107 高普考高考三級 電信工程 通信與系統 考古題詳解

核心觀念

1. 實數帶通信號的標準正交表示法（Canonical Representation of Bandpass Signals）： 對於中心頻率為 $\omega_c = 2\pi f_c$ 且頻寬為 $W$ 的實數窄頻帶通信號 $x(t)$（滿足 $f_c \gg W$），可唯一表示為同相（In-Phase）與正交（Quadrature）分量的線性組合： $x(t) = x_I(t)\cos(\omega_c t) - x_Q(t)\sin(\omega_c t)$ 或利用基頻等效信號（Baseband Equivalent Signal）／複數包封（Complex Envelope） $x_l(t)$ 表示： $x(t) = \text{Re}\left\{ x_l(t) e^{j\omega_c t} \right\}$ 其中： $x_l(t) = x_I(t) + jx_Q(t)$

• $x_I(t)$ 為同相基頻分量（In-Phase Component）。
• $x_Q(t)$ 為正交基頻分量（Quadrature Component）。

2. 解析信號（Analytic Signal / Pre-envelope）與希爾伯特轉換（Hilbert Transform）： 帶通信號的解析信號定義為 $z(t) = x(t) + j\hat{x}(t) = x_l(t)e^{j\omega_c t}$，其中 $\hat{x}(t)$ 為 $x(t)$ 的希爾伯特轉換。 依據貝德羅西安定理（Bedrosian's Theorem），當信號之低頻成分頻寬遠小於載波頻率時，低頻包封與載波的正交關係成立，基頻等效信號即為解析信號降頻（Frequency Down-conversion）至零頻率所得之基頻複數信號。

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解題方法

(一) 求帶通信號 $x(t)$ 之基頻等效信號 $x_l(t)$

1. 信號表示： 題目給定帶通信號為： $x(t) = \begin{cases} a\cos(\omega_c t), & t \in [0, c] \\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases}$ 定義門函數（Gate Function） $p(t) = \begin{cases} 1, & t \in [0, c] \\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases}$，則 $x(t) = a\,p(t)\cos(\omega_c t)$。

2. 對照標準形式： 根據實數帶通信號與複數包封之關係： $x(t) = \text{Re}\left\{ x_l(t) e^{j\omega_c t} \right\} = x_I(t)\cos(\omega_c t) - x_Q(t)\sin(\omega_c t)$ 對照原式可知，在 $t \in [0, c]$ 期間：

• 同相分量：$x_I(t) = a$
• 正交分量：$x_Q(t) = 0$

3. 合成基頻等效信號： $x_l(t) = x_I(t) + jx_Q(t) = a + j0 = a, \quad \forall t \in [0, c]$ 當 $t \notin [0, c]$ 時，$x(t) = 0 \implies x_l(t) = 0$。 因此，$x(t)$ 之基頻等效信號為： $x_l(t) = \begin{cases} a, & t \in [0, c] \\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases}$

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(二) 求實數帶通信號 $x(t)$、說明物理意義及轉換目的

1. 推導實數帶通信號 $x(t)$： 已知低通複數信號為： $x_l(t) = \begin{cases} a + jb, & t \in [0, c] \\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases}$ 在 $t \in [0, c]$ 區間內，將 $x_l(t)$ 代入帶通信號合成公式：

$$\begin{aligned} x(t) &= \text{Re}\left\{ x_l(t) e^{j\omega_c t} \right\} \\ &= \text{Re}\left\{ (a + jb) (\cos(\omega_c t) + j\sin(\omega_c t)) \right\} \\ &= \text{Re}\left\{ [a\cos(\omega_c t) - b\sin(\omega_c t)] + j[b\cos(\omega_c t) + a\sin(\omega_c t)] \right\} \\ &= a\cos(\omega_c t) - b\sin(\omega_c t) \end{aligned}$$

