109 高普考高考三級 電力工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

本題考線性機的電磁力與運動感應電勢：

$F_{\mathrm{em}}=B\ell i,\qquad e_{\mathrm{ind}}=B\ell v$

其中 $B$ 為磁通密度、$\ell$ 為導體在磁場中的有效長度、$i$ 為導體電流、$v$ 為導體速度。導體運動後產生的感應電勢會抵抗電源，因此電流為

$i=\frac{V_B-e_{\mathrm{ind}}}{R}$

解題方法

（一）啟動時的初始力與初始電流

啟動瞬間導體尚未移動，故 $v=0$，感應電勢為

$e_{\mathrm{ind}}=B\ell v=0$

電流由電源電壓與電阻決定：

$i_0=\frac{V_B}{R}=\frac{100}{0.25}=400\ \mathrm{A}$

依圖示，電流通過導體向下，磁場方向進入紙面。由 $\boldsymbol{F}=i\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{B}$，電磁力向右；其大小為

$F_0=B\ell i_0=(0.5)(1.0)(400)=200\ \mathrm{N}$

（二）施加反向力後的穩態速度

核心觀念

本題旨在測驗將「雙繞組變壓器（Two-Winding Transformer）」重新接線為「自耦變壓器（Autotransformer）」的分析與計算能力，核心包含以下觀念與公式：

1. 繞組功能分配與極性連接：

• 雙繞組變壓器包含高壓繞組（$440\ \mathrm{V}$）與低壓繞組（$120\ \mathrm{V}$）。
• 欲由 $560\ \mathrm{V}$ 電源降壓供應 $440\ \mathrm{V}$ 負載，因 $560\ \mathrm{V} = 440\ \mathrm{V} + 120\ \mathrm{V}$，故須將兩組繞組採「加極性（Additive Polarity）」串聯。
• 其中 $120\ \mathrm{V}$ 繞組作為「串聯繞組（Series Winding, $N_{\mathrm{se}}$）」，$440\ \mathrm{V}$ 繞組作為「公共繞組（Common Winding, $N_{\mathrm{c}}$）」。
• 輸入側（$560\ \mathrm{V}$）接於全串聯繞組兩端；輸出負載側（$440\ \mathrm{V}$）接於公共繞組兩端。

2. 自耦變壓器的額定容量關係： 雙繞組變壓器的原始視在功率為感應容量（Transformed Capacity）： $S_{2\mathrm{w}} = V_{\mathrm{se}} I_{\mathrm{se}} = V_{\mathrm{c}} I_{\mathrm{c}} = 20\ \mathrm{kVA}$ 自耦變壓器的額定輸出容量（$S_{\mathrm{auto}}$）包含「電磁感應容量」與「直接導電傳導容量（Conducted Capacity）」： $S_{\mathrm{auto}} = V_{\mathrm{H}} I_{\mathrm{H}} = V_{\mathrm{L}} I_{\mathrm{L}}$ 容量放大比（容量優勢倍數）為： $\frac{S_{\mathrm{auto}}}{S_{2\mathrm{w}}} = \frac{V_{\mathrm{H}}}{V_{\mathrm{se}}} = \frac{V_{\mathrm{H}}}{V_{\mathrm{H}} - V_{\mathrm{L}}} = \frac{1}{1 - \frac{V_{\mathrm{L}}}{V_{\mathrm{H}}}}$

解題方法

(一) 繪出變壓器之接線方式

1. 繞組額定電壓與額定電流：

• 低壓繞組（串聯繞組）：$V_{\mathrm{se}} = 120\ \mathrm{V}$，額定電流 $I_{\mathrm{se}} = \frac{20\ \mathrm{kVA}}{120\ \mathrm{V}} = \frac{500}{3}\ \mathrm{A} \approx 166.67\ \mathrm{A}$。
• 高壓繞組（公共繞組）：$V_{\mathrm{c}} = 440\ \mathrm{V}$，額定電流 $I_{\mathrm{c}} = \frac{20\ \mathrm{kVA}}{440\ \mathrm{V}} = \frac{500}{11}\ \mathrm{A} \approx 45.45\ \mathrm{A}$。

2. 極性與接線端子配置：

• 設 $120\ \mathrm{V}$ 繞組兩端為 $X_1$（同名端 $\bullet$）與 $X_2$。
• 設 $440\ \mathrm{V}$ 繞組兩端為 $H_1$（同名端 $\bullet$）與 $H_2$。
• 為了使電壓相加（$120\ \mathrm{V} + 440\ \mathrm{V} = 560\ \mathrm{V}$），將 $X_2$ 連接至 $H_1$（異名端相接成加極性串聯）。
• 電源側（$560\ \mathrm{V}$）連接至 $X_1$ 與 $H_2$ 端子。
• 負載側（$440\ \mathrm{V}$）連接至 $H_1$（或 $X_2$）與 $H_2$ 端子。

