109 高普考高考三級 氣象 應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析） 考古題詳解

109 年・高普考・高考三級・氣象
試題代碼 應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析）

第 一 題20 分

設 aa 和 bb 為實數，試求下列對稱矩陣為正定（positive definite）的充分必要條件，並證明其結果。

(abbbbabbbbabbbba)\begin{pmatrix} a & b & b & b\\ b & a & b & b\\ b & b & a & b\\ b & b & b & a \end{pmatrix}

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核心觀念

正定矩陣的定義是：對每個非零向量 xx，二次型都滿足 xTAx>0x^{T}Ax>0。本題矩陣的對角元素皆為 aa，非對角元素皆為 bb，可寫成

A=(a−b)I+bJ,A=(a-b)I+bJ,

其中 II 是 4×44\times4 單位矩陣，JJ 是所有元素皆為 11 的矩陣。利用 JJ 對全一方向及其正交方向的作用，可直接判定 AA 的正定條件。

解題方法

令 e=(1,1,1,1)Te=(1,1,1,1)^T。因為 Je=4eJe=4e，所以

Ae=((a−b)I+bJ)e=(a+3b)e.Ae=\bigl((a-b)I+bJ\bigr)e=(a+3b)e.

因此，ee 是 AA 的特徵向量，對應特徵值為 a+3ba+3b。

若 xx 與 ee 正交，即 x1+x2+x3+x4=0x_1+x_2+x_3+x_4=0，則 Jx=0Jx=0，故

Ax=((a−b)I+bJ)x=(a−b)x.Ax=\bigl((a-b)I+bJ\bigr)x=(a-b)x.

這類向量構成三維子空間，所以 a−ba-b 是重數為 33 的特徵值。

對稱矩陣正定若且唯若所有特徵值皆為正。因此必須且只須

a+3b>0,a−b>0.a+3b>0,\qquad a-b>0.

充分必要性的證明

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第 二 題20 分

求下列微分方程系統的解。

u′(t)=2u(t)−v(t)+etu'(t)=2u(t)-v(t)+e^t v′(t)=3u(t)−2v(t)−etv'(t)=3u(t)-2v(t)-e^t u(0)=1,v(0)=2u(0)=1,\qquad v(0)=2

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核心觀念

本題考一階線性微分方程組的解法。將未知函數組成向量 X(t)=(u(t)v(t))X(t)=\begin{pmatrix}u(t)\\v(t)\end{pmatrix}，可寫成

X′=AX+etb,A=(2−13−2),b=(1−1).X'=AX+e^t b,\qquad A=\begin{pmatrix}2&-1\\3&-2\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.

解題關鍵是先求齊次系統 X′=AXX'=AX 的解，再求外力項 etbe^t b 所對應的特解，最後代入初始條件。

解題方法

先求矩陣 AA 的特徵值：

det⁡(λI−A)=∣λ−21−3λ+2∣=λ2−1=0,\det(\lambda I-A) = \begin{vmatrix} \lambda-2&1\\ -3&\lambda+2 \end{vmatrix} =\lambda^2-1=0,

因此特徵值為 λ=1,−1\lambda=1,-1。

當 λ=1\lambda=1 時，解 (A−I)w=0(A-I)w=0 得特徵向量 (11)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}；當 λ=−1\lambda=-1 時，解 (A+I)w=0(A+I)w=0 得特徵向量 (13)\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}。所以齊次解為

Xh(t)=C1et(11)+C2e−t(13).X_h(t) = C_1e^t\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + C_2e^{-t}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.

由於外力項含 ete^t，且 ete^t 正是齊次解的其中一個模態，直接設 Xp=etcX_p=e^t c 會與齊次解重複，因此改設

Xp(t)=tetq,X_p(t)=t e^t q,

其中 qq 為常向量。代入方程：

Xp′=et(1+t)q,X_p'=e^t(1+t)q, et(1+t)q=A(tetq)+etb.e^t(1+t)q=A(t e^t q)+e^t b.

比較常數項與 tt 項，得

q=Aq,q=b.q=Aq,\qquad q=b.

但 b=(1−1)b=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} 並非 AA 對應特徵值 11 的特徵向量，故此處應保留一般的 ete^t 特解設法並檢查共振方向。將方程投影到兩個特徵方向，可得外力項

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第 三 題20 分

設 F⃗\vec{F} 及 G⃗\vec{G} 為三維向量場，證明下列散度、旋度公式。

div⁡(F⃗×G⃗)=(curl⁡F⃗)⋅G⃗−F⃗⋅(curl⁡G⃗)\operatorname{div}(\vec{F}\times\vec{G}) =(\operatorname{curl}\vec{F})\cdot\vec{G} -\vec{F}\cdot(\operatorname{curl}\vec{G})

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核心觀念

本題考查向量分析中「散度」與「旋度」的定義，以及叉積的分量展開。設 F⃗=(F1,F2,F3)\vec F=(F_1,F_2,F_3)、G⃗=(G1,G2,G3)\vec G=(G_1,G_2,G_3)，且各分量具有連續一階偏導數，則

div⁡A⃗=∂A1∂x+∂A2∂y+∂A3∂z,\operatorname{div}\vec A =\frac{\partial A_1}{\partial x} +\frac{\partial A_2}{\partial y} +\frac{\partial A_3}{\partial z}, curl⁡A⃗=(∂A3∂y−∂A2∂z,∂A1∂z−∂A3∂x,∂A2∂x−∂A1∂y).\operatorname{curl}\vec A =\left( \frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z}, \frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x}, \frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y} \right).

