115 高普考高考三級 電力工程 電力系統 考古題詳解

115 年・高普考・高考三級・電力工程
試題代碼 電力系統

第 一 題20 分

圖 1 為一個三相平衡之配電系統單線圖，其中負載吸收滿載實功率 8 MW8\ \mathrm{MW}、功率因數（pf）0.80.8 落後（Lagging），負載匯流排之線電壓為 3.3 kV3.3\ \mathrm{kV}，三相配電線每相電抗實際值為 0.1 Ω0.1\ \Omega，電阻忽略不計。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中系統元件依序為：電源端電壓 VsV_s、每相串聯電抗 j0.1 Ωj0.1\ \Omega、負載匯流排電壓 3.3 kV3.3\ \mathrm{kV}，以及負載 8 MW8\ \mathrm{MW}、pf =0.8=0.8 Lagging。

（一）計算電源端線電壓，與負載匯流排的電壓調整率（V.R.%）。

（二）以負載匯流排 aa 相對地電壓為參考，繪出此系統 aa 相的操作相量圖（Phasor diagram）。

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核心觀念

本題考查三相平衡配電線路之：

  • 三相有功功率、線電壓與線電流的關係： P=3VLLILcos⁡ϕP=\sqrt{3}V_{LL}I_L\cos\phi
  • 負載功率因數與電流相角： ϕ=cos⁡−1(0.8)=36.87∘\phi=\cos^{-1}(0.8)=36.87^\circ
  • 每相電壓降： ΔV=ZI\Delta V=ZI
  • 電壓調整率： V.R.=∣VS∣−∣VR∣∣VR∣×100%\mathrm{V.R.}=\frac{|V_S|-|V_R|}{|V_R|}\times100\%

其中負載為 0.80.8 落後功率因數，因此負載電流落後負載端電壓 36.87∘36.87^\circ。

（一）電源端線電壓與電壓調整率

1. 負載端相電壓

負載匯流排線電壓為 3.3 kV3.3\ \mathrm{kV}，故每相負載端電壓為

VRϕ=33003=1905.26 VV_{R\phi}=\frac{3300}{\sqrt{3}} =1905.26\ \mathrm{V}

取負載端 aa 相電壓為參考相量：

VRϕ=1905.26∠0∘ V\boldsymbol{V}_{R\phi}=1905.26\angle 0^\circ\ \mathrm{V}

2. 負載線電流

IL=P3VLLpfI_L=\frac{P}{\sqrt{3}V_{LL}\mathrm{pf}}

代入數值：

IL=8×1063(3300)(0.8)=1749.7 AI_L= \frac{8\times10^6} {\sqrt{3}(3300)(0.8)} =1749.7\ \mathrm{A}

因為功率因數為 0.80.8 落後，

Ia=1749.7∠(−36.87∘) A\boldsymbol{I}_a =1749.7\angle(-36.87^\circ)\ \mathrm{A}

化為直角座標：

Ia=1749.7(0.8−j0.6)=1399.8−j1049.8 A\boldsymbol{I}_a =1749.7(0.8-j0.6) =1399.8-j1049.8\ \mathrm{A}

3. 每相線路電壓降

每相線路阻抗為

Z=j0.1 ΩZ=j0.1\ \Omega

因此

ΔV=ZI=j0.1(1399.8−j1049.8)\Delta\boldsymbol{V} =ZI =j0.1(1399.8-j1049.8) ΔV=104.98+j139.98 V\Delta\boldsymbol{V} =104.98+j139.98\ \mathrm{V}

電源端每相電壓為

VSϕ=VRϕ+ΔV\boldsymbol{V}_{S\phi} =\boldsymbol{V}_{R\phi}+\Delta\boldsymbol{V} VSϕ=1905.26+(104.98+j139.98)\boldsymbol{V}_{S\phi} =1905.26+(104.98+j139.98) VSϕ=2010.24+j139.98 V\boldsymbol{V}_{S\phi} =2010.24+j139.98\ \mathrm{V}

其大小為

∣VSϕ∣=2010.242+139.982=2015.11 V|V_{S\phi}| =\sqrt{2010.24^2+139.98^2} =2015.11\ \mathrm{V}

因此電源端線電壓為

VS,LL=3∣VSϕ∣V_{S,LL}=\sqrt{3}|V_{S\phi}| VS,LL≈3.49 kV\boxed{V_{S,LL}\approx3.49\ \mathrm{kV}}

