108 高普考高考三級 電力工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

磁路可用磁動勢與磁阻分析，對應電路中的電壓、電流與電阻：

依圖示繞線方向與電流方向，兩線圈的磁動勢相助，因此總磁動勢為 $N_1i_1+N_2i_2$。

解題方法

鐵心與氣隙串聯，忽略漏磁及邊緣效應，且 $A_c=A_g$，所以鐵心與氣隙中的磁通密度相同。由安培定律，沿磁路的磁位降總和等於總磁動勢：

使用 $B=\mu H$，並代入 $\mu_c=60\mu_0$、$\mu_g=\mu_0$：

因此：

核心觀念

比流器的理想電流比與匝數比成反比。由 $800\ \mathrm{A}:5\ \mathrm{A}$ 得

題目中的等效電路以高電流側為基準，因此低電流側負載換算至高電流側時，阻抗需乘上 $(N_H/N_L)^2$。接著以並聯支路的分流公式求出高電流側等效負載支路電流 $\hat I_2'$，再換算成實際低電流側電流 $\hat I_2$。

解題方法

將 $R_b$ 換算至高電流側：

負載支路總阻抗為

磁化支路阻抗為

在分流節點，$\hat I_1$ 分流至磁化支路與負載支路。負載支路電流為

核心觀念

本題考查感應電動機在不同電源頻率下的等效電路參數換算，以及利用戴維寧等效求最大電磁轉矩。

電抗與頻率成正比，因此由 $60\ \mathrm{Hz}$ 改為 $100\ \mathrm{Hz}$ 時：

電阻不隨頻率按此比例變化。三相 Y 接的每相電壓為 $V_\phi=V_L/\sqrt{3}$，同步轉速為 $n_s=120f/P$。

解題方法

先將定子側等效電路中，轉子支路左側的部分化為戴維寧等效，再使用最大轉矩條件。

在 $100\ \mathrm{Hz}$ 時：

每相電壓為：

定子側對轉子支路的戴維寧阻抗為：

因此：

戴維寧電壓大小為：

核心觀念

1. 三相對稱系統與每相等效電路： 發電機為 Y 接，線電壓 $V_L$ 與每相電壓 $V_\phi$ 的關係為： $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}}$ 三相輸出總實功率公式為： $P = \sqrt{3}V_L I_L \cos\theta = 3V_\phi I_A \cos\theta$

2. 同步發電機電壓方程式： 忽略電樞電阻（$R_a = 0$）與所有內部損失時，每相內部感應電勢 $\mathbf{E}_A$、端電壓 $\mathbf{V}_\phi$ 與電樞電流 $\mathbf{I}_A$ 的相量關係式為： $\mathbf{E}_A = \mathbf{V}_\phi + jX_s\mathbf{I}_A$

3. 線性磁路（未飽和）與激磁電流關係： 題目未給定開路特性曲線（OCC），依國考慣例視為運轉於未飽和之線性區，內部感應電勢大小正比於激磁電流： $E_A \propto I_f \implies \frac{I_f}{I_{f0}} = \frac{E_A}{E_{A0}}$ 其中 $E_{A0}$ 與 $I_{f0}$ 分別為基準運轉條件下的感應電勢與激磁電流。

解題方法

步驟一：求基準狀態（$\text{pf} = 1.0$）之感應電勢 $E_{A0}$

1. 計算相電壓（以端電壓為參考相量）： $V_\phi = \frac{380}{\sqrt{3}} \approx 219.39\ \mathrm{V} \implies \mathbf{V}_\phi = 219.39\angle 0^\circ\ \mathrm{V}$

2. 根據基準條件求電樞電流 $\mathbf{I}_{A0}$： $I_{A0} = \frac{P}{\sqrt{3}V_L \cos\theta_0} = \frac{40000}{\sqrt{3}\times 380 \times 1.0} \approx 60.77\ \mathrm{A}$ 因功率因數為 $1.0$（純電阻性負載），電流與電壓同相： $\mathbf{I}_{A0} = 60.77\angle 0^\circ\ \mathrm{A}$

3. 計算基準內部感應電勢 $\mathbf{E}_{A0}$ 及其大小： $\mathbf{E}_{A0} = \mathbf{V}_\phi + jX_s\mathbf{I}_{A0} = 219.39 + j(2.5 \times 60.77) = 219.39 + j151.93\ \mathrm{V}$ $E_{A0} = |\mathbf{E}_{A0}| = \sqrt{219.39^2 + 151.93^2} \approx 266.87\ \mathrm{V}$ 已知此基準狀態對應之激磁電流為 $I_{f0} = 100\ \mathrm{A}$。

步驟二：計算第 (一) 小題（$\text{pf} = 0.8$ 領前）之激磁電流

1. 計算電樞電流大小： $I_{A1} = \frac{P}{\sqrt{3}V_L \cos\theta_1} = \frac{40000}{\sqrt{3}\times 380 \times 0.8} \approx 75.97\ \mathrm{A}$

2. 功率因數為 $0.8$ 領前（進相），電流超前電壓 $\theta_1 = +\cos^{-1}(0.8) \approx +36.87^\circ$： $\mathbf{I}_{A1} = 75.97\angle +36.87^\circ = 75.97(0.8 + j0.6) = 60.77 + j45.58\ \mathrm{A}$

