108 高普考高考三級 電信工程 通信與系統 考古題詳解

核心觀念

本題考查通信系統中極為經典的窄帶高斯雜訊（Narrowband Gaussian Noise）之頻域與時域統計特性，涵蓋以下核心觀念：

1. LTI 系統的隨機程序頻譜響應：平穩隨機程序通過線性非時變（LTI）系統時，輸出功率頻譜密度（Power Spectral Density, PSD）滿足 $S_Y(f) = |H(f)|^2 S_X(f)$。
2. 窄帶雜訊之同相／正交（I/Q）分解：中心頻率遠大於頻寬（$f_c \gg B$）的窄帶隨機程序，可表示為同相分量 $n_I(t)$ 與正交分量 $n_Q(t)$ 之線性組合。當 $S_n(f)$ 關於 $\pm f_c$ 呈對稱分布時，$n_I(t)$ 與 $n_Q(t)$ 具有相同的低通功率頻譜密度，且在同一取樣時刻互為獨立的零均值高斯隨機變數。
3. 二維隨機變數變換（Jacobian Transformation）：直角座標系統下的聯合高斯隨機變數 $(N_I, N_Q)$ 轉換至極座標系統 $(R, \Phi)$ 時，包絡（Envelope）服從瑞立分布（Rayleigh distribution），相位（Phase）服從 $[-\pi, \pi)$ 或 $[0, 2\pi)$ 上的均勻分布（Uniform distribution）。

解題方法

（一）求 $n(t)$ 之功率頻譜密度 $S_n(f)$

輸入為零均值、功率頻譜密度為 $S_w(f) = \frac{N_0}{2}$ 之白色高斯雜訊（AWGN）。 理想帶通濾波器（BPF）中心頻率為 $f_c$、帶寬為 $2B$、振幅響應為 $1$，故其轉移函數之振幅平方為：

濾波器輸出雜訊 $n(t)$ 之功率頻譜密度 $S_n(f)$ 為輸入雜訊頻譜經系統濾波之結果：

將 $|H(f)|^2$ 代入得：

亦可等價表示為：

（二）求 $n_I(t)$ 及 $n_Q(t)$ 之功率頻譜密度 $S_{n_I}(f)$ 及 $S_{n_Q}(f)$

根據窄帶雜訊理論，當帶通雜訊 $n(t)$ 之功率頻譜密度 $S_n(f)$ 關於中心頻率 $\pm f_c$ 呈局部偶對稱（Symmetric）時，同相分量 $n_I(t)$ 與正交分量 $n_Q(t)$ 均為低通隨機程序，且其功率頻譜密度滿足：

在基頻區間 $|f| \le B$ 內：

• $S_n(f - f_c)$ 為將正頻率通帶向左平移 $f_c$ 之分量，其值為 $\frac{N_0}{2}$。
• $S_n(f + f_c)$ 為將負頻率通帶向右平移 $f_c$ 之分量，其值為 $\frac{N_0}{2}$。

兩者在 $|f| \le B$ 範圍內重疊疊加：

在 $|f| > B$ 時，兩項皆為 $0$。故得：

（三）求 $r(t)$ 及 $\phi(t)$ 取樣值之機率密度函數 $f_R(r)$ 及 $f_{\Phi}(\phi)$

步驟 1：確定取樣點 $n_I$ 與 $n_Q$ 之聯合機率密度函數

由於 $n(t)$ 為零均值高斯程序，$n_I(t)$ 與 $n_Q(t)$ 亦為零均值高斯程序。 計算其變異數（平均功率）$\sigma^2$：

同理，$E[n_Q^2(t)] = \sigma^2 = 2N_0 B$。

又因 $S_n(f)$ 關於 $f_c$ 對稱，同相與正交分量的互相關為零：

對高斯隨機變數而言，「不相關」等價於「統計獨立」。令特定時間點之取樣值為隨機變數 $N_I$ 與 $N_Q$，其邊際分布分別為 $N_I \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ 與 $N_Q \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$，二者之聯合機率密度函數為：

步驟 2：利用二維隨機變數變換求聯合機率密度函數 $f_{R, \Phi}(r, \phi)$

變數變換關係式為直角座標轉極座標：

其中定義域為 $r \ge 0$、$-\pi \le \phi < \pi$。 計算此轉換之雅可比行列式（Jacobian）：

核心觀念

本題的核心在於帶通訊號（Bandpass Signal）之同相與正交表示式（In-phase and Quadrature Representation，亦稱正交基底表示法或 Canonical Representation），以及各大類線性類比調變（Linear Analog Modulation）在該架構下的數學特徵與產生架構。

