112 高普考高考三級 電力工程 工程數學 考古題詳解

核心觀念

此題考二階非線性微分方程的降階技巧。方程式只含 $y$、$y'$、$y''$，且可整理成 $y$ 與導數的乘積關係；改以 $y$ 為自變數、$y'$ 為函數，可將二階方程降為一階方程。

解題方法

原式為

$$yy''=(y')^2.$$

先注意到 $y=0$ 是常數解。對非零解，在 $y\ne 0$ 的區間內兩邊除以 $y^2$：

$$\frac{y''}{y}=\frac{(y')^2}{y^2}.$$

利用

$$\left(\frac{y'}{y}\right)' =\frac{yy''-(y')^2}{y^2},$$

可知原方程等價於

$$\left(\frac{y'}{y}\right)'=0.$$

核心觀念

複數線積分可沿曲線參數化計算。單位圓逆時針一周可設為 $z(t)=e^{it}$，其中 $0\le t\le 2\pi$。此時 $dz=z'(t)\,dt$，而 $\overline z$ 是 $z$ 的複共軛。

解題方法

令

$$z(t)=e^{it},\qquad dz=ie^{it}\,dt,\qquad \overline{z(t)}=e^{-it}.$$

因此

核心觀念

平面夾角定義為兩平面法向量的銳角或直角。若兩平面的法向量分別為 $\mathbf n_1$、$\mathbf n_2$，則

$$\cos\theta=\frac{|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|}{\|\mathbf n_1\|\,\|\mathbf n_2\|}, \qquad 0\leq\theta\leq90^\circ.$$

絕對值可確保取到題目指定的銳角或直角。

解題方法

平面 $2x-y+2z=1$ 的法向量為

$$\mathbf n_1=(2,-1,2).$$

平面 $x-y=2$ 可寫成 $x-y+0z=2$，法向量為

$$\mathbf n_2=(1,-1,0).$$

計算法向量內積與長度：

核心觀念

特徵值 $\lambda$ 與特徵向量 $\mathbf{x}\ne\mathbf{0}$ 的定義為

$$A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x},$$

等價於

$$(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}.$$

因此，特徵值由特徵方程 $\det(A-\lambda I)=0$ 求得；對每個特徵值，再解齊次方程 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$，即可求出對應的特徵向量。

解題方法

題目矩陣為

$$A= \begin{bmatrix} 2&0&0\\ 1&0&2\\ 0&0&3 \end{bmatrix}.$$

先求特徵多項式：

$$\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda&0&0\\ 1&-\lambda&2\\ 0&0&3-\lambda \end{vmatrix} =(2-\lambda)(-\lambda)(3-\lambda).$$

令其為零，得到特徵值

$$\lambda=0,\quad 2,\quad 3.$$

接著分別求特徵向量。

當 $\lambda=0$ 時：

$$A\mathbf{x}=\mathbf{0}.$$

令 $\mathbf{x}=(x,y,z)^T$，則

$$\begin{cases} 2x=0,\\ x+2z=0,\\ 3z=0. \end{cases}$$

可得 $x=z=0$，而 $y$ 為任意非零值。因此

$$\mathbf{x}=t\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\qquad t\ne0.$$

當 $\lambda=2$ 時：

核心觀念

這題考二階常係數非齊次微分方程，解答由齊次方程的通解與非齊次方程的特解組成：

$y=y_h+y_p$

右側先用雙曲函數恆等式改寫為指數函數，再以待定係數法求特解。

解題方法

由特徵方程求齊次解：

$r^2-r-12=0=(r-4)(r+3)$

所以

$y_h=C_1e^{4x}+C_2e^{-3x}$

利用 $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$，可得

$$2\sinh^2x=\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{2} =\frac12e^{2x}-1+\frac12e^{-2x}$$

