $B = P^{-1}AP$（或等價地寫為 $A = PBP^{-1}$），則稱 $A$ 與 $B$ 互為相似矩陣，記作 $A \sim B$。 2. 跡數（Trace）的循環對稱性： 方陣乘積的跡數具備交換律／循環性質：對任意兩 $n	imes n$ 矩陣 $X$ 與 $Y$，恆有 $\operatorname{trace}(XY) = \operatorname{trace}(YX)$。 3. 行列式（Determinant）的乘法性質： 對任意兩 $n	imes n$ 矩陣 $X$ 與 $Y$，$\det(XY) = \det(X)\det(Y)$。當 $P$ 為可逆矩陣時，$\det(P^{-1}) = \frac{1}{\det(P)}$。 --- 解題方法 (一) 證明：$\lambda I+A$ 與 $\lambda I+B$ 相似 因為 $A$ 與 $B$ 互為相似矩陣，依定義存在一個 $n	imes n$ 可逆矩陣 $P$，滿足： $$B = P^{-1}AP$$ 欲證 $\lambda I+A$ 與 $\lambda I+B$ 相似，即需證明存在同一可逆矩陣 $P$，使得 $P^{-1}(\lambda I+A)P = \lambda I+B$。 展開左式： $$P^{-1}(\lambda I+A)P = P^{-1}(\lambda I)P + P^{-1}AP$$ 利用純量乘法可與矩陣乘法交換之性質，且 $I$ 為單位矩陣： $$P^{-1}(\lambda I)P = \lambda (P^{-1}IP) = \lambda (P^{-1}P) = \lambda I$$ 將上式與 $B = P^{-1}AP$ 代回： $$P^{-1}(\lambda I+A)P = \lambda I + B$$ 因為存在可逆矩陣 $P$ 滿足 $\lambda I+B = P^{-1}(\lambda I+A)P$，故依相似矩陣之定義，$\lambda I+A$ 與 $\lambda I+B$ 互為相似矩陣。【得證】 --- (二) 證明：$\operatorname{trace}(A)=\operatorname{trace}(B)$ 由 $A \sim B$，存在可逆矩陣 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。對兩邊取跡數： $$\operatorname{trace}(B) = \operatorname{trace}(P^{-1}AP)$$ 將矩陣相乘分組視為兩矩陣的乘積，令 $X = P^{-1}A$ 且 $Y = P$，則：…

Question 2

利用級數 $$ y=\sum{m=0}^{\infty}amx^m $$ 解微分方程式 $$ (x+1)y'=y， $$ 其中 $$ y'=\frac{dy}{dx}。 $$

Accepted Answer

核心觀念 1. 常態點（Ordinary Point）與冪級數解： 將一階線性微分方程式化為標準型： $$y' - \frac{1}{x+1}y = 0$$ 係數函數 $P(x) = -\frac{1}{x+1}$ 在 $x=0$ 處為解析函數（Analytic），因此 $x=0$ 為方程式的常態點。根據冪級數解定理，方程式在 $x=0$ 附近必存在馬克勞林級數（Maclaurin series）形式的解： $$y = \sum{m=0}^{\infty} am x^m$$ 2. 級數的逐項微分與指標平移（Shift of Index）： 級數可逐項微分，透過指標代換將不同項次的 $x$ 冪次對齊至相同次方 $x^m$，以便合併同類項。 3. 比較係數法與遞迴關係式（Recurrence Relation）： 將微分方程式整體整理為 $\sum{m=0}^{\infty} (\dots) x^m = 0$ 的形式，由恆等定理可知每一項 $x^m$ 的係數皆必須為零，由此導出係數間的遞迴關係式，進而決定所有係數 $am$。 --- 解題方法 步驟一：設定級數及其導函數 設方程式之級數解為： $$y = \sum{m=0}^{\infty} am x^m = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + \dots$$ 對 $x$ 逐項微分得： $$y' = \sum{m=1}^{\infty} m am x^{m-1}$$ 步驟二：代入微分方程式並對齊次方 將 $y$ 與 $y'$ 代入原方程式 $(x+1)y' = y$，即： $$x y' + y' - y = 0$$ 分別展開各項之級數： 1. $x y' = x \sum{m=1}^{\infty} m am x^{m-1} = \sum{m=1}^{\infty} m am x^m$ 注意到當 $m=0$ 時，$m am x^m = 0 \cdot a0 = 0$，故下標可改從 $m=0$ 起算： $$x y' = \sum{m=0}^{\infty} m am x^m$$ 2. $y' = \sum{m=1}^{\infty} m am x^{m-1}$ 令指標 $k = m-1$（即 $m = k+1$），當 $m=1$ 時 $k=0$： $$y' = \sum{k=0}^{\infty} (k+1) a{k+1} x^k = \sum{m=0}^{\infty} (m+1) a{m+1} x^m$$ 3. $y = \sum{m=0}^{\infty} am x^m$ 步驟三：合併級數並建立遞迴關係式 將上述三式合併至同一個求和號下： $$\sum{m=0}^{\infty} \left[ (m+1) a{m+1} + m am - am \right] x^m = 0$$

Question 3

請求出週期函數 $$ f(x)=\frac{x^2}{2}， $$ 其中 $-\pi<x<\pi$ 之傅立葉級數，再利用此級數證明 $$ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}。 $$

Accepted Answer

核心觀念

本題為典型的「傅立葉級數展開」與「級數求和（巴塞爾問題，Basel Problem）」之應用題，評量重點包含：

傅立葉級數定義與週期對稱性：週期為 $T = 2L = 2\pi$ （半週期 $L = \pi$ ）之週期函數展開。若函數 $f(x)$ 滿足 $f(-x) = f(x)$ ，則為偶函數（Even Function），其正弦係數必為零（ $b_n = 0$ ），傅立葉級數退化為純餘弦級數。
多項式與三角函數乘積之分部積分法：計算傅立葉餘弦係數 $a_n$ 時，需運用分部積分（或微積表格法，DI Method）計算 $\int x^2 \cos(nx) \, dx$ 。
狄利克雷收斂定理（Dirichlet's Convergence Theorem）：若週期函數 $f(x)$ 在區間內分段連續且具備有限極值點，則在連續點 $x_0$ 處，其傅立葉級數必收斂至函數值 $f(x_0)$ 。