任意帶通訊號 $s(t)$ 均可嚴格展開為： $s(t) = s_I(t)\cos(2\pi f_c t) - s_Q(t)\sin(2\pi f_c t)$ 其中：

• $s_I(t)$ 為同相成分（In-phase Component），代表與載波同相位的基頻包絡分量。
• $s_Q(t)$ 為正交成分（Quadrature Component），代表與載波相差 $90^\circ$ 的基頻包絡分量。
• $f_c$ 為載波頻率（Carrier Frequency）。

各種線性調變本質上是透過不同的頻譜整形（濾波）或相位控制，使得 $s_I(t)$ 與 $s_Q(t)$ 呈現不同的代數與轉換關係。

解題方法

（一）各調變方式之 $s_I(t)$、$s_Q(t)$ 表示式及兩者關係

設基頻訊號為 $m(t)$，載波訊號為 $c(t) = A_c\cos(2\pi f_c t)$。

1. 振幅調變（Amplitude Modulation, AM / DSB-LC）

標準 AM 訊號（全載波雙邊帶）在時域之表示式為： $s_{\text{AM}}(t) = A_c [1 + k_a m(t)] \cos(2\pi f_c t)$ （其中 $k_a$ 為振幅靈敏度；或寫為 $[A_c + m(t)]\cos(2\pi f_c t)$）

對照標準正交展開式 $s(t) = s_I(t)\cos(2\pi f_c t) - s_Q(t)\sin(2\pi f_c t)$：

• 同相成分： $s_I(t) = A_c [1 + k_a m(t)]$
• 正交成分： $s_Q(t) = 0$
• 兩者關係： AM 調變不具備正交成分（$s_Q(t) = 0$），同相成分包含直流偏壓載波與基頻訊號。

2. 雙邊帶調變（Double-Sideband Suppressed Carrier, DSB / DSB-SC）

DSB 訊號係將基頻訊號直接與載波相乘（抑制載波）： $s_{\text{DSB}}(t) = A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)$

對照標準正交展開式：

• 同相成分： $s_I(t) = A_c m(t)$
• 正交成分： $s_Q(t) = 0$
• 兩者關係： DSB 調變同樣不存在正交成分（$s_Q(t) = 0$），同相成分與基頻訊號 $m(t)$ 成純粹的線性正比關係。

3. 單邊帶調變（Single-Sideband Modulation, SSB）

利用頻域截除一個邊帶，在時域可由希爾伯特轉換（Hilbert Transform） $\hat{m}(t) = \mathcal{H}\{m(t)\} = m(t) * \frac{1}{\pi t}$ 表示：

• 上邊帶（USSB）： $s_{\text{USSB}}(t) = \frac{1}{2} A_c m(t) \cos(2\pi f_c t) - \frac{1}{2} A_c \hat{m}(t) \sin(2\pi f_c t)$
• 下邊帶（LSSB）： $s_{\text{LSSB}}(t) = \frac{1}{2} A_c m(t) \cos(2\pi f_c t) + \frac{1}{2} A_c \hat{m}(t) \sin(2\pi f_c t)$

統整為： $s_{\text{SSB}}(t) = \frac{1}{2} A_c m(t) \cos(2\pi f_c t) \mp \frac{1}{2} A_c \hat{m}(t) \sin(2\pi f_c t) \quad \text{（$-$ 表 USSB，$+$ 表 LSSB）}$

對照標準正交展開式：

• 同相成分： $s_I(t) = \frac{1}{2} A_c m(t)$
• 正交成分： $s_Q(t) = \pm \frac{1}{2} A_c \hat{m}(t) \quad \text{（$+$ 表 USSB，$-$ 表 LSSB）}$
• 兩者關係： $s_Q(t) = \pm \hat{s}_I(t) = \pm \mathcal{H}\{s_I(t)\}$ 正交成分 $s_Q(t)$ 與同相成分 $s_I(t)$ 互為希爾伯特轉換（即頻域上所有正頻率相移 $-90^\circ$、負頻率相移 $+90^\circ$）。

4. 殘邊帶調變（Vestigial Sideband Modulation, VSB）

VSB 訊號通常由 DSB 訊號通過一個非對稱之帶通濾波器 $H(f)$ 產生。將其分解至低通等效模型： $s_{\text{VSB}}(t) = \frac{1}{2} A_c m(t) \cos(2\pi f_c t) \mp \frac{1}{2} A_c m_Q(t) \sin(2\pi f_c t)$

