108 高普考高考三級 電力工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

本題評量三相交流電路之複數功率守恆定律（Conservation of Complex Power）與三相功率基本定義：

1. 功率守恆定律：在任何交流電力網路中，無論負載為串聯或並聯，系統吸收之總複數功率 $\mathbf{S}_{total}$ 等於各負載複數功率之向量和。即實功（$P$）各自代數相加，虛功（$Q$）亦各自代數相加： $\mathbf{S}_{total} = \sum \mathbf{S}_k = \sum P_k + j \sum Q_k = P_{total} + j Q_{total}$
2. 實功、虛功與視在功率定義：

• 實功：$P = S \cos\theta$
• 虛功：$Q = S \sin\theta$（依電機工程慣例，落後 lagging 功率因數代表電感性，取正值 $+Q$；超前 leading 功率因數代表電容性，取負值 $-Q$）
• 視在功率：$S = |\mathbf{S}| = \sqrt{P^2 + Q^2}$

3. 三相平衡系統線電壓與線電流關係： 三相總視在功率與負載端線電壓大小 $V_L$、線電流大小 $I_L$ 的關係式為： $S_{total} = \sqrt{3} V_L I_L \implies I_L = \frac{S_{total}}{\sqrt{3} V_L}$

解題方法

步驟一：計算各負載之實功與虛功

1. 一號負載（Load 1）：

• 額定視在功率 $S_1 = 16\text{ kVA}$，功率因數 $\text{PF}_1 = 0.8\text{ lagging}$
• $\cos\theta_1 = 0.8 \implies \sin\theta_1 = \sqrt{1 - 0.8^2} = 0.6$
• 實功：$P_1 = S_1 \cos\theta_1 = 16 \times 0.8 = 12.8\text{ kW}$
• 虛功（落後為正）：$Q_1 = + S_1 \sin\theta_1 = + 16 \times 0.6 = +9.6\text{ kVAR}$
• 複數功率：$\mathbf{S}_1 = 12.8 + j9.6\text{ kVA}$

2. 二號負載（Load 2）：

• 額定視在功率 $S_2 = 12\text{ kVA}$，功率因數 $\text{PF}_2 = 0.6\text{ leading}$
• $\cos\theta_2 = 0.6 \implies \sin\theta_2 = \sqrt{1 - 0.6^2} = 0.8$
• 實功：$P_2 = S_2 \cos\theta_2 = 12 \times 0.6 = 7.2\text{ kW}$
• 虛功（超前為負）：$Q_2 = - S_2 \sin\theta_2 = - 12 \times 0.8 = -9.6\text{ kVAR}$
• 複數功率：$\mathbf{S}_2 = 7.2 - j9.6\text{ kVA}$

3. 三號負載（Load 3）：

• 純電阻負載，功率因數 $\text{PF}_3 = 1.0$
• 實功：$P_3 = 8\text{ kW}$
• 虛功：$Q_3 = 0\text{ kVAR}$
• 複數功率：$\mathbf{S}_3 = 8.0 + j0\text{ kVA}$

(一) 總視在功率（Apparent Power）

由步驟一求得之總實功 $P_{total}$ 與總虛功 $Q_{total}$： $S_{total} = |\mathbf{S}_{total}| = \sqrt{P_{total}^2 + Q_{total}^2} = \sqrt{28^2 + 0^2} = 28\text{ kVA}$

(二) 總實功（Real Power）

核心觀念

本題評量同步發電機並聯於無限匯流排（Infinite Bus）時之穩態電氣特性分析，主要涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 同步發電機等效電路與相量關係： 忽略定子繞組電阻（$R_a = 0$）及線路阻抗，發電機端電壓 $\vec{V}_t$ 即為無限匯流排電壓。內生電動勢（無載電壓）$\vec{E}_f$、端電壓 $\vec{V}_t$ 與定子電流 $\vec{I}_a$ 之相量方程式為： $\vec{E}_f = \vec{V}_t + j X_s \vec{I}_a$ 其中 $X_s$ 為同步電抗。

2. 實功輸出與功角關係： 發電機輸出之實功 $P$ 可表為： $P = \frac{|\vec{E}_f||\vec{V}_t|}{X_s} \sin\delta = |\vec{V}_t||\vec{I}_a|\cos\theta$ 式中 $\delta$ 為功角（Power Angle，即 $\vec{E}_f$ 超前 $\vec{V}_t$ 之相角），$\theta$ 為功率因數角。

