108 高普考高考三級 氣象 大氣動力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查的是地轉風近似是否適用，以及尺度與緯度如何影響壓力梯度力和科氏力的相對大小。地轉風不是任一處量到的壓力差都能直接換算出的實際風速；它是忽略水平加速度與摩擦後，由壓力梯度力和科氏力平衡所定義的理想風。

在等壓面上，水平動量方程可寫成

$$\frac{D\mathbf V}{Dt} + f\,\mathbf k\times\mathbf V = -\frac{1}{\rho}\nabla_p p +\mathbf F$$

其中 $\mathbf V$ 為水平風、$f=2\Omega\sin\phi$ 為科氏參數、$\rho$ 為空氣密度，$\mathbf F$ 代表摩擦等其他力。若水平加速度與摩擦相對很小，方程近似為

$$f\,\mathbf k\times\mathbf V_g = -\frac{1}{\rho}\nabla_p p$$

因此地轉風速大小為

$$V_g=\frac{1}{\rho |f|}\left|\nabla_p p\right| \approx \frac{\Delta p}{\rho |f|L}$$

其中 $L$ 是壓力差所跨越的水平距離。北半球地轉風沿等壓線吹，低壓在風向左側。

解題方法：用羅士培數判斷地轉近似

尺度分析水平動量方程，水平慣性加速度量級約為 $U^2/L$，科氏加速度量級約為 $fU$。兩者之比為羅士培數：

$$Ro=\frac{U}{|f|L}$$

• $Ro\ll 1$：科氏力相對重要，壓力梯度力與科氏力近似平衡，地轉風近似較好。
• $Ro\sim 1$：慣性與科氏作用同量級，地轉近似不充分。
• $Ro\gg 1$：慣性或其他作用主導，單靠地轉關係難以描述風場。

因此，判斷壓力差與實際風速是否符合地轉關係，不能只看壓力差大小；還要知道其水平尺度、風速、緯度，並考量摩擦、地形與天氣系統是否快速演變。

中緯度、熱帶與中尺度的尺度比較

情況	代表尺度與參數	羅士培數量級	地轉近似
中緯度天氣系統	$L\sim10^6\ \mathrm m$、$U\sim10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$、$f\sim10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}$	$Ro\sim0.1$	通常可用地轉風描述大尺度主體，實際風仍含非地轉分量。
熱帶大尺度系統	$L\sim10^6\ \mathrm m$、$U\sim10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$；

核心觀念

熱力風平衡（thermal-wind balance）是地轉風的垂直切變與水平溫度梯度之間的關係。在大尺度、近似靜力平衡與地轉平衡的中高緯度大氣中，氣壓面上的地轉風隨高度改變，是因為不同緯度的厚度與溫度不同。

壓力座標下，地轉風為

$$u_g=-\frac{1}{f}\frac{\partial \Phi}{\partial y}, \qquad v_g=\frac{1}{f}\frac{\partial \Phi}{\partial x},$$

其中 $f$ 為科氏參數，$\Phi$ 為位勢高度所對應的位勢。由靜力平衡關係 $\partial\Phi/\partial\ln p=-RT$，可得熱力風關係：

$$\frac{\partial u_g}{\partial \ln p} =\frac{R}{f}\frac{\partial T}{\partial y}, \qquad \frac{\partial v_g}{\partial \ln p} =-\frac{R}{f}\frac{\partial T}{\partial x}.$$

若考慮南北向溫度梯度，北半球 $f>0$，因此北方較冷、南方較暖時，$\partial T/\partial y<0$，西風通常隨高度增強。熱力風平衡描述的是風的垂直切變，不是單獨某一層的風速。

本題的核心是：當輻射加熱或熱量輸送改變南北溫度分布，使原有的溫度梯度與地轉風垂直切變不再相容時，大氣會透過次環流的絕熱上升、下沉與水平輸送，以及斜壓渦旋的熱輸送，調整溫度場和風場，建立新的熱力風平衡。

解題方法

依題意分兩種破壞機制作答：

1. 輻射差異加熱：熱帶淨加熱、中高緯淨冷卻，會造成熱帶與高緯度的溫度差異。由熱力風關係推知，溫度梯度改變會要求風的垂直切變改變；次環流則以經向翻轉環流搬運熱量並產生絕熱溫度變化，抵銷部分輻射強迫。
2. 斜壓不穩定造成南北熱交換：斜壓渦旋由南北溫度梯度取得可用位能，透過渦旋熱通量向極輸送暖空氣、向赤道輸送冷空氣；渦旋熱輸送改變平均溫度梯度，並伴隨中緯度次環流，調整至渦旋輸送與平均環流、輻射收支相容的狀態。