解題方法

步驟一：判斷函數奇偶性與係數形式

給定週期為 $2\pi$ 之函數：

f(x) = \frac{x^2}{2}, \quad -\pi < x < \pi

檢驗其奇偶性：

f(-x) = \frac{(-x)^2}{2} = \frac{x^2}{2} = f(x)

故 $f(x)$ 為定義在 $(-\pi, \pi)$ 上的偶函數。其傅立葉級數形式可設為：

f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx)

其中正弦係數 $b_n = 0$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）。

步驟二：計算常數項係數 $a_0$

常數項（直流項或平均值）：

a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{x^2}{2} \, dx

計算定積分：

a_0 = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^\pi = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{\pi^3}{3} = \frac{\pi^2}{6}

步驟三：計算餘弦係數 $a_n$

利用偶函數對稱性，餘弦係數為：

a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \frac{x^2}{2} \cos(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^2 \cos(nx) \, dx

對 $\int_0^\pi x^2 \cos(nx) \, dx$ 進行兩次分部積分：

\begin{aligned} \int x^2 \cos(nx) \, dx &= x^2 \cdot \frac{\sin(nx)}{n} - \int 2x \cdot \frac{\sin(nx)}{n} \, dx \\ &= \frac{x^2 \sin(nx)}{n} - \left[ 2x \cdot \left( -\frac{\cos(nx)}{n^2} \right) - \int 2 \cdot \left( -\frac{\cos(nx)}{n^2} \right) \, dx \right] \\ &= \frac{x^2 \sin(nx)}{n} + \frac{2x \cos(nx)}{n^2} - \frac{2\sin(nx)}{n^3} \end{aligned}

代入積分上下限 $0$ 與 $\pi$ ：

上限代入 $\pi$ ：因 $\sin(n\pi) = 0$ 且 $\cos(n\pi) = (-1)^n$ ，得 $\frac{2\pi (-1)^n}{n^2}$ 。
下限代入 $0$ ：所有項皆為 $0$ 。

因此：

\int_0^\pi x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{2\pi (-1)^n}{n^2}

代回 $a_n$ ：

a_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} = \frac{2(-1)^n}{n^2}

步驟四：寫出完整傅立葉級數

綜合上述結果， $f(x)$ 之傅立葉級數展開式為：

Question 4

試求積分 $$ \ointC\frac{3z^3+2}{(z-1)(z^2+9)}\,dz， $$ 其中 $C$ 為逆時針方向的圓積分路徑 $|z|=4$。

Accepted Answer

核心觀念

本題評量複變函數論（Complex Variables）中的圍線積分計算，主要運用以下定義與定理：

柯西留數定理（Cauchy's Residue Theorem）：設函數 $f(z)$ 在簡單封閉路徑 $C$ 內部及其邊界上，除有限個孤立奇異點 $z_1, z_2, \dots, z_n$ 外處處解析，且路徑 $C$ 沿逆時針方向繞行，則：

\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f, z_k)

極點（Poles）判定與分佈：被積函數分母為零之處為其奇異點。需檢驗各極點之模長（Modulus） $|z|$ 是否嚴格小於圓路徑半徑 $R=4$ （即是否落於路徑內部）。
一階極點（Simple Pole）之留數公式：若 $z_0$ 為 $f(z)$ 的一階極點，其留數計算公式為：

\operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)

解題方法

步驟一：求出被積函數之奇異點並判定其位置

令被積函數為：

f(z) = \frac{3z^3+2}{(z-1)(z^2+9)}

令分母為零：

(z-1)(z^2+9) = 0 \implies z = 1, \quad z = 3i, \quad z = -3i

積分路徑 $C$ 為圓方程式 $|z| = 4$ （以原點為圓心、半徑為 4 的圓周）。計算各奇異點至原點之距離：

對於 $z_1 = 1$ ： $|z_1| = |1| = 1 < 4$ （在 $C$ 內部）
對於 $z_2 = 3i$ ： $|z_2| = |3i| = 3 < 4$ （在 $C$ 內部）
對於 $z_3 = -3i$ ： $|z_3| = |-3i| = 3 < 4$ （在 $C$ 內部）

三點皆為被積函數的一階極點，且全部落在積分路徑 $C$ 的內部。

步驟二：分別計算各一階極點的留數

計算在 $z_1 = 1$ 的留數：

\operatorname{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z-1) f(z) = \frac{3(1)^3+2}{1^2+9} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

計算在 $z_2 = 3i$ 的留數：

\operatorname{Res}(f, 3i) = \lim_{z \to 3i} (z-3i) f(z) = \frac{3(3i)^3+2}{(3i-1)(3i+3i)} = \frac{3(-27i)+2}{(3i-1)(6i)} = \frac{2-81i}{-18-6i}

計算在 $z_3 = -3i$ 的留數：

\operatorname{Res}(f, -3i) = \lim_{z \to -3i} (z+3i) f(z) = \frac{3(-3i)^3+2}{(-3i-1)(-3i-3i)} = \frac{3(27i)+2}{(-3i-1)(-6i)} = \frac{2+81i}{-18+6i}