3. 激磁控制（勵磁控制）特性：

• 內生電動勢大小 $|\vec{E}_f|$ 與激磁電流成正比。激磁增加 10%，則 $|\vec{E}_{f2}| = 1.1 |\vec{E}_{f1}|$。
• 控制發電機輸出實功維持不變（$P_2 = P_1$），則在 $|\vec{V}_t|$ 與 $X_s$ 均為定值之前提下，乘積 $|\vec{E}_f|\sin\delta$ 為常數。
• 增加激磁將使發電機輸出之落後虛功（無效功率）大幅增加。

4. 輸出虛功計算公式： $Q = \frac{|\vec{E}_f||\vec{V}_t|}{X_s}\cos\delta - \frac{|\vec{V}_t|^2}{X_s} = |\vec{V}_t||\vec{I}_a|\sin\theta$

解題方法

步驟一：建立初始運轉狀態（狀態 1）之電氣量

選定無限匯流排電壓為參考相量： $\vec{V}_t = 1.0\angle 0^\circ \text{ pu}$

已知輸出電流大小為 $0.9\text{ pu}$，功率因數為 $0.8$ 落後（$\cos\theta_1 = 0.8 \implies \theta_1 = -\cos^{-1}(0.8) \approx -36.87^\circ$）： $\vec{I}_{a1} = 0.9\angle -36.87^\circ = 0.9(0.8 - j0.6) = 0.72 - j0.54\text{ pu}$

此時發電機之輸出功率為： $P_1 = |\vec{V}_t||\vec{I}_{a1}|\cos\theta_1 = 1.0 \times 0.9 \times 0.8 = 0.72\text{ pu}$ $Q_1 = |\vec{V}_t||\vec{I}_{a1}|\sin\theta_1 = 1.0 \times 0.9 \times 0.6 = 0.54\text{ pu}$

初始無載電壓 $\vec{E}_{f1}$ 為： $\vec{E}_{f1} = \vec{V}_t + j X_s \vec{I}_{a1} = 1.0\angle 0^\circ + j 1.0 \times (0.72 - j0.54) = 1.54 + j0.72\text{ pu}$ 其大小與相角分別為： $|\vec{E}_{f1}| = \sqrt{1.54^2 + 0.72^2} = \sqrt{2.3716 + 0.5184} = \sqrt{2.89} = 1.70\text{ pu}$ $\delta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{0.72}{1.54}\right) \approx 25.06^\circ$

步驟二：計算激磁增加 10% 後之無載電壓（狀態 2）——【第 (一) 小題】

激磁增加 10%，故新無載電壓大小 $|\vec{E}_{f2}|$ 為： $|\vec{E}_{f2}| = 1.1 \times |\vec{E}_{f1}| = 1.1 \times 1.70 = 1.87\text{ pu}$

控制輸出實功大小維持不變（$P_2 = P_1 = 0.72\text{ pu}$）： $P_2 = \frac{|\vec{E}_{f2}||\vec{V}_t|}{X_s}\sin\delta_2 \implies 0.72 = \frac{1.87 \times 1.0}{1.0}\sin\delta_2$ $\sin\delta_2 = \frac{0.72}{1.87} \approx 0.38503$ $\delta_2 = \sin^{-1}(0.38503) \approx 22.65^\circ$

因此，新狀態之無載標麼電壓為： $\vec{E}_{f2} = 1.87\angle 22.65^\circ\text{ pu}$ 即電壓大小為 $1.87\text{ pu}$，相角為 $22.65^\circ$。

步驟三：計算定子繞組電流之大小與相角——【第 (二) 小題】

核心觀念

本題探討三相電力變壓器之**百分比差動電驛（Percentage Differential Relay, ANSI Device No. 87T）**基本保護原理與比流器（Current Transformer, CT）的接線配置。差動保護之核心原則為克希荷夫電流定律（KCL），即正常運轉或區外故障時流入與流出保護區間之電流相量和為零；內部故障時產生差電流驅動電驛動作。

