111 高普考高考三級 電力工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

本題考變壓器的開路試驗與短路試驗，利用兩項試驗分別取得近似等效電路的激磁支路與串聯支路參數：

• 開路試驗：激磁支路的 $R_c$、$X_m$。
• 短路試驗：串聯等效參數 $R_{eq}$、$X_{eq}$。

圖中的參數均折算至一次高壓側。變比為 $a=V_H/V_L$，阻抗由低壓側折算至高壓側時乘以 $a^2$，電流則除以 $a$。

解題方法

一、開路試驗求 $R_c$、$X_m$

將二次低壓側施加額定電壓，保持一次高壓側開路；電源頻率採額定頻率。量測低壓側電壓 $V_{0L}$、空載電流 $I_{0L}$ 與輸入功率 $P_0$。

空載電流很小，繞組銅損相對很小，因此 $P_0$ 可近似視為鐵損。把低壓側量測值折算至一次側：

激磁支路的有功電流分量為：

無功激磁電流為：

因此：

也可先求空載功率因數 $\cos\phi_0=P_0/(V_{0H}I_{0H})$，再取 $I_c=I_{0H}\cos\phi_0$、$I_m=I_{0H}\sin\phi_0$。

二、短路試驗求 $R_{eq}$、$X_{eq}$

將二次低壓側短路，在一次高壓側施加額定頻率的低電壓，逐步調整至繞組電流達額定值。量測一次側短路電壓 $V_{scH}$、短路電流 $I_{scH}$ 與輸入功率 $P_{sc}$。

短路時施加電壓遠低於額定電壓，磁通及鐵損很小，因此 $P_{sc}$ 可近似視為兩側繞組銅損總和。等效阻抗大小為：

核心觀念

本題考查**三相繞線式感應電動機（Wound-Rotor Induction Motor）**之等效電路、轉矩－轉差率（$T-s$）特性曲線，以及轉子外加電阻調速與啟動之物理機制。核心理論與公式如下：

1. 感應轉矩方程式（戴維寧等效電路）： $T_{ind} = \frac{3 V_{TH}^2}{\omega_{sync}} \cdot \frac{\frac{R_2}{s}}{\left(R_{TH} + \frac{R_2}{s}\right)^2 + (X_{TH} + X_2)^2}$ 其中 $V_{TH}$、$R_{TH}$、$X_{TH}$ 為定子側之戴維寧等效電壓、電阻與電抗；$R_2$ 為轉子電阻（含外加電阻）；$X_2$ 為轉子漏電抗；$s$ 為轉差率；$\omega_{sync}$ 為同步角速度。

2. 最大轉矩（脫出轉矩 $T_{max}$）與對應轉差率（$s_{max,T}$）： $s_{max,T} = \frac{R_2}{\sqrt{R_{TH}^2 + (X_{TH} + X_2)^2}}$ $T_{max} = \frac{3 V_{TH}^2}{2\omega_{sync} \left[ R_{TH} + \sqrt{R_{TH}^2 + (X_{TH} + X_2)^2} \right]}$

3. 轉子感應電壓與轉差率之關係： $E_{2s} = s E_{20}$ 其中 $E_{20}$ 為轉子靜止（$s = 1$）時之開路感應電動勢（由定子端電壓與匝數比決定，為定值）。

4. 轉矩－速度特性曲線之幾何特徵： 增加轉子電阻 $R_2$ 時，最大轉矩之大小 $T_{max}$ 與 $R_2$ 無關（峰值高度不變）；但達到最大轉矩的轉差率 $s_{max,T}$ 與 $R_2$ 成正比。整條 $T-s$ 曲線呈現水平向右拉伸（向低轉速方向移動）。

解題方法

題目設定電動機在額定電壓與額定頻率下運轉，負載轉矩固定於 $100\%$ 額定轉矩（$T_L = T_{rated}$）。當轉子迴路串入額外電阻使得總轉子電阻由 $R_2$ 增為 $R_2' = R_2 + R_{ext}$ 時，各參數分析切入點如下：

1. 穩態運轉點之轉差率與轉速： 在正常運轉工作區（轉差率很小，$s \ll s_{max,T}$），轉矩公式分母中 $\frac{R_2}{s}$ 遠大於漏電抗，轉矩可近似為： $T_{ind} \propto \frac{s}{R_2}$ 電動機為維持 $100\%$ 額定負載轉矩平衡（$T_{ind} = T_L = \text{常數}$），必滿足 $\frac{s}{R_2} = \text{常數}$，即轉差率 $s$ 與轉子電阻 $R_2$ 呈正比變動。再由 $n_m = (1-s)n_{sync}$ 判定速度變化。

2. 轉子感應電壓： 轉子導體切割定子旋轉磁場之相對速度為 $(n_{sync} - n_m) = s \cdot n_{sync}$。相對速度隨 $s$ 改變，感應電壓大小直接與 $s$ 連動。

