113 高普考高考三級 電力工程 電機機械 考古題詳解

113 年・高普考・高考三級・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題20 分

某電感結構由兩個相同鐵心與兩個線圈串聯，如圖一所示。兩個線圈匝數相同，且每個線圈匝數為 6060 匝；鐵心與氣隙的截面積相同，均為 40 cm240\ \mathrm{cm^2}；鐵心的平均長度為 50 cm50\ \mathrm{cm}；鐵心的導磁係數為無窮大；氣隙的導磁係數為 4π×10−7 H/m4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}。不計磁飽和、邊緣效應及線圈漏磁通。

在電感為 18 mH18\ \mathrm{mH}、電流 ISI_S 為 10 A10\ \mathrm{A} 時，計算氣隙 gog_o 寬及氣隙磁通密度。（20 分）

圖一包含兩個相同鐵心（鐵心 #1、鐵心 #2）、兩個氣隙 gog_o 及兩個線圈（線圈 #1、線圈 #2）。兩線圈串聯，電流均為 ISI_S。

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核心觀念

本題考查磁路的磁阻、安培定律、電感定義，以及具有兩個對稱氣隙時的等效磁路。

磁阻為

R=ℓμA\mathcal{R}=\frac{\ell}{\mu A}

安培定律為

∑NI=ΦR\sum NI=\Phi\mathcal{R}

兩線圈串聯且磁勢方向相同，因此總磁勢為

F=2NI\mathcal{F}=2NI

因鐵心導磁係數為無窮大，鐵心磁阻可忽略，只需考慮兩個氣隙的磁阻。

解題方法

設每一個氣隙寬度為 gog_o，截面積為

A=40 cm2=40×10−4=4.0×10−3 m2A=40\ \mathrm{cm^2} =40\times10^{-4} =4.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}

上、下兩條磁通路徑相同，每一條路徑均包含兩個氣隙，因此每一支路的磁阻為

Rbranch=2goμ0A\mathcal{R}_{\text{branch}} =\frac{2g_o}{\mu_0 A}

兩支路並聯，故等效磁阻為

Req=Rbranch2=goμ0A\mathcal{R}_{\text{eq}} = \frac{\mathcal{R}_{\text{branch}}}{2} = \frac{g_o}{\mu_0 A}

其中

μ0=4π×10−7 H/m\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}

兩線圈匝數皆為 N=60N=60 匝，且電流為 ISI_S，總磁勢為 2NIS2NI_S。總磁通為

Φ=2NISReq=2NISμ0Ago\Phi = \frac{2NI_S}{\mathcal{R}_{\text{eq}}} = \frac{2NI_S\mu_0 A}{g_o}

每一條支路承擔一半磁通，因此單一氣隙中的磁通為

Φg=Φ2=NISμ0Ago\Phi_g=\frac{\Phi}{2} =\frac{NI_S\mu_0 A}{g_o}

兩個線圈均鏈結總磁通 Φ\Phi，總磁鏈為

λ=2NΦ\lambda=2N\Phi

所以電感

L=λIS=2NΦISL=\frac{\lambda}{I_S} =\frac{2N\Phi}{I_S}

代入 Φ\Phi：

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第 二 題20 分

某單相變壓器的額定容量為 100 kVA100\ \mathrm{kVA}，額定電壓為 22.8 kV/220 V22.8\ \mathrm{kV}/220\ \mathrm{V}。額定操作時的銅損為 2 kW2\ \mathrm{kW}、鐵損為 1.6 kW1.6\ \mathrm{kW}。

採用此三個單相變壓器接成一具三相變壓器，高壓側為 Δ\Delta 接線、低壓側為 Δ\Delta 接線。三相平衡負載接於低壓側，其端電壓為變壓器的額定電壓，負載總消耗功率為 120 kW120\ \mathrm{kW}，功率因數為 0.80.8 落後。計算三相變壓器低壓側的線電流及相電流，以及三相變壓器的效率。（20 分）

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核心觀念

本題考查三相變壓器的 Δ\Delta 接線，以及三相功率、線電流與相電流的關係。三台單相變壓器組成三相變壓器時，每台繞組承受的電壓即為該側的線電壓；在 Δ\Delta 接線中，線電流與相電流的大小關係為

IL=3IϕI_L=\sqrt{3}I_{\phi}

三相平衡負載的實功率為

P負載=3VLILcos⁡ϕ=3VϕIϕcos⁡ϕP_{\text{負載}}=\sqrt{3}V_LI_L\cos\phi =3V_{\phi}I_{\phi}\cos\phi