對照標準正交展開式：

• 同相成分： $s_I(t) = \frac{1}{2} A_c m(t)$ （此處假設帶通濾波器滿足同相無失真傳輸條件：於 $|f| \le W$ 範圍內，滿足 $H(f-f_c) + H(f+f_c) = 1$）。
• 正交成分： $s_Q(t) = \pm \frac{1}{2} A_c m_Q(t) = \pm \frac{1}{2} A_c [m(t) * h_Q(t)]$ 其中 $h_Q(t)$ 為正交濾波器之脈衝響應，其頻率響應定義為： $H_Q(f) = j \left[ H(f+f_c) - H(f-f_c) \right]$
• 兩者關係： $s_Q(t)$ 為 $s_I(t)$ 通過等效濾波器 $h_Q(t)$ 所得之輸出。
• 當 $H(f)$ 的過渡帶縮減為零（理想階梯截止）時，$H_Q(f) = \text{sgn}(f) \cdot j$，此時 $h_Q(t)$ 退化為理想希爾伯特轉換器，$s_Q(t) \to \pm \hat{s}_I(t)$，VSB 退化為 SSB。
• 當濾波器在 $f_c$ 兩側完全對稱無截斷時，$H(f+f_c) = H(f-f_c)$，則 $H_Q(f) = 0 \implies s_Q(t) = 0$，VSB 退化為 DSB。
• 因此，VSB 的 $s_Q(t)$ 是介於 DSB（零）與 SSB（純希爾伯特轉換）之間的過渡狀態。

（二）殘邊帶調變系統之方塊圖

殘邊帶調變在實務上最標準、普遍的產生架構為帶通濾波法（Bandpass Filter Method）；亦可根據小題（一）的正交分解以正交合成法（Phase-Shift / Quadrature Method）​實現。作答時以工程上最廣泛採用的「帶通濾波法」為主架構，並輔以頻譜響應與正交合成法說明。

1. 帶通濾波法（標準架構）

訊號先經乘法器與載波調變為 DSB-SC 訊號，再通過特定頻譜塑型的 VSB 帶通濾波器 $H(f)$ 濾除絕大部分非所需邊帶，僅保留少部分殘留邊帶：

 m(t) 基頻訊號
───────┐
 │
 ▼
 ┌─────┐ s_DSB(t) ┌───────────────┐ s_VSB(t)
 │ X │───────────────>│ VSB 帶通濾波器 │─────────>
 └─────┘ │ H(f) │
 ▲ └───────────────┘
 │
 Ac cos(2π fc t) 載波

濾波器 $H(f)$ 的傳輸特性要求： 為確保接收端相干解調（Coherent Demodulation）時基頻訊號不失真，VSB 濾波器在載波頻率 $f_c$ 兩側必須滿足奇對稱互補條件： $H(f - f_c) + H(f + f_c) = 1, \quad \forall |f| \le W$

2. 正交合成法（對應正交表示式之架構）

若嚴格對應小題（一）中 $s(t) = s_I(t)\cos(2\pi f_c t) - s_Q(t)\sin(2\pi f_c t)$ 之數學形式，其硬體實現方塊圖如下：

核心觀念

1. 循環平穩（Cyclostationary）與隨機延遲（Random Delay）之寬平穩化（WSS）： 基頻脈波振幅調變（PAM）訊號 $\sum_k a_k p(t-kT)$ 本質上為循環平穩程序（其統計特性隨時間以 $T$ 為週期呈現週期性變化）。引入在 $\left(-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right)$ 均勻分布的隨機相位（時延）$\Delta$，可消除時間相依性，使其轉化為寬平穩（Wide-Sense Stationary, WSS）隨機程序，滿足 $E[X(t+\tau)X(t)] = R_X(\tau)$。
2. 無窮級數積分拼接： 在求解對時延 $\Delta$ 的期望值時，利用變數變換將離散時間平移區間拼接為全實數軸 $(-\infty, \infty)$ 上的連續積分。
3. 維納－辛欽定理（Wiener-Khinchin Theorem）： 寬平穩隨機程序之功率頻譜密度（PSD）為其自相關函數之傅立葉轉換（Fourier Transform）： $S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty} R_X(\tau) e^{-j 2\pi f \tau} \, d\tau$
4. 數位調變訊號頻譜公式： 隨機序列驅動之脈波波形其頻譜結構由兩者相乘決定：

