109 高普考高考三級 電信工程 通信與系統 考古題詳解

109 年・高普考・高考三級・電信工程
試題代碼 通信與系統

第 一 題20 分

隨機程序 X(t)=Acos⁡(2πfct+Θ)X(t)=A\cos(2\pi f_ct+\Theta)，其中 AA 和 fcf_c 為大於零的常數，Θ\Theta 為在區間 (0,2π)(0,2\pi) 上均勻分布的隨機變數。

（一）X(t)X(t) 是否為廣義平穩（wide-sense stationary, WSS）的隨機程序？（10 分）

（二）寫出 X(t)X(t) 的功率頻譜密度（power spectral density），並計算 X(t)X(t) 的均方值 E[X2(t)]E[X^2(t)]。（10 分）

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核心觀念

廣義平穩（WSS）隨機程序須同時滿足：

  1. 均值 mX(t)=E[X(t)]m_X(t)=E[X(t)] 為常數。
  2. 自相關函數 RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]R_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)] 只與時間差 τ=t2−t1\tau=t_2-t_1 有關。

本題的相位 Θ\Theta 在 (0,2π)(0,2\pi) 上均勻分布，因此可用相位平均計算均值與自相關。功率頻譜密度（PSD）則是自相關函數的傅立葉轉換。

解題方法

（一）判斷是否為 WSS

令 ωc=2πfc\omega_c=2\pi f_c。均值為

mX(t)=E[Acos⁡(ωct+Θ)]=A2π∫02πcos⁡(ωct+θ) dθ=0.m_X(t)=E[A\cos(\omega_ct+\Theta)] =\frac{A}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos(\omega_ct+\theta)\,d\theta=0.

均值與 tt 無關。

再計算自相關：

RX(t1,t2)=E[A2cos⁡(ωct1+Θ)cos⁡(ωct2+Θ)]=A22cos⁡(ωc(t2−t1)).\begin{aligned} R_X(t_1,t_2) &=E[A^2\cos(\omega_ct_1+\Theta)\cos(\omega_ct_2+\Theta)]\\ &=\frac{A^2}{2}\cos\bigl(\omega_c(t_2-t_1)\bigr). \end{aligned}

此處使用 cos⁡ucos⁡v=12[cos⁡(u−v)+cos⁡(u+v)]\cos u\cos v=\frac12[\cos(u-v)+\cos(u+v)]；對均勻相位取平均後，含 2Θ2\Theta 的項平均為零。令 τ=t2−t1\tau=t_2-t_1，則

RX(τ)=A22cos⁡(2πfcτ),R_X(\tau)=\frac{A^2}{2}\cos(2\pi f_c\tau),
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第 二 題20 分

有一調頻（FM）信號

s(t)=4cos⁡[2πfct+8sin⁡(2πfmt)]s(t)=4\cos\left[2\pi f_ct+8\sin(2\pi f_mt)\right]

其中載波頻率 fc=100 MHzf_c=100\ \mathrm{MHz}，原始訊息頻率 fm=10 kHzf_m=10\ \mathrm{kHz}。利用卡森規則（Carson’s rule）估算傳輸頻寬。（20 分）

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核心觀念

本題考查單音調頻（FM）訊號的頻率偏移與卡森規則。卡森規則估算 FM 訊號傳輸頻寬：

BT≈2(Δf+fm)B_T \approx 2(\Delta f+f_m)

其中 Δf\Delta f 是峰值頻率偏移，fmf_m 是調變訊息頻率。對 FM 訊號

s(t)=Accos⁡[2πfct+βsin⁡(2πfmt)]s(t)=A_c\cos\left[2\pi f_ct+\beta\sin(2\pi f_mt)\right]

調變指數為 β=Δf/fm\beta=\Delta f/f_m。

解題方法

將題目訊號與標準單音 FM 形式比較，可得調變指數 β=8\beta=8。因此峰值頻率偏移為

Δf=βfm=8(10 kHz)=80 kHz\Delta f=\beta f_m =8(10\ \mathrm{kHz}) =80\ \mathrm{kHz}

代入卡森規則：

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第 三 題15 分

某二元系統使用曼徹斯特碼（Manchester code）傳送 1 及 0，波形分別定義如下：

s1(t)={1,0<t<Tb/2,−1,Tb/2<t<Tb,s_1(t)= \begin{cases} 1, & 0<t<T_b/2,\\ -1, & T_b/2<t<T_b, \end{cases} s0(t)={−1,0<t<Tb/2,1,Tb/2<t<Tb,s_0(t)= \begin{cases} -1, & 0<t<T_b/2,\\ 1, & T_b/2<t<T_b, \end{cases}

其中 TbT_b 代表位元期間（bit duration）。接收器使用匹配濾波器（matched filter）檢測訊號。假設發射端送出 1 及 0 之機會均等。