3. 電路接線圖：

 I_in (166.67 A)
 (+) o-----------------[ X1 (•) X2 ]----------+----------o (+)
 120 V 串聯繞組 |
 |
 I_c | I_load (212.12 A)
 (45.45A) |
 560 V 電源 | 440 V 負載
 |
 [ H1 (•) ]
 |
 440 V 公共繞組
 |
 (-) o----------------------------------------[ H2 ]----------o (-)

(二) 求此配置下變壓器的 $\mathrm{kVA}$ 額定

自耦變壓器的最大輸出容量受限於各繞組的額定電流，以不超過任何繞組的原額定值為準：

1. 依串聯繞組額定電流推算： 串聯繞組位於輸入電源線路中，故電源側輸入電流上限為串聯繞組的額定電流： $I_{\mathrm{in}} = I_{\mathrm{se}} = \frac{20{,}000\ \mathrm{VA}}{120\ \mathrm{V}} = \frac{500}{3}\ \mathrm{A}$

核心觀念

本題評量分激式直流電動機（DC Shunt Motor）之試驗參數萃取、各部損失分析與慣用效率計算。解題涉及之核心觀念與公式如下：

1. 分激式直流電動機電流關係： $I_L = I_A + I_F$ 其中 $I_L$ 為電源端電流（線電流），$I_A$ 為電樞電流，$I_F$ 為分激場電流。

2. 轉子堵住試驗（Locked-Rotor Test）： 轉子堵住時轉速 $n = 0$，電樞感應反電動勢 $E_A = 0$。外加電樞端電壓扣除電刷壓降後，全數降落於電樞繞組電阻： $R_A = \frac{V_{A,\text{blocked}}}{I_{A,\text{blocked}}}$

3. 無載運轉試驗（No-Load Test）與旋轉損失（Rotational Loss）： 電動機於額定電壓與額定轉速無載運轉時，輸出功率為零，電樞輸入之電功率扣除無載電樞銅損與電刷損耗後，即為機械旋轉損失（包含鐵損 $P_{\text{core}}$ 與機械摩擦風阻損 $P_{\text{mech}}$）： $P_{\text{rot}} = V_{A,\text{nl}} I_{A,\text{nl}} - I_{A,\text{nl}}^2 R_A - V_{\text{brush}} I_{A,\text{nl}}$

4. 滿載各部損失分類：

• 分激場銅損：$P_{cu,F} = V_F I_F = V_t I_F$
• 電樞銅損：$P_{cu,A} = I_A^2 R_A$
• 電刷接觸損失：$P_{\text{brush}} = V_{\text{brush}} I_A$
• 旋轉損失：$P_{\text{rot}}$（於相同端電壓與轉速下視為常數）
• 雜散負載損失：$P_{\text{stray}}$（依電機工程標準慣例取滿載額定輸出之 $1\%$）

5. 功率與效率定義： $P_{\mathrm{in}} = V_t I_L$ $P_{\mathrm{out}} = P_{\mathrm{in}} - \sum P_{\text{loss}}$ $\eta = \frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}} \times 100\%$

解題方法

步驟一：由轉子堵住試驗求電樞電阻 $R_A$

題目給定轉子堵住時「$V_A = 15\ \mathrm{V}$，扣除電刷電壓」且 $I_A = 500\ \mathrm{A}$。 因反電動勢 $E_A = 0$，扣除電刷壓降後之電樞電壓純粹施加於電樞電阻： $R_A = \frac{15\ \mathrm{V}}{500\ \mathrm{A}} = 0.03\ \Omega$

步驟二：求額定滿載輸入功率 $P_{\mathrm{in}}$（第一小題）

額定銘板資料為端電壓 $V_t = 440\ \mathrm{V}$，滿載線電流 $I_L = 560\ \mathrm{A}$： $P_{\mathrm{in}} = V_t \times I_L = 440\ \mathrm{V} \times 560\ \mathrm{A} = 246,400\ \mathrm{W} = 246.4\ \mathrm{kW}$

步驟三：由無載試驗計算旋轉損失 $P_{\text{rot}}$

無載運轉時，$V_A = 440\ \mathrm{V}$（包含電刷電壓），$I_{A,\text{nl}} = 23.1\ \mathrm{A}$，$V_{\text{brush}} = 2\ \mathrm{V}$：

