111 高普考高考三級 電力工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

交流負載的複數功率為 $S=P+jQ$。感性負載吸收正虛功率，容性負載以負虛功率表示；功率因數領前時，虛功率為負。

單相系統中，負載複數功率與電流的關係為 $S=VI^*$。等效串聯阻抗則可由 $Z=V/I$ 求得，因此：

解題方法

先將各負載換算成實功率與虛功率，再分別加總。題目中的負載 1 虛功率為感性，負載 2 功率因數領前，故其虛功率取負號。

負載 1：

負載 2 的實功率為 $4\times0.96=3.84\ \mathrm{kW}$。因功率因數為 $0.96$，其 $\sin\theta=\sqrt{1-0.96^2}=0.28$，且為領前：

負載 3 功率因數為 1，故虛功率為 0：

(一) 電源提供的複數功率、功率因數與電流大小

三組負載的總複數功率為：

總視在功率：

功率因數：

核心觀念

1. 速度下垂控制（Speed Droop Control / Governor Control）：

• 同步發電機的調速機利用轉速（頻率）負回授調節原動機閥門開度。當負載增加導致頻率下降時，自動增發機械功率；頻率上升時則減發功率，此即一次調頻（Primary Frequency Control）。
• 下垂率 $R$（標麼值）定義為頻率標麼變化量與出力標麼變化量之比值（負號代表反向變化關係）： $R = -\frac{\Delta f / f_0}{\Delta P / S_{\mathrm{base}}} = -\frac{\Delta f_{\mathrm{pu}}}{\Delta P_{\mathrm{pu}}}$
• 下垂特性保證了並聯機組能依其額定容量與 $R$ 值穩定分攤系統負載變動，避免轉速控制發散或互相爭搶負載（Hunting）。

2. 多區域互聯系統頻率響應特性：

• 在穩態下，互聯系統各處頻率偏差相同（$\Delta f_A = \Delta f_B = \Delta f_C = \Delta f$）。
• 各區域之發電機頻率響應剛度（Stiffness）為： $K_i = \frac{S_{\mathrm{base},i}}{R_i \cdot f_0} \quad (\mathrm{MW/Hz})$
• 由於題目給定負載頻率敏感係數 $D = 0$（不計），系統全體頻率特性僅由發電機調速機決定： $K_{\mathrm{sys}} = \sum_{i} K_i = \sum_{i} \left( \frac{S_{\mathrm{base},i}}{R_i \cdot f_0} \right)$
• 系統穩態頻率偏差為發電短缺量 $\Delta P_{\mathrm{loss}}$ 與系統總剛度之比： $\Delta f = -\frac{\Delta P_{\mathrm{loss}}}{K_{\mathrm{sys}}}$

解題方法

(一) 同步發電機速度下垂控制功率之原理說明

1. 原理概述與控制方塊圖

同步發電機的原動機調速系統透過量測轉子轉速與參考設定值之差值，透過比例控制（下垂增益 $1/R$）調節閥門開度。

控制方塊圖如下所示：

flowchart LR
 Pref["ΔP_ref (+)"] --> Sum1((+))
 Sum1 --> Gov["調速機\n1 / (1 + sTg)"]
 Gov --> Turb["原動機/汽機\n1 / (1 + sTt)"]
 Turb --> Pm["ΔPm (+)"]
 Pm --> Sum2((+))
 PL["ΔPL (-)"] --> Sum2
 Sum2 --> Rotor["發電機與負載\n1 / (2Hs + D)"]
 Rotor --> Df["Δf"]
 Df --> Droop["速度下垂 (1/R)"]
 Droop -->|(-) 負回授| Sum1

在穩態時（$s \to 0$），忽略動態延遲（$T_g \to 0, T_t \to 0$），若無二次調頻介入（基準功率設定未調，$\Delta P_{\mathrm{ref}} = 0$），其控制代數式為： $\Delta P_m = -\frac{1}{R} \Delta f_{\mathrm{pu}} \quad (\mathrm{pu})$ 轉換至實際單位（$\mathrm{MW}$）： $\Delta P_m = -\frac{S_{\mathrm{base}}}{R} \cdot \left(\frac{\Delta f}{f_0}\right) = -K \cdot \Delta f$

2. 特性曲線（$f-P$ 曲線）

發電機速度下垂特性為一條斜率為負的直線，橫軸為輸出功率 $P$，縱軸為系統頻率 $f$：

 f (系統頻率)
 ^
 f_nl +----------------+ (無載頻率 No-load)
 | \
 | \ 斜率 = - (R * f_0) / S_base
 f_0 | - - - - - - - - - \ (額定工作點)
 | \
 f_fl +---------------------+-------------> P (發電功率)
 0 S_base (滿載 Full-load)

• 無載到滿載之頻率落差： $R = \frac{f_{nl} - f_{fl}}{f_0}$
• 負載分攤原理：並聯運轉之機組面對同一系統頻率偏差 $\Delta f$ 時，各機組依其下垂曲線移動，分攤之出力變化量 $\Delta P_i$ 與其容量 $S_{\mathrm{base},i}$ 成正比、與下垂率 $R_i$ 成反比。

