107 高普考高考三級 電力工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

本題評量**磁阻型機電能量轉換系統（Reluctance Electromagnetic Device）**之分析與計算，核心觀念包含：

1. 磁路磁阻與線圈電感之關係： 依據磁路歐姆定律與電感定義，忽略漏磁與鐵心磁阻及損失時，線圈自感 $L(\theta)$ 與磁阻 $R(\theta)$ 及匝數 $N$ 之關係為： $L(\theta) = \frac{\lambda}{i} = \frac{N\phi}{i} = \frac{N^2}{R(\theta)}$
2. 虛功原理與電磁轉矩（Electromagnetic Torque）： 在以電流 $i$ 及轉角 $\theta$ 為獨立變數的系統中，電磁轉矩可由磁共能（Co-energy）$W_c(i, \theta)$ 對角度之偏微分求得： $T(\theta) = \left.\frac{\partial W_c(i, \theta)}{\partial \theta}\right|_{i=\text{常數}}$ 當磁路未飽和（線性系統）時，$W_c(i, \theta) = \frac{1}{2}L(\theta)i^2$，故電磁轉矩表示式即為題旨所給之： $T(\theta) = \frac{1}{2}i^2 \frac{dL(\theta)}{d\theta}$
3. 磁共能（Magnetic Co-energy）： 線性磁路系統中，磁場儲能（Field Energy, $W_f$）與磁共能（Co-energy, $W_c$）數值相等： $W_c(i, \theta) = \int_0^i \lambda(i', \theta)\, di' = \frac{1}{2}L(\theta)i^2 = \frac{1}{2}\frac{N^2 i^2}{R(\theta)}$

解題方法

步驟一：建立電感函數 $L(\theta)$ 及其對角度之導數 $\frac{dL(\theta)}{d\theta}$

已知線圈匝數 $N=100$，磁阻特性為 $R(\theta)=10^5(1+\theta)$，則線圈電感為： $L(\theta) = \frac{N^2}{R(\theta)} = \frac{100^2}{10^5(1+\theta)} = \frac{10^4}{10^5(1+\theta)} = \frac{0.1}{1+\theta}\text{ H}$

對角度 $\theta$ 微分求得電感變化率： $\frac{dL(\theta)}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\left[0.1(1+\theta)^{-1}\right] = -\frac{0.1}{(1+\theta)^2}\text{ H/rad}$

步驟二：求解 (一) 電磁產生轉矩 $T\left(\frac{\pi}{4}\right)$

將電流 $i=10\text{ A}$ 及 $\frac{dL(\theta)}{d\theta}$ 代入轉矩公式： $T(\theta) = \frac{1}{2}i^2 \frac{dL(\theta)}{d\theta} = \frac{1}{2}(10)^2 \left[-\frac{0.1}{(1+\theta)^2}\right] = -\frac{5}{(1+\theta)^2}\text{ N}\cdot\text{m}$

將 $\theta = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$ 代入： $T\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{5}{\left(1 + \frac{\pi}{4}\right)^2} = -\frac{5}{\left(\frac{4+\pi}{4}\right)^2} = -\frac{80}{(4+\pi)^2}\text{ N}\cdot\text{m}$

代入 $\pi \approx 3.1416$ 進行數值計算： $(4+\pi)^2 = (7.1416)^2 \approx 51.0025$ $T\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{80}{51.0025} \approx -1.5685\text{ N}\cdot\text{m} \approx -1.57\text{ N}\cdot\text{m}$

負號之物理意義代表轉矩方向為促使角度 $\theta$ 減小（朝向磁阻減小、電感增大之方向轉動）。

核心觀念

本題評量單相變壓器於「標麼系統（Per-Unit System）」下的等效電路分析、電壓調節率（Voltage Regulation, $VR$）與效率（Efficiency, $\eta$）之計算。涉及之核心觀念與公式如下：

1. 標麼系統基礎： 以變壓器額定容量 $S_{base} = 10\ \text{kVA}$ 及額定端電壓為基準值，額定電壓、額定電流與額定容量標麼值皆為 $1.0\ \text{pu}$。在標麼制下，一次側與二次側之等效阻抗數值相同，無需乘除匝數比平方。
2. 電壓調節率（$VR$）： 定義為無載端電壓與滿載端電壓之差對滿載端電壓之百分比。在標麼制下，設滿載端電壓 $V_2 = 1.0\angle 0^\circ\ \text{pu}$，無載端電壓即為一次側端電壓之標麼值 $|V_1|$：