變壓器效率定義為輸出實功率除以輸入實功率，因此

η=P輸出P輸出+P損失\eta=\frac{P_{\text{輸出}}} {P_{\text{輸出}}+P_{\text{損失}}}

解題方法

低壓側為 Δ\Delta 接線，且負載端電壓為額定電壓 220 V220\ \mathrm{V}，故低壓側線電壓為

VL=220 VV_L=220\ \mathrm{V}

由三相負載實功率公式求線電流：

IL=P負載3VLcos⁡ϕ=120 0003×220×0.8≈393.6 AI_L=\frac{P_{\text{負載}}} {\sqrt{3}V_L\cos\phi} =\frac{120\,000} {\sqrt{3}\times220\times0.8} \approx393.6\ \mathrm{A}

Δ\Delta 接線的線電流為相電流的 3\sqrt{3} 倍，因此低壓側相電流為

Iϕ=IL3≈393.63≈227.2 AI_{\phi}=\frac{I_L}{\sqrt{3}} \approx\frac{393.6}{\sqrt{3}} \approx227.2\ \mathrm{A}

也可由每相負載功率驗算：總實功率 120 kW120\ \mathrm{kW} 平分至三相，每相為 40 kW40\ \mathrm{kW}；

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第 三 題20 分

某三相、YY 接線、66 極、380 V380\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 的同步發電機，每相同步電抗為 j2.5 Ωj2.5\ \Omega，忽略電樞電阻及鐵心磁飽和。

在額定電壓及頻率下，發電機輸出三相總實功率為 42 kW42\ \mathrm{kW}，功率因數為 0.80.8 落後，此時發電機的激磁場電流為 15 A15\ \mathrm{A}。

若在額定電壓及頻率下，輸出總實功率仍維持 42 kW42\ \mathrm{kW}，調整激磁場電流使其功率因數為 0.60.6 落後，計算激磁場電流及功率角。（20 分）

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核心觀念

本題考同步發電機的功率因數改變時，如何利用同步電抗壓降求內部感應電勢，並由磁化曲線線性關係換算激磁場電流。

採發電機相量慣例，忽略電樞電阻時：

E‾=V‾+jXsI‾\underline E=\underline V+jX_s\underline I

其中 V‾\underline V 為端電壓相量、I‾\underline I 為電樞電流相量、E‾\underline E 為內部感應電勢。功率角 δ\delta 是 E‾\underline E 超前 V‾\underline V 的角度。

三相實功率及電流大小為：

P=3VϕIcos⁡ϕ,Vϕ=VL3P=3V_\phi I\cos\phi,\qquad V_\phi=\frac{V_L}{\sqrt3}

題目忽略磁飽和，因此在頻率固定時，內部感應電勢大小與激磁場電流成正比：

If2If1=∣E2∣∣E1∣\frac{I_{f2}}{I_{f1}}=\frac{|E_2|}{|E_1|}

解題方法

端電壓及實功率固定時，先依兩種功率因數求電樞電流，再以 E‾=V‾+jXsI‾\underline E=\underline V+jX_s\underline I 求兩種操作狀態的內部感應電勢。最後用感應電勢比值換算激磁場電流。

題目所列 380 V380\ \mathrm{V} 為三相線電壓，因為是 YY 接線，每相端電壓為：

Vϕ=3803=219.39 VV_\phi=\frac{380}{\sqrt3}=219.39\ \mathrm{V}

初始狀態功率因數為 0.80.8 落後，故：

I1=42 0003(219.39)(0.8)=79.72 AI_1=\frac{42\,000}{3(219.39)(0.8)} =79.72\ \mathrm{A}

落後角 ϕ1=cos⁡−1(0.8)=36.87∘\phi_1=\cos^{-1}(0.8)=36.87^\circ，因此取端電壓為參考相量：

V‾=219.39∠0∘ V,I‾1=79.72∠−36.87∘ A\underline V=219.39\angle 0^\circ\ \mathrm{V},\qquad \underline I_1=79.72\angle -36.87^\circ\ \mathrm{A}

由 Xs=2.5 ΩX_s=2.5\ \Omega 得：

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第 四 題20 分

某台他激式直流發電機的額定電流為 100 A100\ \mathrm{A}，轉速及激磁電流維持固定，忽略電刷壓降及電樞反應。

當電樞電流為 40 A40\ \mathrm{A} 時，其電樞端（輸出）電壓為 212 V212\ \mathrm{V}；當電樞電流為 60 A60\ \mathrm{A} 時，其電樞端電壓為 208 V208\ \mathrm{V}。

若發電機在額定電流操作，計算電樞電阻消耗功率及電壓調整率。（20 分）

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核心觀念

他激式直流發電機的轉速與激磁電流固定，且忽略電刷壓降及電樞反應，因此感應電勢 EgE_g 固定。發電機的端電壓關係為

Eg=Vt+IaRaE_g=V_t+I_aR_a

其中 VtV_t 為端電壓、IaI_a 為電樞電流、RaR_a 為電樞電阻。可利用兩個負載操作點求出 RaR_a，再求額定電流時的電樞銅損及電壓調整率。

電壓調整率定義為由滿載轉為空載時，端電壓相對於滿載端電壓的變化率：

電壓調整率=V空載−V滿載V滿載×100%\text{電壓調整率} =\frac{V_{\text{空載}}-V_{\text{滿載}}}{V_{\text{滿載}}}\times100\%