針對一次側為 $\Delta$ 連接、二次側為 $\text{Y}$ 連接之三相變壓器，比流器配置必須滿足以下三大核心要素：

1. 相位角偏移補償（Phase Angle Shift Compensation）： 三相 $\Delta\text{-Y}$ 變壓器之一、二次側線電壓與線電流之間存在 $\pm 30^\circ$ 的相位差（如常見之 ANSI 規範：高壓側超前低壓側 $30^\circ$）。為使正常運轉下流入電驛兩側之二次相量電流相位相消（差 $180^\circ$），CT 必須採反向交叉連接：

• 主變壓器 $\Delta$ 側之 CT 採 $\text{Y}$ 型連接。
• 主變壓器 $\text{Y}$ 側之 CT 採 $\Delta$ 型連接。

2. 零序電流隔離（Zero-Sequence Current Blocking）： 主變壓器 $\text{Y}$ 側通常中性點接地。當二次側外部系統發生單相接地故障時，接地零序電流會經由變壓器中性點流入，但一次側 $\Delta$ 繞組外之傳輸線上並無零序電流流通。若二次側 CT 採 $\text{Y}$ 接，此零序電流將流入差動電驛造成區外接地故障誤動作；將二次側 CT 接成 $\Delta$ 型，可使零序電流在 CT 的 $\Delta$ 封閉迴路內環流，阻隔其流入電驛，避免誤動作。
3. 電流大小平衡（Current Magnitude Balancing）： 受變壓器變壓比及二次側 CT $\Delta$ 接線產生之 $\sqrt{3}$ 倍電流放大效應影響，兩側 CT 變比（CT ratio）須適當搭配，使額定負載下進入差動電驛兩端之二次電流大小完全相等。

解題方法

一、 接線設計原則

1. 主變壓器側：一次側為三相 $\Delta$ 接線，二次側為三相 $\text{Y}$ 接線（中性點接地）。
2. 比流器側：

• 一次側比流器（$\text{CT}_1$）安裝於一次側線路上，二次繞組接成 $\text{Y}$ 連接，中性點接地，三條相線引出連接至差動電驛。
• 二次側比流器（$\text{CT}_2$）安裝於二次側線路上，二次繞組接成 $\Delta$ 連接，三條相線引出連接至差動電驛。

3. 電驛配置：採用三具單相百分比差動電驛（分別對應 A、B、C 三相）。每相電驛包含兩個抑制線圈（Restraint Coils, RC）與一個動作線圈（Operating Coil, OC）。

二、 保護系統接線圖

核心觀念

本題探討雙區域電力系統的自動發電控制（Automatic Generation Control, AGC）與負載頻率控制（Load Frequency Control, LFC）在未加入二次積分控制（Secondary / Integral Control）時的穩態一次頻率響應（Primary Frequency Response）。

涉及之核心定義與公式如下：

1. 標麼值轉換（Per-Unit System）： 系統基準容量為 $S_{\text{base}} = 1000\ \text{MVA}$，標稱頻率 $f_0 = 50\ \text{Hz}$。 $\Delta P_{L1\text{ (pu)}} = \frac{\Delta P_{L1}}{S_{\text{base}}}$

2. 區域頻率響應特性係數（Area Frequency Response Characteristic, AFRC, $\beta$）： 包含調速機之速度調整率（Speed Regulation, $R$）反比項及負載阻尼係數（Load Damping Factor, $D$）： $\beta_i = D_i + \frac{1}{R_i}\quad (\text{pu/pu})$

3. 系統穩態頻率偏差（Steady-State Frequency Deviation）： 在互聯系統中，穩態時全系統頻率一致（$\Delta f_1 = \Delta f_2 = \Delta f$）： $\Delta f_{\text{pu}} = \frac{-\Delta P_{L1\text{ (pu)}}}{\beta_1 + \beta_2} = \frac{-\Delta P_{L1\text{ (pu)}}}{(D_1 + \frac{1}{R_1}) + (D_2 + \frac{1}{R_2})}$ $\Delta f\ (\text{Hz}) = \Delta f_{\text{pu}} \times f_0$ $f_{\text{new}} = f_0 + \Delta f$

4. 機組機械輸入功率變動量（Mechanical Power Change）： 依據調速機垂下特性（Governor Droop Characteristic）： $\Delta P_{mi\text{ (pu)}} = -\frac{\Delta f_{\text{pu}}}{R_i}$ $\Delta P_{mi}\ (\text{MW}) = \Delta P_{mi\text{ (pu)}} \times S_{\text{base}}$