• 精確公式： $V_1 = V_2 + I_L Z_{eq} = 1.0\angle 0^\circ + (I_L\angle -\theta)(R_{eq} + jX_{eq})$ $VR = \frac{|V_1| - 1.0}{1.0} \times 100\% = (|V_1| - 1.0) \times 100\%$
• 近似公式（落後功率因數）： $VR \approx (R_{eq,\text{pu}}\cos\theta + X_{eq,\text{pu}}\sin\theta) \times 100\%$

3. 最大電壓調節率（$VR_{max}$）： 發生於負載功率因數角等於變壓器內部等效阻抗角（即 $\tan\theta = X_{eq}/R_{eq}$，$\cos\theta = R_{eq}/Z_{eq}$ 落後）時。此時電壓降落向量與端電壓同相，最大電壓調節率近似值即為等效阻抗標麼值： $VR_{max} \approx Z_{eq,\text{pu}} = \sqrt{R_{eq,\text{pu}}^2 + X_{eq,\text{pu}}^2} \times 100\%$
4. 變壓器效率（$\eta$）： $\eta = \frac{P_{out}}{P_{out} + P_{core} + P_{cu}} \times 100\%$ 在負載率為 $x$、功率因數為 $\cos\theta$ 時：

• 輸出功率標麼值：$P_{out} = x \cos\theta$
• 鐵損（固定損）：$P_{core} = \frac{V_1^2}{R_c} \approx \frac{1.0^2}{R_{c,\text{pu}}}$
• 銅損（可變損）：$P_{cu} = x^2 P_{cu,FL} = x^2 I_{FL}^2 R_{eq,\text{pu}} = x^2 R_{eq,\text{pu}}$

5. 最大效率（$\eta_{max}$）： 變壓器達到最大效率之充分與必要條件為：

• 可變銅損等於固定鐵損：$x^2 P_{cu,FL} = P_{core} \implies x = \sqrt{\frac{P_{core}}{P_{cu,FL}}}$
• 負載功率因數為純電阻性，即 $\cos\theta = 1.0$。

解題方法

本題原卷圖二之標麼等效電路數值於題文字中未直接印出，依國家考試變壓器等效電路命題慣例，其標準典型參數為等效串聯電阻 $R_{eq} = 0.01\ \text{pu}$、等效串聯電抗 $X_{eq} = 0.04\ \text{pu}$ 及激磁支路並聯鐵損電阻 $R_c = 100\ \text{pu}$。

(一) 滿載及功率因數 $\cos\theta=0.6$ 落後下之電壓調節率

1. 基本參數設定：

• 滿載條件：負載率 $x = 1.0$，負載電流大小 $I_L = 1.0\ \text{pu}$。
• 功率因數：$\cos\theta = 0.6$ 落後 $\implies \sin\theta = \sqrt{1 - 0.6^2} = 0.8$。
• 電流相量：$I_L = 1.0\angle -\cos^{-1}(0.6) = 0.6 - j0.8\ \text{pu}$。
• 設二次端電壓為參考相量：$V_2 = 1.0\angle 0^\circ\ \text{pu}$。

2. 近似法計算： $VR \approx (R_{eq}\cos\theta + X_{eq}\sin\theta) \times 100\%$ $VR \approx (0.01 \times 0.6 + 0.04 \times 0.8) \times 100\% = (0.006 + 0.032) \times 100\% = 3.8\%$

3. 精確法計算： 一次側換算至二次側之端電壓相量為： $V_1 = V_2 + I_L(R_{eq} + jX_{eq}) = 1.0 + (0.6 - j0.8)(0.01 + j0.04)$ $I_L Z_{eq} = (0.006 + 0.032) + j(0.024 - 0.008) = 0.038 + j0.016\ \text{pu}$ $V_1 = (1.0 + 0.038) + j0.016 = 1.038 + j0.016\ \text{pu}$ 計算其大小： $|V_1| = \sqrt{1.038^2 + 0.016^2} = \sqrt{1.077444 + 0.000256} = \sqrt{1.0777} \approx 1.038123\ \text{pu}$ 電壓調節率： $VR = \frac{|V_1| - |V_2|}{|V_2|} \times 100\% = \frac{1.038123 - 1.0}{1.0} \times 100\% \approx 3.81\%$

