111 高普考高考三級 氣象 大氣測計學（包括傳統觀測與遙測） 考古題詳解

核心觀念

本題評量氣象雷達觀測大氣降水粒子的基本物理原理，涵蓋兩大核心：

1. 質量守恆與幾何體積關係：雨滴聚合過程中總質量守恆，粒徑變化直接影響粒子數濃度。
2. 瑞利散射（Rayleigh Scattering）與氣象雷達方程式：

• 當降水粒子直徑 $D$ 遠小於雷達波長 $\lambda$（滿足 $D / \lambda \le 0.1$）時，散射遵循瑞利散射定律。
• 氣象雷達接收之平均回波功率 $\bar{P}_r$ 與目標物的**雷達反射率因子（$Z$）及粒子複介電因子（$|K|^2$）**成正比： $\bar{P}_r \propto |K|^2 Z$
• 雷達反射率因子定義為單位體積內粒子直徑的六次方總和： $Z = \sum_{i} N_i D_i^6$
• 粒子複介電因子 $|K|^2 = \left| \frac{m^2 - 1}{m^2 + 2} \right|^2$（$m$ 為粒子物質的複折射率）：
• 液態水滴：$|K_w|^2 \approx 0.93$
• 固態純冰：$|K_i|^2 \approx 0.176$（部分教科書依溫濕度及波長取約 $0.18 \sim 0.197$）

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解題方法

(一) 水滴聚合之粒子數變化與回波增減計算

1. 求聚合後水滴個數：

• 設初始單一水滴直徑為 $d$，其體積為 $V_1 = \frac{\pi}{6} d^3$。
• 聚合後單一水滴直徑為 $2d$，其體積為： $V_2 = \frac{\pi}{6} (2d)^3 = 8 \left( \frac{\pi}{6} d^3 \right) = 8 V_1$
• 設水滴密度 $\rho_w$ 保持不變，因總質量守恆，單位體積內的水滴總體積亦守恆： $n \cdot V_1 = n' \cdot V_2$ $n \cdot V_1 = n' \cdot (8 V_1) \implies n' = \frac{n}{8} = 0.125n$
• 因此，水滴個數變為原來的 $\frac{1}{8}$（即 $\frac{n}{8}$ 個或 $0.125n$ 個）。

2. 求雷達回波變化量（$\mathrm{dB}$）：

• 初始雷達反射率因子 $Z_1$： $Z_1 = n \cdot d^6$
• 聚合後雷達反射率因子 $Z_2$： $Z_2 = n' \cdot (2d)^6 = \left( \frac{n}{8} \right) \cdot (64 d^6) = 8 n d^6 = 8 Z_1$
• 兩者皆為液態水滴，$|K|^2$ 維持相同，因此雷達回波功率比值即為反射率因子比值 $\frac{Z_2}{Z_1} = 8$。
• 雷達回波強度的變化以分貝（$\mathrm{dB}$）表示： $\Delta \mathrm{dB} = 10 \log_{10} \left( \frac{\bar{P}_{r2}}{\bar{P}_{r1}} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{Z_2}{Z_1} \right) = 10 \log_{10}(8)$ $\Delta \mathrm{dB} = 10 \log_{10}(2^3) = 30 \log_{10}(2) \approx 30 \times 0.30103 \approx 9.03\ \mathrm{dB}$
• 因此，雷達偵測到的回波增加約 $9.03\ \mathrm{dB}$。

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(二) 水滴凝結成冰之回波增減計算

1. 粒子尺寸與反射率因子：

• 題目假設個數仍為 $n$，粒子直徑仍維持 $d$。
• 幾何反射率因子不變： $Z_{\text{ice}} = n \cdot d^6 = Z_{\text{water}}$