一、熱帶加熱、中高緯冷卻：直接熱力強迫下的次環流

熱帶獲得淨加熱、中高緯度淨冷卻，等於在南北方向建立熱源與熱匯。若沒有環流調整，熱帶會相對增暖、高緯度相對降溫，南北溫度差與其所要求的地轉風垂直切變將改變，原先的熱力風平衡因而被破壞。

大氣會形成直接熱力驅動的經向翻轉環流：

• 熱帶上升：加熱使空氣柱增暖並膨脹，熱帶上升運動將空氣帶往高層。
• 高層向極流動：上層空氣由熱帶往較高緯度輸送，搬運熱量。
• 中高緯下沉：冷卻促使空氣下沉；下沉造成絕熱增溫，可抵銷部分輻射冷卻。

核心觀念

本題考查準地轉理論下，低層溫度平流與中層渦度平流如何共同影響中緯度綜觀尺度的垂直運動，以及中層等壓面的高度趨勢。

採用氣壓座標時，垂直速度定義為 $\omega=Dp/Dt$：$\omega<0$ 表示上升，$\omega>0$ 表示下沉。溫度平流定義為 $-\mathbf V_g\cdot\nabla T$；因此暖平流（WAA）表示空氣流向較暖的區域。渦度平流則以地轉風平流相對渦度與行星渦度之和表示；正渦度平流（PVA）表示氣流將較大的絕對渦度帶入該區。

解題方法

以準地轉 $\omega$ 方程判斷垂直運動的強迫來源。其常見形式為

$$\left(\nabla^2+\frac{f_0^2}{\sigma} \frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\omega = \frac{f_0}{\sigma}\frac{\partial}{\partial p} \left[\mathbf V_g\cdot\nabla(\zeta_g+f)\right] + \frac{R}{\sigma p}\nabla^2 \left(\mathbf V_g\cdot\nabla T\right),$$

其中 $\sigma>0$ 為靜力穩定度參數。方程左側的橢圓算子具有平滑作用；判斷個別強迫時，可先看右側強迫項的符號與垂直分布。

1. 850 hPa 暖平流：​暖平流使低層氣柱增暖、厚度傾向增加，並透過熱力平流項促進上升。若暖平流在水平方向形成局地極大，暖平流區通常有利於低層輻合與上升；相反地，冷平流有利於下沉。

2. 500 hPa 正渦度平流：​在中緯度常見槽前，地轉風將較大的絕對渦度帶向下游，形成 PVA。當 PVA 隨高度增強時，渦度平流的垂直差異更有利於上升運動。題目指出 500 hPa 渦度平流主宰，因此應把 500 hPa 附近的 PVA 視為主要中層動力強迫。

核心觀念

本題考查旋轉流體中兩類波動的關係：淺水重力波由自由液面（或層厚）擾動與重力回復力共同形成；凱爾文波則是在旋轉效應、邊界約束與重力波傳播共同作用下形成的特殊淺水波。關鍵在於比較兩者的波速、流場結構與傳播方向，並說明凱爾文波的單向性來自科氏力與邊界條件的配合。

採用等深淺水方程，令水深為 $H$、自由液面位移為 $\eta$、水平速度分量為 $u,v$，重力加速度為 $g$，科氏參數為 $f$：

$$\begin{aligned} u_t-fv&=-g\eta_x,\\ v_t+fu&=-g\eta_y,\\ \eta_t+H(u_x+v_y)&=0. \end{aligned}$$

其中下標表示偏微分。忽略旋轉效應時，淺水重力波的相速為 $c=\sqrt{gH}$；保留旋轉效應後，流場還會受科氏力影響。慣性重力波的頻率滿足 $\omega^2=f^2+c^2(k^2+l^2)$，顯示其波動同時受重力與旋轉控制。

解題方法

先比較一般淺水重力波與凱爾文波的共同來源，再以沿直線邊界的座標系推導凱爾文波的解。令邊界沿 $x$ 方向，流體位於 $y>0$，並假設波沿邊界傳播、垂直邊界方向的速度為零，即 $v=0$。第二個動量方程因此化為地轉平衡：

$$fu=-g\eta_y.$$

設沿岸波形為 $\eta=\eta(y)\,e^{i(kx-\omega t)}$。由沿岸動量方程及連續方程，並取向岸方向衰減的解，可得

$$\omega=ck,\qquad \eta(y)=\eta_0 e^{-fy/c},\qquad c=\sqrt{gH},$$

其中此式採 $f>0$、流體位於 $y>0$ 的座標約定。若 $f<0$，衰減方向及允許的沿岸傳播方向隨之反轉。波動沿岸的相速大小仍為 $\sqrt{gH}$，而振幅離岸後按指數形式衰減，衰減尺度為 $c/|f|$。