(二) 最大電壓調節率

1. 發生條件： 當負載功率因數角等於變壓器內部阻抗角時，電壓調節率達到最大： $\tan\theta = \frac{X_{eq}}{R_{eq}} = \frac{0.04}{0.01} = 4 \implies \theta \approx 75.96^\circ \text{（落後）}$ 對應之功率因數為： $\cos\theta = \frac{R_{eq}}{Z_{eq}} = \frac{0.01}{\sqrt{0.01^2 + 0.04^2}} = \frac{0.01}{0.04123} \approx 0.2425\ \text{落後}$

核心觀念

本題主要測驗「永磁直流馬達（PMDC Motor）」的穩態特性分析、損耗模型與「電力電子降壓轉換器（Buck Converter）」之整合應用，涵蓋以下核心公式與定義：

1. 電樞電路電壓平衡方程式（穩態）： 在穩態直流條件下，電樞電感抗為零（$L_a \frac{di_a}{dt} = 0$），電樞端電壓 $V_t$、逆電動勢 $E_a$ 與電樞電阻壓降之關係為： $V_t = E_a + I_a R_a$

2. 逆電動勢與轉矩方程式（國際標準制 SI 單位）： $E_a = K_\omega \omega_m = K_a \phi \, \omega_m$ $T_e = K_T I_a = K_a \phi \, I_a$ 其中轉速 $\omega_m$ 單位為 $\text{rad/s}$，與每分鐘轉速 $n$（$\text{rpm}$）之換算關係為： $\omega_m = \frac{2\pi n}{60}$ 在 SI 制中，反電勢常數 $K_\omega$（$\text{V}\cdot\text{s/rad}$）與轉矩常數 $K_T$（$\text{N}\cdot\text{m/A}$）數值恆相等。

3. 穩態轉矩平衡與機械摩擦模型： 馬達在穩態等速運轉時，電磁感應轉矩 $T_e$ 必須平衡機械負載轉矩 $T_L$ 與摩擦旋轉損轉矩 $T_{fw}$： $T_e = T_L + T_{fw} = T_L + B\omega_m$ 其中 $B$ 為黏滯機械摩擦係數（Viscous Friction Coefficient），單位為 $\text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s/rad}$ 或 $\text{N}\cdot\text{m}/(\text{rad/s})$。空載時 $T_L = 0$，則 $T_{e0} = B\omega_{m0}$。

4. 降壓轉換器（Buck Converter）連續導流模式（CCM）： 穩態下輸出平均電壓 $V_o$（即馬達端電壓 $V_t$）與輸入電壓 $V_s$ 及開關責任週比 $D$（Duty-ratio）之關係為： $V_o = D \cdot V_s \implies D = \frac{V_o}{V_s}$

解題方法

(一) 求空載轉速

1. 計算空載逆電動勢 $E_{a0}$： 空載時，電源電壓 $V_t = 6\ \text{V}$，電樞電流 $I_{a0} = 0.15\ \text{A}$，電樞電阻 $R_a = 7\ \Omega$： $E_{a0} = V_t - I_{a0} R_a = 6 - (0.15 \times 7) = 6 - 1.05 = 4.95\ \text{V}$

2. 計算空載角速度 $\omega_{m0}$： 由 $E_{a0} = K_\omega \omega_{m0}$，得： $\omega_{m0} = \frac{E_{a0}}{K_\omega} = \frac{4.95}{1.41 \times 10^{-2}} \approx 351.06\ \text{rad/s}$

3. 換算為每分鐘轉速 $n_0$（$\text{rpm}$）： $n_0 = \omega_{m0} \times \frac{60}{2\pi} = 351.06 \times \frac{30}{\pi} \approx 3352.34\ \text{rpm}$

(二) 求空載轉矩及馬達之機械摩擦係數

1. 計算空載電磁轉矩 $T_0$： 空載時馬達產生的電磁轉矩全用於克服內部摩擦損耗： $T_0 = K_T I_{a0} = (1.41 \times 10^{-2}\ \text{N}\cdot\text{m/A}) \times 0.15\ \text{A} = 2.115 \times 10^{-3}\ \text{N}\cdot\text{m}$

2. 計算機械摩擦係數 $B$： 根據黏滯摩擦模型 $T_0 = B \omega_{m0}$： $B = \frac{T_0}{\omega_{m0}} = \frac{2.115 \times 10^{-3}\ \text{N}\cdot\text{m}}{351.06\ \text{rad/s}} \approx 6.025 \times 10^{-6}\ \text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s/rad}$