5. 負載功率變動量（Load Power Change）：

• 頻率相依（敏感）負載之變動量： $\Delta P_{Di\text{ (pu)}} = D_i \Delta f_{\text{pu}}$
• 該區域之總負載變動量： $\Delta P_{\text{load}, i} = \Delta P_{Li} + \Delta P_{Di}$

6. 聯絡線功率變動量（Tie-Line Power Flow Change）： 由區域 1 流向區域 2 的穩態聯絡線功率變化為： $\Delta P_{12\text{ (pu)}} = \frac{-\Delta P_{L1\text{ (pu)}} \cdot \beta_2}{\beta_1 + \beta_2} = -\beta_2 \Delta f_{\text{pu}}$ $\Delta P_{12}\ (\text{MW}) = \Delta P_{12\text{ (pu)}} \times S_{\text{base}}$

解題方法與詳細計算

1. 基準值轉換與各區域特性係數計算

• 共同基準容量：$S_{\text{base}} = 1000\ \text{MVA}$
• 標稱頻率：$f_0 = 50\ \text{Hz}$
• 區域 1 突增負載標麼值： $\Delta P_{L1\text{ (pu)}} = \frac{187.5\ \text{MW}}{1000\ \text{MVA}} = 0.1875\ \text{pu}$
• 區域 2 負載擾動：$\Delta P_{L2\text{ (pu)}} = 0\ \text{pu}$

計算兩區域的頻率響應特性係數 $\beta_1$ 與 $\beta_2$：

• 區域 1： $\frac{1}{R_1} = \frac{1}{0.05} = 20\ \text{pu}$ $\beta_1 = D_1 + \frac{1}{R_1} = 0.6 + 20 = 20.6\ \text{pu}$
• 區域 2： $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{0.0625} = 16\ \text{pu}$ $\beta_2 = D_2 + \frac{1}{R_2} = 0.9 + 16 = 16.9\ \text{pu}$
• 全系統等效頻率響應特性係數： $\beta = \beta_1 + \beta_2 = 20.6 + 16.9 = 37.5\ \text{pu}$

(一) 新的穩態系統頻率值（Hz）

穩態頻率偏差標麼值： $\Delta f_{\text{pu}} = \frac{-\Delta P_{L1\text{ (pu)}}}{\beta_1 + \beta_2} = \frac{-0.1875}{37.5} = -0.005\ \text{pu}$

換算為實際頻率偏差（Hz）： $\Delta f = \Delta f_{\text{pu}} \times f_0 = -0.005 \times 50\ \text{Hz} = -0.25\ \text{Hz}$

新的穩態系統頻率值： $f_{\text{new}} = f_0 + \Delta f = 50 - 0.25 = 49.75\ \text{Hz}$

(二) 每一個區域之機械輸入功率變動量（MW）

利用調速機一次調頻特性公式 $\Delta P_m = -\frac{\Delta f_{\text{pu}}}{R}$：

1. 區域 1 之機械輸入功率變動量： $\Delta P_{m1\text{ (pu)}} = -\frac{\Delta f_{\text{pu}}}{R_1} = -\frac{-0.005}{0.05} = +0.1\ \text{pu}$ $\Delta P_{m1} = 0.1 \times 1000\ \text{MVA} = +100\ \text{MW}\quad (\text{增發 } 100\ \text{MW})$

核心觀念

單線接地故障時，故障電流由兩部分組成：經中性點電阻流動的電阻性電流，以及輸電線對地電容造成的電容性電流。兩者相位相差 $90^\circ$，因此須以相量合成。

對稱分量中，故障電流 $I_f=3I_0$；$I_0$ 是零序電流，故障點的實際電流則是三倍零序電流。

解題方法

（一）每相對地總電容

每條輸電線全長的對地電容為

此數值是每相電容。

（二）故障點零序電流

忽略正序、負序阻抗後，故障時零序電壓大小為相電壓：

兩站中性點電阻在零序網路中各為 $3R_N$，其中 $R_N=700\ \Omega$。兩個零序電阻支路並聯後為

每相電容的零序導納為 $j\omega C$，因此

其中 $\omega=2\pi\times60$，$C=10\times10^{-6}\ \text{F}$：