1. 無載電樞輸入功率： $P_{A,\text{in,nl}} = V_A \times I_{A,\text{nl}} = 440 \times 23.1 = 10,164\ \mathrm{W}$
2. 無載電樞銅損： $P_{cu,A,\text{nl}} = I_{A,\text{nl}}^2 R_A = (23.1)^2 \times 0.03 = 533.61 \times 0.03 \approx 16.01\ \mathrm{W}$
3. 無載電刷損： $P_{\text{brush,nl}} = V_{\text{brush}} \times I_{A,\text{nl}} = 2 \times 23.1 = 46.2\ \mathrm{W}$
4. 旋轉損失（鐵損＋摩擦風阻損）： $P_{\text{rot}} = P_{A,\text{in,nl}} - P_{cu,A,\text{nl}} - P_{\text{brush,nl}} = 10,164 - 16.01 - 46.2 = 10,101.79\ \mathrm{W}$

步驟四：計算滿載運轉之各項損失

1. 激磁電流與滿載電樞電流： 電動機運轉於額定電壓 $440\ \mathrm{V}$ 與額定轉速 $800\ \mathrm{r/min}$ 下，激磁電流取正常運轉狀態之 $I_F = 7.5\ \mathrm{A}$。 滿載電樞電流為： $I_A = I_L - I_F = 560\ \mathrm{A} - 7.5\ \mathrm{A} = 552.5\ \mathrm{A}$

2. 分激場銅損： $P_{cu,F} = V_F \times I_F = 440\ \mathrm{V} \times 7.5\ \mathrm{A} = 3,300\ \mathrm{W}$

3. 滿載電樞銅損： $P_{cu,A} = I_A^2 R_A = (552.5)^2 \times 0.03 = 305,256.25 \times 0.03 \approx 9,157.69\ \mathrm{W}$

4. 滿載電刷損：

核心觀念

1. 同步發電機並聯之頻率—功率下垂特性（Speed Droop Characteristic）： 交流電力系統中，並聯運轉之交流同步發電機透過調速機（Governor）維持轉速與頻率。其調速機下垂特性呈現實功率隨頻率下降而增加的線性關係，數學關係式為： $P = s_P \cdot (f_{\mathrm{nl}} - f_{\mathrm{sys}})$ 其中：

• $P$：發電機輸出之實功率（$\mathrm{MW}$）
• $s_P$：實功率—頻率特性曲線斜率（調速機功率增益，單位為 $\mathrm{MW/Hz}$）
• $f_{\mathrm{nl}}$：發電機之無載頻率（No-load frequency，單位為 $\mathrm{Hz}$）
• $f_{\mathrm{sys}}$：系統運轉頻率（System frequency，單位為 $\mathrm{Hz}$）

2. 發電機實功率額定限制： 發電機組之最大實功率輸出受限於「原動機（汽渦輪機）額定輸出」與「發電機額定實功率輸出」之較小者：

• 汽渦輪機額定：$P_{\mathrm{mech,max}} = 10\ \mathrm{MW}$
• 發電機電氣額定：$P_{\mathrm{elec,max}} = S_{\mathrm{rated}} \times \mathrm{PF} = 12.5\ \mathrm{MVA} \times 0.8 = 10\ \mathrm{MW}$ 兩者皆為 $10\ \mathrm{MW}$，因此單部機組的實功率輸出上限為 $P_{\max} = 10\ \mathrm{MW}$。

解題方法

(一) 計算系統頻率為 $60\ \mathrm{Hz}$ 時，三部發電機之實功輸出

根據各部發電機之調速特性方程式： $P_i = s_{Pi} \cdot (f_{\mathrm{nl},i} - f_{\mathrm{sys}})$

已知三部機組無載頻率皆為 $f_{\mathrm{nl1}} = f_{\mathrm{nl2}} = f_{\mathrm{nl3}} = 61\ \mathrm{Hz}$，系統頻率為 $f_{\mathrm{sys}} = 60\ \mathrm{Hz}$，頻率偏差量為： $\Delta f = f_{\mathrm{nl}} - f_{\mathrm{sys}} = 61 - 60 = 1\ \mathrm{Hz}$

將各發電機斜率帶入：

1. 發電機 1： $P_1 = s_{P1} \cdot \Delta f = 6\ \mathrm{MW/Hz} \times 1\ \mathrm{Hz} = 6\ \mathrm{MW}$
2. 發電機 2： $P_2 = s_{P2} \cdot \Delta f = 6\ \mathrm{MW/Hz} \times 1\ \mathrm{Hz} = 6\ \mathrm{MW}$
3. 發電機 3： $P_3 = s_{P3} \cdot \Delta f = 7\ \mathrm{MW/Hz} \times 1\ \mathrm{Hz} = 7\ \mathrm{MW}$