合併共軛虛根之留數和：

Question 5

假設 $A、B$ 為同階方陣，則下列有關其跡數（trace）的敘述何者正確？

① $\operatorname{trace}(AB)=\operatorname{trace}(BA)$

② $\operatorname{trace}(A+B)=\operatorname{trace}(A)+\operatorname{trace}(B)$

③ $|AB|=|BA|$

④ $|A+B|=|A|+|B|$

Accepted Answer

核心觀念 本題考矩陣的跡數與行列式性質。對同階方陣 $A、B$： - $\operatorname{trace}(A)$ 是主對角線元素的總和。 - 行列式具有乘法性：$|AB|=|A||B|$。 - 一般而言，行列式不具有加法性：$|A+B|$ 不一定等於 $|A|+|B|$。 解題方法 逐項檢查。設 $A=(a{ij})$、$B=(b{ij})$ 為 $n	imes n$ 矩陣。 對①， $$ \operatorname{trace}(AB) =\sum{i=1}^{n}\sum{j=1}^{n}a{ij}b{ji} =\sum{j=1}^{n}\sum{i=1}^{n}b{ji}a{ij} =\operatorname{trace}(BA). $$ 對②，利用對角線元素相加可得 $$ \operatorname{trace}(A+B) =\sum{i=1}^{n}(a{ii}+b{ii}) =\operatorname{trace}(A)+\operatorname{trace}(B). $$

Answer

答案：B

Question 6

令 $\mathbf a、\mathbf b、\mathbf c$ 為同維度之三向量，則下列有關其外積（cross product）的敘述何者正確？ (A) $\mathbf a	imes\mathbf b=\mathbf b	imes\mathbf a$ (B) $\mathbf a	imes(\mathbf b	imes\mathbf c)=(\mathbf a	imes\mathbf b)	imes\mathbf c$ (C) 若 $\mathbf a
e\mathbf 0$ 且 $\mathbf a	imes\mathbf b=\mathbf a	imes\mathbf c$，則 $\mathbf b=\mathbf c$ (D) 若 $\mathbf a
e\mathbf 0$ 且 $\mathbf b
e\mathbf 0$，仍有可能 $\mathbf a	imes\mathbf b=\mathbf 0$

Accepted Answer

核心觀念 本題評量三維向量空間中外積（Cross Product / Vector Product）的代數運算性質與幾何意義。主要涉及以下核心定義與定理： 1. 外積之幾何定義： 兩向量 $\mathbf a$ 與 $\mathbf b$ 之夾角為 $	heta$（$0 \le 	heta \le \pi$），其外積大小定義為： $$\|\mathbf a 	imes \mathbf b\| = \|\mathbf a\| \|\mathbf b\| \sin	heta$$ 方向遵循右手定則，垂直於 $\mathbf a$ 與 $\mathbf b$ 所構成的平面。 2. 反交換律（Anti-commutativity）： $$\mathbf a 	imes \mathbf b = -(\mathbf b 	imes \mathbf a)$$ 3. 向量三重積（Vector Triple Product / BAC-CAB 公式）： $$\mathbf a 	imes (\mathbf b 	imes \mathbf c) = (\mathbf a \cdot \mathbf c)\mathbf b - (\mathbf a \cdot \mathbf b)\mathbf c$$ 4. 外積的平行充要條件： 對於兩非零向量 $\mathbf a$ 與 $\mathbf b$，$\mathbf a 	imes \mathbf b = \mathbf 0 \iff \mathbf a \parallel \mathbf b$（即 $	heta = 0$ 或 $	heta = \pi$）。 --- 解題方法 向量外積不具備純量代數中常見的交換律、結合律與消去律。解題時可直接依循外積的基本代數定理，或引入三維空間的標準正交基底向量 $\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ 構造簡單反例，逐一檢驗各選項之真偽。 --- 選項分析 (A) 錯誤 外積具「反交換律」，即： $$\mathbf a 	imes \mathbf b = -(\mathbf b 	imes \mathbf a)$$ 由右手定則可知，交換兩向量相乘之順序會使結果向量指向相反方向。因此一般而言 $\mathbf a 	imes \mathbf b 
e \mathbf b 	imes \mathbf a$（僅當 $\mathbf a 	imes \mathbf b = \mathbf 0$ 時兩者才恰好相等）。 (B) 錯誤 外積運算一般「不滿足結合律」，即 $\mathbf a 	imes (\mathbf b 	imes \mathbf c) 
e (\mathbf a 	imes \mathbf b) 	imes \math…

Answer

答案：D

Question 7

令矩陣 $$ A= \begin{bmatrix} 1 & a & -1\ 0 & 1 & 1\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}， $$ 若 $A$ 的秩（rank）為 $2$，則 $a$ 值為何？ (A) $-2$ (B) $-1$ (C) $0$ (D) $1$

Accepted Answer

核心觀念 矩陣的秩是線性獨立的列（或行）向量個數。對 $3	imes 3$ 矩陣而言，若行列式不為 $0$，則秩為 $3$；若行列式為 $0$，秩至多為 $2$。因此，要使秩恰為 $2$，除了令行列式為 $0$，還須確認矩陣至少有一個二階子行列式不為 $0$。 解題方法 計算 $A$ 的行列式： $$ \begin{aligned} \det A &= \begin{vmatrix} 1 & a & -1\ 0 & 1 & 1\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}\ &=1(1\cdot 2-1\cdot 0) -a(0\cdot 2-1\cdot 2) +(-1)(0\cdot 0-1\cdot 2)\ &=2+2a+2\ &=2a+4. \end{aligned} $$ 秩為 $2$ 必須先滿足 $\det A=0$，所以 $$ 2a+4=0 \quad\Longrightarrow\quad a=-2. $$ 再確認此時秩確為 $2$。取左上角的二階子行列式：

