108 高普考高考三級 電子工程 電磁學 考古題詳解

核心觀念

本題為靜電學最經典的「均勻帶電球體」模型，主要測驗以下三個核心定理與觀念：

1. 馬克士威第一方程式（微分型高斯定律）： 在自由空間（各向同性均勻介質，$\vec{D} = \epsilon_0\vec{E}$）中： $\nabla \cdot \vec{D} = \rho_v \implies \rho_v = \epsilon_0(\nabla \cdot \vec{E})$ 在球對稱座標系統下，電場僅具有徑向分量 $\vec{E} = E_R(R)\vec{a}_R$，其散度展開式為： $\nabla \cdot \vec{E} = \frac{1}{R^2}\frac{\partial}{\partial R}\left(R^2 E_R\right)$
2. 靜電位與電場的關係： 電位差定義為電場沿路徑的線積分負值： $V(R) - V(R_{\text{ref}}) = -\int_{R_{\text{ref}}}^R \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\int_{R_{\text{ref}}}^R E_R \, dR$ 對於局限於有限空間的電荷分布，通常選取無窮遠處為電位參考零點，即 $V(\infty) = 0$。此外，電位函數 $V(R)$ 在空間中任何邊界處（無雙層面電荷之情況下）必須保持連續。
3. 靜電場能量（Electrostatic Energy）： 計算靜電場儲存之總能量主要有兩種等價路徑：

• 全空間電場能量密度體積分： $W_e = \frac{1}{2}\int_{\text{全空間}} \epsilon_0 |\vec{E}|^2 \, dv = \frac{1}{2}\epsilon_0 \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \int_0^\infty E_R^2 \left(R^2\sin\theta \, dR \, d\theta \, d\phi\right) = 2\pi\epsilon_0 \int_0^\infty E_R^2 R^2 \, dR$
• 電荷－電位乘積體積分： $W_e = \frac{1}{2}\int_V \rho_v V \, dv$

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解題方法

（一）求分別在 $R<b$ 及 $R>b$ 之電荷密度 $\rho_v$ 與電位 $V$

1. 電荷密度 $\rho_v$

利用球對稱散度算式 $\rho_v = \epsilon_0 \left[\dfrac{1}{R^2}\dfrac{\partial}{\partial R}\left(R^2 E_R\right)\right]$：

• 區域一：$R < b$ 已知 $E_R = \dfrac{R\rho_0}{3\epsilon_0}$，代入得： $R^2 E_R = \frac{\rho_0 R^3}{3\epsilon_0}$ $\frac{\partial}{\partial R}\left(R^2 E_R\right) = \frac{3\rho_0 R^2}{3\epsilon_0} = \frac{\rho_0 R^2}{\epsilon_0}$ 因此： $\rho_v = \epsilon_0 \cdot \frac{1}{R^2} \left(\frac{\rho_0 R^2}{\epsilon_0}\right) = \rho_0$

• 區域二：$R > b$ 已知 $E_R = \dfrac{\rho_0 b^3}{3\epsilon_0 R^2}$，代入得： $R^2 E_R = \frac{\rho_0 b^3}{3\epsilon_0} \quad (\text{常數})$ $\frac{\partial}{\partial R}\left(R^2 E_R\right) = 0$ 因此： $\rho_v = 0$

2. 電位 $V$

設定無窮遠處為參考點，即 $V(\infty) = 0$。

• 區域二：$R > b$（球外電位） $V(R) = -\int_{\infty}^R E_R \, dR' = -\int_{\infty}^R \frac{\rho_0 b^3}{3\epsilon_0 {R'}^2} \, dR'$ $V(R) = \left[ \frac{\rho_0 b^3}{3\epsilon_0 R'} \right]_{\infty}^R = \frac{\rho_0 b^3}{3\epsilon_0 R}$ 在交界面 $R = b$ 處之電位為： $V(b) = \frac{\rho_0 b^2}{3\epsilon_0}$