(二) 跳機事故後系統穩態頻率與各區發電量變動計算

步驟 1：計算各區域發電機頻率剛度係數（$\mathrm{MW/Hz}$）

系統基準頻率 $f_0 = 60\ \mathrm{Hz}$：

• 區域 A： $K_A = \frac{S_{\mathrm{base},A}}{R_A \cdot f_0} = \frac{16{,}000}{0.02 \times 60} = \frac{800{,}000}{60} = \frac{40{,}000}{3}\ \mathrm{MW/Hz} \approx 13{,}333.33\ \mathrm{MW/Hz}$

• 區域 B： $K_B = \frac{S_{\mathrm{base},B}}{R_B \cdot f_0} = \frac{12{,}000}{0.0125 \times 60} = \frac{960{,}000}{60} = 16{,}000\ \mathrm{MW/Hz}$

• 區域 C：

核心觀念

本題考查不平衡故障的對稱分量法，以及變壓器接線對零序電流通路的影響。

• 正序、負序網路中，變壓器與輸電線依序串接；發電機正序電抗後有內電勢，負序電路沒有內電勢。
• 發電機零序電抗須計入中性點電抗：$X_{0G}+3X_n$。
• 變壓器的 $\Delta$ 側阻斷零序電流向外流通；未接地的 $Y$ 側也沒有零序電流接地通路。
• $b$-$c$ 相接地故障的地面故障電流為 $I_g=3I_0$。

解題方法與序電路

圖中 Tr.1 為發電機 G1 側 $\Delta$、匯流排 2 側接地 $Y$；Tr.2 為匯流排 3 側未接地 $Y$、發電機 G2 側 $\Delta$。題目指明變壓器相位移不計，三序電抗相等。

**正序電路：**匯流排 4 往 G2 的支路為 $E_2$ 串 $j0.2$；往 G1 的支路為 Tr.2、輸電線、Tr.1 與 G1 串接：

事故前電壓為 $1.0$ pu，兩發電機內電勢均取 $1\angle0^\circ$ pu。

**負序電路：**與正序電路阻抗相同，但沒有電壓源：

**零序電路：**兩台發電機的零序電抗均須加上中性點電抗 $3X_n$。G2 在匯流排 4 的零序接地支路為

Tr.2 的匯流排 4 側為 $\Delta$，阻斷匯流排 4 與匯流排 3 間的零序電流，因此故障點零序網路不會接到輸電線或 G1。完整零序電路中，Tr.1 接地 $Y$ 側可由匯流排 2 經 $j0.08$ 接地；匯流排 2、3 間有輸電線零序電抗 $j0.5$，但 Tr.2 的未接地 $Y$ 側沒有接地回路。G1 的零序支路在 Tr.1 的 $\Delta$ 側，與匯流排 2 隔離。

故障電流計算

正序、負序由匯流排 4 看入的等效電抗相同：

核心觀念

本題考查兩匯流排、純電抗饋電線的功率潮流，以及由戴維寧等效阻抗求短路容量。圖中匯流排 1 的負載 $S_{D1}=1+j0.2$ 接在電源端；流經饋電線至匯流排 2 的有功需求為 $S_{D2}=1$ pu。

令饋電線電抗 $X=0.5$ pu，且 $V_1=V_2=1$ pu。以從匯流排 1 流向匯流排 2 為正方向，線路送至匯流排 2 的功率為

解題方法

匯流排 2 的負載只有有功功率 $1$ pu；電容器組注入 $Q_{G2}$ pu 虛功。因此匯流排 2 的功率平衡為

(一) 求電壓相角與電容器補償量

先由有功功率平衡求相角：

在正常穩定運轉的低角度解下，

代入無功功率公式：

核心觀念

本題旨在評量電力系統保護協調（Protection Coordination）中四大常用保護電驛之工作原理、硬體信號架構、判據數學模型與實務工程配置。

1. ANSI 代碼與核心量測物理量：

• 50/51（過電流電驛）：單一電流大小量測。50 為瞬時動作（Instantaneous），51 為反時限延時動作（Time-delay / Inverse-time）。
• 87（差動電驛）：依據克希荷夫電流定律（KCL），量測受保護單元兩端或多端之電流向量差（$\Delta \vec{I}$）。
• 67（方向性過電流電驛）：同時量測電流與參考電壓（極化量，Polarizing quantity），利用二者之相位角決定功率/故障電流流向。
• 21（測距／阻抗電驛）：同時量測故障點之電壓與電流，計算其比值之視在阻抗（$\vec{Z}_{seen} = \vec{V} / \vec{I}$），反映電驛至故障點之電氣距離。