2. 介電效應與雷達回波功率變化：

• 根據氣象雷達方程式，在粒子尺寸與個數不變的情況下，雷達接收功率直接與粒子的介電因子 $|K|^2$ 成正比：

核心觀念

本題評量高空探空觀測（Radiosonde Observation）之基本作業規範、運動學軌跡推導，以及觀測資料在時空代表性上的物理限制：

1. 探空氣球作業規範：探空氣球（Radiosonde balloon）透過灌注氣體（氦氣或氫氣）獲得淨浮力，氣球升速取決於浮力與空氣阻力的平衡。作業上需兼顧「感應器時間響應（Sensor time lag）」與「觀測時效性」。
2. 大氣運動學與向量積分：

• 垂直方向：等速運動 $z(t) = w \cdot t$。
• 水平方向：大氣垂直風切為定值即 $\frac{d\vec{V}_h}{dz} = \text{常數}$，代表水平風向量隨高度線性變化。
• 氣象風向定義：風向為「風的來向」。東北風（Northeasterly）為由東北吹向西南；西南風（Southwesterly）為由西南吹向東北。兩者方向恰好相反（互差 $180^\circ$）。

3. 探空資料之時空代表性（Representativeness）限制：探空儀並非固定於測站正上方的垂直鉛直線觀測，而是在拉格朗日（Lagrangian）視角下隨風漂移，其剖面本質上為「傾斜且歷時數十分鐘」的非同步時空混合軌跡。

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解題方法與詳細推導

(一) 探空氣球之標準上升速度

一般氣象作業單位（如交通部中央氣象局，現改制為中央氣象署；以及世界氣象組織 WMO 作業指引）在進行例行高空觀測時，探空氣球之標準上升速度約為： $w = 5\ \mathrm{m/s}$ （作業允許範圍通常落在 $5 \sim 6\ \mathrm{m/s}$，相當於約 $300 \sim 360\ \mathrm{m/min}$）。

• 物理與觀測考量：
• 若升速過快（$> 6\ \mathrm{m/s}$）：溫度與濕度感應器因時間遲滯（Time lag），無法充分反應大氣微細逆溫層或急遽濕度跳變，降低垂直解析度。
• 若升速過慢（$< 4\ \mathrm{m/s}$）：氣球漂移時間過長、漂移距離過遠，導致觀測資料時效落後，且容易在對流層頂前即因電池耗盡或飄出地面天線追蹤角範圍。

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(二) 上升時間與水平漂移距離計算

依據第 (一) 小題取標準上升速度 $w = 5\ \mathrm{m/s}$ 進行推導：

1. 上升時間計算

目標高度 $H = 16\ \mathrm{km} = 16,000\ \mathrm{m}$，氣球等速上升： $T = \frac{H}{w} = \frac{16,000\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{m/s}} = 3,200\ \mathrm{s}$ 換算為分鐘與秒： $T = 53\text{ 分 } 20\text{ 秒} \quad (\approx 53.33\text{ 分鐘})$

2. 水平速度向量與垂直風切分析

氣象學風向為風的來向：

• 地面風：東北風 $10\ \mathrm{m/s}$ $\rightarrow$ 風由東北吹向西南，方位角為 $45^\circ$。
• $16\ \mathrm{km}$ 高空風：西南風 $60\ \mathrm{m/s}$ $\rightarrow$ 風由西南吹向東北，方位角為 $225^\circ$。

兩者皆位於同一直線上（西南—東北軸線，方位角 $45^\circ - 225^\circ$）。 建立一維坐標軸 $s$，定義指向東北方（$45^\circ$）為正向：

• 地面水平風速：朝西南吹，故速度值 $v_s(0) = -10\ \mathrm{m/s}$。
• $16\ \mathrm{km}$ 水平風速：朝東北吹，故速度值 $v_s(H) = +60\ \mathrm{m/s}$。

題目給定垂直風切為定值，即 $\frac{dv_s}{dz} = \text{常數}$，風速隨高度呈線性分布： $v_s(z) = v_s(0) + \left(\frac{v_s(H) - v_s(0)}{H}\right) z$

又因等速上升 $z = w \cdot t$，風速隨時間亦呈線性變化： $v_s(t) = v_s(0) + \left(\frac{v_s(H) - v_s(0)}{T}\right) t$