令微分算子 $L[y]=y''-y'-12y$。對 $e^{kx}$ 有

$L[e^{kx}]=(k^2-k-12)e^{kx}$

右側包含 $e^{2x}$、常數與 $e^{-2x}$，且這三項都不是齊次解，因此設

$y_p=Ae^{2x}+B+De^{-2x}$

逐項代入：

• $e^{2x}$ 項：$2^2-2-12=-10$，故 $-10A=\dfrac12$，所以 $A=-\dfrac1{20}$。
• 常數項：$L[B]=-12B$，故 $-12B=-1$，所以 $B=\dfrac1{12}$。

核心觀念

本題考二階常係數非齊次微分方程的特解，可用參數變動法求解。右側含 $\tan(2x)$，與齊次解中的三角函數共振，不能直接套用一般待定係數法的簡單形式。

解題方法

先將方程除以 $3$：

$$y''+4y=\frac{2}{3}\tan(2x).$$

對應的齊次方程為 $y''+4y=0$，其基本解為

$$y_1=\cos(2x),\qquad y_2=\sin(2x),$$

Wronskian 為

$$W=y_1y_2'-y_1'y_2 =2\cos^2(2x)+2\sin^2(2x)=2.$$

參數變動法給出一個特解：

$$y_p=-y_1\int\frac{y_2g(x)}{W}\,dx +y_2\int\frac{y_1g(x)}{W}\,dx, \qquad g(x)=\frac{2}{3}\tan(2x).$$

代入後，

$$y_p=-\frac{1}{3}\cos(2x)\int\sin(2x)\tan(2x)\,dx +\frac{1}{3}\sin(2x)\int\cos(2x)\tan(2x)\,dx.$$

第一個積分為

$$\int\sin(2x)\tan(2x)\,dx =\int\frac{\sin^2(2x)}{\cos(2x)}\,dx =\int\bigl(\sec(2x)-\cos(2x)\bigr)\,dx$$ $$=\frac{1}{2}\ln|\sec(2x)+\tan(2x)| -\frac{1}{2}\sin(2x).$$

第二個積分為

核心觀念

本題考拉普拉斯轉換的兩個性質：

$$\mathcal{L}\{\sin \omega t\} =\frac{\omega}{s^2+\omega^2}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-at}g(t)\}=G(s+a),$$

以及乘上 $t$ 的性質：

$$\mathcal{L}\{t\,g(t)\}=-\frac{d}{ds}G(s).$$

解題方法

先利用指數位移性質處理 $e^{-2t}$：

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin\omega t\} =\frac{\omega}{(s+2)^2+\omega^2}.$$

令 $G(s)=\dfrac{\omega}{(s+2)^2+\omega^2}$。由乘上 $t$ 的性質，

$$F(s)=-\frac{d}{ds}G(s) =-\frac{d}{ds}\left(\frac{\omega}{(s+2)^2+\omega^2}\right).$$

微分得

核心觀念

本題評量三階方陣之**反矩陣（Inverse Matrix）**求解能力。主要涉及以下數學定義與定理：

1. 反矩陣定義：若方陣 $M$ 與 $M^{-1}$ 滿足 $M M^{-1} = M^{-1} M = I$（其中 $I$ 為單位矩陣），則稱 $M^{-1}$ 為 $M$ 之反矩陣。
2. 伴隨矩陣法（Adjugate Matrix Method）： $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \operatorname{adj}(M)$ 其中 $\operatorname{adj}(M) = C^T$ 為餘因子矩陣（Cofactor Matrix）之轉置，餘因子定義為 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$（$M_{ij}$ 為剔除第 $i$ 列與第 $j$ 行後所得子方陣之行列式值）。
3. 可逆性判別：方陣 $M$ 具反矩陣之充要條件為行列式值 $\det(M) \neq 0$。

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解題方法

一、求矩陣 $A$ 之反矩陣 $A^{-1}$

給定矩陣：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

1. 計算行列式值 $\det(A)$： 沿第 1 列展開： $\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 0 + 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}$ $\det(A) = 1 \cdot (1 - (-1)) + 1 \cdot (1 - 2) = 2 + (-1) = 1$ 因為 $\det(A) = 1 \neq 0$，$A$ 存在反矩陣。