• 區域一：$R < b$（球內電位） 利用交界面處電位的連續性，球內任一點 $R$ 的電位由邊界 $R = b$ 向內積分： $V(R) = V(b) - \int_b^R E_R \, dR'$ $V(R) = \frac{\rho_0 b^2}{3\epsilon_0} - \int_b^R \frac{\rho_0 R'}{3\epsilon_0} \, dR' = \frac{\rho_0 b^2}{3\epsilon_0} - \left[ \frac{\rho_0 {R'}^2}{6\epsilon_0} \right]_b^R$ $V(R) = \frac{\rho_0 b^2}{3\epsilon_0} - \frac{\rho_0}{6\epsilon_0}\left(R^2 - b^2\right) = \frac{\rho_0}{6\epsilon_0}\left(2b^2 - R^2 + b^2\right) = \frac{\rho_0}{6\epsilon_0}\left(3b^2 - R^2\right)$

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（二）求儲存於電場之總能量 $W_e$

將全空間積分拆解為球內（$0 \le R < b$）與球外（$b \le R < \infty$）兩部分：

核心觀念

本題主要測驗靜磁場（Magnetostatics）與靜電場（Electrostatics）的基礎理論體系、向量微積分運算及其物理對應關係，涉及四大核心觀念：

1. 磁場高斯定律（Gauss's Law for Magnetism）與無旋度／無散度場性質：$\nabla \cdot \vec{B} = 0$ 的物理意涵與磁單極（Magnetic Monopole）不存在的實驗事實。
2. 電流連續方程式與克希荷夫電流定律（KCL）：靜磁場條件下安培定律之微分式 $\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}$，結合向量恆等式 $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{V}) \equiv 0$，導出恆定電流之守恆律。
3. 向量磁位（Vector Magnetic Potential）與規範自由度（Gauge Freedom）：定義 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ 後，利用向量旋度之旋度恆等式推導向量帕松方程式（Vector Poisson's Equation），並依據赫姆霍茲定理（Helmholtz's Theorem）與庫侖規範（Coulomb Gauge, $\nabla \cdot \vec{A} = 0$）說明選取散度為零的數理依據。
4. 帕松方程式之靜電／靜磁類比法：利用直角坐標系將向量帕松方程式拆解為三個獨立純量帕松方程式，藉由靜電位 $V$ 與電荷密度 $\rho$ 之積分形式直接類比求得 $\vec{A}$ 與電流密度 $\vec{J}$ 之空間積分式。

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解題方法

（一）說明 $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ 之物理意義

1. 無磁荷（無磁單極）存在： 在自然界中，至今未曾發現孤立的「磁單極」（Magnetic Monopole）。所有磁場皆由運動電荷（電流）或自旋磁矩產生，磁極必以正負（N極與S極）成對出現。
2. 磁力線必為封閉曲線： 依據散度定理（Divergence Theorem），對任意包圍體積 $V$ 的封閉曲面 $S$ 積分： $\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = \int_V (\nabla \cdot \vec{B}) \, dV = 0$ 這表示穿出任何封閉曲面的淨磁通量恆為零。穿入該封閉曲面的磁力線數目必然等於穿出的數目，說明磁力線沒有起點也沒有終點，必為連續的封閉迴路（Solenoidal Vector Field，無散度場）。

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（二）由安培定律微分式證明克希荷夫電流定律（KCL）

1. 安培定律微分式與取散度： 在自由空間之靜磁場中，安培定律微分式為： $\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}$ 對等號兩端同時取散度（Divergence）： $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{B}) = \mu_0 (\nabla \cdot \vec{J})$
2. 利用向量微積分恆等式： 對於任意二次可微之向量場，其「旋度之散度恆為零」，即： $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{B}) \equiv 0$ 因此可得： $\mu_0 (\nabla \cdot \vec{J}) = 0 \implies \nabla \cdot \vec{J} = 0$ 此即為恆定電流之連續方程式微分式。
3. 推導至克希荷夫電流定律（KCL）： 對包含某一電路節點（Node）的任意微小封閉區域 $V$（其外表面為 $S$）進行體積分，並應用散度定理： $\oint_S \vec{J} \cdot d\vec{S} = \int_V (\nabla \cdot \vec{J}) \, dV = 0$ 上式中，$\oint_S \vec{J} \cdot d\vec{S}$ 代表流出此封閉曲面的淨電流總和 $I_{\text{net}}$。因此： $I_{\text{net}} = \sum I_{\text{out}} - \sum I_{\text{in}} = 0 \implies \sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}$ 即流入任何節點之電流總和恆等於流出該節點之電流總和，證得克希荷夫電流定律（KCL）。