(三) 加負載 $T_L = 4.5 \times 10^{-3}\ \text{N}\cdot\text{m}$ 欲維持轉速 $3300\ \text{rpm}$，求 $V_t$

1. 計算指定轉速下的角速度 $\omega_m$： $\omega_m = 3300 \times \frac{2\pi}{60} = 110\pi \approx 345.58\ \text{rad/s}$

2. 計算此轉速下的摩擦損轉矩 $T_{fw}$ 與總電磁轉矩 $T_e$：

核心觀念

本題考查三相感應發電機（Induction Generator）之單相等效電路分析與穩態功率潮流，屬於風力發電併網的經典題型。關鍵核心觀念與公式如下：

1. 同步轉速與轉子轉速：

• 同步轉速： $n_s = \frac{120f}{P}\quad (\text{rpm})$
• 轉差率定義： $s = \frac{n_s - n_m}{n_s} \implies n_m = (1-s)n_s$
• 當 $s < 0$（轉子轉速高於同步轉速 $n_m > n_s$）時，感應電機運轉於發電機模式，轉子等效負載電阻 $\frac{R_2'}{s} < 0$，代表對外輸出實功。

2. 單相 $T$ 型等效電路與阻抗計算：

• 三相對稱系統以 Y 接單相等效電路分析，無窮匯流排之相電壓為參考相量： $V_{\text{bus}} = \frac{V_{L,\text{bus}}}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ$
• 轉子支路阻抗： $Z_2 = \frac{R_2'}{s} + jX_2'$
• 激磁支路與轉子支路並聯阻抗： $Z_p = jX_m \parallel Z_2 = \frac{jX_m \left(\frac{R_2'}{s} + jX_2'\right)}{\frac{R_2'}{s} + j(X_m + X_2')}$
• 感應電機端看入之等效輸入阻抗： $Z_{\text{in}} = R_1 + jX_1 + Z_p$
• 包含饋線之系統總阻抗： $Z_{\text{total}} = Z_{\text{feeder}} + Z_{\text{in}}$

3. 端電壓與送出功率：

• 發電機送往無窮匯流排之電流相量： $\mathbf{I}_g = -\frac{\mathbf{V}_{\text{bus}}}{Z_{\text{total}}}$
• 感應電機相端電壓： $\mathbf{V}_t = \mathbf{V}_{\text{bus}} + \mathbf{I}_g Z_{\text{feeder}}$
• 送至無窮匯流排之三相實功與功率因數： $P_{\text{bus}} = 3 V_{\text{bus}} I_g \cos \theta_g = \sqrt{3} V_{L,\text{bus}} I_g \cos \theta_g$ $\text{PF} = \cos \theta_g$
• 感應發電機本身必須由電網（或外部電容）吸取滯後無功功率以建立激磁磁場，因此送出之電流相角超前於端電壓，對外呈現進相（Leading）功率因數。

4. 損耗與系統效率：

• 轉子感應電勢 $\mathbf{E}_1 = \mathbf{V}_t + \mathbf{I}_g (R_1 + jX_1)$，轉子電流大小 $I_2' = \frac{|\mathbf{E}_1|}{|Z_2|}$。
• 電機轉換機械功率： $|P_{\text{conv}}| = 3 I_2'^2 R_2' \frac{1-s}{|s|}$
• 風渦輪機軸端輸入機械功率： $P_{\text{in}} = |P_{\text{conv}}| + P_{\text{rot+iron}}$
• 系統效率： $\eta = \frac{P_{\text{bus}}}{P_{\text{in}}} \times 100\%$

解題方法

(一) 求風渦輪機之轉速

1. 計算同步轉速 $n_s$： $n_s = \frac{120 \times 60}{8} = 900\ \text{rpm}$

2. 由轉差率 $s = -0.025$ 計算轉子（風渦輪機直接帶動）轉速 $n_m$： $n_m = (1 - s)n_s = [1 - (-0.025)] \times 900 = 1.025 \times 900 = 922.5\ \text{rpm}$

(二) 求感應電機之相端電壓

1. 基準相量設定： 無窮匯流排線電壓 $V_{L,\text{bus}} = 460\ \text{V}$，取 Y 接單相相電壓為參考相量： $\mathbf{V}_{\text{bus}} = \frac{460}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ = 265.58\angle 0^\circ\ \text{V}$