2. 計算各元素之餘因子 $C_{ij}$：

• $C_{11} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2$
• $C_{12} = - \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 2) = 3$
• $C_{13} = + \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1$
• $C_{21} = - \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - (-1)) = -1$
• $C_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1$
• $C_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$
• $C_{31} = + \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$
• $C_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - (-1)) = -2$
• $C_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$

3. 求伴隨矩陣 $\operatorname{adj}(A) = C^T$ 並求反矩陣：

$$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

因 $\det(A) = 1$，得：

$$A^{-1} = \frac{1}{1} \operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

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二、求矩陣 $B$ 之反矩陣 $B^{-1}$

給定矩陣：

$$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5 \end{bmatrix}$$

1. 計算行列式值 $\det(B)$： 沿第 1 列展開： $\det(B) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} - 0 + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}$ $\det(B) = 1 \cdot (-5 - 0) + 1 \cdot (4 - (-3)) = -5 + 7 = 2$ 因為 $\det(B) = 2 \neq 0$，$B$ 存在反矩陣。

核心觀念

週期為 $2$ 的函數，其傅立葉級數可寫成

$$f(x)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k\cos \pi kx+b_k\sin \pi kx\right).$$

在此寫法中，係數為

$$a_0=\frac{1}{2}\int_0^2 f(x)\,dx,$$ $$a_k=\int_0^2 f(x)\cos \pi kx\,dx,\qquad b_k=\int_0^2 f(x)\sin \pi kx\,dx.$$

由於 $f(x)=x$ 於 $0<x<1$，而 $f(x)=0$ 於 $1<x<2$，各積分只需計算 $0<x<1$ 的部分。

解題方法

先算常數項：

$$a_0=\frac{1}{2}\int_0^2 f(x)\,dx =\frac{1}{2}\int_0^1 x\,dx =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{1}{4}.$$

再算 $a_k$：

$$a_k=\int_0^1 x\cos(\pi kx)\,dx.$$

分部積分，取 $u=x$、$dv=\cos(\pi kx)\,dx$，則 $du=dx$、$v=\dfrac{\sin(\pi kx)}{\pi k}$，因此

$$a_k= \left[\frac{x\sin(\pi kx)}{\pi k}\right]_0^1 -\frac{1}{\pi k}\int_0^1\sin(\pi kx)\,dx.$$

核心觀念

聯立方程式有解時，係數矩陣 $A$ 與增廣矩陣 $C=[A\mid \mathbf B]$ 的秩相同；若有無限多組解，還須滿足

$$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(C)<\text{未知數個數}.$$

本題有 $3$ 個未知數，因此無限多組解要求兩矩陣的秩相同，且秩小於 $3$。

解題方法

觀察 $A$ 的前兩列，先相減消去前兩個係數：

$$A= \begin{bmatrix} 4&1&T^2-11\\ 4&1&-2\\ 4&6&7 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf B= \begin{bmatrix} T-2\\1\\6 \end{bmatrix}.$$

以第 $1$ 列減第 $2$ 列，並以第 $3$ 列減第 $2$ 列，可得

$$\begin{bmatrix} 4&1&T^2-11&T-2\\ 4&1&-2&1\\ 4&6&7&6 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 4&1&T^2-11&T-2\\ 0&0&T^2-9&T-3\\ 0&5&9&5 \end{bmatrix}.$$

若 $T^2-9\ne 0$，增廣矩陣中三列皆有主元，故 $\operatorname{rank}(C)=3$。但無限多組解要求 $\operatorname{rank}(C)<3$，因此必須有

$$T^2-9=0.$$

此時第二列成為

$$[\,0\quad 0\quad 0\quad T-3\,].$$

核心觀念

本題評量重點為「向量函數之微分與外積（向量積）運算」，涉及以下工程數學核心定理與微分公式：

1. 向量外積（Cross Product）之定義： 若 $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$、$\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$，其外積為：

$$\vec{A}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} = (A_y B_z - A_z B_y)\hat{i} - (A_x B_z - A_z B_x)\hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x)\hat{k}$$