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（三）推導 $\vec{A}$ 之方程式並說明令 $\nabla \cdot \vec{A} = 0$ 之理由

1. 方程式推導： 將 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ 代入安培定律微分式 $\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}$： $\nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \mu_0 \vec{J}$ 展開向量微積分之雙重旋度恆等式： $\nabla (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} = \mu_0 \vec{J}$ 題目給定規範條件 $\nabla \cdot \vec{A} = 0$，代入上式得： $\nabla (0) - \nabla^2 \vec{A} = \mu_0 \vec{J}$ 整理可得向量磁位 $\vec{A}$ 所滿足之方程式為向量帕松方程式： $\nabla^2 \vec{A} = -\mu_0 \vec{J}$

2. 何以可以要求 $\nabla \cdot \vec{A} = 0$ 之理由：

• 赫姆霍茲定理（Helmholtz's Theorem）：一個向量場若要在空間中被完全確定，必須同時給定其旋度（Curl）與散度（Divergence），且邊界條件需明確。
• 規範自由度（Gauge Freedom）：物理上具可量測性的實體為磁通密度 $\vec{B}$。定義 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ 時，僅規範了 $\vec{A}$ 的旋度，並未指定其散度。若另取一向量位 $\vec{A}' = \vec{A} + \nabla \psi$（$\psi$ 為任意純量場），則： $\nabla \times \vec{A}' = \nabla \times \vec{A} + \nabla \times (\nabla \psi) = \nabla \times \vec{A} + 0 = \vec{B}$ （純量場梯度之旋度恆為零）。這表示對 $\vec{A}$ 加上任意純量場之梯度，所對應的物理場 $\vec{B}$ 完全相同，此性質稱為規範不變性（Gauge Invariance）。
• 規範選取的合理性：若原先選取的 $\vec{A}$ 散度不為零，即 $\nabla \cdot \vec{A} = f(\vec{r}) \ne 0$，我們總能找到一個純量函數 $\psi$，滿足帕松方程式： $\nabla^2 \psi = -f(\vec{r})$ 此時新向量位之散度為：

核心觀念

1. 損耗介質中的安培－馬克士威定律： 在相量領域（Phasor Domain）中，安培定律表示為 $\nabla \times \vec{H} = \vec{J}_c + \vec{J}_d = (\sigma + j\omega\epsilon)\vec{E}$，其中 $\vec{J}_c = \sigma\vec{E}$ 為傳導電流密度，$\vec{J}_d = j\omega\epsilon\vec{E}$ 為位移電流密度。
2. 良導體（Good Conductor）之判別準則： 介質是否可視為良導體，取決於傳導電流密度與位移電流密度的量值比值，即損耗正切（Loss Tangent）之大小： $\frac{|\vec{J}_c|}{|\vec{J}_d|} = \frac{\sigma}{\omega\epsilon}$
3. 電磁波傳播常數與特徵參數：

• 傳播常數：$\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{j\omega\mu(\sigma + j\omega\epsilon)}$
• 衰減常數 $\alpha$ 與相位常數 $\beta$。
• 本質阻抗（固有阻抗）：$\eta = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\epsilon}}$
• 相速度：$v_p = \frac{\omega}{\beta}$