淺水重力波與凱爾文波的異同

共同點是兩者都屬淺水方程描述的長波，重力是主要回復力；其典型波速尺度為 $c=\sqrt{gH}$，且自由液面（或層厚）與水平流速相互耦合。

核心觀念

本題考查兩個相連的觀念：地球自轉造成科氏參數 $f$ 隨緯度改變，形成 β 效應；而羅士培波（Rossby wave）則是流體因相對渦度與行星渦度相互調整所形成的波動。波的相位傳播由相速度描述，波包及其能量傳播則由群速度描述。

β 效應：科氏參數為何隨緯度改變

地球自轉角速度大小為 $\Omega$，緯度為 $\phi$ 時，垂直於地表的科氏參數為

$$f=2\Omega\sin\phi .$$

緯度向北增加時，$\sin\phi$ 隨之改變，因此 $f$ 不是常數。在某一參考緯度 $\phi_0$ 附近，令 $y$ 代表向北的距離，對 $f$ 作一階泰勒展開：

$$f(y)\simeq f_0+\beta y, \qquad f_0=2\Omega\sin\phi_0, \qquad \beta=\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{\phi_0} =\frac{2\Omega\cos\phi_0}{a},$$

其中 $a$ 為地球半徑。$\beta$ 即科氏參數對南北距離的變化率；在一般中低緯度，$\beta>0$，表示往北 $f$ 增大。

物理上，這項變化源自地球自轉軸與局地垂直方向的夾角隨緯度而變，因而地球自轉角速度在垂直方向的投影也隨緯度改變。流體若向北或向南移動，所處位置的行星渦度便改變；為了滿足位渦守恆，流體的相對渦度隨之調整，形成羅士培波的回復機制。

解題方法：由渦度方程推導頻散關係

考慮 β 平面上、靜止平均流、水平不可輻散、無摩擦的淺層正壓流。以流函數 $\psi$ 表示水平風：

$$u=-\frac{\partial\psi}{\partial y}, \qquad v=\frac{\partial\psi}{\partial x}, \qquad \zeta=\nabla^2\psi .$$

其中 $u,v$ 分別為東西向與南北向風，$\zeta$ 為相對渦度。線性化後的正壓渦度方程為

$$\frac{\partial \zeta}{\partial t}+\beta v=0,$$

亦即

$$\frac{\partial}{\partial t}\nabla^2\psi +\beta\frac{\partial\psi}{\partial x}=0.$$

令波動解為

$$\psi=\Re\left\{\hat{\psi}\exp[i(kx+ly-\omega t)]\right\},$$

其中 $k,l$ 為東西向、南北向波數，$\omega$ 為角頻率。代入方程後，利用 $\nabla^2\psi=-(k^2+l^2)\psi$，得到

$$\omega(k,l)=-\frac{\beta k}{k^2+l^2}.$$

這就是無平均流、無變形半徑項的正壓羅士培波頻散關係。若有均勻東西向平均風 $U$，頻率改為 $\omega=Uk-\dfrac{\beta k}{k^2+l^2}$；本題基本式取 $U=0$。

核心觀念

本題考查大氣的三種穩定性，以及中緯度斜壓不穩度如何從平均大氣環流取得能量並形成天氣尺度波動。題目定義

$$M=fy-u$$

其中 $f>0$ 為北半球科氏參數，$y$ 向北，$u$ 為東西向風。$M$ 可視為此南北剖面中的角動量變數；位溫 $\theta$ 則是氣塊絕熱運動時守恆的熱力學變數。

對背景平均流而言，常用下列梯度判斷穩定性：

• 慣性穩定：$\partial M/\partial y>0$，亦即在固定高度上，向北的角動量增加。此條件下，氣塊受到南北向擾動後會受到恢復力。
• 對流穩定：$\partial\theta/\partial z>0$，即位溫隨高度增加。氣塊垂直位移後會受到浮力恢復力。
• 斜壓性：水平溫度（或位溫）梯度不為零，伴隨垂直風切。斜壓大氣即使慣性穩定、對流穩定，仍可能儲存可供擾動取用的有效位能。

解題方法：從穩定條件轉到斜壓不穩度

先分別說明 $M$ 和 $\theta$ 的垂直、水平分布所代表的穩定性，再利用熱成風關係說明水平溫度梯度與垂直風切的連結。最後以能量轉換和 Eady 模型描述不穩度成長及尺度。

1. 慣性穩定與對流穩定

由題目定義，

$$\frac{\partial M}{\partial y} =f-\frac{\partial u}{\partial y}.$$

此梯度與南北向相對渦度及絕對渦度密切相關。北半球若 $\partial M/\partial y>0$，小幅南北位移會產生恢復性角動量差異，背景流具有慣性穩定性；若此梯度為負，則角動量隨北移反而減少，氣塊位移可持續放大，出現慣性不穩定。

