112 高普考高考三級 電力工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

本題考查具有氣隙之磁路分析。由於鐵心為理想導磁材料，$\mu_c\to\infty$，鐵心內的磁阻與磁壓降可忽略，因此磁路的主要磁阻集中在氣隙。

使用下列關係式：

氣隙中儲存的磁能為：

其中：

單位換算：

（一）直流電流 $i$

氣隙內的磁場強度為：

因鐵心磁壓降忽略，線圈所提供的磁動勢全部降落在氣隙：

因此：

（二）繞組的電感值

先求氣隙磁通：

電感為：

代入數值：

核心觀念

1. 直流串激電動機（DC Series Motor）電路架構： 串激電動機的電樞繞組與磁場繞組採「串聯」方式連接，因此電源電流（線電流 $I_L$）、串激磁場電流 $I_s$ 與電樞電流 $I_a$ 處處相等： $I_L = I_s = I_a$

2. 克希荷夫電壓定律（KVL）： 電動機運轉時，電樞旋轉感應產生對抗外加電壓的反電動勢（Counter EMF）$E_a$。在忽略電刷壓降下，端電壓方程式為： $V_s = E_a + I_a(R_a + R_s)$ $E_a = V_s - I_a(R_a + R_s)$

3. 功率平衡方程式：

• 輸入電功率：$P_{in} = V_s I_a$
• 繞組銅損：$P_{cu} = I_a^2(R_a + R_s)$
• 內生電磁功率（發展示功率）：$P_{dev} = E_a I_a = P_{in} - P_{cu}$
• 輸出機械功率：$P_{out} = P_{dev} - P_{rot}$（其中 $P_{rot}$ 為旋轉機械損失）。本題明訂機械損失可忽略（$P_{rot} = 0$），因此輸出機械功率即等於內生電磁功率： $P_{out} = P_{dev} = E_a I_a$

4. 機械角速度與轉矩公式： 轉速 $n$（$\mathrm{rpm}$）換算為機械角速度 $\omega_m$（$\mathrm{rad/s}$）： $\omega_m = \frac{2\pi n}{60}$ 輸出轉矩由功率與角速度之比值求得： $T_{out} = \frac{P_{out}}{\omega_m}$

解題方法

（一）等效電路圖繪製與標示

直流串激電動機作為負載接收電能，電流由電源正極流向負極，經由串激磁場電阻 $R_s$ 與電樞電阻 $R_a$ 流入電樞。電樞感應之反電動勢 $E_a$ 其極性方向與外加電壓方向相反（上正下負），以抗拒電流注入。

等效電路繪製如下：

 +------------- Rs ------------- Ra ------------+
 | (串激電阻) (電樞電阻) |
 + | | +
 | [ ] 
 Vs (電源電壓) Ia (電樞電流方向 ->) ( M ) Ea (反電動勢)
 | [ ]
 - | | -
 +-----------------------------------------------+

電路要素標示說明：

1. 電源電壓極性（$V_s$）：上方端子為正（$+$），下方端子為負（$-$）。
2. 電樞電流方向（$I_a$）：從電源正極出發，由左向右流經串激繞組電阻 $R_s$、電樞電阻 $R_a$，自電樞正端流入電樞。
3. 電樞電壓極性（反電動勢 $E_a$）：電樞上端標示為正（$+$），下端標示為負（$-$），與電樞電流方向形成「關聯參考方向之負載慣例」（電流自正端流入）。

（二）計算此電動機輸出之機械功率及轉矩

步驟一：計算電樞反電動勢 $E_a$ 串聯繞組總電阻： $R_{total} = R_a + R_s = 0.25 + 0.1 = 0.35\ \Omega$

當電源電壓 $V_s = 230\ \mathrm{V}$、電流 $I_a = 40\ \mathrm{A}$ 時，反電動勢為：

核心觀念

本題考查三相感應電動機啟動時的每相等效電路分析：

• 啟動時轉差率 $s=1$。
• Y 接時，每相電壓為 $V_\phi=\frac{460}{\sqrt{3}}=265.58\ \mathrm{V}$
• 啟動時轉子支路阻抗為 $Z_2=\frac{R_2}{s}+jX_2=R_2+jX_2$
• 電動機輸入端阻抗由定子串聯阻抗與激磁支路、轉子支路的並聯組合而成。
• A–B 間並聯電容器時，應以導納進行功率因數補償。

（一）啟動電流及啟動功率因數

1. 啟動時每相等效阻抗

因為 $s=1$，轉子支路為

激磁支路為

兩者並聯阻抗：

因此

加入定子阻抗 $R_1+jX_1$：

其大小為

2. 啟動電流

Y 接時線電流等於相電流，因此

即

3. 啟動功率因數

啟動阻抗為感性阻抗，因此功率因數為落後：

（二）並聯電容器後之電容值及新啟動電流

1. 電動機輸入導納

由

可得

其中

核心觀念

1. 三相變壓器組之接線判斷：

• 單相變壓器額定相電壓為高壓側 $V_{1\phi,\text{H}} = 460\ \mathrm{V}$、低壓側 $V_{1\phi,\text{X}} = 120\ \mathrm{V}$。
• 欲組成三相線電壓為 $V_{L,\text{H}} = 460\ \mathrm{V}$、低壓側線電壓為 $V_{L,\text{X}} = 208\ \mathrm{V}$ 之變壓器組：
• 高壓側線電壓等於繞組額定電壓（$460\ \mathrm{V} = 460\ \mathrm{V}$），故高壓側必為 $\Delta$（Delta）接線。
• 低壓側線電壓約為繞組額定電壓之 $\sqrt{3}$ 倍（$120\sqrt{3}\ \mathrm{V} \approx 207.85\ \mathrm{V} \approx 208\ \mathrm{V}$），故低壓側必為 $\mathrm{Y}$（Wye）接線。
• 本三相變壓器組為 $\Delta-\mathrm{Y}$ 連接。