電源端相電壓相角為

∠VSϕ=tan⁡−1(139.982010.24)≈3.98∘\angle V_{S\phi} =\tan^{-1}\left(\frac{139.98}{2010.24}\right) \approx3.98^\circ

4. 電壓調整率

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第 二 題20 分

圖 2 為一個 60 Hz60\ \mathrm{Hz}、120 km120\ \mathrm{km}、三相、單迴路、經適當換位的輸電線架構。輸電線導體為鋁質，比導磁係數 μr=1.0\mu_r=1.0，每根導體半徑 r=1.27 cmr=1.27\ \mathrm{cm}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中輸電線為三相水平排列之雙分裂導線，各相導線間距及導線半徑標示如下：相鄰相間距離為 7.62 m7.62\ \mathrm{m}，最外側兩相間距離為 15.24 m15.24\ \mathrm{m}，每相分裂導線間距為 50.8 cm50.8\ \mathrm{cm}，每根導體半徑為 r=1.27 cmr=1.27\ \mathrm{cm}。

（一）計算輸電線每相每公里的電感量（mH\mathrm{mH}），與每相總電抗值（Ω\Omega）。

（二）計算輸電線每相每公里對地的電容量（μF\mu\mathrm{F}），與每相對地總容抗值（Ω\Omega）。

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核心觀念

本題考查三相架空輸電線的：

  1. 電感量：使用平均幾何均距 DmD_m 與等效自幾何平均半徑。
  2. 電容量：使用平均幾何均距 DmD_m 與分裂導線的等效半徑。
  3. 三相線路已「適當換位」，因此可直接採用三相幾何平均值計算。

每相為雙分裂導線，分裂間距為

db=0.508 md_b=0.508\ \mathrm{m}

導體半徑為

r=1.27 cm=0.0127 mr=1.27\ \mathrm{cm}=0.0127\ \mathrm{m}

（一）每相每公里電感量與每相總電抗

1. 平均幾何均距

三相水平排列，三相間距為：

Dab=Dbc=7.62 mD_{ab}=D_{bc}=7.62\ \mathrm{m} Dca=15.24 mD_{ca}=15.24\ \mathrm{m}

因此

Dm=(DabDbcDca)1/3D_m=(D_{ab}D_{bc}D_{ca})^{1/3} Dm=(7.62×7.62×15.24)1/3=9.601 mD_m=(7.62\times 7.62\times 15.24)^{1/3} =9.601\ \mathrm{m}

2. 雙分裂導線的等效自幾何平均半徑

單一鋁導體的等效半徑為

r′=0.7788rr'=0.7788r

其中 0.7788r0.7788r 已包含導體內部磁通所造成的內部電感，且 μr=1\mu_r=1。

r′=0.7788(0.0127)=0.009891 mr'=0.7788(0.0127) =0.009891\ \mathrm{m}

雙分裂導線的等效自幾何平均半徑為

Ds=r′dbD_s=\sqrt{r'd_b} Ds=0.009891×0.508=0.07088 mD_s=\sqrt{0.009891\times 0.508} =0.07088\ \mathrm{m}

3. 每相每公里電感量

三相換位輸電線每相單位長度電感為

L=2×10−7ln⁡(DmDs) H/mL=2\times 10^{-7} \ln\left(\frac{D_m}{D_s}\right)\ \mathrm{H/m}

代入數值：

L=2×10−7ln⁡(9.6010.07088)L=2\times 10^{-7} \ln\left(\frac{9.601}{0.07088}\right) L=9.816×10−7 H/mL=9.816\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}

換算為每公里：

Lkm=9.816×10−7×1000=9.816×10−4 H/kmL_{\mathrm{km}} =9.816\times10^{-7}\times1000 =9.816\times10^{-4}\ \mathrm{H/km}

因此

Lkm≈0.982 mH/km\boxed{L_{\mathrm{km}}\approx 0.982\ \mathrm{mH/km}}

4. 每相總電抗

線路長度為 120 km120\ \mathrm{km}，故每相總電感為

Ltotal=0.0009816×120=0.1178 HL_{\mathrm{total}} =0.0009816\times120 =0.1178\ \mathrm{H}