3. 啟動轉矩與最大轉矩： 令 $s = 1$ 代入轉矩方程式分析啟動轉矩隨 $R_2$ 之變化趨勢；最大轉矩則依據其極值公式直接判斷。

各小題詳細分析

(1) 轉差率 $s$ 的影響

• 分析推導： 電動機帶動 $100\%$ 額定轉矩運轉，負載轉矩 $T_L$ 維持不變。在正常運轉線性區，電磁轉矩正比於 $\frac{s}{R_2}$。當外加電阻使轉子總電阻 $R_2$ 增加時，若轉差率不變，轉子電流及電磁轉矩會瞬間降低，小於負載轉矩，轉子因而減速，導致轉差率 $s$ 上升，直到新產生的轉矩再次等於負載轉矩為止。
• 結論：轉差率 $s$ 增大（變大）。

核心觀念

1. 三相同步發電機單相等效電路與電壓方程式： 發電機為 Y 連接，每相端電壓為 $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}}$。忽略電樞電阻（$R_a \approx 0$）時，內部生成電壓（無載感應電勢）$\mathbf{E}_A$ 與端電壓 $\mathbf{V}_\phi$、電樞電流 $\mathbf{I}_A$ 之相量關係為： $\mathbf{E}_A = \mathbf{V}_\phi + j \mathbf{I}_A X_s$ 若以端電壓為參考向量（$\mathbf{V}_\phi = V_\phi \angle 0^\circ$），落後功率因數角為 $\theta$（$\theta < 0$），則： $\mathbf{I}_A = I_A \angle -\theta = I_A \cos\theta - j I_A \sin\theta$

2. 電壓調整率（Voltage Regulation, VR）定義： 發電機由額定負載突卸至無載時，端電壓之變化百分比： $VR = \frac{|\mathbf{E}_A| - V_\phi}{V_\phi} \times 100\% = \frac{E_{A,L} - V_L}{V_L} \times 100\%$

3. 併聯於無窮大母線（額定運轉）之激磁調節特性： 題目敘述「維持在額定狀況下運轉」，依公職命題慣例係指發電機連接於大型電力系統（無窮大母線）：

• 端電壓固定：母線箝制端電壓，即 $V_\phi$ 之大小與相位不變。
• 實功率固定：原動機輸入之機械功率未變，發電機輸出實功率維持額定值： $P = 3 V_\phi I_A \cos\theta = \frac{3 V_\phi E_A}{X_s} \sin\delta = \text{常數}$ 因此滿足幾何約束： $E_A \sin\delta = \text{常數} \quad \text{且} \quad I_A \cos\theta = \text{常數}$
• 激磁變化：調節激磁僅改變內部生成電壓大小 $E_A$，進而改變功角 $\delta$ 與電樞電流之虛功分量（無功電流）。

解題方法

第 (1) 小題：求額定狀況下之電壓調整率

步驟 1：計算額定電壓與額定電流

• 額定相電壓： $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}} = \frac{13.8\ \mathrm{kV}}{\sqrt{3}} \approx 7967.43\ \mathrm{V}$
• 額定電樞電流大小： $I_A = \frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3} V_L} = \frac{60 \times 10^6}{\sqrt{3} \times 13.8 \times 10^3} \approx 2510.22\ \mathrm{A}$
• 功率因數 $\text{PF} = 0.8\text{ 落後}$，其相位角 $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$。 以端電壓為參考向量： $\mathbf{V}_\phi = 7967.43 \angle 0^\circ\ \mathrm{V}$ $\mathbf{I}_A = 2510.22 \angle -36.87^\circ\ \mathrm{A} = (2008.18 - j 1506.13)\ \mathrm{A}$

步驟 2：計算內部生成電壓 $\mathbf{E}_A$ 同步電抗壓降為： $j \mathbf{I}_A X_s = j (2008.18 - j 1506.13) \times 1.2 = (1807.36 + j 2409.82)\ \mathrm{V}$ 帶入電壓方程式： $\mathbf{E}_A = \mathbf{V}_\phi + j \mathbf{I}_A X_s = 7967.43 + (1807.36 + j 2409.82) = 9774.79 + j 2409.82\ \mathrm{V}$ 計算其大小與功角 $\delta$： $|\mathbf{E}_A| = \sqrt{9774.79^2 + 2409.82^2} \approx 10067.46\ \mathrm{V}$ $\delta = \tan^{-1}\left(\frac{2409.82}{9774.79}\right) \approx 13.85^\circ$

步驟 3：計算電壓調整率 $VR$

核心觀念

本題考單相全控式整流器的平均輸出電壓，以及他激式直流馬達在磁場電流固定時，反電勢與轉速成正比的關係。

電樞電流連續、忽略開關壓降時，整流器平均輸出電壓為

馬達穩態電樞電壓方程式為

因為平均電樞電流連續，電樞電感的平均電壓為零。磁場電流固定時，磁通量不變，因此

解題方法

先依觸發角求整流器的平均輸出電壓，再用電樞電壓方程式扣除電阻壓降求反電勢。第二小題維持額定磁場電流與額定滿載電流，先依轉速比例求反電勢，再求所需電樞電壓與觸發角。

（1）轉速 $800\ \mathrm{rpm}$、觸發角 $45^\circ$

整流器輸出電壓：

電樞電阻壓降為

因此反電勢為

（2）轉速 $1000\ \mathrm{rpm}$

磁場電流維持額定值，磁通量固定；額定滿載電流仍為 $20\ \mathrm{A}$，故電樞電阻壓降仍是 $5\ \mathrm{V}$。反電勢與轉速成正比：