對垂直方向，靜力穩定條件為

$$\frac{\partial\theta}{\partial z}>0.$$

氣塊上升時，因絕熱膨脹而冷卻；若環境位溫隨高度增加，氣塊會比新高度的環境更冷、更重，受到向下的恢復力。反之，若 $\partial\theta/\partial z<0$，氣塊垂直位移會加強，形成對流不穩定。

2. 斜壓性如何在穩定大氣中產生不穩度

熱成風關係指出，水平溫度梯度會造成垂直風切。以壓力座標表示其量級關係為

$$\frac{\partial\overline{u}}{\partial\ln p} \propto \frac{R}{f}\frac{\partial\overline{T}}{\partial y}.$$

因此，赤道側暖、極側冷的水平溫度梯度，會支撐隨高度改變的西風。氣層在垂直方向仍可有 $\partial\theta/\partial z>0$，在水平方向也可有 $\partial M/\partial y>0$；但水平熱力差異與垂直風切使平均流的等位溫面、等角動量面傾斜，系統因此具有可釋放的有效位能。

擾動使暖空氣向極地方向移動、冷空氣向赤道方向移動，令平均溫度梯度減弱，並形成波動中的暖舌、冷舌及上升、下沉運動。

核心觀念

條件性不穩度（conditional instability）是指環境直減率介於乾絕熱直減率與飽和絕熱直減率之間：

$$\Gamma_m < \Gamma_e < \Gamma_d$$

其中 $\Gamma_e=-dT_e/dz$ 為環境直減率，$\Gamma_d$ 約為 $9.8\ \mathrm{K\,km^{-1}}$，$\Gamma_m$ 為飽和絕熱直減率，會隨溫度與水氣含量改變，通常小於 $\Gamma_d$。未飽和氣塊受抬升時按乾絕熱遞減降溫；飽和後則按較小的飽和絕熱直減率降溫，因凝結釋放潛熱而比環境氣溫高，浮力轉為正值，便能自行上升。

因此「條件性」指的是：氣塊必須先受外力抬升並達到自由對流高度（LFC），且在其上方仍有正浮力，才會釋放不穩度。若氣塊在 LFC 以下須克服穩定層，外力抬升所需能量稱為對流抑制能（CIN）；進入自由對流後可用對流可用位能（CAPE）描述正浮力所能提供的能量。

空氣須由何處抬升

要釋放條件性不穩度，須抬升條件性不穩定層下方、可供對流發展的暖濕空氣，使它上升至凝結高度，並進一步越過 LFC。抬升來源可以是地表加熱造成的熱對流、地形抬升、海風或其他輻合，也可以是鋒面或大尺度上升運動。

只把整層空氣抬起，不代表必然立即出現對流；若氣塊尚未飽和、未越過 LFC，或上方沒有足夠正浮力，條件性不穩度仍未釋放。

臺灣山區夏季午後容易有對流的原因

夏季日照強，山坡與谷地白天受熱，近地面暖濕空氣形成熱泡並沿坡上升；山谷風與周遭環境的輻合也會促進抬升。臺灣夏季低層水氣充足，氣塊較容易在上升過程中達到凝結高度。若中層大氣呈條件性不穩定，氣塊越過 LFC 後便可快速發展為積雲、積雨雲，帶來午後陣雨或雷雨。

山區地形可提供抬升觸發，白天加熱又在午後累積至較強，濕暖空氣也有利於雲體發展；這幾項條件共同解釋了山區午後對流頻繁的特性。

核心觀念

本題考查的是渦旋熱通量與動量通量如何共同影響平均西風。500 hPa 的西風動量輻合會直接加速該層西風；但其下方若有明顯的向極熱通量，會驅動經向平均環流，並透過科氏力對平均西風產生反向作用，因而抵銷一部分動量輻合造成的加速。

令 $u,v,T$ 分別為東西風、南北風與溫度，橫線表示 zonal mean，撇號表示偏差。北半球中緯度渦旋通常把熱量向極輸送，即 $\overline{v'T'}>0$。在壓力座標下，平均熱力方程可寫成

$$\frac{\partial \overline{T}}{\partial t} +\overline{v}\left(\frac{\partial \overline{T}}{\partial y} -\frac{\kappa \overline{T}}{p}\right) +\overline{\omega}\left(\frac{\partial \overline{T}}{\partial p}\right) = -\frac{\partial \overline{v'T'}}{\partial y} -\frac{\partial \overline{\omega'T'}}{\partial p} +\frac{\overline{Q}}{c_p}.$$

熱通量輻合會改變平均溫度場，促成經向與垂直平均環流。該環流對平均西風的科氏力作用，可由 zonal-mean 動量方程中的 $-f\overline{v}$ 表示；在北半球，若 $\overline{v}>0$（向北），則 $-f\overline{v}<0$，是東風向加速度，會減弱西風。

解題方法

從 zonal-mean zonal momentum equation 判斷兩種作用的符號：