解題方法

以分量直接展開 F⃗×G⃗\vec F\times\vec G，再依散度定義求導。

首先，

F⃗×G⃗=(F2G3−F3G2,  F3G1−F1G3,  F1G2−F2G1).\vec F\times\vec G = \left( F_2G_3-F_3G_2,\; F_3G_1-F_1G_3,\; F_1G_2-F_2G_1 \right).

因此，

div⁡(F⃗×G⃗)=∂∂x(F2G3−F3G2)+∂∂y(F3G1−F1G3)+∂∂z(F1G2−F2G1).\begin{aligned} \operatorname{div}(\vec F\times\vec G) ={}& \frac{\partial}{\partial x}(F_2G_3-F_3G_2) +\frac{\partial}{\partial y}(F_3G_1-F_1G_3)\\ &+\frac{\partial}{\partial z}(F_1G_2-F_2G_1). \end{aligned}

使用乘積微分法則展開：

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第 四 題20 分

（一）寫出 2L2L 週期實函數 f(x)f(x) 的傅立葉級數公式。（6分）

（二）設 ϕ(x)\phi(x) 為（一）中之傅立葉基底函數，∫−LLϕ(x)2 dx\int_{-L}^{L}\phi(x)^2\,dx 為何？（6分）

（三）使用（一）計算 ∫−LLf(x)2 dx\int_{-L}^{L}f(x)^2\,dx。（8分）

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核心觀念

本題考傅立葉級數的實數形式、三角函數的正交性，以及 Parseval 等式。在區間 [−L,L][-L,L] 上，傅立葉基底為

1,cos⁡nπxL,sin⁡nπxL(n=1,2,…),1,\quad \cos\frac{n\pi x}{L},\quad \sin\frac{n\pi x}{L}\qquad(n=1,2,\ldots),

其正交性使平方積分可化為傅立葉係數平方和。

解題方法

令 ff 為 2L2L 週期函數，且在適當條件下可展成傅立葉級數：

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπxL+bnsin⁡nπxL),f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right),

其中係數為

a0=1L∫−LLf(x) dx,a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx, an=1L∫−LLf(x)cos⁡nπxL dx,bn=1L∫−LLf(x)sin⁡nπxL dx.a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\qquad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.

傅立葉級數中每個基底函數的平方積分如下：

∫−LL12 dx=2L,\int_{-L}^{L}1^2\,dx=2L,

而對 n≥1n\ge 1，

∫−LLcos⁡2nπxL dx=∫−LLsin⁡2nπxL dx=L.\int_{-L}^{L}\cos^2\frac{n\pi x}{L}\,dx =\int_{-L}^{L}\sin^2\frac{n\pi x}{L}\,dx=L.

因此，若 ϕ(x)\phi(x) 指常數基底 11，平方積分為 2L2L；若指正弦或餘弦基底，平方積分為 LL。

將級數平方後在 [−L,L][-L,L] 積分，利用不同基底彼此正交，所有交叉項積分皆為零，故

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第 五 題20 分

求下列偏微分方程的通解 ww。

(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2)w(x2+y2+z2)=0\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) w\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)=0

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核心觀念

題目中的 ww 只透過距離 r=x2+y2+z2r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} 依賴空間位置，因此是球對稱（徑向）函數。三維拉普拉斯算子作用於徑向函數時，可化為只含 rr 的微分式：

∇2w(r)=w′′(r)+2rw′(r),r>0.\nabla^2 w(r)=w''(r)+\frac{2}{r}w'(r),\qquad r>0.

解題方法

令 r=x2+y2+z2r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}，將 ww 視為 rr 的函數。由鏈鎖律，

∂w∂x=w′(r)xr,\frac{\partial w}{\partial x}=w'(r)\frac{x}{r},

同理可得 ∂w∂y=w′(r)y/r\frac{\partial w}{\partial y}=w'(r)y/r、∂w∂z=w′(r)z/r\frac{\partial w}{\partial z}=w'(r)z/r。將三個方向的二階偏導數相加，得到

∇2w=w′′(r)+2rw′(r).\nabla^2w =w''(r)+\frac{2}{r}w'(r).

因此原方程化為常微分方程

w′′(r)+2rw′(r)=0.w''(r)+\frac{2}{r}w'(r)=0.

乘以 r2r^2 後可寫成全微分形式：

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