108 高普考高考三級 地質 水文地質學 考古題詳解

108 年・高普考・高考三級・地質
試題代碼 水文地質學

第 一 題30 分

已知如圖一所示，有一個 NN 層飽和土壤所構成的含水層，其中第 ii 層的厚度為 BiB_i，水力傳導係數為 KiK_i。🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

試問：

(一) 水流沿 yy 軸方向由第 1 層往下流到第 NN 層，試求此種流況下的等效水力傳導係數（equivalent hydraulic conductivity），並解釋推導過程所需要的假設條件。

(二) 若水流沿 xx 軸方向由左向右流動，試求此種流況下的等效水力傳導係數，並解釋推導過程所需要的假設條件。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查不同水力傳導係數土層組成的含水層，在垂直層面方向與平行層面方向流動時，如何依達西定律求等效水力傳導係數。

令總厚度為

B=∑i=1NBiB=\sum_{i=1}^{N}B_i

並假設各層皆飽和，且第 ii 層內水力傳導係數 KiK_i 均勻。

（一）水流沿 yy 軸垂直穿過各層

水流依序通過各層，各層的流量相同；每層承受不同的水頭損失。設總水頭差為 Δh\Delta h，第 ii 層的水頭損失為 Δhi\Delta h_i，則依達西定律：

q=KiAΔhiBiq=K_i A\frac{\Delta h_i}{B_i}

其中 qq 為流量，AA 為垂直於流向的總截面積。各層流量相同，因此

Δhi=qBiKiA\Delta h_i=\frac{qB_i}{K_iA}

總水頭差為各層水頭損失總和：

Δh=∑i=1NΔhi=qA∑i=1NBiKi\Delta h=\sum_{i=1}^{N}\Delta h_i =\frac{q}{A}\sum_{i=1}^{N}\frac{B_i}{K_i}

若以等效水力傳導係數 Ky,eqK_{y,\mathrm{eq}} 表示整體含水層，則

q=Ky,eqAΔhBq=K_{y,\mathrm{eq}}A\frac{\Delta h}{B}

代入總水頭差關係並整理，得到

Ky,eq=B∑i=1NBiKi\boxed{K_{y,\mathrm{eq}}= \frac{B}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\frac{B_i}{K_i}}}

這是依厚度加權的調和平均。低水力傳導係數的土層會造成較大的水頭損失，因此對垂直等效傳導係數影響較大。

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

已知在異質的飽和含水層，其地下水溫為 45∘C45^\circ\mathrm{C}，且其水質符合溫泉法的規定。若如圖二所示，此溫泉水在兩個不同地質特性的飽和土壤中流動，當溫泉水由第 1 土層（其水力傳導係數為 K1K_1）流經交界面進入第 2 土層（其水力傳導係數為 K2K_2）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

試推導出由第 1 土層流經交界面到第 2 土層的溫泉水流向變化關係，並解釋所需用的基本假設條件。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查地下水流通過不同水力傳導係數土層交界面時的「流向折射」。依達西定律，土層 ii 中的達西流速（單位面積流量）為

qi=−Ki∇h\mathbf q_i=-K_i\nabla h

其中 KiK_i 為該土層的水力傳導係數，hh 為總水頭。流向的改變由交界面上的兩項條件決定：水頭沿界面的變化連續，且穿越界面的法向流量連續。

解題方法

令 θ1\theta_1、θ2\theta_2 分別為第 1、2 土層中的流向與交界面法線之夾角；令 qnq_n、qt,iq_{t,i} 分別代表法向及切向流量分量。

理想交界面上沒有蓄水或阻隔，因此質量守恆要求法向流量連續：

qn,1=qn,2=qnq_{n,1}=q_{n,2}=q_n

若交界面水頭連續，沿交界面的水頭梯度也相同。由達西定律，切向流量分量為

qt,i=−Ki∂h∂tq_{t,i}=-K_i\frac{\partial h}{\partial t}

因此

qt,1qt,2=K1K2\frac{q_{t,1}}{q_{t,2}}=\frac{K_1}{K_2}

由流向與法線的幾何關係，

tan⁡θi=∣qt,i∣∣qn∣\tan\theta_i=\frac{|q_{t,i}|}{|q_n|}

代入法向流量連續條件，可得流向變化關係：

tan⁡θ1tan⁡θ2=K1K2或tan⁡θ2=K2K1tan⁡θ1\boxed{\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{K_1}{K_2}} \qquad\text{或}\qquad \boxed{\tan\theta_2=\frac{K_2}{K_1}\tan\theta_1}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題20 分

已知一口溫泉井，工程師在井口量測水溫度為 15∘C15^\circ\mathrm{C}，然後接著在井口下 200 公尺、500 公尺、800 公尺與 1100 公尺處量得水溫，分別為 20∘C20^\circ\mathrm{C}、27.5∘C27.5^\circ\mathrm{C}、35∘C35^\circ\mathrm{C} 與 42.5∘C42.5^\circ\mathrm{C}。