三部機組輸出（$6\ \mathrm{MW}$、$6\ \mathrm{MW}$、$7\ \mathrm{MW}$）皆未超過單機額定 $10\ \mathrm{MW}$，符合運轉限制。

(二) 計算任何一部均不超過額定下，三部發電機可供應之最大總功率

當系統負載增加時，系統頻率 $f_{\mathrm{sys}}$ 將隨之下滑（即 $\Delta f = 61 - f_{\mathrm{sys}}$ 增大）。

核心觀念

本題考查三相感應電動機之每相精確等效電路分析、功率潮流（Power Flow）以及感應轉矩計算。解題關鍵在於掌握以下基本定義與公式：

1. 等效電路阻抗合成：

• 轉子側每相阻抗：$Z_2 = \frac{R_2}{s} + jX_2$
• 氣隙等效並聯阻抗：$Z_f = R_f + jX_f = jX_M \parallel Z_2 = \frac{jX_M \left(\frac{R_2}{s} + jX_2\right)}{\frac{R_2}{s} + j(X_2 + X_M)}$
• 定子端每相輸入總阻抗：$Z_{\text{in}} = (R_1 + jX_1) + Z_f$

2. 電壓與電流關係（Y 接系統）：

• 定子每相相電壓：$V_1 = \frac{V_L}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ$
• 定子相電流等於線電流：$I_L = I_1 = \frac{V_1}{Z_{\text{in}}}$

3. 氣隙功率（Air-Gap Power, $P_{AG}$）：

• 跨越氣隙傳送至轉子的三相總實功率為： $P_{AG} = 3 I_1^2 R_f = 3 I_2^2 \left(\frac{R_2}{s}\right)$

4. 感應轉矩（Induced Torque, $\tau_{\text{ind}}$）：

• 轉矩由氣隙功率除以同步機械角速度決定： $\tau_{\text{ind}} = \frac{P_{AG}}{\omega_s} = \frac{P_{\text{conv}}}{\omega_m}$ 其中 $n_s = \frac{120f}{P}\ (\text{rpm})$，$\omega_s = \frac{2\pi n_s}{60}\ (\text{rad/s})$。

解題方法

本題採用**精確等效電路法（Exact Equivalent Circuit）**逐步求解。台灣電力系統標準頻率為 $f = 60\ \text{Hz}$。

(一) 求線電流 $I_L$

1. 計算轉子側等效阻抗： 轉差率 $s = 0.02$，則轉子等效負載電阻為： $\frac{R_2}{s} = \frac{0.035}{0.02} = 1.75\ \Omega$ $Z_2 = \frac{R_2}{s} + jX_2 = 1.75 + j0.39\ \Omega$

2. 計算氣隙並聯阻抗 $Z_f$： $Z_f = \frac{j9.3 \times (1.75 + j0.39)}{1.75 + j(0.39 + 9.3)} = \frac{-3.627 + j16.275}{1.75 + j9.69}$ 化為極座標計算：

• 分子：$\sqrt{(-3.627)^2 + 16.275^2}\angle \left(180^\circ - \tan^{-1}\frac{16.275}{3.627}\right) \approx 16.674\angle 102.58^\circ$
• 分母：$\sqrt{1.75^2 + 9.69^2}\angle \tan^{-1}\frac{9.69}{1.75} \approx 9.847\angle 79.76^\circ$
• 阻抗商值： $Z_f = \frac{16.674\angle 102.58^\circ}{9.847\angle 79.76^\circ} = 1.6933\angle 22.82^\circ\ \Omega$ 轉為直角座標形式： $Z_f = 1.6933\cos(22.82^\circ) + j1.6933\sin(22.82^\circ) = 1.561 + j0.657\ \Omega$ 即 $R_f = 1.561\ \Omega$，$X_f = 0.657\ \Omega$。

3. 計算定子每相輸入總阻抗 $Z_{\text{in}}$： $Z_{\text{in}} = R_1 + jX_1 + Z_f = (0.06 + j0.32) + (1.561 + j0.657) = 1.621 + j0.977\ \Omega$ 化為極座標形式： $|Z_{\text{in}}| = \sqrt{1.621^2 + 0.977^2} = \sqrt{2.628 + 0.955} \approx 1.893\ \Omega$