2. 繞組電流與線電流關係：

• $\Delta$ 接線：線電壓等於相（繞組）電壓（$V_L = V_\phi$），線電流為繞組電流的 $\sqrt{3}$ 倍（$I_L = \sqrt{3} I_\phi$）。
• $\mathrm{Y}$ 接線：線電壓為相（繞組）電壓的 $\sqrt{3}$ 倍（$V_L = \sqrt{3} V_\phi$），線電流等於繞組電流（$I_L = I_\phi$）。
• 注意：題目明確要求計算「繞組電流」（Winding Current / Phase Current $I_\phi$），切勿誤答為「線電流」（Line Current $I_L$）。

3. 變壓器組效率公式： $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\% = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}} + P_{\text{loss}}} \times 100\%$

• 題目註明「鐵心損失與磁化電流可忽略」，因此總損失僅計繞組銅損：$P_{\text{loss}} = P_{\text{cu},3\phi} = 3 \times I_{\phi,\text{H}}^2 R_{\text{eq,H}}$。

解題方法

（一）繪出變壓器之接線圖

1. 接線配置判定：

• 三部單相變壓器分別標示為 A、B、C 相，高壓繞組端子為 $H_1, H_2$（$H_1$ 為同名端），低壓繞組端子為 $X_1, X_2$（$X_1$ 為同名端）。
• 高壓側（$460\ \mathrm{V}$）採 $\Delta$ 接線：
• A 相 $H_2$ 接 B 相 $H_1$，引出線端 B；
• B 相 $H_2$ 接 C 相 $H_1$，引出線端 C；
• C 相 $H_2$ 接 A 相 $H_1$，引出線端 A。
• 低壓側（$208\ \mathrm{V}$）採 $\mathrm{Y}$ 接線：
• 各單相變壓器同名端 $X_1$ 分別引出至三相負載端子 a、b、c；
• 各變壓器非同名端 $X_2$ 短接在一起形成中性點 $\mathrm{N}$（中性線）。

2. 接線示意圖：

 【高壓側：Δ 接 (460 V)】 【低壓側：Y 接 (208 V)】

 Line A Line B Line C Line a Line b Line c
 │ │ │ │ │ │
 ├──┐ ├──┐ ├──┐ │ │ │
 │ │ │ │ │ │ │ │ │
 H1 │ H1 │ H1 │ X1 X1 X1
 ┌─┴─┐│ ┌─┴─┐│ ┌─┴─┐│ ┌─┴─┐ ┌─┴─┐ ┌─┴─┐
 · │ ││· │ ││· │ ││ · │ │ · │ │ · │ │
 │ A ││ │ B ││ │ C ││ │ a │ │ b │ │ c │
 │ ││ │ ││ │ ││ │ │ │ │ │ │
 └─┬─┘│ └─┬─┘│ └─┬─┘│ └─┬─┘ └─┬─┘ └─┬─┘
 H2 │ H2 │ H2 │ X2 X2 X2
 └──┼────┴──┼────┴──┘ └───┬────┴───┬────┘
 └───────┘ └───┬────┘
 Neutral (N)

（二）計算變壓器高、低壓側之繞組電流

三部單相變壓器構成之三相額定容量為： $S_{3\phi} = 3 \times S_{1\phi} = 3 \times 15\ \mathrm{kVA} = 45\ \mathrm{kVA}$

1. 低壓側繞組電流（$I_{\text{w,LV}}$）：

• 低壓側採 $\mathrm{Y}$ 接線，繞組電壓即為相電壓： $V_{\phi,\text{LV}} = \frac{V_{L,\text{LV}}}{\sqrt{3}} = \frac{208}{\sqrt{3}} \approx 120\ \mathrm{V}$
• 每部單相變壓器負擔額定容量 $S_{1\phi} = 15\ \mathrm{kVA}$，其低壓繞組電流為： $I_{\text{w,LV}} = I_{\phi,\text{LV}} = \frac{S_{1\phi}}{V_{\phi,\text{LV}}} = \frac{15000\ \mathrm{VA}}{120\ \mathrm{V}} = 125\ \mathrm{A}$

核心觀念

兩部同步發電機並聯於同一電力系統，必須具有相同的運轉頻率。同步速度關係為

其中：

• $f_s$：系統頻率（Hz）
• $P$：極數
• $n$：原動機轉速（rpm）

原動機的 speed droop 特性視為線性，因此可建立「頻率—發電機實功率」直線方程式。兩部發電機所供應的實功率總和，必須等於負載實功率：

負載功率因數為 $0.8$，只用來表示負載虛功率；本題計算實功率分配時，只需使用 $300\ \text{kW}$。

（一）求電力系統運轉頻率

1. 發電機 $G_1$

$G_1$ 為 2 極，其無載與滿載轉速所對應的頻率為

$G_1$ 的額定實功率為

因此，$G_1$ 的頻率下降量為

其 speed droop 方程式為

即

2. 發電機 $G_2$

$G_2$ 為 4 極，其無載與滿載轉速所對應的頻率為

$G_2$ 的額定實功率為

因此，$G_2$ 的頻率下降量為

其 speed droop 方程式為