2. 保護協調四大基本要求：可靠性（Reliability）、選擇性（Selectivity）、速動性（Speed）與靈敏性（Sensitivity）。

解題方法

本題為標準問答題，配分每小題 5 分，共 20 分。各小題之回答均依序切入三項評分要點：

1. 基本接線方塊圖：繪製包含一次側主電路、儀表用互感器（CT、PT）、電驛輸入單元（動作線圈／制動線圈／方向判別）及直流跳脫迴路（Trip Circuit 控制斷路器 CB）之信號流向架構。
2. 動作公式：給出嚴謹之臨界動作不等式，並詳細定義所有參數與符號意義。
3. 典型保護應用：指出該電驛在電力系統（發電、輸電、變電、配電）中最具代表性之設備或網路拓撲配置。

解題技巧

1. 方塊圖得分關鍵：

• 繪製接線圖時，務必標出 CT 與 PT，並清楚呈現電驛輸出信號接往 斷路器跳脫線圈（TC, Trip Coil）。
• 87 差動電驛必須標註「制動線圈（Restraining Coil）」與「動作線圈（Operating Coil）」，不可只畫單一線圈。
• 67 與 21 電驛必須同時引入 CT（提供 $\vec{I}$） 與 PT（提供 $\vec{V}$），缺一不可。

2. 動作公式避坑要點：

• 51 反時限公式寫出標準曲線形式（如 IEEE/IEC 曲線），不可僅寫 $t \propto 1/I$。
• 87 需寫出比例制動差動判據（Percentage Differential），說明抗 CT 飽和與比值誤差之特性。
• 21 建議以工程界最普及之莫歐型（Mho）特性或阻抗型特性作答，並列出 Zone 1、Zone 2、Zone 3 之保護範圍整定原則。

【答案】

(一) 瞬時／延時過電流電驛（ANSI 50/51）

1. 基本接線方塊圖

比流器（CT）自電力饋線感應二次側電流，送入 50/51 電驛之電流檢測元件。當滿足動作條件時，電驛接點閉合，由直流控制電源驅動斷路器跳脫線圈（TC），使斷路器（CB）啟斷主迴路。

 主電路 (饋線) ─────────────────[ CT ]───────────[ CB ]───────> 至負載
 │ ▲
 二次側 │ 電流信號 │ 跳脫信號 (Trip)
 ▼ │
 ┌───────────────┐ │
 │ 50/51 電驛 │ │
 │ ┌───────────┐ │ │
 │ │ 50 (瞬時) │─┼──┐ │
 │ └───────────┘ │ │ │
 │ ┌───────────┐ │ ├─────┘
 │ │ 51 (延時) │─┼──┘
 │ └───────────┘ │
 └───────────────┘
 │
 直流跳脫電源 (DC Station Bus)

2. 動作公式

• 瞬時過電流電驛（50）： 無刻意延時，當量測電流大小超過瞬時整定值 $I_{set,50}$ 時立即動作： $I_{relay} > I_{set,50} \implies t_{trip} \approx 0 \quad (\text{通常 } \le 0.05\text{ s})$
• 延時（反時限）過電流電驛（51）： 動作時間 $t$ 與通過電流大小呈反比關係。依據 IEEE Std C37.112 標準反時限特徵曲線，其動作時間公式為： $t = \text{TD} \times \left( \frac{A}{\left(\frac{I}{I_{pickup}}\right)^p - 1} + B \right) \quad \left(\text{當 } I > I_{pickup}\right)$ 式中：
• $I$：電驛量測之二次側故障電流值。
• $I_{pickup}$：始動電流整定值（Pickup Current）。
• $\text{TD}$：時間倍率整定值（Time Dial Setting）。
• $A, B, p$：反時限曲線常數（依標準反時限、極反時限、超反時限而異）。

3. 典型保護應用

• 輻射狀配電饋線（Radial Distribution Feeders）之相間與接地保護：作為饋線之主保護。
• 小型／中型變壓器與高壓電動機：50 用於近端嚴重短路故障之瞬時隔離；51 用於中度過載及遠端故障之協調保護。
• 高壓輸電線路之后衛保護（Backup Protection）。

(二) 差動電驛（ANSI 87）

1. 基本接線方塊圖

在受保護設備（如變壓器或發電機）之兩端各裝設一組 CT，二次側相互串接形成循環迴路。電驛內部包含兩個制動線圈（Restraining Coils, RC）與一個動作線圈（Operating Coil, OC）。

 一次側電源 ─────[ CB1 ]────[ CT1 ]───[ 受保護設備 ]───[ CT2 ]────[ CB2 ]───── 負載
 │ (變壓器等) │
 $I_1$ │ │ $I_2$
 ▼ ▼
 ┌─────┬─────────────────────────┬─────┐
 │ │ 87 比例制動差動電驛 │ │
 │ ┌──┴──┐ ┌──┴──┐ │
 │ │ RC1 │ │ RC2 │ │
 │ └──┬──┘ └──┬──┘ │
 │ │ ┌─────────┐ │ │
 │ └─────>│ OC │<───────┘ │
 │ └────┬────┘ │
 └─────────────────┼───────────────────┘
 │ 跳脫信號 (Trip)
 └───> 同時跳脫 CB1 與 CB2

2. 動作公式

為防止外部區外故障時因 CT 飽和產生不平衡不平衡電流造成誤動，實務上採用比例制動差動特性（Percentage Differential Characteristic）：