在其他區間，因 $x_l(t) = 0$，故 $x(t) = 0$。 因此，實數帶通信號為： $x(t) = \begin{cases} a\cos(\omega_c t) - b\sin(\omega_c t), & t \in [0, c] \\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases}$ (註：亦可表示為極坐標振幅－相位形式：$x(t) = \sqrt{a^2+b^2}\cos\left(\omega_c t + \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\right)$，其中 $t \in [0, c]$。)

2. 低通複數信號 $x_l(t)$ 之物理意義：

• 承載調變資訊（Modulation Information）：

核心觀念

本題旨在考驗數位通訊系統中處理基頻傳輸與頻寬受限通道的核心理論——奈奎斯特零符碼間干擾準則（Nyquist Criterion for Zero ISI）​與脈衝整形（Pulse Shaping）技術。

1. 符碼間干擾（Inter-Symbol Interference, ISI）：數位序列在有限頻寬通道傳送時，信號波形會發生時域展寬（Dispersion），導致相鄰符碼的波形在取樣瞬間相互重疊與干擾，大幅提高誤碼率（BER）。
2. 時域零 ISI 條件（Time-Domain Nyquist Condition）：整體脈衝波形 $p(t)$ 在特定符碼取樣點上，除當前符碼外，其餘符碼位置之響應值皆必須為零。
3. 頻域零 ISI 條件（Frequency-Domain Nyquist Condition）：利用泊松求和公式（Poisson Summation Formula），時域取樣等效於頻譜以符碼率 $R_s = \frac{1}{T}$ 進行週期性平移與疊加，其總和須為常數。
4. 有限頻寬下的實現折衷：

• 理想奈奎斯特通道（Sinc 脈衝）：佔用最小理論頻寬（Nyquist Bandwidth $B_0 = \frac{R_s}{2}$），但具非因果性且旁波瓣以 $\frac{1}{t}$ 緩慢衰減，對時序抖動（Timing Jitter）極為敏感。
• 實用升餘弦脈衝（Raised-Cosine Pulse）：引入滾降係數 $\alpha$（Roll-off Factor），以超額頻寬（Excess Bandwidth）換取旁波瓣以 $\frac{1}{t^3}$ 快速衰減，降低電路實現難度與對時鐘同步誤差的敏感度。

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解題方法

一、 系統模型與符碼間干擾（ISI）數學描述

考慮一基頻數位傳輸系統，輸入資料序列為 $\{a_k\}$，符碼間隔為 $T$（符碼率 $R_s = \frac{1}{T}$）。經脈衝整形發射濾波器 $g(t)$、實體通道 $h(t)$ 與接收端濾波器 $c(t)$ 後，系統等效脈衝響應定義為： $p(t) = g(t) * h(t) * c(t)$

接收端在取樣器前的等效連續信號為： $y(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k p(t - kT) + n(t)$ 其中 $n(t)$ 為接收端雜訊。在 $t = mT$ 瞬間進行取樣，取樣輸出為： $y(mT) = a_m p(0) + \sum_{k \neq m} a_k p((m - k)T) + n(mT)$

上式中：

• 第一項 $a_m p(0)$：為第 $m$ 個期望符碼的信號成分。
• 第二項 $\sum_{k \neq m} a_k p((m - k)T)$：即為符碼間干擾（ISI）。
• 第三項 $n(mT)$：為雜訊取樣值。

若要完全免除 ISI，關鍵在於使所有非當前符碼的取樣貢獻完全消失。

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二、 奈奎斯特脈衝整形準則（Nyquist Pulse-Shaping Criterion）

1. 時域條件（Time-Domain Condition）

等效脈衝 $p(t)$ 必須滿足以下正規化條件： $p(nT) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \quad (n \in \mathbb{Z}) \end{cases}$ 即 $p(t)$ 必須在 $t = \pm T, \pm 2T, \pm 3T, \dots$ 等所有非零整數倍符碼週期處具備「零交越點（Zero-crossings）」。