3. 水平位移計算

水平位移 $S$ 為水平速度對時間之定積分： $S = \int_{0}^{T} v_s(t) \, dt$

由於 $v_s(t)$ 為時間的線性函數，該積分等於全程之平均水平速度 $\bar{v}_s$ 乘以總時間 $T$： $\bar{v}_s = \frac{v_s(0) + v_s(H)}{2} = \frac{-10\ \mathrm{m/s} + 60\ \mathrm{m/s}}{2} = 25\ \mathrm{m/s}$

代入總時間 $T = 3,200\ \mathrm{s}$：

核心觀念

本題評量高空大氣觀測（探空觀測，Radiosonde）的垂直坐標系統轉換與熱力學、流體靜力平衡原理。核心公式與物理概念包含：

1. 重力位（Geopotential, $\Phi$）與重力位高度（Geopotential Height, $Z$）的定義： $\Phi(z) = \int_0^z g(\phi, z') \, dz', \quad Z \equiv \frac{\Phi(z)}{g_0} = \frac{1}{g_0}\int_0^z g(\phi, z') \, dz'$ 其中 $g_0 = 9.80665 \text{ m/s}^2$ 為標準海平面重力加速度，$g(\phi, z)$ 為隨緯度 $\phi$ 與幾何高度 $z$ 變化的真實局部重力加速度。

2. 水氣熱力學參量轉換：

• 飽和水氣壓公式（Tetens 公式）：$e_s(T)$
• 實測水氣壓：$e = RH \times e_s(T)$
• 水氣混合比（Mixing Ratio）：$w \approx \varepsilon \frac{e}{p - e} \approx 0.622 \frac{e}{p}$
• 虛溫（Virtual Temperature, $T_v$）：$T_v = T(1 + 0.608w)$

3. 流體靜力平衡方程式（Hydrostatic Equation）與理想氣體狀態方程式（Ideal Gas Law）： $\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g \implies \frac{\partial p}{\partial Z} = -\rho g_0$ $p = \rho R_d T_v$ 其中 $R_d \approx 287.05 \text{ J/(kg}\cdot\text{K)}$ 為乾空氣氣體常數。

4. 測高方程式（Hypsometric Equation）： $\Delta Z = Z_2 - Z_1 = \frac{R_d \overline{T}_v}{g_0} \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right)$

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解題方法

(一) 說明為何要使用重力位高度？

在真實地球上，局部重力加速度 $g$ 會隨緯度（地球自轉離心力與赤道略凸的扁球體效應）以及幾何高度 $z$（與地心距離平方成反比）而變化，即 $g = g(\phi, z)$ 並非常數。在大氣觀測與動力學中改用「重力位高度」之原因如下：

1. 消除空間變化之重力加速度，簡化大氣運動與熱力方程式： 若使用幾何高度 $z$ 為垂直坐標，流體靜力方程式為： $\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} = -g(\phi, z)$ 此時 $g$ 為位置的函數，導致大氣運動方程、垂直積分與熱力學分析皆須代入各地的局部 $g$ 值，計算極為繁複。改用重力位高度 $Z$ 後，因 $d\Phi = g \, dz = g_0 \, dZ$，流體靜力平衡式簡化為： $\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial Z} = -g_0$ 使重力加速度項固定為全球常數 $g_0$，大幅簡化理論推導與數值計算。

2. 等重力位面即為重力場之等位面（實質物理水平面）： 空氣塊沿著同一重力位面移動時，重力對其作功為零（$d\Phi = 0$）。若單純以幾何高度 $z$ 為水平面，因赤道 $g$ 小於兩極，同幾何高度面並非等位面，水平氣壓梯度力與重力分量會互相牽扯。使用 $Z$ 可確保「等高度面」即為「無重力做功之物理水平面」。

3. 便於氣壓坐標系轉換與天氣圖客觀分析： 高空天氣圖（如 850 hPa、500 hPa）皆採用氣壓坐標系。在氣壓坐標下，氣壓梯度力直接表示為 $-g_0 \nabla_p Z$，地轉風公式為： $\mathbf{V}_g = \frac{g_0}{f} \mathbf{k} \times \nabla_p Z$ 地轉風與等壓面上的重力位高度等值線（等高線）平行且強度成正比，無須在不同緯度修正 $g$ 值，使得天氣圖的分析與能量診斷（如重力位能與動能轉換）具備一致性。