Answer

答案：A

Question 8

已知 $n$ 為任意正整數，$A\in\mathbb R^{n	imes n}$ 及 $\mathbf b\in\mathbb R^{n	imes 1}$ 皆為已知常數矩陣，$\mathbf x\in\mathbb R^{n	imes 1}$ 為未知矩陣。若線性方程式系統 $A\mathbf x=\mathbf b$ 存在唯一解，則下列何者正確？ (A) $\operatorname{adj}(A)=0$ (B) $\operatorname{rank}(A)=0$ (C) $\det(A)=0$ (D) $\operatorname{nullity}(A)=0$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查線性方程組「有唯一解」與係數矩陣 $A$ 的零空間之關係。$\operatorname{nullity}(A)$ 是 $A$ 的零空間維度： $$ \operatorname{nullity}(A)=\dim\{\mathbf z\in\mathbb R^n:A\mathbf z=\mathbf 0\}. $$ 依秩－零度定理， $$ \operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n. $$ 解題方法 若 $A\mathbf x=\mathbf b$ 有唯一解，則齊次方程組 $A\mathbf z=\mathbf 0$ 只能有零解。否則，若存在非零解 $\mathbf z$，且 $\mathbf x0$ 是原方程組的解，則 $$ A(\mathbf x0+\mathbf z)=A\mathbf x0+A\mathbf z=\mathbf b, $$ 因此 $\mathbf x0+\mathbf z$ 也是解，與唯一性矛盾。 故 $A$ 的零空間只有零向量，其維度為 $0$： $$ \operatorname{nullity}(A)=0. $$

Answer

答案：D

Question 9

求出線性轉換 $L:\mathbb R^3	o\mathbb R^2$， $$ L(x,y,z)=(x-2y,2x+y) $$ 的代表矩陣為： (A) $$ L= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$ (B) $$ L= \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$ (C) $$ L= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} $$ (D) $$ L= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$

Accepted Answer

核心觀念 線性轉換 $L:\mathbb R^3	o\mathbb R^2$ 的標準矩陣，其各欄依序為標準基底向量 $e1=(1,0,0)$、$e2=(0,1,0)$、$e3=(0,0,1)$ 經 $L$ 轉換後的結果。因此，若 $$ L(x,y,z)= \begin{bmatrix} a1x+a2y+a3z\ b1x+b2y+b3z \end{bmatrix}, $$ 則代表矩陣為 $$ [L]= \begin{bmatrix} a1&a2&a3\ b1&b2&b3 \end{bmatrix}. $$ 解題方法 將題目給定的分量逐項對照 $x,y,z$ 的係數： $$ L(x,y,z)=(x-2y,\;2x+y) = \begin{bmatrix} 1x+(-2)y+0z\ 2x+1y+0z \end{bmatrix}. $$ 第一列取自第一個分量的係數，第二列取自第二個分量的係數，所以 $$ [L]= \begin{bmatrix} 1&-2&0\ 2&1&0 \end{bmatrix}. $$ 因此正確選項為 (D)。

Answer

答案：D

Question 10

矩陣 $$ A= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 & 4 & 5 & -3\ 3 & -7 & 2 & 0 & 1 & 4\ 2 & -5 & 2 & 4 & 6 & 1\ 4 & -9 & 2 & -4 & -4 & 7 \end{bmatrix} $$ 的秩之值為何？ (A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $4$

Accepted Answer

核心觀念 1. 矩陣的秩（Rank）之定義：矩陣 $A$ 的秩記為 $	ext{rank}(A)$，定義為該矩陣中「線性獨立的列向量（Row vectors）之最大數目」，亦等於「線性獨立的行向量（Column vectors）之最大數目」。 2. 高斯消去法與列梯形形式（Row Echelon Form, REF）：利用基本列運算（Elementary Row Operations）將矩陣轉化為列梯形形式，此時矩陣中非零列的總數即為該矩陣的秩。基本列運算不改變矩陣的秩。 3. 線性相依性判別：若某一列向量可完全表示為其他列向量的線性組合，則該列向量在列運算過程中必定可被完全消去化為全零列。 --- 解題方法 給定 $4 	imes 6$ 矩陣： $$ A= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 & 4 & 5 & -3\ 3 & -7 & 2 & 0 & 1 & 4\ 2 & -5 & 2 & 4 & 6 & 1\ 4 & -9 & 2 & -4 & -4 & 7 \end{bmatrix} $$ 設矩陣 $A$ 的四個列向量分別為 $R1, R2, R3, R4$。採用高斯消去法（基本列運算）求其列梯形形式： 步驟一：以第 1 列 $R1$ 為基準，將下方各列的第 1 個元素消去為 0 執行以下基本列運算： - $R2 	o R2 + 3R1$ - $R3 	o R3 + 2R1$ - $R4 	o R4 + 4R1$ 各列計算細節如下： - $R2 + 3R1 = (3-3, -7+6, 2+0, 0+12, 1+15, 4-9) = (0, -1, 2, 12, 16, -5)$ - $R3 + 2R1 = (2-2, -5+4, 2+0, 4+8, 6+10, 1-6) = (0, -1, 2, 12, 16, -5)$ - $R4 + 4R1 = (4-4, -9+8, 2+0, -4+16, -4+20, 7-12) = (0, -1, 2, 12, 16, -5)$ 矩陣化為： $$ \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 & 4 & 5 & -3\ 0 & -1 & 2 & 12 & 16 & -5\ 0 & -1 & 2 & 12 & 16 & -5\ 0 & -1 & 2 & 12 & 16 & -5 \end{bmatrix} $$ 步驟二：以第 2 列 $R2$ 為基準，消去第 3 列與第 4 列 觀察可知現在的第 2、3、4 列完全相同，執行列運算： - $R3 	o R3 - R2$

Answer

答案：B

Question 11

將 $e^{5+2i}$ 化簡為 $a+bi$ 形式的敘述（$a,b$ 為常數），則化簡後結果為： (A) $e^{5t}\bigl(\cos(2t)+i\sin(2t)\bigr)$ (B) $e^{5t}\bigl(\cos(2t)-i\sin(2t)\bigr)$ (C) $e^5\bigl(\cos(2)+i\sin(2)\bigr)$ (D) $e^5\bigl(\cos(2)-i\sin(2)\bigr)$