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解題方法

（一）良導體的成立條件

均勻平面波於有損介質中傳播時，介質內的總等效電流為傳導電流 $\vec{J}_c$ 與位移電流 $\vec{J}_d$ 之和：

$\nabla \times \vec{H} = (\sigma + j\omega\epsilon)\vec{E} = j\omega\epsilon\left(1 - j\frac{\sigma}{\omega\epsilon}\right)\vec{E}$

兩者量值之比值為損耗正切（Loss Tangent）：

$\frac{|\vec{J}_c|}{|\vec{J}_d|} = \frac{\sigma E}{\omega\epsilon E} = \frac{\sigma}{\omega\epsilon}$

當介質內的傳導電流遠大於位移電流時，位移電流對波動特性的影響可忽略不計，此時介質可視為良導體（Good Conductor）。 其數學判定條件為：

$\frac{\sigma}{\omega\epsilon} \gg 1$

在工程實務與電磁理論判定上，通常取 $\dfrac{\sigma}{\omega\epsilon} \ge 100$（或至少 $\dfrac{\sigma}{\omega\epsilon} > 10$）即可視為良導體。

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（二）推導傳播常數 $\gamma = \alpha + j\beta$、衰減常數 $\alpha$ 與相位常數 $\beta$

有損介質中電場滿足的向量波動方程式（Helmholtz Equation）為：

$\nabla^2\vec{E} - \gamma^2\vec{E} = 0$

其中複數傳播常數平方定義為：

$\gamma^2 = j\omega\mu(\sigma + j\omega\epsilon)$

由此可得傳播常數之一般式：

$\gamma = \sqrt{j\omega\mu(\sigma + j\omega\epsilon)}$

在良導體條件下，$\dfrac{\sigma}{\omega\epsilon} \gg 1$，即 $\sigma \gg \omega\epsilon$，故括號內的位移電流項 $j\omega\epsilon$ 可忽略，近似為：

$\gamma \approx \sqrt{j\omega\mu\sigma}$

利用複數代數展開 $\sqrt{j}$：

$j = e^{j\frac{\pi}{2}} \implies \sqrt{j} = e^{j\frac{\pi}{4}} = \cos\frac{\pi}{4} + j\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1 + j}{\sqrt{2}}$

代入 $\gamma$ 的近似表示式：

$\gamma = \sqrt{\omega\mu\sigma}\cdot \frac{1+j}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} + j\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}$

又由定義 $\gamma = \alpha + j\beta$，比較實部與虛部，可得分開之表示式：

1. 衰減常數（Attenuation Constant）$\alpha$： $\alpha = \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} = \sqrt{\pi f\mu\sigma} \quad (\mathrm{Np/m})$

2. 相位常數（Phase Constant）$\beta$： $\beta = \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} = \sqrt{\pi f\mu\sigma} \quad (\mathrm{rad/m})$

（註：良導體之集膚深度 $\delta = \dfrac{1}{\alpha} = \sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}}$，亦可簡記為 $\alpha = \beta = \dfrac{1}{\delta}$）

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（三）數值計算：求 $3\ \mathrm{MHz}$ 時銅的本質阻抗大小與相速度

1. 參數整理與條件驗證：

• 頻率：$f = 3\ \mathrm{MHz} = 3\times 10^6\ \mathrm{Hz}$
• 角頻率：$\omega = 2\pi f = 6\pi \times 10^6\ \mathrm{rad/s}$
• 導電係數：$\sigma = 5.8\times 10^7\ \mathrm{S/m}$
• 導磁係數：$\mu = \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$

核心觀念

本題評量傳輸線理論（Transmission Line Theory）中極具代表性的亥維賽無失真傳輸線（Heaviside Distortionless Line），主要考核四大核心觀念與公式：