4. 配合探空儀觀測實務： 無線電探空儀主要直接量測氣壓 $p$、氣溫 $T$、相對濕度 $RH$，並無法精準量測空間各點之局部重力場 $g$。藉由測高公式，氣象人員可直接利用觀測的熱力資料積分求得 $Z$，無須觀測當地的即時幾何高度與重力場。

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(二) 說明如何利用氣壓、溫度及相對濕度計算重力位高度？

利用探空儀量測之氣壓 $p$、攝氏溫度 $t$（或熱力學溫度 $T = t + 273.15 \text{ K}$）及相對濕度 $RH$ 計算重力位高度，標準步驟如下：

步驟一：計算飽和水氣壓 $e_s$

利用氣溫 $t$（單位：$^\circ\text{C}$），透過經驗公式（如 Tetens 公式）計算目前溫度下的飽和水氣壓 $e_s$（單位：$\text{hPa}$）： $e_s(t) = 6.112 \times \exp\left(\frac{17.67 \cdot t}{t + 243.5}\right)$

步驟二：計算環境實際水氣壓 $e$

依據相對濕度定義 $RH = \frac{e}{e_s} \times 100\%$，代入實測之相對濕度求得實際水氣壓 $e$： $e = \left(\frac{RH}{100}\right) \times e_s(t)$

步驟三：計算水氣混合比 $w$

由氣壓 $p$ 與水氣壓 $e$，計算水氣相對於乾空氣的混合比 $w$（單位：$\text{kg/kg}$）： $w = \varepsilon \frac{e}{p - e} \approx 0.622 \frac{e}{p}$ 其中 $\varepsilon = \frac{R_d}{R_v} = \frac{287.05}{461.5} \approx 0.622$。

步驟四：計算虛溫 $T_v$

水氣分子量小於乾空氣分子量，濕空氣密度小於同溫同壓下的乾空氣。為在計算中維持乾空氣狀態方程式形式，引入虛溫 $T_v$ 修正水氣造成的密度降低效應： $T_v = T(1 + 0.608w)$ 其中 $T$ 必須為絕對溫度（單位：$\text{K}$）。

核心觀念

本題評量大氣測計學中「接觸式感溫元件」的物理機制、材料特性與工程應用。核心觀念涵蓋：

1. 電阻溫度效應（Resistance-Temperature Characteristic）：

• 導體或半導體之電阻值隨溫度變化的物理規律，其溫度係數（Temperature Coefficient of Resistance, TCR，記為 $\alpha$）定義為： $\alpha = \frac{1}{R_0} \frac{dR}{dT}$
• 當 $\alpha > 0$，電阻隨溫度升高而增大，稱為**正溫度係數（PTC）**或正電阻式。
• 當 $\alpha < 0$，電阻隨溫度升高而下降，稱為**負溫度係數（NTC）**或負電阻式。

2. 微觀導電機制：金屬晶格熱振動對電子的散射作用，與半導體價帶電子受熱激發躍遷形成載子（電子與電洞）的濃度變化。
3. 特徵方程式：金屬電阻的 Callendar-Van Dusen 近似式與熱敏電阻的指數型式（或 Steinhart-Hart 方程式）。
4. 氣象觀測適用性：地面自動氣象站（AWS）與高空無線電探空儀（Radiosonde）對準確度、長期穩定性、線性度及熱響應時間（Time Constant）的權衡選擇。

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解題方法

本題為 20 分之申論題，答題結構應採「雙核心、三構面」的矩陣佈局。將「正電阻式」與「負電阻式」分列兩大主標題，各自依序剖析工作原理（含微觀機制與數學關係）、使用材質、優缺點評析，最後輔以「氣象應用對比整合」，展現大氣測計學科的專業深度。