（一）與單極不歸零（unipolar NRZ）、雙極不歸零（bipolar NRZ）、單極歸零（unipolar RZ）、雙極歸零（bipolar RZ）等波形相比，曼徹斯特碼有哪些優點？（7 分）

（二）假設訊號源送出 s1(t)s_1(t)，畫出匹配濾波器的脈衝響應以及輸出波形。（8 分）

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核心觀念

曼徹斯特碼（Manchester code）是自同步碼：每個位元的中央都有一次轉換。題目所定義的兩個訊號互為反相，且每個位元期間內正、負電平各維持半個位元時間，因此平均值為零。

匹配濾波器在取樣時刻 TbT_b 使訊號能量最大，其脈衝響應為傳送訊號的時間反轉並延遲至取樣時刻：

h(t)=s1(Tb−t),0≤t≤Tb.h(t)=s_1(T_b-t),\qquad 0\le t\le T_b.

（一）曼徹斯特碼的優點

相較於題目所列的 NRZ 與 RZ 波形，曼徹斯特碼的主要優點如下：

  1. 容易恢復時脈：每個位元中央必有轉換，即使連續傳送相同位元，也能提供定時資訊，有助於接收端位元同步。
  2. 無直流分量：每個位元內正、負電平各占半個位元時間，單一位元的波形面積為零；對等機率傳送 1 與 0 時，平均值也為零。
  3. 不易累積基線漂移：直流分量較少，適合不易傳送直流的通道，也能減少基線漂移造成的判決問題。
  4. 具有位元邊界資訊：位元中央的轉換提供主要時脈資訊；相鄰位元交界處是否轉換，則視相鄰位元而定。
  5. 訊號狀態較容易判讀：每個位元的前半與後半電平相反，可由轉換方向判定位元值。

代價是每個位元至少包含一次轉換，通常需要比 NRZ 更大的頻寬；因此曼徹斯特碼以頻寬效率換取同步與直流特性上的優點。

（二）匹配濾波器脈衝響應與輸出波形

解題方法

以 s1(t)s_1(t) 為接收訊號，匹配濾波器在 TbT_b 取樣時刻的脈衝響應為時間反轉後延遲 TbT_b。由於 s1(t)s_1(t) 前半段為 +1+1、後半段為 −1-1，時間反轉後兩段位置互換：

h(t)=s1(Tb−t)={−1,0<t<Tb/2,1,Tb/2<t<Tb,0,其他.h(t)=s_1(T_b-t) = \begin{cases} -1, & 0<t<T_b/2,\\ 1, & T_b/2<t<T_b,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

因此，h(t)h(t) 在 0<t<Tb/20<t<T_b/2 為 −1-1，在 Tb/2<t<TbT_b/2<t<T_b 為 +1+1，其餘時間為零。這個脈衝響應的形狀恰與題目定義的 s0(t)s_0(t) 相同。

輸出波形

令濾波器輸出為 y(t)y(t)，則

y(t)=s1(t)∗h(t).y(t)=s_1(t)*h(t).

由於 h(t)=s1(Tb−t)h(t)=s_1(T_b-t)，輸出等於訊號與其時間反轉版本的相關函數。對 0≤t≤Tb0\le t\le T_b，兩者重疊長度逐漸增加；

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第 四 題15 分

回答以下有關二元相位鍵移（binary phase-shift keying, BPSK）調變系統中，差分編碼（differential encoding）技術的問題。

（一）解釋差分二元相位鍵移（DBPSK）調變技術的運作方式，並說明差分技術主要是用來克服何種問題。（8 分）

（二）與同調（coherent）BPSK 相比，請列舉 DBPSK 的優點及缺點。（7 分）

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核心觀念

這題在考 差分編碼如何避開接收端載波相位參考的需求。相干式 BPSK 必須知道接收載波的絕對相位，才能判斷訊號代表 00 或 11；DBPSK 則把資訊編在相鄰符元的相位變化上，接收端比較前後符元即可解碼。

解題方法

以二元資料 bk∈{0,1}b_k\in\{0,1\} 表示第 kk 個位元，常見的差分編碼規則為

dk=dk−1⊕bk,d_k=d_{k-1}\oplus b_k,

其中 ⊕\oplus 是互斥或運算，dkd_k 是差分編碼後的位元。也就是：

  • bk=0b_k=0：dk=dk−1d_k=d_{k-1}，本符元與前一符元同相。
  • bk=1b_k=1：dk≠dk−1d_k\ne d_{k-1}，本符元與前一符元相差 180∘180^\circ。

令 BPSK 的符元相位為 ϕk=πdk\phi_k=\pi d_k，則傳送訊號可寫成

sk(t)=2EbTbcos⁡(2πfct+ϕk),0≤t<Tb.s_k(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T_b}}\cos(2\pi f_ct+\phi_k), \qquad 0\le t<T_b.