電感抗為

XL=ωLtotal=2πfLtotalX_L=\omega L_{\mathrm{total}} =2\pi fL_{\mathrm{total}} XL=2π(60)(0.1178)≈44.4 ΩX_L=2\pi(60)(0.1178) \approx44.4\ \Omega

所以每相總電抗為

XL≈44.4 Ω\boxed{X_L\approx44.4\ \Omega}

（二）每相每公里對地電容量與每相總容抗

1. 雙分裂導線的電容量等效半徑

計算電容量時，分裂導線的等效半徑使用實際導體半徑：

rb=rdbr_b=\sqrt{rd_b}
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第 三 題20 分

圖 3 為一個三相輸電系統單線圖，各設備的正、負、零相序電抗標么值均以升壓變壓器 T1T1 的額定為基準（Base）值，並標示於圖 3。

假設在匯流排（3）出口的 aa 相發生完全單線接地（SLG）事故，事故前故障相的電壓為 1.01.0 標么，變壓器的正、負、零相序電抗值假設相等，且變壓器相位移不予考慮。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中系統資料如下：

  • 發電機 G1G1：
    • 額定容量／電壓：100 MVA/13.8 kV100\ \mathrm{MVA}/13.8\ \mathrm{kV}
    • X1=X2=0.2 puX_1=X_2=0.2\ \mathrm{pu}
    • X0=0.04 puX_0=0.04\ \mathrm{pu}
    • Xn=0.1 puX_n=0.1\ \mathrm{pu}
  • 升壓變壓器 T1T1：
    • 額定容量及電壓：100 MVA100\ \mathrm{MVA}、13.8 kV/138 kV13.8\ \mathrm{kV}/138\ \mathrm{kV}
    • XT1=0.1 puX_{T1}=0.1\ \mathrm{pu}
    • 接線方式為 Δ\Delta–YY，高壓側中性點接地
  • 輸電線：
    • SB=100 MVAS_B=100\ \mathrm{MVA}
    • VB=138 kVV_B=138\ \mathrm{kV}
    • X1=X2=0.2 puX_1=X_2=0.2\ \mathrm{pu}
    • X0=0.6 puX_0=0.6\ \mathrm{pu}

（一）繪出此輸電系統的正、負、零相序電路。

（二）由相序電路組合，計算此完全單線接地事故電流的標么值與實際值。

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核心觀念

本題考查三相系統的對稱分量法與完全單線接地故障（SLG）分析。

對於 aa 相完全接地故障：

I1=I2=I0I_1=I_2=I_0

故障相電流為：

Ia=I1+I2+I0=3I1I_a=I_1+I_2+I_0=3I_1

SLG 故障時，正、負、零相序網路在故障點串聯。

（一）正、負、零相序電路

1. 正相序電路

正相序網路具有故障前內電勢 E1=1.0E_1=1.0 pu：

E1=1.0 puE_1=1.0\ \text{pu}

由發電機、變壓器及輸電線串聯：

Z1=j(0.2+0.1+0.2)=j0.5 puZ_1=j(0.2+0.1+0.2)=j0.5\ \text{pu}

文字表示如下：

E1=1.0 pu ─ j0.2(G1) ─ j0.1(T1) ─ j0.2(輸電線) ─ 故障點

2. 負相序電路

負相序網路沒有電壓源，阻抗為：

Z2=j(X2G+X2T1+X2L)Z_2=j(X_{2G}+X_{2T1}+X_{2L}) Z2=j(0.2+0.1+0.2)=j0.5 puZ_2=j(0.2+0.1+0.2)=j0.5\ \text{pu}

文字表示如下：

故障點 ─ j0.2(輸電線) ─ j0.1(T1) ─ j0.2(G1) ─ 開路

3. 零相序電路

輸電線零相序電抗為 j0.6j0.6 pu，變壓器零相序電抗為 j0.1j0.1 pu。

由於變壓器為高壓側接地之 YY 接、低壓側 Δ\Delta 接：

  • 高壓側零相序電流可經由接地中性點流通。
  • Δ\Delta 側阻隔零相序電流，因此發電機零相序網路不接入故障迴路。
  • 發電機的 X0X_0 與中性點電抗 3Xn3X_n 不影響本故障電流。

因此：

Z0=j(X0L+X0T1)Z_0=j(X_{0L}+X_{0T1}) Z0=j(0.6+0.1)=j0.7 puZ_0=j(0.6+0.1)=j0.7\ \text{pu}

