108 高普考高考三級 氣象 應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析） 考古題詳解

核心觀念

本題屬於常微分方程（ODE）中的**二階非齊次柯西－歐拉方程式（Cauchy-Euler Equation）**之初始值問題（Initial Value Problem, IVP）。核心考核觀念如下：

1. 柯西－歐拉方程式之標準形式： $a x^2 y'' + b x y' + c y = f(x)$ 其特徵為各項自變數 $x$ 的次方數與相乘之導函數階數相同。
2. 齊次解（$y_h$）之求法： 令 $y = x^m$，代入對應之齊次方程式，可求得特徵方程式（指標方程式）： $m(m-1) + m - 1 = 0 \implies m^2 - 1 = 0$ 由此求得特徵根，進而建構齊次通解。
3. 特解（$y_p$）之求法：

• 待定係數法：觀察非齊次項為 $f(x) = 16x^3$（非齊次根 $m=3$ 非特徵根），可直接假設 $y_p = A x^3$。
• 變數變換法：亦可令 $x = e^t$（即 $t = \ln x$），將原式轉換為常係數二階線性非齊次常微分方程求解。

4. 初始值問題（IVP）： 通解為 $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$，代入初始條件 $y(1) = -1$ 與 $y'(1) = 1$，聯立解出未定常數 $c_1, c_2$。

解題方法

步驟一：求對應之齊次解 $y_h(x)$

考慮對應之齊次方程式： $x^2 y'' + x y' - y = 0$

令試驗解為 $y = x^m$（其中 $x > 0$），其一階與二階導數分別為： $y' = m x^{m-1}, \qquad y'' = m(m-1) x^{m-2}$

代入齊次方程式： $x^2 [m(m-1) x^{m-2}] + x [m x^{m-1}] - x^m = 0$ $[m(m-1) + m - 1] x^m = 0$

因 $x^m \neq 0$，可得指標方程式（Indicial Equation）： $m^2 - m + m - 1 = 0 \implies m^2 - 1 = 0$ 解得相異實根： $m_1 = 1, \qquad m_2 = -1$

因此，齊次方程式之通解為： $y_h(x) = c_1 x + c_2 x^{-1} = c_1 x + \frac{c_2}{x}$ （其中 $c_1, c_2$ 為任意實常數）

步驟二：求非齊次方程式之特解 $y_p(x)$

觀察非齊次項為 $16x^3$，其冪次 $3$ 並非指標方程式之根（$m = \pm 1$），故可採用待定係數法。

令特解形式為： $y_p(x) = A x^3$

對 $y_p(x)$ 連續求導： $y_p'(x) = 3A x^2, \qquad y_p''(x) = 6A x$

將 $y_p, y_p', y_p''$ 代入原非齊次微分方程式： $x^2 (6A x) + x (3A x^2) - (A x^3) = 16x^3$ $6A x^3 + 3A x^3 - A x^3 = 16x^3$ $8A x^3 = 16x^3$

比較係數得： $8A = 16 \implies A = 2$

故特解為： $y_p(x) = 2x^3$

步驟三：寫出非齊次方程式之一完整通解 $y(x)$

一般通解為齊次解與特解之和： $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 x + \frac{c_2}{x} + 2x^3$

步驟四：由初始值條件確定常數 $c_1, c_2$

先對通解 $y(x)$ 微分求其導函數：

核心觀念

本題評量傅利葉轉換（Fourier Transform）之基礎定義與**分部積分法（Integration by Parts）**的運算能力。

1. 傅利葉轉換之定義： 在工程數學與應用數學領域中，函數 $f(x)$ 的傅利葉轉換常見兩種約定定義（兩者僅差常數因子）：

• 工程與應用常見定義（無係數型）： $F(\omega) = \mathcal{F}\{f(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\omega x} \, dx$
• Kreyszig 等教科書常用定義（對稱型）： $\hat{f}(\omega) = \mathcal{F}\{f(x)\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\omega x} \, dx$ （解題時以非正規化定義推導，並加註對稱型係數，確保各閱卷標準皆可獲滿分）