2. 頻域條件（Frequency-Domain Condition）

將時域取樣脈衝序列表示為衝激取樣形式： $p_\delta(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} p(nT) \delta(t - nT) = \delta(t)$ 對兩端取傅立葉轉換（Fourier Transform），並利用頻域捲積與週期延拓性質： $\mathcal{F}\{p_\delta(t)\} = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} P\left(f - \frac{k}{T}\right) = 1$ 整理得奈奎斯特頻域準則： $\sum_{k=-\infty}^{\infty} P\left(f - \frac{k}{T}\right) = T$ 物理意義：脈衝頻譜 $P(f)$ 經由以符碼率 $\frac{1}{T}$ 的整數倍連續位移並疊加後，在所有頻率上必須呈現一水平常數值。

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三、 在有限頻寬（Band-Limited）通道下的運用與實現

在實務通道中，傳輸頻寬受限於帶寬 $B$（即當 $|f| > B$ 時，$P(f) = 0$）。依據通道頻寬大小，運用奈奎斯特準則的方法分為以下層次：

1. 理論極限：理想奈奎斯特濾波器（Ideal Nyquist Filter）

若通道頻寬恰為理論最小頻寬（奈奎斯特頻寬）$B_0 = \frac{1}{2T} = \frac{R_s}{2}$，頻譜 $P(f)$ 必須為嚴格的磚牆式矩形響應（Brick-wall Spectrum）： $P(f) = \begin{cases} T, & |f| \le \frac{1}{2T} \\ 0, & |f| > \frac{1}{2T} \end{cases}$ 對應的時域脈衝為 $\text{sinc}$ 函數： $p(t) = \text{sinc}\left(\frac{t}{T}\right) = \frac{\sin(\pi t / T)}{\pi t / T}$

核心觀念

本題評量行動通信系統中實體層（Physical Layer）多工與多重接取技術的核心架構，主要涵蓋以下定義與原理：

1. SC-FDMA（單載波分頻多重接取）之本質：又稱為 DFT-spread OFDM（DFT-s-OFDM）。本質上是在傳統正交分頻多工（OFDMA）調變架構前，加入一個 $M$ 點的離散傅立葉轉換（Discrete Fourier Transform, DFT）進行預編碼（Precoding / Spreading）。
2. 峰值與均值功率比（PAPR, Peak-to-Average Power Ratio）定義： $\text{PAPR} = \frac{\max_{0 \le t \le T} |s(t)|^2}{P_{\text{avg}}} = \frac{\max_{0 \le t \le T} |s(t)|^2}{\frac{1}{T}\int_0^T |s(t)|^2 \, dt}$
3. 中央極限定理（CLT）與多載波訊號特性：當大量獨立調變的子載波信號在時域同相疊加時，訊號振幅會趨近於複數高斯分佈（包絡呈瑞利分佈 Rayleigh Distribution），導致偶發性的極大峰值功率。
4. 功率放大器（Power Amplifier, PA）線性度與發射端考量：高 PAPR 會迫使功率放大器預留極大的輸入功率回退（Input Back-Off, IBO），造成射頻功率轉換效率嚴重下降，不利於電池供電的行動使用者終端（UE）。

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解題方法

一、SC-FDMA 之傳輸原理與訊號處理流程

SC-FDMA 發射端的處理流程可拆解為六大關鍵步驟：

[調變符號 s_m] 
 ↓
[S/P 串並轉換]
 ↓
[M 點 DFT 預編碼] ──(產生頻域訊號 S_k)
 ↓
[子載波對映 (Subcarrier Mapping)] ──(填入 N 點頻域，其餘補零)
 ↓
[N 點 IDFT 調變] ──(轉換回時域)
 ↓
[加入循環前綴 CP 與 P/S 轉換] ──(送出射頻發射)