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申論解析與擬答

一、正電阻式溫度儀（Positive Temperature Coefficient, PTC）

1. 工作原理：

• 微觀物理機制：正電阻式感溫元件（通稱電阻式溫度計，Resistance Temperature Detector, RTD）主要由純金屬構成。金屬內部的傳導電子濃度極高且基本維持固定；當環境溫度上升時，晶格原子熱振動加劇，自由電子在電場引導流動時與晶格碰撞的碰撞頻率（散射機率）顯著提高，平均自由程縮短，導致宏觀電阻值隨溫度升高而增加（$\alpha > 0$）。
• 特性方程式：在氣象常用的量測溫區（$-50^\circ\text{C} \sim +60^\circ\text{C}$），其電阻與溫度呈現高度線性關係，可表示為： $R(T) = R_0 [1 + A T + B T^2]$ 在較窄的氣溫範圍內常簡化為線性近似式： $R(T) \approx R_0 (1 + \alpha T)$ 其中 $R_0$ 為 $0^\circ\text{C}$ 時的基準電阻值，$A, B$ 為校準常數，$\alpha$ 為平均電阻溫度係數。

2. 所用材質：

• 白金／鉑（Platinum, Pt）：氣象觀測領域最廣泛使用之材料。具有極佳的抗氧化性、化學惰性與機械穩定性，最常見規格為 $0^\circ\text{C}$ 時電阻為 $100\ \Omega$ 的 Pt100，以及高電阻規格的 Pt1000。其平均溫度係數 $\alpha \approx 0.00385\ ^\circ\text{C}^{-1}$。
• 銅（Copper, Cu）：線性度極佳且成本低，但易氧化，且電阻率低、耐溫範圍小，僅用於少數特殊低成本儀器。
• 鎳（Nickel, Ni）：靈敏度高於白金，但線性區間窄且在高溫或潮濕環境下易老化漂移。

3. 優缺點評析：

• 優點：
• 量測精準度高：校準後的白金電阻測溫誤差可控制在 $\pm 0.1^\circ\text{C}$ 以內，符合世界氣象組織（WMO）高標準。
• 長期穩定性卓越：元件抗老化能力強，基準電阻年漂移量極低，適合長期連續運作。
• 線性度良好：電阻與溫度關係幾近線性，信號調理電路設計簡單，換算誤差小。
• 互換性與重現性極佳：國際工業標準（如 IEC 60751）嚴格定義，更換感溫頭無需重新重新標定電路。
• 缺點：
• 靈敏度較低：溫度每變化 $1^\circ\text{C}$，Pt100 電阻變化僅約 $0.385\ \Omega$，需配置高解析度放大電路與 A/D 轉換器。
• 引線電阻干擾顯著：因本體電阻較小（如 $100\ \Omega$），連接導線本身的電阻及其隨環境溫度產生的阻值變化會造成明顯誤差，必須採用**三線式（3-wire）或四線式（4-wire）**電橋電路進行補償。
• 熱響應時間較長：金屬電阻體通常需封裝於保護金屬套管中，熱容量較大，時間常數較大（約數秒至數十秒），不利於快速瞬變量測。
• 成本較高：貴重金屬加工與精密封裝成本顯著高於半導體熱敏元件。

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二、負電阻式溫度儀（Negative Temperature Coefficient, NTC）

1. 工作原理：

• 微觀物理機制：負電阻式感溫元件（通稱負溫度係數熱敏電阻，NTC Thermistor）屬於半導體陶瓷材料。在絕對零度附近，價帶電子被束縛；當環境溫度上升時，熱能激發價帶電子跨越能隙（Band Gap）躍遷至傳導帶，使自由電子與電洞的濃度呈指數型激增。雖然晶格振動散射亦隨溫度增加，但載子濃度激增之主導效應遠大於散射阻礙效應，使材料宏觀電阻值隨溫度升高而呈指數急遽下降（$\alpha < 0$）。
• 特性方程式：阻值與熱力學絕對溫度 $T$（單位：$\text{K}$）呈強烈指數關係： $R(T) = R_0 \exp\left[ \beta \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{T_0} \right) \right]$