2. 有限支撐（Compact Support）函數的積分： 函數僅在區間 $(a, b)$ 內非零，其餘區域為 $0$，因此無窮積分範圍可直接縮減為 $[a, b]$。

3. 分部積分公式： $\int u \, dv = uv - \int v \, du$

解題方法

步驟一：依定義列出積分式

由傅利葉轉換定義，將分段函數 $f(x)$ 代入： $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\omega x} \, dx = \int_{a}^{b} kx e^{-i\omega x} \, dx$

需分為 $\omega \neq 0$ 與 $\omega = 0$ 兩種情況討論。

步驟二：計算一般情況（$\omega \neq 0$）

採用分部積分法： 設 $u = kx \implies du = k \, dx$ 設 $dv = e^{-i\omega x} \, dx \implies v = \frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega} = \frac{i}{\omega} e^{-i\omega x}$

代入分部積分公式：

核心觀念

本題評量線性代數中「三元一次聯立方程組（Linear System of Equations）」的求解能力。核心概念與定理包含：

1. 高斯消去法（Gaussian Elimination）與增廣矩陣（Augmented Matrix）：利用基本列運算（Row Operations）將增廣矩陣化為梯形矩陣（Row Echelon Form），再藉由回代（Back Substitution）求出各變數。
2. 解的存在性與唯一性（Cramer's Rule / 矩陣秩）： 設線性系統為 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，其係數矩陣為 $A$。若係數行列式 $\det(A) \neq 0$，則該系統存在唯一解（Unique Solution）。

解題方法

本題推薦使用高斯消去法進行增廣矩陣的基本列運算。此法運算結構清晰，且能有效避免在計算過程過早引入繁雜分數。

步驟一：建立增廣矩陣並選取主元（Pivot）

將方程組以增廣矩陣表示：

為簡化運算，將第 3 列與第 1 列對調（$R_1 \leftrightarrow R_3$），使左上角的主元係數為 $1$：

步驟二：消去第一行的下方程式（Forward Elimination）

執行列運算：$R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1$ 與 $R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$：

• $R_2$ 更新為： $[-2 + 2(1),\; 1 + 2(4),\; 4 + 2(-5)\;|\; 11 + 2(-31)] = [0,\; 9,\; -6\;|\; -51]$
• $R_3$ 更新為： $[3 - 3(1),\; -2 - 3(4),\; 1 - 3(-5)\;|\; 13 - 3(-31)] = [0,\; -14,\; 16\;|\; 106]$

矩陣變為：

步驟三：簡化第 2 列與第 3 列

將 $R_2$ 同除以 $3$（$R_2 \leftarrow \frac{1}{3}R_2$），$R_3$ 同除以 $2$（$R_3 \leftarrow \frac{1}{2}R_3$）：

核心觀念

本題的核心在於二階偏微分方程式（PDE）的降階求解法與偏積分的任意函數性質：

1. 微分算子分解與變數代換（降階法）：方程式中所有項皆含有對 $x$ 的偏導數 $\frac{\partial}{\partial x}$，因此可透過令中間變數 $v(x, y) = \frac{\partial u}{\partial x}$，將原本的二階偏微分方程式降階為一階線性偏微分方程式。
2. 偏積分（Partial Integration）與任意函數：

• 在常微分方程（ODE）中，不定積分所產生的積分常數為純量純數 $C$。
• 在偏微分方程中，若對其中一個自變數進行偏積分，其「積分常數」必須是一般化為「另一自變數的任意可微函數」。例如對 $y$ 偏積分，常數項應表示為 $x$ 的任意函數 $f(x)$；對 $x$ 偏積分，常數項應表示為 $y$ 的任意函數 $g(y)$。

解題方法

原偏微分方程式為： $\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x}$

假設 $u(x, y)$ 具備連續的二階偏導數，滿足 Schwarz 定理（克萊羅定理），偏微分順序可對調： $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}$