Accepted Answer

核心觀念 複數指數可用歐拉公式表示： $$ e^{i	heta}=\cos	heta+i\sin	heta $$ 因此，若指數是實部與虛部相加的形式 $x+iy$，則 $$ e^{x+iy}=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y) $$ 解題方法 將指數拆成實部 $5$ 與虛部 $2i$： $$ e^{5+2i}=e^5e^{2i} $$ 套用歐拉公式，令 $	heta=2$： $$ e^{5+2i}=e^5(\cos 2+i\sin 2) $$ 這正是選項 (C)。 選項分析

Answer

答案：C

Question 12

假設路徑 $C$ 為逆時針方向的單位圓 $|z|=1$，求 $$ \ointC\frac{\sinh z}{z^2}\,dz $$ 之值為何？ (A) $2\pi i$ (B) $\pi i$ (C) $\dfrac{\pi i}{2}$ (D) $-\pi i$

Accepted Answer

核心觀念

本題考察複變函數的柯西積分公式與留數定理。若 $f(z)$ 在單位圓 $C$ 及其內部解析，且 $C$ 為逆時針方向，則

\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^2}\,dz=2\pi i\,f'(a),

其中 $a$ 位於 $C$ 內部。

解題方法

取 $f(z)=\sinh z$ 、 $a=0$ 。由於 $\sinh z$ 為整函數，符合柯西積分公式的解析條件。因此

\oint_C \frac{\sinh z}{z^2}\,dz =2\pi i\,f'(0).

又 $f'(z)=\cosh z$ ，故 $f'(0)=\cosh 0=1$ ，所以

Answer

答案：A

Question 13

函數 $f(t)$ 之拉氏轉換（Laplace transform）表示為 $\mathcal L\{f(t)\}$，若 $$ \mathcal L\{f(t)\}=\frac{e^{-2s}}{s^2-3s+2}， $$ 則 $f(t)$ 為何？ 其中 $u(t)$ 為單位步階（unit step）。 (A) $\bigl(e^{t-2}-e^{2t-4}\bigr)u(t-2)$ (B) $\bigl(-e^{t-2}+e^{2t-4}\bigr)u(t-2)$ (C) $\bigl((t-2)e^{t-2}+e^{2t-4}\bigr)u(t-2)$ (D) $\bigl(-(t-2)e^{t-2}+e^{2t-4}\bigr)u(t-2)$

Accepted Answer

核心觀念 本題考拉氏轉換的延遲定理：若 $\mathcal L\{g(t)\}=G(s)$，則 $$ \mathcal L\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-as}G(s),\qquad a0. $$ 因此，看到 $e^{-2s}$，可判斷時域函數會延遲 $2$ 單位，並乘上 $u(t-2)$。 解題方法 先對有理式部分做部分分式分解： $$ \frac{1}{s^2-3s+2} =\frac{1}{(s-1)(s-2)} =\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s-1}. $$ 利用 $\mathcal L^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}$，得 $$ g(t)=e^{2t}-e^t. $$ 再套用延遲定理： $$ f(t)=u(t-2)g(t-2) =u(t-2)\left(e^{2(t-2)}-e^{t-2}\right). $$ 整理後： $$ f(t)=\left(-e^{t-2}+e^{2t-4}\right)u(t-2), $$ 故符合選項 (B)。 選項分析

Answer

答案：B

Question 14

假設方程式 $$ y(t)-\int0^t y(	au)y(t-	au)\,d	au=2-\frac{1}{2}t^2 $$ 的解是 $$ y(t)=a+be^t+ce^{-t}， $$ 其中 $a,b,c$ 是常數，求 $$ a+b+c=？ $$ (A) $-1$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $3$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查非線性沃爾泰拉積分方程式（Volterra Integral Equation of the Second Kind）與定積分基本性質之綜合應用： 1. 定積分基本性質：當定積分之積分上限與積分下限相同時，積分值恆為零，即： $$ \intc^c f(	au)\,d	au = 0 $$ 2. 摺積（Convolution）定義： $$ (y y)(t) = \int0^t y(	au)y(t-	au)\,d	au $$ 3. 初值對應關係：若已知函數形式為 $y(t) = a + be^t + ce^{-t}$，則當 $t = 0$ 時，各項指數均為 $e^0 = 1$，恰可得到係數和： $$ y(0) = a + b + c $$ --- 解題方法 步驟一：觀察目標式結構 題目已知方程式之解為： $$ y(t) = a + be^t + ce^{-t} $$ 將 $t = 0$ 代入此函數式： $$ y(0) = a + b e^0 + c e^0 = a + b + c $$ 由上式可知，求 $a+b+c$ 即等價於求該函數在 $t = 0$ 的初始值 $y(0)$。 步驟二：代入原方程式求初始值 給定的積分方程式為： $$ y(t)-\int0^t y(	au)y(t-	au)\,d	au=2-\frac{1}{2}t^2 $$ 將 $t = 0$ 直接代入等號兩邊： $$ y(0)-\int0^0 y(	au)y(0-	au)\,d	au=2-\frac{1}{2}(0)^2 $$ 由定積分性質可知，當上下限同為 $0$ 時，摺積積分項的值為零： $$ \int0^0 y(	au)y(-	au)\,d	au = 0 $$ 因此，方程式直接簡化為： $$ y(0) - 0 = 2 \implies y(0) = 2 $$

Answer

答案：C

Question 15

下列何者可做為微分方程式 $$ 2+(6x-e^{-2y})\frac{dy}{dx}=0 $$ 的積分因子（integration factor）？ (A) $e^{2x}y^3$ (B) $x^3e^{2y}$ (C) $e^{3y}$ (D) $e^{3x}$

