109 高普考高考三級 氣象 大氣動力學 考古題詳解

核心觀念

羅士比數是衡量慣性效應相對於科氏力效應的重要無因次參數。以特徵風速 $U$、特徵水平尺度 $L$ 及科氏參數 $f$ 定義：

其中 $f=2\Omega\sin\phi$，$\Omega$ 為地球自轉角速度，$\phi$ 為緯度。它也可視為水平慣性加速度 $U^2/L$ 與科氏加速度 $|f|U$ 的比值。

解題方法

回答時應說明它比較的兩種作用力，並指出大小所代表的動力平衡：

• $Ro\ll 1$：科氏力相對重要，水平運動常接近地轉平衡。
• $Ro\sim 1$：慣性效應與科氏效應皆不可忽略。
• $Ro\gg 1$：慣性效應相對重要，科氏力影響較小；小尺度流動常以旋轉風平衡近似。

解題技巧

記住「風速除以科氏參數與尺度的乘積」。同一風速下，尺度越小，羅士比數越大；緯度越低，$|f|$ 越小，羅士比數越大。赤道上 $f=0$，此定義不適用，不能直接用地轉近似。

（二）旋轉風（cyclostrophic wind）

核心觀念

旋轉風是氣流沿彎曲路徑運動時，氣壓梯度力與離心效應所對應的向心需求達成平衡、且科氏力可忽略時的風。它適用於尺度小、羅士比數大的流動，例如龍捲風附近的強烈環流。

以圓形、穩定、軸對稱流動為例，令 $r$ 為離旋轉中心的距離、$V$ 為切向風速、$\rho$ 為空氣密度；若氣壓隨半徑向外增加，徑向平衡為：

左側為維持曲線運動所需的向心加速度大小，右側為氣壓梯度力的大小。更一般的梯度風徑向平衡式為：

當科氏力項相對很小，即可忽略 $fV$，得到旋轉風近似。

解題方法

答題須點出「曲線運動」及「忽略科氏力」這兩個條件，再寫出旋轉風平衡式。這可與地轉風區分：旋轉風涉及曲率與向心加速度；地轉風則是氣壓梯度力與科氏力平衡。

解題技巧

旋轉風不是單純指「風在旋轉」，而是特定的動力平衡。看到小尺度強烈旋渦，可聯想到慣性效應重要、科氏力相對不重要。上式採用氣壓向外增加的低壓中心情況；若改變氣壓分布或座標方向，徑向方程的符號也須配合調整。

（三）混合長度理論（mixing length theory）

核心觀念

混合長度理論用來描述湍流如何輸送動量、熱量等物理量。理論假設湍流渦團在混合前可保留原有性質，並移動一段特徵距離 $l$；這段距離稱為混合長度。渦團移動後與周遭空氣混合，造成平均流場的動量交換。

在簡化的一維垂直剪切流中，常以渦旋黏滯係數表示動量混合強度：

核心觀念

西風噴流是對流層上部、沿緯向延伸的強西風帶。其軸通常位於中緯度，約 $35\sim40^\circ$N/S，且接近對流層頂。這題的核心是把「緯向溫度梯度」與「垂直風切」連結起來，再說明大氣環流與斜壓性渦旋如何讓強風集中在中緯度上對流層。

主要關係是地轉風與熱成風平衡。以壓力座標表示，地轉風的熱成風關係為

其中 $u_g$ 為地轉緯向風、$R$ 為乾空氣氣體常數、$f$ 為科氏參數、$T$ 為氣溫、$y$ 為南北向座標。北半球中緯度通常由南向北遞減溫，因此 $\partial T/\partial y<0$；又 $f>0$，表示向上（壓力降低）緯向風增強，形成強西風。

解題方法

1. 從赤道—極地溫差切入。 赤道受熱較多、極地受熱較少，造成南北向溫度梯度。中緯度是暖熱帶與冷極區的交界，也是斜壓性較強的區域。依熱成風關係，這種水平溫度梯度對應上對流層隨高度增強的西風。

2. 說明噴流為何集中於中緯度。 中緯度的斜壓性不穩定會發展出鋒面氣旋與反氣旋等斜壓性渦旋。渦旋輸送熱量與緯向動量，並使高空急流集中在主要溫度梯度帶附近。大尺度環流中，Hadley 環流的極側上層氣流也會對中緯度上空西風有所貢獻；在理想化的角動量守恆描述中，空氣由熱帶向極側流動時，緯向風可增強。

核心觀念

本題考查二維純內重力波的頻散關係，以及由頻散關係判斷相速與群速的傳播方向。題目中的平均水平風速為常數 $u$，因此波的本徵頻率（相對於平均流的頻率）為

其中 $\omega$ 是固定座標系中的角頻率，$k$、$m$ 分別是水平與垂直波數。

（一）頻散關係式

採用平面波假設

其中 $W$ 為振幅。依此假設，各微分算子作用於 $w'$ 時可代換為

代入控制方程：

因為 $(-i)^2=-1$，整理得

因此頻散關係為

令 $K=\sqrt{k^2+m^2}$，也可寫成

或以固定座標系中的頻率表示：

正負號代表兩個不同的頻率分支；扣除平均流造成的多普勒平移 $ku$ 後，內重力波的本徵頻率大小為 $N|k|/K$。

（二）純內重力波的相速與群速

相速

相位 $\theta=kx+mz-\omega t$ 保持不變時，波峰沿相位法線方向移動。相對於平均流，本徵相速向量為

核心觀念

本題考查二層準地轉模式的斜壓不穩定，以及行星渦度梯度 $\beta$ 對波動的影響。題目給出的相速可寫成

其中 $c_r$ 為實數部分。採用波形 $\exp[ik(x-ct)]$ 時，若 $c$ 有虛部，擾動振幅會隨時間指數增長或衰減；其中增長解的成長率為

因此，判斷斜壓不穩定的關鍵是 $\delta<0$。

解題方法與推導

（一）斜壓不穩定的條件

由題目所給

在 $k^2>0$、$\lambda^2>0$ 下，分母皆為正。要使 $\delta<0$，第二項必須足以抵銷第一項，且須有 $2\lambda^2-k^2>0$。故條件為