因此，資料位元由相鄰符元的相位差表示：

ϕk−ϕk−1={0,bk=0,π,bk=1.\phi_k-\phi_{k-1}= \begin{cases} 0, & b_k=0,\\ \pi, & b_k=1. \end{cases}

接收端將目前符元與前一符元做延遲比較或乘積檢波，根據相位差判定位元。差分技術主要用來克服接收載波相位不確定或載波相位突然反轉所造成的絕對相位判決錯誤，因此不需要精確恢復絕對載波相位。

與同調 BPSK 相比的優缺點

優點

  1. 接收機較簡單：不必建立精確的載波相位同步，可採差分檢波，降低載波恢復與同步電路的需求。
  2. 不受固定相位偏移影響：若通道造成每個符元相同的相位偏移，相鄰符元相減後偏移會抵消，仍可依相位差判決。
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第 五 題15 分

一個 (2,1,3)(2,1,3) 迴旋碼（convolutional code）的生成多項式（generator polynomial）為

g(1)(D)=1+D+D3，g^{(1)}(D)=1+D+D^3， g(2)(D)=1+D+D2+D3。g^{(2)}(D)=1+D+D^2+D^3。

輸入資料 u=(11001)\mathbf{u}=(11001)。寫出輸出資料以及暫存器的狀態變化。（15 分）

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核心觀念

(2,1,3)(2,1,3) 迴旋碼表示每輸入 11 個位元，產生 22 個輸出位元；編碼器有 33 個記憶單元。生成多項式的係數指出輸入位元與延遲位元如何模 22 相加，其中加法就是 XOR。

令輸入位元為 utu_t，暫存器內容依序記為 (s1,s2,s3)(s_1,s_2,s_3)，並約定 s1s_1 儲存前一個輸入、s2s_2 儲存前兩個輸入、s3s_3 儲存前三個輸入。每一步輸出為

vt(1)=ut⊕s1⊕s3,vt(2)=ut⊕s1⊕s2⊕s3.v_t^{(1)}=u_t\oplus s_1\oplus s_3, \qquad v_t^{(2)}=u_t\oplus s_1\oplus s_2\oplus s_3.

輸入後，暫存器更新為

(s1,s2,s3)←(ut,s1,s2).(s_1,s_2,s_3)\leftarrow(u_t,s_1,s_2).

解題方法

假設編碼前暫存器為全零狀態 (0,0,0)(0,0,0)，並依輸入 1100111001 逐位運算。每一列先用該步輸入與「更新前」的暫存器計算輸出，再將暫存器更新。

時刻 tt輸入 utu_t更新前狀態 (s1,s2,s3)(s_1,s_2,s_3)輸出 (vt(1),vt(2))(v_t^{(1)},v_t^{(2)})更新後狀態
11(0,0,0)(0,0,0)(1,1)(1,1)(1,0,0)(1,0,0)
21(1,0,0)(1,0,0)(0,0)(0,0)(1,1,0)(1,1,0)
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第 六 題15 分

IP 封包是網際網路協定（internet protocol, IP）在傳送資料的基本單位，主要是由 IP 表頭（header）及 IP 承載資料（payload）組成。

列出 IP 表頭中通常帶有哪些重要資訊，並說明這些資訊的功能。（15 分）

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核心觀念

IP 封包由 IP 表頭與承載資料組成。表頭提供網路層轉送、封包長度判讀、分段重組及上層協定辨識所需資訊；路由器主要依目的 IP 位址轉送封包。

以下以常見的 IPv4 表頭說明。IPv4 表頭最短為 20 位元組，含選項時最長為 60 位元組。

解題方法

依功能將表頭欄位整理為四類：封包格式與長度、服務品質、分段與生命週期、轉送與錯誤檢查。作答時列出欄位名稱並說明用途，即可完整呈現表頭各項重要資訊。

IPv4 表頭欄位與功能

欄位功能
版本（Version）指明 IP 協定版本；IPv4 的值為 4，使接收端依相應格式解析表頭。
表頭長度（IHL, Internet Header Length）表示 IPv4 表頭長度，以 32 位元字組為單位。最小值 5，代表 5×4=205 \times 4 = 20 位元組；最大值 15，代表 60 位元組。
服務類型（ToS／DSCP、ECN）提供封包服務品質及壅塞通知資訊。DSCP 可供網路進行差異化處理；ECN 用於壅塞通知。早期欄位名稱為 ToS。
總長度（Total Length）表示整個 IPv4 封包的長度，包含表頭與承載資料，單位為位元組；最大值為 216−1=65,5352^{16}-1=65{,}535 位元組。
識別碼（Identification）為封包分段提供識別資訊，使目的端能辨認哪些分段屬於同一個原始封包。
旗標（Flags）控制或標示分段情形。包含保留位元、禁止分段（DF）及尚有後續分段（MF）等資訊。
分段位移（Fragment Offset）表示此分段在原始承載資料中的位置，以 8 位元組為單位；目的端據此重組分段。
存活時間（TTL, Time To Live）每經過一個路由器通常減 1；
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