解題方法

兩種操作狀態的感應電勢相同，故

212+40Ra=208+60Ra212+40R_a=208+60R_a

整理得

4=20Ra⟹Ra=0.2 Ω4=20R_a \quad\Longrightarrow\quad R_a=0.2\ \Omega

代回任一操作點，求感應電勢：

Eg=212+40(0.2)=220 VE_g=212+40(0.2)=220\ \mathrm{V}

額定電流 Ia=100 AI_a=100\ \mathrm{A} 時，電樞電阻消耗功率為

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第 五 題20 分

某三相、YY 接線、220 V220\ \mathrm{V}、88 極、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 的感應電動機，忽略激磁電抗及鐵損等效電阻。等效至定子側的每相電路如圖二所示，其中 ss 表示滑差率，且：

R1=0.22 ΩR_1=0.22\ \Omega

R2=0.18 ΩR_2=0.18\ \Omega

X1=1.10 ΩX_1=1.10\ \Omega

X2=1.40 ΩX_2=1.40\ \Omega

此感應電動機在額定電壓、頻率下操作，計算下列問題：

(一) 起動電流及功率因數。

(二) 最大電磁轉矩及其對應的轉速。

（每小題 10 分，共 20 分）

圖二為感應電動機等效至定子側的每相電路，包含串聯阻抗 R1+jX1R_1+jX_1、R2/sR_2/s 及 jX2jX_2，端電壓為 V1V_1，電流為 I1I_1。

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核心觀念

本題考查三相感應電動機之：

  • Y 接線時的相電壓與線電流關係
  • 起動時滑差率 s=1s=1
  • 感應電動機每相等效電路之阻抗
  • 最大電磁轉矩條件
  • 同步轉速與轉差率的關係

額定電壓 220 V220\ \mathrm{V} 為線電壓，因此 Y 接線每相電壓為

V1=2203=127.02 VV_1=\frac{220}{\sqrt{3}}=127.02\ \mathrm{V}

總漏抗為

X=X1+X2=1.10+1.40=2.50 ΩX=X_1+X_2=1.10+1.40=2.50\ \Omega

解題方法

（一）起動電流及功率因數

起動時轉子尚未轉動，因此

s=1s=1

圖示每相等效阻抗為

Zst=R1+jX1+R2s+jX2Z_{\mathrm{st}} =R_1+jX_1+\frac{R_2}{s}+jX_2

代入 s=1s=1：

Zst=(R1+R2)+j(X1+X2)Z_{\mathrm{st}} =(R_1+R_2)+j(X_1+X_2) Zst=0.40+j2.50 ΩZ_{\mathrm{st}}=0.40+j2.50\ \Omega

阻抗大小為

∣Zst∣=0.402+2.502=6.41=2.532 Ω|Z_{\mathrm{st}}| =\sqrt{0.40^2+2.50^2} =\sqrt{6.41} =2.532\ \Omega

由於 Y 接線時線電流等於相電流，所以起動電流為

Ist=V1∣Zst∣=127.022.532=50.17 AI_{\mathrm{st}} =\frac{V_1}{|Z_{\mathrm{st}}|} =\frac{127.02}{2.532} =50.17\ \mathrm{A}

起動功率因數為

cos⁡ϕst=R1+R2∣Zst∣=0.402.532=0.158\cos\phi_{\mathrm{st}} =\frac{R_1+R_2}{|Z_{\mathrm{st}}|} =\frac{0.40}{2.532} =0.158

由於電路呈感性，故為落後功率因數。

Ist≈50.2 A\boxed{I_{\mathrm{st}}\approx 50.2\ \mathrm{A}} PFst≈0.158 落後\boxed{\mathrm{PF}_{\mathrm{st}}\approx 0.158\ \text{落後}}

（二）最大電磁轉矩及其對應轉速

忽略激磁電抗及鐵損等效電阻時，電磁轉矩可表示為

Te=3V12(R2/s)ωs[(R1+R2/s)2+(X1+X2)2]T_e= \frac{3V_1^2(R_2/s)} {\omega_s\left[(R_1+R_2/s)^2+(X_1+X_2)^2\right]}

令

a=R2sa=\frac{R_2}{s}

則最大轉矩條件為

a=R12+(X1+X2)2a=\sqrt{R_1^2+(X_1+X_2)^2}

因此最大轉矩所對應的滑差為

smax⁡=R2R12+(X1+X2)2s_{\max} =\frac{R_2} {\sqrt{R_1^2+(X_1+X_2)^2}}

計算得

smax⁡=0.180.222+2.502s_{\max} =\frac{0.18} {\sqrt{0.22^2+2.50^2}}
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