步驟一：變數代換進行降階

令 $v(x, y) = \frac{\partial u}{\partial x}$，原方程式可改寫為關於 $v$ 的一階偏微分方程式： $\frac{\partial v}{\partial y} = v$

步驟二：對變數 $y$ 求解 $v(x, y)$

將上式移項整理： $\frac{\partial v}{\partial y} - v = 0$

乘上對 $y$ 的積分因子 $I(y) = e^{\int (-1)\,dy} = e^{-y}$： $e^{-y}\frac{\partial v}{\partial y} - e^{-y}v = 0 \implies \frac{\partial}{\partial y}\left(e^{-y}v\right) = 0$

兩邊對 $y$ 進行偏積分（此時將 $x$ 視為常數）： $e^{-y}v = f(x)$ 其中 $f(x)$ 為關於 $x$ 的任意可微函數。

解出 $v(x, y)$： $v(x, y) = f(x)e^y$

步驟三：回代並對變數 $x$ 偏積分求解 $u(x, y)$

將 $v(x, y) = \frac{\partial u}{\partial x}$ 代回：

核心觀念

本題的核心為複變函數的級數展開（Series Expansion of Complex Functions），主要涵蓋以下三大定理與定義：

1. 奇異點（Singularity）與解析區域：函數展開的區域界線取決於奇異點的位置。當函數在以 $z_0$ 為中心的開圓盤內解析時，展開為泰勒級數（Taylor series）；在包含奇異點的環狀區域（Annulus）解析時，展開為羅蘭級數（Laurent series）。
2. 幾何級數展開公式： $\frac{1}{1-w} = \sum_{n=0}^{\infty} w^n,\qquad \text{當 } |w| < 1$
3. 收斂半徑與收斂環域：級數的收斂邊界由中心 $z_0$ 到最近的奇異點之距離決定。

解題方法

第一步：找出奇異點並劃分展開區域

給定函數： $f(z) = \frac{z^8}{1-z^4},\qquad z_0 = 0$ 奇異點發生在分母為零處： $1 - z^4 = 0 \implies z^4 = 1 \implies z = 1, -1, i, -i$ 所有奇異點皆分布在以原點 $z_0 = 0$ 為圓心、半徑為 $1$ 的單位圓周 $|z| = 1$ 上。 因此，以 $z_0 = 0$ 為中心，可將複平面劃分為兩個解析區域：

• 區域一（圓盤內部）：$|z| < 1$
• 區域二（環狀外部）：$1 < |z| < \infty$

第二步：在區域一（$|z| < 1$）展開為泰勒級數

當 $|z| < 1$ 時，必有 $|z^4| = |z|^4 < 1$。令 $w = z^4$，利用幾何級數公式展開： $\frac{1}{1-z^4} = \sum_{n=0}^{\infty} (z^4)^n = \sum_{n=0}^{\infty} z^{4n}$ 兩端同乘以 $z^8$： $f(z) = z^8 \sum_{n=0}^{\infty} z^{4n} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{4n+8} = z^8 + z^{12} + z^{16} + z^{20} + \cdots$ 此級數只包含非負整數次方項，為標準的泰勒級數（麥克勞林級數）。

• 收斂條件：$|z^4| < 1 \iff |z| < 1$
• 收斂半徑：$R = 1$

第三步：在區域二（$|z| > 1$）展開為羅蘭級數

當 $|z| > 1$ 時，$|z^4| > 1$，無法直接展開幾何級數，但其倒數滿足 $\left|\frac{1}{z^4}\right| < 1$。 將分母提出 $-z^4$： $f(z) = \frac{z^8}{-z^4\left(1 - \frac{1}{z^4}\right)} = -z^4 \cdot \frac{1}{1 - z^{-4}}$ 令 $w = z^{-4}$，因 $|z| > 1 \implies |w| < 1$，可展開為幾何級數： $\frac{1}{1 - z^{-4}} = \sum_{n=0}^{\infty} (z^{-4})^n = \sum_{n=0}^{\infty} z^{-4n}$ 乘入 $-z^4$：