Accepted Answer

核心觀念 把微分方程式寫成微分形式 $$ M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. $$ 若存在積分因子 $\mu(x,y)$，使 $$ \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 $$ 成為恰當微分方程式，則必須滿足 $$ \frac{\partial(\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial(\mu N)}{\partial x}. $$ 題目中的方程式乘以 $dx$ 後為 $$ 2\,dx+(6x-e^{-2y})\,dy=0, $$ 因此 $$ M=2,\qquad N=6x-e^{-2y}. $$ 解題方法 檢查各選項是否能使方程式成為恰當方程式。對選項 (C) 取 $\mu=e^{3y}$，則 $$ \mu M=2e^{3y},\qquad \mu N=e^{3y}(6x-e^{-2y})=6xe^{3y}-e^y. $$ 分別對 $y$、$x$ 微分： $$ \frac{\partial(\mu M)}{\partial y}=6e^{3y}, \qquad \frac{\partial(\mu N)}{\partial x}=6e^{3y}. $$ 兩者相等，所以乘上 $e^{3y}$ 後方程式為恰當方程式，$e^{3y}$ 確為積分因子。 選項分析

Answer

答案：C

Question 16

給定一個二維（2-dimension）微分方程式 $$ x'(t)=-2y(t),\qquad y'(t)=\frac{1}{2}x(t)， $$ 且滿足 $x(0)=2,\ y(0)=0$，則下列選項何者正確？ (A) $x(t)=2\cos t$ (B) $x(t)=2\cos 2t$ (C) $y(t)=\sin 2t$ (D) $y(t)=2\sin 2t$

Accepted Answer

核心觀念 本題考二維線性微分方程組的解法，以及由初始條件決定解。可將其中一個未知函數消去，得到二階常係數微分方程，再利用初始條件求出完整解。 解題方法 由 $x'(t)=-2y(t)$，對 $t$ 微分： $$ x''(t)=-2y'(t). $$ 代入 $y'(t)=\frac{1}{2}x(t)$，得到 $$ x''(t)=-x(t), $$ 亦即 $$ x''(t)+x(t)=0. $$ 此方程的通解為 $$ x(t)=C1\cos t+C2\sin t. $$ 由 $x(0)=2$ 得 $C1=2$。又由 $x'(t)=-2y(t)$ 及 $y(0)=0$，可知 $x'(0)=0$；而 $$ x'(t)=-C1\sin t+C2\cos t, $$ 故 $x'(0)=C2=0$。因此 $$ x(t)=2\cos t. $$ 再由 $x'(t)=-2y(t)$ 求得 $$ y(t)=-\frac{x'(t)}{2} =\sin t. $$

Answer

答案：A

Question 17

下列何者是 $$ (x-1)^2y''-4xy'+4y=0 $$ 的解？（選項中 $c1$ 和 $c2$ 為任意常數。） (A) $c1x^4+c2x$ (B) $c1(x-1)^4+c2(x-1)$ (C) $c1x^2+c2x^2\ln(x)$ (D) $c1(x-1)^2+c2(x-1)^2\ln(x-1)$

Accepted Answer

核心觀念 本題考二階線性微分方程的解，以及變數平移後的冪次解。若將 $t=x-1$，則 $x=t+1$，方程可改寫成以 $t$ 為變數的形式。由於 $\dfrac{d}{dx}=\dfrac{d}{dt}$，可直接代入並檢查選項。 解題方法 令 $t=x-1$，原方程變為 $$ t^2y''-4(t+1)y'+4y=0. $$ 先檢查候選解 $y=t^4$： $$ y'=4t^3,\qquad y''=12t^2. $$ 代入左式： $$ t^2(12t^2)-4(t+1)(4t^3)+4t^4 =12t^4-16t^4-16t^3+4t^4 =-16t^3. $$ 此式不恆等於 $0$，因此選項 (B) 中的 $(x-1)^4$ 並非原方程的解；而選項 (B) 是任意常數線性組合，必須其中兩個基底函數皆為解，故 (B) 不符合題目方程。 再檢查 $y=t$： $$ y'=1,\qquad y''=0, $$ 代入左式得 $$ -4(t+1)+4t=-4, $$ 也不為 $0$。因此，題目所列官方答案 B 與直接代入原方程的結果不一致。 選項分析

Answer

答案：B

Question 18

複變函數 $$ f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) $$ 在 $x+iy$ 為可微分，則下列何條件必須滿足？ (A) $$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} $$ 和 $$ \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y} $$ (B) $$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} $$ 和 $$ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} $$ (C) $$ \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y} $$ 和 $$ \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y} $$ (D) $$ \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y} $$ 和 $$ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} $$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查複變分析（Complex Analysis）中複變函數在某一點可微分（Differentiable）的必要條件（Necessary Condition），即著名的柯西－黎曼方程式（Cauchy-Riemann Equations，簡稱 C-R 方程式）。

若複變函數 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 在點 $z = x+iy$ 可微分，則實部 $u(x,y)$ 與虛部 $v(x,y)$ 在該點的一階偏導數必然存在，且必須滿足：

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{且} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \quad \left(\text{或等價表示為 } \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}\right)

解題方法

依據複變函數導數的嚴格定義：

f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z) - f(z)}{\Delta z}

其中增量 $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$ 。函數在該點可微分，意味著不論 $\Delta z$ 沿複數平面上的何種方向趨近於 $0$ ，所得的極限值皆必須存在且唯一。

步驟一：沿水平方向（實軸方向）趨近 令 $\Delta y = 0$ ，使 $\Delta z = \Delta x \to 0$ ：

\begin{aligned} f'(z) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[u(x+\Delta x, y) + iv(x+\Delta x, y)] - [u(x,y) + iv(x,y)]}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x, y) - u(x,y)}{\Delta x} + i \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x, y) - v(x,y)}{\Delta x} \\ &= \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned}