1. 符號調變與串並轉換（S/P）： 輸入位元經由星座圖映射（如 QPSK、16QAM、64QAM）形成時域調變符號序列 $\{s_m\}_{m=0}^{M-1}$，經串並轉換匯整為長度為 $M$ 的符號區塊。
2. $M$ 點 DFT 預編碼（頻域展開）： 將時域序列經由 $M$ 點 DFT 轉至頻域，產生頻域信號 $\{S_k\}_{k=0}^{M-1}$： $S_k = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{m=0}^{M-1} s_m e^{-j \frac{2\pi m k}{M}}, \quad k = 0, 1, \dots, M-1$ 此步驟使每一個輸入符號的能量擴散（spread）至全部 $M$ 個頻域取樣點上。
3. 子載波對映（Subcarrier Mapping）： 將 $M$ 個頻域輸出映射至總載波數為 $N$（$N > M$）的可用子載波集合中，未被分配的 $N - M$ 個子載波填入 0（Zero Padding）。常見對映方式包含：

• 集中式（Localized SC-FDMA, LFDMA）：$M$ 個信號佔據一段連續的子載波頻段。
• 分散式 / 梳狀交錯式（Distributed / Interleaved SC-FDMA, IFDMA）：$M$ 個信號以等間隔跨度均勻分散在整體頻寬中。

4. $N$ 點反離散傅立葉轉換（IDFT 調變）： 將擴展後的 $N$ 點頻域向量進行 $N$ 點 IDFT，轉回時域取樣信號： $x_n = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{p=0}^{N-1} \tilde{S}_p e^{j \frac{2\pi p n}{N}}, \quad n = 0, 1, \dots, N-1$
5. 加入循環前綴（Cyclic Prefix, CP）與並串轉換（P/S）： 將信號尾端的取樣複製至開頭以消除多路徑傳播造成的符號間干擾（ISI），並將通道矩陣循環化以利於接收端頻域等化（FDE, Frequency-Domain Equalization）。

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二、為何 SC-FDMA 具備較小 PAPR 之原理解析

1. OFDMA 產生高 PAPR 之機制

在 OFDMA 發射端中，時域調變符號直接映射至各獨立子載波，並直接輸入 $N$ 點 IDFT： $x_{\text{OFDMA}}[n] = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{j \frac{2\pi k n}{N}}$ 時域訊號 $x_{\text{OFDMA}}[n]$ 是 $N$ 個相互獨立的正弦載波之加權疊加。根據中央極限定理（Central Limit Theorem），當載波數 $N$ 甚大時，該時域訊號會收斂為一複數高斯隨機程序（Complex Gaussian Process），其信號包絡 $|x_{\text{OFDMA}}[n]|$ 遵從瑞利分佈。當多個載波相位碰巧同向疊加時，瞬間峰值功率將遠高於平均功率，造成高達 $10\log_{10}(N)$ dB 等級的高 PAPR。

2. SC-FDMA 降低 PAPR 的數學成因：DFT 與 IDFT 之逆運算抵消

在 SC-FDMA 中，發射端先進行 $M$ 點 DFT，再進行 $N$ 點 IDFT。以最典型的交錯式映射（IFDMA，設 $N = Q \times M$，其中 $Q$ 為下取樣/間隔比例因子）為例： 映射規則為 $\tilde{S}_p = S_k$ 當 $p = k \cdot Q$，其餘位置填 0。代入 $N$ 點 IDFT 公式：