文字表示如下：

故障點 ─ j0.6(輸電線) ─ j0.1(T1) ─ 接地

（二）故障電流計算

1. 相序電路串聯

完全單線接地故障時：

I1=I2=I0I_1=I_2=I_0

故障點電流為：

Ia=3I1I_a=3I_1

正相序電流：

I1=E1Z1+Z2+Z0I_1=\frac{E_1}{Z_1+Z_2+Z_0}

代入數值：

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第 四 題20 分

圖 4 為一個 60 Hz60\ \mathrm{Hz} 獨立運轉之三相電力系統，遭遇大型發電機組跳機事故時，產生的低頻變動響應。圖 4 標示出（1）～（3）三區間的頻率走勢曲線。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）說明此（1）～（3）區間頻率變動的可能成因。

（二）說明此電力系統在（1）～（3）區間需採何種功能的控制操作，以產生此低頻變動響應。

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核心觀念

本題考查「發電機跳機後之電力系統頻率控制」，核心包括：

  1. 發電機跳機造成發電量突然減少，使系統出現發電量小於負載需求的功率失衡。
  2. **慣性響應（inertial response）**決定事故初期頻率下降速度。
  3. **一次調頻（primary frequency control）**利用調速機之速度下垂特性增加發電機機械輸入功率，使頻率停止下降，但通常無法恢復至額定頻率。
  4. **二次調頻（secondary frequency control）**利用自動發電控制或備轉容量，重新調整機組出力，使頻率恢復至 60 Hz60\ \mathrm{Hz}。

系統頻率變化可由擺動方程式表示：

2HωsdΔωdt=ΔPm−ΔPe\frac{2H}{\omega_s}\frac{d\Delta \omega}{dt} = \Delta P_m-\Delta P_e

其中 HH 為慣性常數，ΔPm\Delta P_m 為機械輸入功率變化，ΔPe\Delta P_e 為電氣輸出功率變化。發電機跳機後，ΔPm<ΔPe\Delta P_m<\Delta P_e，因此頻率開始下降。

解題方法

判斷各區間時，依照頻率控制的時間順序分析：

  1. 頻率突然下降：代表事故造成即時功率缺額，主要由系統慣性支撐。
  2. 頻率下降後穩定在低於額定值：代表一次調頻已發揮作用，但仍存在穩態頻率偏差。
  3. 頻率逐漸恢復至額定值：代表二次調頻或自動發電控制開始作用。

圖中系統為獨立運轉系統，沒有鄰近電力系統可以透過聯絡線支援，因此發電機跳機後必須由本系統機組及負載控制共同維持頻率。

（一）各區間頻率變動的可能成因

（1）頻率快速下降區間

大型發電機組跳機後，系統總發電量突然減少，而負載需求在事故瞬間尚未改變，因此形成：

PG<PLP_G<P_L

其中 PGP_G 為發電量，PLP_L 為負載需求。

此時功率缺額由運轉中發電機的轉子動能暫時補充，轉子速度下降，系統頻率也隨之下降。頻率下降速度與功率缺額及系統慣性有關：

dfdt∝ΔPH\frac{df}{dt}\propto \frac{\Delta P}{H}

因此，跳機容量越大，頻率下降越快；系統慣性越小，頻率下降速度也越快。

圖中（1）區間先由 60 Hz60\ \mathrm{Hz} 快速下降至約 59.4 Hz59.4\ \mathrm{Hz}，即為發電機跳機後的慣性響應及初期功率失衡所造成。

（2）頻率維持於低於額定值之區間

事故後，各運轉中發電機的調速機感測到頻率下降，依速度下垂特性增加機械輸入功率，使發電量增加，逐漸補足部分功率缺額。

同時，部分負載具有頻率敏感特性。頻率降低時，馬達類負載及部分阻抗負載的實際消耗功率會下降，形成負載阻尼效果，進一步協助系統平衡。

一次調頻完成後，系統達到新的功率平衡：

ΔPm=ΔPe\Delta P_m=\Delta P_e

但因調速機採用下垂控制，頻率偏差仍會存在。簡化表示為：

Δf=−ΔPlossD+1R\Delta f = -\frac{\Delta P_{\text{loss}}} {D+\frac{1}{R}}

其中 DD 為負載阻尼係數，RR 為發電機調速機之速度下垂係數。

因此，圖中（2）區間頻率約穩定於 59.6 Hz59.6\ \mathrm{Hz} 附近，而未立即恢復至 60 Hz60\ \mathrm{Hz}，其原因是一次調頻只能平衡功率缺額，不能完全消除穩態頻率偏差。曲線上的小幅波動，則可能來自調速機、渦輪機及系統負載的低頻振盪與控制器調節過程。