步驟二：沿垂直方向（虛軸方向）趨近 令 $\Delta x = 0$ ，使 $\Delta z = i\Delta y \to 0$ ：

Answer

答案：B

Question 19

求符合偏微分方程式 $$ u{xy}-4ux=0 $$ 的通解。 (A) $c1(x)e^{-4y}+c2(y)$，其中 $c1,c2$ 為函數 (B) $c1(y)e^{4y}+c2(x)$，其中 $c1,c2$ 為函數 (C) $c1(x)e^{4y}+c2(y)$，其中 $c1,c2$ 為函數 (D) $c1(y)e^{-4y}+c2(x)$，其中 $c1,c2$ 為函數

Accepted Answer

核心觀念 本題考偏微分方程式的逐次積分。由於 $u{xy}$ 是先對 $x$、再對 $y$（或反過來）微分，先把 $ux$ 視為未知函數，可將原方程整理成關於 $ux$ 的一階常微分方程。 解題方法 原式為 $$ u{xy}-4ux=0. $$ 令 $v=ux$，則 $$ vy-4v=0. $$ 固定 $x$，將此式視為關於 $y$ 的一階常微分方程： $$ \frac{\partial v}{\partial y}=4v. $$ 分離變數並對 $y$ 積分，得到 $$ v(x,y)=A(x)e^{4y}, $$ 其中積分「常數」可以依賴未積分的變數 $x$，故 $A(x)$ 是任意函數。因為 $v=ux$，所以 $$ ux=A(x)e^{4y}. $$ 再對 $x$ 積分： $$ u(x,y)=e^{4y}\int A(x)\,dx+B(y). $$ 令 $c1(x)=\int A(x)\,dx$、$c2(y)=B(y)$，通解為 $$ u(x,y)=c1(x)e^{4y}+c2(y), $$ 即選項 (C)。 選項分析 - (A) 錯誤。 若 $u=c1(x)e^{-4y}+c2(y)$，則

Answer

答案：C

Question 20

求函數 $$ F(s)=\frac{5s+1}{s^2-25} $$ 的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）？ (A) $5\sinh 5t+\dfrac{1}{5}\cosh 5t$ (B) $5\cosh 5t+\dfrac{1}{5}\sinh 5t$ (C) $5\cos 5t+\dfrac{1}{5}\sin 5t$ (D) $5\sin 5t+\dfrac{1}{5}\cos 5t$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查逆拉式轉換的基本公式，以及將有理式拆成標準形式。對 $a0$， $$ \mathcal{L}\{\cosh at\}=\frac{s}{s^2-a^2}, \qquad \mathcal{L}\{\sinh at\}=\frac{a}{s^2-a^2}. $$ 因此，分子含 $s$ 的項對應 $\cosh at$；常數項則須配合 $\sinh at$ 的分子係數。 解題方法 將題目分子拆開，並調整成上述公式： $$ F(s)=\frac{5s+1}{s^2-25} =5\frac{s}{s^2-5^2} +\frac{1}{5}\frac{5}{s^2-5^2}. $$ 由線性性及基本公式， $$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} =5\cosh 5t+\frac{1}{5}\sinh 5t. $$ 所以正確選項為 (B)。 選項分析

Answer

答案：B

Question 21

已知 $F(s)=\mathcal F\{f(t)\}$ 為 $f(t)$ 的傅立葉轉換（Fourier transform），$f^(t)$ 為 $f(t)$ 的共軛複數（complex conjugate），其中 $s=j\omega$，下列何者錯誤？ (A) $f^(t)$ 的傅立葉轉換為 $F^(-s)$ (B) $f^(-t)$ 的傅立葉轉換為 $F^(-s)$ (C) $f(-t)$ 的傅立葉轉換為 $F(-s)$ (D) $f(3t)$ 的傅立葉轉換為 $\dfrac{1}{3}F\left(\dfrac{s}{3}\right)$

Accepted Answer

核心觀念 本題考傅立葉轉換的共軛、時間反轉與時間縮放性質。採用定義 $$ F(s)=\int{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt,\qquad s=j\omega $$ 因此 $e^{-st}=e^{-j\omega t}$。判斷各選項時，留意共軛會使頻率變數反號，而時間反轉也會使頻率變數反號。 解題方法 先由定義推導共軛性質： $$ \mathcal F\{f^(t)\} =\int{-\infty}^{\infty}f^(t)e^{-j\omega t}\,dt =\left[\int{-\infty}^{\infty}f(t)e^{j\omega t}\,dt\right]^ =F^(-j\omega)=F^(-s). $$ 再推導「共軛加時間反轉」： $$ \mathcal F\{f^(-t)\} =\int{-\infty}^{\infty}f^(-t)e^{-j\omega t}\,dt. $$ 令 $u=-t$，則 $dt=-du$；調整積分上下限後可得

Answer

答案：B

Question 22

投擲兩顆公平骰子，獲得兩個相同數字（equal numbers）或是數字具偶數乘積（numbers with even product）的機率為何？ (A) $\dfrac{15}{36}$ (B) $\dfrac{27}{36}$ (C) $\dfrac{5}{6}$ (D) $\dfrac{8}{9}$

Accepted Answer

核心觀念

本題評量古典機率（Classical Probability）的基本運算與集合運算的排容原理（Inclusion-Exclusion Principle，或稱加法定理），亦可透過餘事件定理（Complementary Event Rule）求解。

樣本空間（Sample Space）：投擲兩顆公平骰子，樣本空間的元素個數為： $|S| = 6 \times 6 = 36$
事件定義：

設事件 $A$ 為「獲得兩個相同數字」（點數相同）。
設事件 $B$ 為「數字具偶數乘積」（乘積為偶數）。

排容原理：要求事件 $A$ 或事件 $B$ 發生的機率，即求聯集機率 $P(A \cup B)$ ： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