核心觀念

本題的核心為數位通訊系統中串接鏈路（Cascaded Links）的位元錯誤率傳遞分析，涉及以下核心觀念與模型：

1. 二元對稱通道（Binary Symmetric Channel, BSC）模型： 在數位調變傳輸中，若中繼節點具備解調與重新調變的再生中繼（Regenerative Repeater）功能，每一段獨立資料鏈（Link）皆可等效為一個錯誤轉移機率為 $p$ 的二元對稱通道。即傳送「0」誤判為「1」的機率為 $p$，傳送「1」誤判為「0」的機率亦為 $p$。
2. 獨立事件與奇偶反轉效應： 各級資料鏈造成的錯誤事件彼此獨立。整體傳輸發生位元錯誤（Error）的充分必要條件為：在傳輸過程中發生了「奇數次」位元反轉；若發生「偶數次」反轉，位元會回復為原始值（即負負得正），不構成整體錯誤。
3. 二項式分布與一般化推導公式： 對於 $N$ 個相同且獨立的 BSC 串接，整體位元錯誤率 $P_{e,N}$ 等於發生奇數次錯誤的機率和，亦可透過二項式展開公式簡化表示： $P_{e,N} = \frac{1 - (1 - 2p)^N}{2}$

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解題方法

一、經過 2 個相同資料鏈之整體位元錯誤率

假設發送端送出某一位元，各鏈路的錯誤事件相互獨立，每段鏈路的錯誤率為 $p$，正確傳輸率為 $1 - p$。

經過 2 個串接資料鏈後，最終接收位元發生錯誤的可能情況為「第一段錯且第二段對」或「第一段對且第二段錯」：

• 第一段錯誤、第二段正確：機率為 $p(1 - p)$
• 第一段正確、第二段錯誤：機率為 $(1 - p)p$

兩者互為互斥事件，因此整體位元錯誤率 $P_{e,2}$ 為： $P_{e,2} = p(1 - p) + (1 - p)p = 2p(1 - p) = 2p - 2p^2$

註：若兩段鏈路皆發生錯誤（機率為 $p^2$），位元被反轉兩次而回到原訊號，結果為正確接收，故不計入錯誤率中。

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二、經過 3 個相同資料鏈之整體位元錯誤率

訊號經過 3 個串接資料鏈後，整體發生錯誤的條件為「剛好 1 段鏈路出錯」或「3 段鏈路皆出錯」：

1. 恰有 1 段鏈路錯誤（其餘 2 段正確）： 可能發生在第 1、第 2 或第 3 段，共有 $\binom{3}{1} = 3$ 種組合，其機率為： $P(1 \text{ 錯 } 2 \text{ 對}) = \binom{3}{1} p^1 (1 - p)^2 = 3p(1 - p)^2$

2. 3 段鏈路全部錯誤： 只有 1 種情況，其機率為： $P(3 \text{ 錯}) = \binom{3}{3} p^3 = p^3$

將上述互斥事件相加，得到 3 個串接鏈路的整體位元錯誤率 $P_{e,3}$： $P_{e,3} = 3p(1 - p)^2 + p^3$

展開化簡： $P_{e,3} = 3p(1 - 2p + p^2) + p^3 = 3p - 6p^2 + 3p^3 + p^3 = 3p - 6p^2 + 4p^3$

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選項分析

本題為非選擇題（計算問答題），無選項。以下針對工程實務與數學特徵進行深度剖析：

核心觀念

本題評量之核心觀念為「多重接取控制（Medium Access Control, MAC）通訊協定」在無線與有線環境之演進與適應性，涵蓋重點包括：

1. IEEE 802.11 分布式協調功能（DCF）之 CSMA/CA 機制：

• 物理載波感測（Clear Channel Assessment, CCA）與虛擬載波感測（Network Allocation Vector, NAV）。
• 訊框間隙（Inter-Frame Space, IFS：SIFS、PIFS、DIFS）之優先權控制。
• 二元指數退避（Binary Exponential Backoff, BEB）隨機計數機制。
• 正向確認機制（Positive Acknowledgment, ACK）與 RTS/CTS 握手程序。