且

這表示波數太大時，波動穩定；在允許不穩定的波數範圍內，垂直風切 $|U_T|$ 必須大於臨界值。當 $\beta=0$ 時，只要 $U_T\ne 0$ 且 $k^2<2\lambda^2$，便有斜壓不穩定。

（二）最不穩定斜壓波的波長

最不穩定波對應成長率 $\gamma=k\sqrt{-\delta}$ 最大。令

則

因此，若保留 $\beta$ 效應，最不穩定波數須由上式對 $x$ 最大化求得；其數值會依 $\beta/(U_T\lambda^2)$ 而變，不能只由題目所列符號得到一個固定波長。

在常見的無 $\beta$ 近似下，令 $B=0$，最大化

核心觀念

本題考自然座標下的梯度風平衡，以及曲率與科氏力對高、低壓環流的影響。梯度風假設水平風沿等壓線作曲線運動，忽略摩擦與局地加速度，水平方向由氣壓梯度力、科氏力及曲率所需的向心加速度共同平衡。

令 $s$ 為沿氣流方向的自然座標，$n$ 為垂直氣流且指向左側的方向；$V$ 為風速，$R$ 為曲率半徑的正值，$f$ 為科氏參數，$\rho$ 為空氣密度。以 $n$ 方向的氣壓梯度加速度記為 $-(1/\rho)(\partial p/\partial n)$，梯度風方程為

若將壓力梯度加速度大小記為 $G>0$，方程依環流方向可改寫為

在北半球 $f>0$。高壓環流為順時針，曲率向心加速度與氣壓梯度力同向，科氏力反向；低壓環流為逆時針，科氏力與氣壓梯度力同向，曲率向心加速度反向。

解題方法

將高、低壓的力方向分別代入梯度風平衡，解二次方程，並保留符合風速非負及力平衡的根。

正常低壓

低壓中心外的氣壓梯度力指向中心；北半球逆時針環流時，科氏力也指向外側、與氣壓梯度力平衡。以徑向向內為正，向心加速度為 $V^2/R$，科氏力的徑向分量為 $fV$，因此

整理為

解得

因 $G>0$，只有正根符合風速 $V\geq 0$，故正常低壓的解為

亦可用氣壓梯度大小 $|\nabla_h p|$ 表示 $G=|\nabla_h p|/\rho$：

核心觀念

本題比較聲波與羅士比波（Rossby wave）的物理特性，重點是辨認波動的回復力、振動方向、頻散性，以及相速和群速的意義。

• 回復力：使流體偏離平衡後產生加速度、促使其回復或振盪的作用。
• 橫波與縱波：介質振動方向與波的傳播方向垂直者為橫波，平行者為縱波。
• 頻散波與非頻散波：若相速隨波數或波長改變，稱為頻散波；相速不隨波數改變，稱為非頻散波。
• 相速 $c_p$：固定相位（例如波峰）的傳播速度。
• 群速 $c_g$：波包包絡及波動能量或資訊的傳播速度。在一維波動中，$c_g=\partial\omega/\partial k$；相速為 $c_p=\omega/k$。

解題方法與物理比較

一、聲波

聲波是流體中的壓縮與膨脹擾動。氣團受壓縮時，壓力梯度力使其加速；氣團膨脹時，壓力梯度力則使其反向加速，因此壓力梯度力（彈性壓縮力）是主要回復力。

聲波中的空氣質點振動方向與波的傳播方向平行，所以在一般大氣中聲波屬於縱波。對均勻、靜止、無耗散的理想氣體，聲波頻散關係為

其中 $c_s$ 為聲速，$k$ 為波數。因此

在此理想條件下，聲波是非頻散波，相速與群速相同；不同波長的聲波以相同速度傳播。若考慮非均勻介質、耗散或其他複雜效應，傳播速度可受環境影響，但基本理想聲波的分類如上。

二、羅士比波

羅士比波是大尺度大氣或海洋流動受行星渦度隨緯度改變影響而形成的波動。其主要回復力來自行星渦度梯度，即科氏參數 $f$ 隨緯度改變（$\beta=\partial f/\partial y$）所造成的渦度調整。氣團南北移動時，為守恆位渦，會產生相應的相對渦度變化，促使波動傳播。

核心觀念

本題考查準地轉理論中的 Q 向量診斷。在北半球中緯度，Q 向量的輻合區對應上升運動，輻散區對應下沉運動。等壓線可用來判斷地轉風方向；等溫線則提供水平溫度梯度。

令 $x$ 向東、$y$ 向北，地轉風為 $(u_g,v_g)$，則一種常用的 Q 向量寫法為

其方向反映地轉風沿溫度梯度方向的變化。準地轉垂直運動方程中，Q 向量輻合強迫上升，Q 向量輻散強迫下沉。

解題方法