解題方法

方法一：排容原理（直接計算）

計算事件 $A$ 的樣本點數 $|A|$ ：兩顆骰子點數相同的情況為： $A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$ 共有 $|A| = 6$ 種情形。
計算事件 $B$ 的樣本點數 $|B|$ ：兩數乘積為偶數，其餘事件 $B^c$ 為「兩數乘積為奇數」，亦即「兩顆骰子點數皆為奇數」。奇數點數為 $\{1, 3, 5\}$ ，共有 3 種可能。 $|B^c| = 3 \times 3 = 9$ 因此，乘積為偶數的樣本點數為： $|B| = |S| - |B^c| = 36 - 9 = 27$
計算交集事件 $A \cap B$ 的樣本點數 $|A \cap B|$ ： $A \cap B$ 表示「兩數點數相同且乘積為偶數」，即兩顆骰子皆為相同的偶數點： $A \cap B = \{(2,2), (4,4), (6,6)\}$ 共有 $|A \cap B| = 3$ 種情形。（註：若兩數相同但為奇數，如 $(1,1), (3,3), (5,5)$ ，乘積為奇數，不屬於 $A \cap B$ ）。
代入排容原理計算聯集樣本點數與機率： $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 6 + 27 - 3 = 30$ 所求機率為：

Answer

答案：C

Question 23

假設 $X$ 和 $Y$ 為兩個獨立的隨機變數，其聯合機率分布（joint probability distribution）為

f(2,1)=0.1,\quad f(2,3)=0.2,\quad f(2,5)=0.1,

f(4,1)=0.15,\quad f(4,3)=0.3,\quad f(4,5)=0.15。

試問一個隨機變數 $Z=XY$ ，則此隨機變數 $Z$ 的期望值為何？

Accepted Answer

核心觀念 離散型隨機變數的期望值，可將每一種可能結果乘上其發生機率後加總。對 $Z=XY$ 而言： $$ E[Z]=E[XY]=\sumx\sumy xy\,f(x,y) $$ 題目已提供聯合機率分布，因此直接依各組 $(x,y)$ 計算即可。雖然題目指出 $X$ 與 $Y$ 獨立，但計算 $E[XY]$ 不必先拆成邊際分布。 解題方法 將六種可能的 $(X,Y)$ 組合代入 $Z=XY$，再乘上對應的聯合機率： $$ \begin{aligned} E[Z] &=2(1)(0.1)+2(3)(0.2)+2(5)(0.1)\ &\quad+4(1)(0.15)+4(3)(0.3)+4(5)(0.15)\ &=0.2+1.2+1.0+0.6+3.6+3.0\ &=9.6 \end{aligned} $$ 所以 $Z$ 的期望值為 $9.6$。 選項分析

Answer

答案：C

Question 24

若 $X$ 的機率質量函數為 $$ p(0)=\frac{1}{3},\qquad p(1)=\frac{2}{3}， $$ 則其期望值 $E[X]$ 為多少？ (A) $\dfrac{1}{3}$ (B) $\dfrac{1}{2}$ (C) $\dfrac{2}{3}$ (D) $1$

Accepted Answer

核心觀念 離散型隨機變數的期望值，是各可能取值乘上其機率後加總： $$ E[X]=\sumx x\,p(x) $$ 解題方法 本題 $X$ 只可能取 $0$ 或 $1$，因此 $$ E[X]=0\cdot p(0)+1\cdot p(1) =0\cdot\frac{1}{3}+1\cdot\frac{2}{3} =\frac{2}{3} $$ $X=0$ 的項對期望值沒有貢獻；期望值即為 $X=1$ 的機率。 選項分析 - (A) $\dfrac{1}{3}$：錯誤。 這是 $p(0)$，但期望值須將每個取值乘以其機率後加總。

Answer

答案：C

107 高普考高考三級 電信工程 工程數學 考古題詳解

第 一 題15 分

核心觀念

解題方法

(一) 證明：λI+A\lambda I+AλI+A 與 λI+B\lambda I+BλI+B 相似

(二) 證明：trace⁡(A)=trace⁡(B)\operatorname{trace}(A)=\operatorname{trace}(B)trace(A)=trace(B)

第 二 題10 分

核心觀念

解題方法

第 三 題15 分

核心觀念

解題方法

步驟一：判斷函數奇偶性與係數形式

步驟二：計算常數項係數 a0a_0a0​

步驟三：計算餘弦係數 ana_nan​

步驟四：寫出完整傅立葉級數

第 四 題10 分

核心觀念

解題方法

步驟一：求出被積函數之奇異點並判定其位置

步驟二：分別計算各一階極點的留數

第 1 題2 分

核心觀念

解題方法

第 2 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 3 題2 分

核心觀念

解題方法

第 4 題2 分

核心觀念

解題方法

第 5 題2 分

第 6 題2 分

核心觀念

解題方法

步驟一：以第 1 列 R1R_1R1​ 為基準，將下方各列的第 1 個元素消去為 0

步驟二：以第 2 列 R2R_2R2​ 為基準，消去第 3 列與第 4 列

第 7 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 8 題2 分

核心觀念

解題方法

第 9 題2 分

第 10 題2 分

核心觀念

解題方法

步驟一：觀察目標式結構

步驟二：代入原方程式求初始值

第 11 題2 分

第 12 題2 分

第 13 題2 分

第 14 題2 分

核心觀念

解題方法

第 15 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 16 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 17 題2 分

核心觀念

解題方法

第 18 題2 分

核心觀念

解題方法

方法一：排容原理（直接計算）

第 19 題2 分

第 20 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

其他考古題

107 高普考高考三級電信工程工程數學考古題詳解

第一題15 分

(一) 證明： $\lambda I+A$ 與 $\lambda I+B$ 相似

(二) 證明： $\operatorname{trace}(A)=\operatorname{trace}(B)$

第二題10 分

第三題15 分

步驟二：計算常數項係數 $a_0$

步驟三：計算餘弦係數 $a_n$

第四題10 分

步驟一：以第 1 列 $R_1$ 為基準，將下方各列的第 1 個元素消去為 0

步驟二：以第 2 列 $R_2$ 為基準，消去第 3 列與第 4 列