2. IEEE 802.3 之 CSMA/CD 機制：

• 「邊送邊聽（Listen-while-talk）」之即時碰撞偵測。
• 強化碰撞信號（Jamming Signal）廣播與退避時機。

3. 無線傳輸環境之物理限制與設計考量：

• 訊號動態範圍（Dynamic Range）與大尺度衰減（Path Loss）：發射功率遠大於接收功率導致的自我遮蔽效應（Self-masking）。
• 隱藏節點問題（Hidden Terminal Problem）與暴露節點問題（Exposed Terminal Problem）。

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解題方法

本題屬標準的三段式比較論述題，解題結構規劃如下：

1. 第一部分：解析 CSMA/CA 之基本運作原理

• 從載波感測、訊框間隙、隨機退避、到 ACK/握手機制，依序以通訊時序邏輯完整呈現。

2. 第二部分：對比 CSMA/CA 與 CSMA/CD 之主要差異

• 採用結構化條列或對比表，從「載波感測維度」、「碰撞處理哲學」、「確認回饋機制」、「退避啟動時機」四個核心面向精準切入。

3. 第三部分：論證造成設計差異之物理與環境考量

• 直擊問題本質，以「硬體限制（無法邊送邊聽）」與「無線拓撲限制（隱藏節點）」作為核心立論支柱。

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選項分析

本題為公職考試「申論題（非選擇題）」，無選項可供拆解。各子題於閱卷時之給分要件如下：

1. 子題一（CSMA/CA 基本原理）：必須精確提到 DIFS/SIFS 判斷、隨機退避時間、ACK 機制，若能論及 RTS/CTS 與 NAV 虛擬載波感測則可獲滿分。
2. 子題二（與 CSMA/CD 之差異）：須清楚界定「避免（Avoidance）」與「偵測（Detection）」在動作時機、確認信號（ACK）上的根本不同。
3. 子題三（設計考量）：核心給分關鍵為「發射端無法在傳送時同時偵測微弱接收訊號（動態範圍過大）」以及「隱藏節點導致實體監聽失效」。缺少此兩點將面臨大幅扣分。

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解題技巧

1. 口訣記憶法：CSMA/CA 的核心四部曲為「先聽再送（CCA）、忙碌退避（DIFS + Backoff）、握手預約（RTS/CTS/NAV）、收訖確認（ACK）」。
2. 常見陷阱：

• 陷阱一：誤以為 CSMA/CA 可以在傳送過程中中斷傳送。必須牢記：無線節點一旦開始傳送封包，就必須「整包送完」，碰撞無法在傳送途中被發射端自身察覺。
• 陷阱二：忽略 ACK 的必要性。CSMA/CD 沒碰撞即代表成功，因此 MAC 層不需 ACK；CSMA/CA 必須依賴 MAC 層 ACK 確認成功收送。
• 陷阱三：解釋「為何無法碰撞偵測」時僅寫「無線干擾多」。切入點必須精確指出「發射功率與遠端接收功率相差數個數量級（高達 $60\text{ dB} \sim 90\text{ dB}$ 以上），發射訊號會完全淹沒外部碰撞訊號」。

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【答案】

一、IEEE 802.11 WiFi 之 CSMA/CA 通訊協定基本原理

CSMA/CA（載波感測多重接取／碰撞避免）為 IEEE 802.11 無線區域網路在分散式協調功能（DCF）下採用的多重接取機制，其核心哲學為「主動防範碰撞於未然」。其運作架構由以下四大關鍵機制組成：

1. 雙重載波感測（Dual Carrier Sensing）：

• 物理載波感測（Physical Carrier Sensing）：實體層利用空閒通道評估（CCA），量測射頻能量或偵測前導訊號（Preamble），判定通道當下為閒置（Idle）或忙碌（Busy）。
• 虛擬載波感測（Virtual Carrier Sensing）：透過訊框標頭所攜帶的「持續時間（Duration）」欄位，各節點記錄並維護「網路分配向量（Network Allocation Vector, NAV）」。在 NAV 倒數歸零前，即使物理通道無能量，節點亦視為忙碌，不主動發送。