3. 計算內部感應電勢 $\mathbf{E}_{A1}$ 及其大小： $\mathbf{E}_{A1} = \mathbf{V}_\phi + jX_s\mathbf{I}_{A1} = 219.39 + j2.5(60.77 + j45.58)$ $\mathbf{E}_{A1} = (219.39 - 2.5 \times 45.58) + j(2.5 \times 60.77) = 105.44 + j151.93\ \mathrm{V}$

核心觀念

本題考查分激式（並激式）直流電動機（Shunt DC Motor）之穩態電路分析、感應反電動勢、電磁轉矩及電樞電壓調速特性。核心公式與觀念如下：

1. 電路方程式：

• 電源電流（線電流）為電樞電流與激磁場電流之和： $I_L = I_a + I_f$
• 激磁場繞組與電樞並聯於電源端電壓 $V_t$，激磁電流為： $I_f = \frac{V_t}{R_f}$
• 電樞迴路克希荷夫電壓定律（KVL）： $V_t = E_a + I_a R_a \implies E_a = V_t - I_a R_a$

2. 反電動勢與磁通關係：

• 反電動勢與每極磁通 $\phi$ 及轉速 $n$（或機械角速度 $\omega_m$）成正比： $E_a = K_a \phi \omega_m = K_e \phi n$
• 在未飽和的線性磁路假設下，每極磁通與激磁電流成正比（$\phi \propto I_f$）。

3. 電磁轉矩與功率轉換：

• 電磁轉矩（內生轉矩）公式： $T_e = K_a \phi I_a = \frac{P_{dev}}{\omega_m} = \frac{E_a I_a}{\omega_m}$ 其中 $\omega_m = \frac{2\pi n}{60}\ (\mathrm{rad/s})$。
• 由上兩式可得重要比例常數關係： $K_a \phi = \frac{E_a}{\omega_m} = \frac{T_e}{I_a}$

4. 無載與旋轉損失假設：

• 題目註明「忽略旋轉損失」，意即機械無載時無載內生轉矩 $T_{e0} = 0$，對應之無載電樞電流 $I_{a0} = 0$。此時無載反電動勢等於端電壓（$E_{a0} = V_t$）。

解題方法

(一) 計算加入機械負載後之轉速及電磁轉矩

1. 求無載基準值：

• 無載端電壓 $V_{t0} = 125\ \mathrm{V}$、轉速 $n_0 = 1800\ \mathrm{rpm}$。
• 因忽略旋轉損失，$I_{a0} = 0\ \mathrm{A}$，無載反電動勢： $E_{a0} = V_{t0} - I_{a0} R_a = 125 - 0 = 125\ \mathrm{V}$
• 無載角速度： $\omega_{m0} = \frac{2\pi \times 1800}{60} = 60\pi\ \mathrm{rad/s}$
• 此時 $V_t = 125\ \mathrm{V}$ 對應之磁通轉矩常數： $K_a \phi_{125} = \frac{E_{a0}}{\omega_{m0}} = \frac{125}{60\pi} = \frac{25}{12\pi}\ \mathrm{V\cdot s/rad}\ (\text{或 }\mathrm{N\cdot m/A})$

2. 負載狀態之電流與反電動勢計算：

• 當 $V_t = 125\ \mathrm{V}$，$I_L = 100\ \mathrm{A}$ 時： $I_f = \frac{V_t}{R_f} = \frac{125}{50} = 2.5\ \mathrm{A}$
• 電樞電流： $I_a = I_L - I_f = 100 - 2.5 = 97.5\ \mathrm{A}$
• 電樞反電動勢： $E_a = V_t - I_a R_a = 125 - (97.5 \times 0.1) = 125 - 9.75 = 115.25\ \mathrm{V}$

3. 計算轉速 $n$：

• 因端電壓維持 $125\ \mathrm{V}$，激磁電流維持 $2.5\ \mathrm{A}$，磁通 $\phi$ 保持不變（$\phi = \phi_{125}$）： $\frac{n}{n_0} = \frac{E_a}{E_{a0}} \implies n = n_0 \times \frac{E_a}{E_{a0}}$ $n = 1800 \times \frac{115.25}{125} = 1659.6\ \mathrm{rpm}$

4. 計算電磁轉矩 $T_e$：

• 利用轉矩常數計算： $T_e = (K_a \phi_{125}) I_a = \left(\frac{125}{60\pi}\right) \times 97.5 = \frac{12187.5}{60\pi} = \frac{203.125}{\pi} \approx 64.66\ \mathrm{N\cdot m}$
• （亦可用轉換功率驗算：$P_{dev} = E_a I_a = 115.25 \times 97.5 = 11236.875\ \mathrm{W}$；角速度 $\omega_m = \frac{2\pi \times 1659.6}{60} = 55.32\pi\ \mathrm{rad/s}$，則 $T_e = \frac{P_{dev}}{\omega_m} = \frac{11236.875}{55.32\pi} \approx 64.66\ \mathrm{N\cdot m}$）

(二) 調整電源電壓為 $100\ \mathrm{V}$，轉矩維持不變時之轉速及電源提供功率

1. 磁通變化量評估：

• 電源電壓調整為 $V_t' = 100\ \mathrm{V}$，分激場繞組之端電壓同步降為 $100\ \mathrm{V}$： $I_f' = \frac{V_t'}{R_f} = \frac{100}{50} = 2.0\ \mathrm{A}$
• 磁通與激磁電流成正比：