今若該工程師想知道井口下 950 公尺處的泉溫，請預測其泉溫為何？

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

  1. 地溫梯度（Geothermal Gradient） 在均質岩層且未受顯著地下水對流干擾的情況下，地層溫度隨深度呈線性增加，主要熱傳導機制遵循熱傳導定律。地溫梯度 GG 定義為單位深度之溫度變化量： G=dTdz=T2−T1z2−z1G = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = \frac{T_2 - T_1}{z_2 - z_1} 式中，TT 為水溫（∘C^\circ\mathrm{C}），zz 為井深（m\mathrm{m}）。

  2. 井溫剖面與線性內插法（Linear Interpolation） 若井內水溫隨深度具有恆定之溫度梯度，則井內任一深度 zz 處的水溫 T(z)T(z) 可表示為深度之一次線性函數： T(z)=T0+G⋅zT(z) = T_0 + G \cdot z 式中，T0T_0 為地表（井口 z=0 mz=0\text{ m}）溫度。若求介於測點 zaz_a 與 zbz_b 間之特定深度 zz，可直接採用線性內插求得。

解題方法

步驟一：檢驗各深度的地溫梯度

依據題目所給之井深與測量水溫數據，分別計算各區間之溫度變化率：

  1. 井口至 200 m200\text{ m} 處： G1=20−15200−0=5200=0.025∘C/mG_1 = \frac{20 - 15}{200 - 0} = \frac{5}{200} = 0.025^\circ\mathrm{C/m}

  2. 200 m200\text{ m} 至 500 m500\text{ m} 處： G2=27.5−20500−200=7.5300=0.025∘C/mG_2 = \frac{27.5 - 20}{500 - 200} = \frac{7.5}{300} = 0.025^\circ\mathrm{C/m}

  3. 500 m500\text{ m} 至 800 m800\text{ m} 處： G3=35−27.5800−500=7.5300=0.025∘C/mG_3 = \frac{35 - 27.5}{800 - 500} = \frac{7.5}{300} = 0.025^\circ\mathrm{C/m}

  4. 800 m800\text{ m} 至 1100 m1100\text{ m} 處： G4=42.5−351100−800=7.5300=0.025∘C/mG_4 = \frac{42.5 - 35}{1100 - 800} = \frac{7.5}{300} = 0.025^\circ\mathrm{C/m}

計算結果顯示：全井段的地溫梯度均為常數： G=0.025∘C/m=2.5∘C/100 m=25∘C/kmG = 0.025^\circ\mathrm{C/m} = 2.5^\circ\mathrm{C}/100\text{ m} = 25^\circ\mathrm{C/km}

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

已知一掩埋場，其內襯在海平面上高程 50 公尺處，恰好落在黏土層上方。黏土層上方為一乾淨的砂層，厚度為 25 公尺；在此乾淨砂層上方為黏土層，其厚度為 25 公尺，並達地表。

此一掩埋場的內襯為 1 公尺厚的黏土，沿著掩埋場的底部及四周，其水力傳導係數 K=10−7 cm/sK=10^{-7}\ \mathrm{cm/s}，如圖三所示。🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

若此場址受壓含水層（砂層）內的水壓為高達 90 公尺（即地表下 10 公尺），試問在掩埋場內部，若已知有地下水高度為海平面 60 公尺，則在掩埋場內海平面 60 公尺處，將有多少的地下水經由掩埋場的內襯流入掩埋場？

（假設在掩埋場內襯的水流流速為水平流。）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題使用達西定律計算黏土內襯的水平滲流量：

q=Kiq=Ki

其中 qq 是達西通量，也就是單位面積的流量；KK 是水力傳導係數；i=Δh/Li=\Delta h/L 是水力坡降。

解題方法

在海平面高程 60 m60\ \mathrm{m} 處，掩埋場外的受壓含水層總水頭為 90 m90\ \mathrm{m}。掩埋場內的地下水面在高程 60 m60\ \mathrm{m}，故該處內側總水頭為 60 m60\ \mathrm{m}。因此，流經內襯的水頭差為：

Δh=90−60=30 m\Delta h=90-60=30\ \mathrm{m}

水流水平穿過厚度 L=1 mL=1\ \mathrm{m} 的黏土內襯，水力坡降為：

i=301=30i=\frac{30}{1}=30

將水力傳導係數換算為公尺制：

K=10−7 cm/s=10−9 m/sK=10^{-7}\ \mathrm{cm/s}=10^{-9}\ \mathrm{m/s}

代入達西定律：

q=Ki=(10−9)(30)=3×10−8 m/sq=Ki=(10^{-9})(30)=3\times10^{-8}\ \mathrm{m/s}

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

地質《水文地質學》其他年度

112110109107