1. 無失真條件（Heaviside Condition）： $\frac{R}{L} = \frac{G}{C} \quad \text{或} \quad RC = GL$
2. 傳播常數（Propagation Constant）： $\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}$ 其中 $\alpha$ 為衰減常數（Attenuation Constant，單位為 $\mathrm{Np/m}$），$\beta$ 為相位常數（Phase Constant，單位為 $\mathrm{rad/m}$）。
3. 無失真物理意義：信號在傳輸過程中若要波形不變，必須同時消除振幅失真（$\alpha$ 須與頻率 $\omega$ 無關）與相位/色散失真（相速度 $u_p$ 須與頻率 $\omega$ 無關，即 $\beta$ 為 $\omega$ 的線性函數）。
4. 特性阻抗與單位換算： 無失真傳輸線之特性阻抗為純實數 $Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}$；單位長度衰減由奈培（$\mathrm{Np}$）換算至分貝（$\mathrm{dB}$）之關係式為： $1\ \mathrm{Np} = 20\log_{10}(e)\ \mathrm{dB} \approx 8.686\ \mathrm{dB}$

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解題方法

（一）求算 $\gamma$ 之表示式

已知無失真條件為 $\frac{R}{L} = \frac{G}{C}$，設此比值為常數 $k$，即： $k = \frac{R}{L} = \frac{G}{C} \implies R = kL,\ G = kC$

代入傳播常數定義式：

\gamma &= \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)} \\ &= \sqrt{(kL + j\omega L)(kC + j\omega C)} \\ &= \sqrt{LC(k + j\omega)^2} \\ &= \sqrt{LC}(k + j\omega) \\ &= k\sqrt{LC} + j\omega\sqrt{LC} \end{aligned}$$ 將 $k = \frac{R}{L}$ 或 $k = \sqrt{\frac{R}{L}\cdot\frac{G}{C}}$ 代回實部： $$k\sqrt{LC} = \frac{R}{L}\sqrt{LC} = R\sqrt{\frac{C}{L}} = \sqrt{RG}$$ 因此，傳播常數 $\gamma$ 之表示式為： $$\gamma = \sqrt{RG} + j\omega\sqrt{LC} = R\sqrt{\frac{C}{L}} + j\omega\sqrt{LC}$$ 其中衰減常數 $\alpha = \sqrt{RG} = R\sqrt{\frac{C}{L}}$，相位常數 $\beta = \omega\sqrt{LC}$。 --- #### （二）說明為何此條件下，稱為無失真傳輸線 傳輸線上的訊號由不同頻率的傅立葉分量組合而成。訊號在傳輸時若要「不失真」，接收端波形必須僅有振幅等比例縮小及時間延遲，這要求傳輸線必須同時滿足以下兩個條件： 1. **消除振幅失真（衰減失真，Attenuation Distortion）**： 衰減常數 $\alpha = \sqrt{RG} = R\sqrt{\frac{C}{L}}$ 為一與角頻率 $\omega$ 無關之定值。這意味著所有不同頻率的信號成分在沿線傳播時，遭受相同的指數衰減比例（$e^{-\alpha z}$），不會因各頻率衰減不均而改變波形輪廓。 2. **消除相位失真（色散失真，Phase / Delay Distortion）**： 相速度 $u_p$ 定義為： $$u_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{\omega}{\omega\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$ $u_p$ 與角頻率 $\omega$ 無關（為定值），且群速度 $u_g = \frac{d\omega}{d\beta} = \frac{1}{\sqrt{LC}} = u_p$。這意味著所有頻率成分以完全相同的速度傳播，不會因走速不同而產生相對時間延遲（無色散現象）。 綜合上述，在 $\frac{R}{L} = \frac{G}{C}$ 條件下，信號無振幅失真亦無延遲失真，輸出訊號僅為輸入訊號之等比例縮小並伴隨固定延遲時間，故稱為**無失真傳輸線**。 --- #### （三）數值計算：求算 $L$、相速度 $u_p$、及單位長度衰減 dB 數 已知條件： - 特性阻抗 $Z_0 = 50\ \Omega$ - 單位長度電容 $C = 0.1\ \mathrm{nF/m} = 10^{-10}\ \mathrm{F/m}$ - 單位長度電阻 $R = 0.06\ \Omega/\mathrm{m}$ **1. 求算單位長度電感 $L$**： 無失真傳輸線之特性阻抗為：