（3）頻率逐漸恢復至額定值之區間

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第 五 題20 分

圖 5 為一個三相電力變壓器的差動電驛規劃接線配置，其中標示出變壓器的接線方式與極性、比流器的極性，與虛線方塊標示之差動電驛的作動（Op）與抑制（R）線圈。假設比流器的電流比與變壓器能完全匹配，不需輔助比流器。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中標示電源側三相端點 aa、bb、cc 及電流 iai_a、ibi_b、ici_c，負載側三相端點 a′a'、b′b'、c′c' 及電流 ia′i_{a'}、ib′i_{b'}、ic′i_{c'}，並標示變壓器繞組接線、極性、接地、比流器及差動電驛之 Op 與 R 線圈。

（一）請完成此差動電驛接線。

（二）分別說明變壓器外部與內部發生三相短路事故時，差動電驛如何作動。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查變壓器差動保護（87T）的下列觀念：

  1. 變壓器接線組別與相位補償
  2. 比流器（CT）二次側的接線方式
  3. 差動電驛的作動線圈（Op）與抑制線圈（R）
  4. 外部故障與內部故障的差動電流判別

由圖可判讀：

  • 電源側變壓器繞組為接地 Y 接
  • 負載側變壓器繞組為Δ 接
  • 因此為 Y－Δ 變壓器
  • 電源側與負載側存在約 30∘30^\circ 的相位差，必須由 CT 接線補償
  • CT 比已與變壓器變比匹配，不需使用輔助 CT

差動電驛基本原理為：

Iop=∣I1−I2∣I_{\mathrm{op}}=\left|I_1-I_2\right|

而抑制線圈所承受的電流約與兩側電流平均值或和成正比：

IR∝∣I1∣+∣I2∣2I_{\mathrm{R}}\propto \frac{|I_1|+|I_2|}{2}

正常負載及變壓器外部故障時，IopI_{\mathrm{op}} 很小；變壓器內部故障時，IopI_{\mathrm{op}} 顯著增加而使電驛作動。

（一）差動電驛接線

1. CT 的補償接法

因為變壓器為 Y－Δ 接線，CT 必須採取相反的接法以補償變壓器相位移：

  • 電源側 Y 接繞組的 CT：接成 Δ 接
  • 負載側 Δ 接繞組的 CT：接成 Y 接

因此本題接線為：

電源側 CT 接成 Δ，負載側 CT 接成 Y\boxed{\text{電源側 CT 接成 Δ，負載側 CT 接成 Y}}

2. 電源側 CT 接線

電源側三只 CT 的二次繞組，以圖示極性按照相序接成封閉三角形：

  • aa 相 CT 與 bb 相 CT 串接
  • bb 相 CT 與 cc 相 CT 串接
  • cc 相 CT 與 aa 相 CT 串接

形成封閉 Δ 回路。接線時必須依照圖中黑點所示之 CT 極性，使各相差動電流在正常運轉時與負載側補償後的電流方向相反。

3. 負載側 CT 接線

負載側三只 CT 的二次繞組接成 Y 接：

  • 三只 CT 的同一側端點連接成中性點
  • 其中性點接地
  • 另一側端點分別引出為 a′a'、b′b'、c′c' 三相差動電流

負載側 CT 的接線須依圖中點標記，使其與電源側 Δ 接 CT 所產生的相位補償相配合。

4. 與差動電驛的連接

三相各自對應一個差動單元：

  • aa 相補償後電流接至第一組差動電驛
  • bb 相補償後電流接至第二組差動電驛
  • cc 相補償後電流接至第三組差動電驛

每一組差動單元中：

  • 電源側與負載側 CT 電流分別通過兩個抑制線圈 RR
  • 兩側 CT 電流的差電流通過作動線圈 OpOp
  • 正常負載及外部故障時，兩側補償電流大小相等、方向相反，OpOp 線圈電流接近零
  • 內部故障時，兩側電流在 OpOp 線圈中相加，使電驛作動

完整接線概念如下：

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