2. 外積之微分法則（Product Rule for Cross Product）：

$$\frac{d}{dt}\left[\vec{H}(t)\times\vec{G}(t)\right] = \vec{H}'(t)\times\vec{G}(t) + \vec{H}(t)\times\vec{G}'(t)$$

（注意：外積不具交換律，兩項中之向量順序不可顛倒）

3. 微積分基本求導公式：

• 乘積法則：$\frac{d}{dt}[u(t)v(t)] = u'(t)v(t) + u(t)v'(t)$
• 指數函數：$\frac{d}{dt}e^t = e^t$
• 對數函數：$\frac{d}{dt}\ln(t) = \frac{1}{t}$
• 冪函數：$\frac{d}{dt}t^n = n t^{n-1}$

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解題方法

求導方式有兩種切入點：

• 方法一（先外積再微分）：先求出 $\vec{H}(t)\times\vec{G}(t)$ 的各分量函數，再對 $t$ 逐項微分。此法在考場上只需展開一次 $3\times 3$ 行列式，計算量最小、符號最不易混淆。
• 方法二（微分乘積法則）：先求 $\vec{H}'(t)$ 與 $\vec{G}'(t)$，再分別計算兩個外積並相加。

以下採用運算最穩健明快的方法一為主解法，並以方法二作為驗算對照。

步驟一：計算兩向量之外積 $\vec{H}(t)\times\vec{G}(t)$

將兩向量以行列式形式展開：

$$\vec{H}(t)\times\vec{G}(t) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 8t & t^2 \\ -3t & 2e^t & \ln(t) \end{vmatrix}$$

依各分量展開：

1. $\hat{i}$ 分量：

$$(8t)\ln(t) - (t^2)(2e^t) = 8t\ln(t) - 2t^2 e^t$$

2. $\hat{j}$ 分量：

$$-\left[2\ln(t) - (t^2)(-3t)\right] = -\left[2\ln(t) + 3t^3\right] = -2\ln(t) - 3t^3$$

3. $\hat{k}$ 分量：

$$2(2e^t) - (8t)(-3t) = 4e^t + 24t^2$$

因此：

$$\vec{H}(t)\times\vec{G}(t) = \left[8t\ln(t) - 2t^2 e^t\right]\hat{i} - \left[2\ln(t) + 3t^3\right]\hat{j} + \left[4e^t + 24t^2\right]\hat{k}$$

步驟二：對時間 $t$ 逐項微分

對各座標分量分別求導：

1. $\hat{i}$ 分量之導數：

$$\frac{d}{dt}\left[8t\ln(t) - 2t^2 e^t\right] = \left[8\ln(t) + 8t\cdot\frac{1}{t}\right] - \left[4t e^t + 2t^2 e^t\right]$$

核心觀念

參數曲線的切線向量為位置向量對參數 $t$ 的導數：

$$\mathbf r'(t)=\left(x'(t),y'(t),z'(t)\right).$$

單位切線向量則是將切線向量除以其長度：

$$\mathbf T(t)=\frac{\mathbf r'(t)}{\|\mathbf r'(t)\|}.$$

解題方法

由題目給定

$$\mathbf r(t)=e^t\cos t\,\hat i+e^t\sin t\,\hat j+e^t\,\hat k,$$

逐分量微分，使用乘法微分法則：

$$\begin{aligned} x'(t)&=e^t\cos t-e^t\sin t=e^t(\cos t-\sin t),\\ y'(t)&=e^t\sin t+e^t\cos t=e^t(\sin t+\cos t),\\ z'(t)&=e^t. \end{aligned}$$

因此

$$\mathbf r'(t)=e^t\left[(\cos t-\sin t)\hat i+(\cos t+\sin t)\hat j+\hat k\right].$$

計算切線向量長度：