• 脈波波形之能量頻譜密度 $|P(f)|^2$。
• 符元序列之離散時間自相關轉換（符元相關頻譜）$\sum_m R_m e^{-j 2\pi f m T}$。

5. 曼徹斯特碼（Manchester Code）： 又稱分相碼（Split-Phase Code），在一個符元週期內具有正負半週電位交替的特性，此結構確保波形平均值為 $0$（無直流分量，DC null），具備良好的自我同步（Self-synchronization）能力。

解題方法

（一）證明 $R_X(\tau) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} R_m r(\tau-mT)$

隨機程序 $X(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k p(t-kT-\Delta)$ 包含兩個獨立的隨機來源：符元強度序列 $\{a_k\}$ 與均勻隨機時延 $\Delta$。 $\Delta$ 之機率密度函數（PDF）為： $f_\Delta(\delta) = \begin{cases} \frac{1}{T}, & -\frac{T}{2} < \delta < \frac{T}{2} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

計算自相關函數 $R_X(t+\tau, t) = E[X(t+\tau)X(t)]$： $R_X(t+\tau, t) = E\left[ \left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k p(t+\tau-kT-\Delta)\right) \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n p(t-nT-\Delta)\right) \right]$ $R_X(t+\tau, t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} E_{\{a_k\}}[a_k a_n] \cdot E_\Delta[p(t+\tau-kT-\Delta) p(t-nT-\Delta)]$

令符元索引差 $m = k - n \implies k = n + m$。根據平穩序列假設，定義 $R_m = E[a_{n+m} a_n] = E[a_k a_{k+m}]$，上式改寫為： $R_X(t+\tau, t) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} R_m \sum_{n=-\infty}^{\infty} E_\Delta[p(t+\tau-(n+m)T-\Delta) p(t-nT-\Delta)]$

展開對 $\Delta$ 的期望值積分： $E_\Delta[p(t+\tau-(n+m)T-\Delta) p(t-nT-\Delta)] = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} p(t+\tau-(n+m)T-\delta) p(t-nT-\delta) \, d\delta$

進行變數變換：令 $u = t - nT - \delta$，則 $d\delta = -du$。 當 $\delta = -\frac{T}{2}$ 時，$u = t - nT + \frac{T}{2}$；當 $\delta = \frac{T}{2}$ 時，$u = t - nT - \frac{T}{2}$。積分轉為： $\frac{1}{T} \int_{t-nT-\frac{T}{2}}^{t-nT+\frac{T}{2}} p(u+\tau-mT) p(u) \, du$

將所有 $n \in (-\infty, \infty)$ 進行級數加總： $\sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{t-nT-\frac{T}{2}}^{t-nT+\frac{T}{2}} p(u+\tau-mT) p(u) \, du = \int_{-\infty}^{\infty} p(u+\tau-mT) p(u) \, du$ 此積分區間無縫覆蓋了整個實數軸 $(-\infty, \infty)$，且運算結果完全獨立於絕對時間 $t$。

因此，$X(t)$ 為寬平穩程序，其自相關函數可表示為： $R_X(\tau) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} R_m \left[ \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} p(u+\tau-mT) p(u) \, du \right]$

定義脈波之時間相關函數為： $r(\tau) = \frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty} p(t+\tau)p(t)\,dt$ 代入即得證： $R_X(\tau) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} R_m r(\tau-mT)$

（二）求 $X(t)$ 之功率頻譜密度 $S_X(f)$

根據維納－辛欽定理，功率頻譜密度 $S_X(f)$ 為自相關函數 $R_X(\tau)$ 的傅立葉轉換： $S_X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} R_X(\tau) e^{-j 2\pi f \tau} \, d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \sum_{m=-\infty}^{\infty} R_m r(\tau-mT) \right] e^{-j 2\pi f \tau} \, d\tau$

交換積分與加總順序： $S_X(f) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} R_m \int_{-\infty}^{\infty} r(\tau-mT) e^{-j 2\pi f \tau} \, d\tau$

利用傅立葉轉換之時移性質 $\mathcal{F}\{r(\tau - mT)\} = R_p(f) e^{-j 2\pi f m T}$，其中 $R_p(f) = \mathcal{F}\{r(\tau)\}$。 由 $r(\tau)$ 之定義： $r(\tau) = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} p(t+\tau) p(t) \, dt = \frac{1}{T} [p(\tau) * p(-\tau)]$ 對其取傅立葉轉換： $R_p(f) = \mathcal{F}\{r(\tau)\} = \frac{1}{T} P(f) P^*(f) = \frac{1}{T} |P(f)|^2$ 其中 $P(f) = \mathcal{F}\{p(t)\}$。

將其代回 $S_X(f)$： $S_X(f) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} R_m \left[ \frac{1}{T} |P(f)|^2 e^{-j 2\pi f m T} \right]$ 提取公因式 $\frac{1}{T} |P(f)|^2$： $S_X(f) = \frac{1}{T} |P(f)|^2 \sum_{m=-\infty}^{\infty} R_m e^{-j 2\pi f m T}$

核心觀念

接收器先將訊號乘上基底函數 $\phi(t)$，再於一個位元期間積分，這是相關器（correlator）接收。在白色高斯雜訊通道中，雜訊通過此相關器後仍為高斯隨機變數，其平均值為零，變異數由雜訊雙邊功率頻譜密度及基底函數能量決定。

依題目所給的標準載波正交化假設，$\phi(t)$ 為單位能量基底，因此 $\int_0^{T_b}\phi^2(t)\,dt=1$。

解題方法

（一）求 $n$ 的統計量

由 $w(t)$ 的平均值為零，

雙邊功率頻譜密度為 $N_0/2$ 的白色高斯雜訊，通過基底函數投影後，變異數為

因此 $n$ 服從平均值為 $0$、變異數為 $N_0/2$ 的高斯分布，其機率密度函數為

（二）求位元錯誤率

由題目所給訊號與基底函數的關係，

相關器輸出為

核心觀念

本題考查線性方塊碼（Linear Block Code, LBC）​之系統碼（Systematic Code）結構、編解碼器硬體實現及徵狀解碼（Syndrome Decoding）原理：

1. 系統碼生成矩陣與查核矩陣關係： 對於 $(n, k)$ 系統線性方塊碼，若生成矩陣形式為 $G = [P \mid I_k]$（其中 $P$ 為 $k \times (n-k)$ 的同位檢查矩陣，$I_k$ 為 $k \times k$ 單位矩陣），其對應的查核矩陣（Parity-Check Matrix）$H$ 滿足 $G H^T = \mathbf{0} \pmod 2$，標準形式為： $H = [I_{n-k} \mid P^T]$ 其中 $I_{n-k}$ 為 $(n-k) \times (n-k)$ 單位矩陣，$P^T$ 為 $(n-k) \times k$ 轉置矩陣。

2. 碼字生成與編碼方程式： 設訊息向量為 $\mathbf{m} = [m_1, m_2, \dots, m_k]$，碼字向量為 $\mathbf{c} = [c_1, c_2, \dots, c_n]$，由 $\mathbf{c} = \mathbf{m} G$ 可得各輸出位元之模二加法（XOR）布林表示式。

3. 最小距離 $d_{\min}$ 與更正能力 $t$：

• 線性碼的最小距離 $d_{\min}$ 等於所有非零碼字的最小漢明重量（Minimum Hamming Weight）$w_{\min}$；亦等於查核矩陣 $H$ 中滿足「線性相依（模二相加為零）」的最少行向量（column vectors）數量。
• 隨機錯誤更正能力（Random Error-Correcting Capability）為： $t = \left\lfloor \frac{d_{\min} - 1}{2} \right\rfloor$

4. 徵狀解碼原理： 設接收向量為 $\mathbf{r} = \mathbf{c} \oplus \mathbf{e}$，其中 $\mathbf{e}$ 為誤差串列（Error Pattern）。徵狀向量（Syndrome）定義為： $\mathbf{s} = \mathbf{r} H^T = (\mathbf{c} \oplus \mathbf{e}) H^T = \mathbf{e} H^T$ 若只發生單一位元錯誤（$\mathbf{e}$ 僅在第 $i$ 個位置為 $1$），則 $\mathbf{s}^T$ 恰對應到 $H$ 的第 $i$ 個行向量。利用徵狀辨識出誤差位置後，執行模二加法更正：$\hat{\mathbf{c}} = \mathbf{r} \oplus \hat{\mathbf{e}}$。

解題方法

（一）繪製編碼器之電路圖

1. 參數確認： 本題為 $(n, k) = (7, 4)$ 線性方塊碼，訊息長度 $k = 4$，同位檢查碼元數 $n - k = 3$。 設輸入訊息向量為 $\mathbf{m} = [m_1, m_2, m_3, m_4]$，編碼輸出為 $\mathbf{c} = [c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, c_6, c_7]$。

2. 推導編碼布林方程式： 由 $\mathbf{c} = \mathbf{m} G$：