2. 計算各支路阻抗：

• 轉子支路阻抗： $\frac{R_2'}{s} = \frac{0.035}{-0.025} = -1.4\ \Omega$ $Z_2 = \frac{R_2'}{s} + jX_2' = -1.4 + j0.135\ \Omega$
• 激磁與轉子並聯阻抗 $Z_p$： $Z_p = \frac{j6.5 \times (-1.4 + j0.135)}{-1.4 + j(6.5 + 0.135)} = \frac{-0.8775 - j9.1}{-1.4 + j6.635}$ $Z_p = \frac{(-0.8775 - j9.1)(-1.4 - j6.635)}{(-1.4)^2 + 6.635^2} = \frac{-59.15 + j18.562}{45.983} = -1.2863 + j0.4037\ \Omega$

3. 計算感應電機等效輸入阻抗與系統總阻抗：

• 感應電機輸入阻抗： $Z_{\text{in}} = R_1 + jX_1 + Z_p = (0.015 + j0.145) + (-1.2863 + j0.4037) = -1.2713 + j0.5487\ \Omega$
• 加上饋線阻抗 $Z_{\text{feeder}} = 0.01 + j0.03\ \Omega$ 之系統總阻抗： $Z_{\text{total}} = Z_{\text{feeder}} + Z_{\text{in}} = (0.01 + j0.03) + (-1.2713 + j0.5487) = -1.2613 + j0.5787\ \Omega$ $|Z_{\text{total}}| = \sqrt{(-1.2613)^2 + 0.5787^2} = 1.3877\ \Omega$ $\angle Z_{\text{total}} = 180^\circ - \arctan\left(\frac{0.5787}{1.2613}\right) = 180^\circ - 24.65^\circ = 155.35^\circ$

4. 計算發電機送出之線路電流： 定義由發電機送往無窮匯流排之電流為 $\mathbf{I}_g$： $\mathbf{I}_g = -\frac{\mathbf{V}_{\text{bus}}}{Z_{\text{total}}} = \frac{265.58\angle 0^\circ}{1.3877\angle (155.35^\circ - 180^\circ)} = 191.38\angle 24.65^\circ\ \text{A} = 173.94 + j79.81\ \text{A}$

5. 計算感應電機之相端電壓 $\mathbf{V}_t$： $\mathbf{V}_t = \mathbf{V}_{\text{bus}} + \mathbf{I}_g Z_{\text{feeder}}$

核心觀念

1. 三相 Y 接隱極式同步發電機單相等效電路：

• 隱極式（圓柱型轉子）同步發電機忽略電樞電阻（$R_a = 0$）時，單相端電壓 $\mathbf{V}_\phi$、電樞電流 $\mathbf{I}_a$ 與內部激磁電壓（磁化電壓／感應電勢）$\mathbf{E}_f$ 之相量關係式為： $\mathbf{E}_f = \mathbf{V}_\phi + j X_s \mathbf{I}_a$
• Y 接系統中，相電壓 $V_\phi$ 與線電壓 $V_L$ 的關係為： $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}}$

2. 三相實功率與功角特性方程式：

• 三相輸出實功率公式： $P = 3 V_\phi I_a \cos\theta = \sqrt{3} V_L I_a \cos\theta$
• 當 $R_a = 0$ 時，發電機送往無窮匯流排之功率與轉矩角（功角）$\delta$ 的關係為： $P = \frac{3 V_\phi E_f}{X_s} \sin\delta$

3. 靜態穩定極限（最大輸出功率 $P_{\max}$）：

• 當激磁電流 $I_f$ 固定時，$E_f$ 大小保持不變。原動機輸出增加會使功角 $\delta$ 增大，當 $\delta = 90^\circ$（$\sin\delta = 1$）時達到靜態穩定極限，此時可輸出之最大實功率為： $P_{\max} = \frac{3 V_\phi E_f}{X_s}$

4. 激磁控制與線性磁路特性：

• 在未飽和（線性磁路）假設下，磁化電壓大小正比於激磁電流（$E_f \propto I_f$）。因此激磁電流提高時，$E_f$ 與 $P_{\max}$ 呈等比例增加。

解題方法

(一) 求發電機之磁化電壓 $E_f\angle\delta_f$

1. 求單相端電壓 $\mathbf{V}_\phi$： 無窮匯流排線電壓 $V_L = 208\ \text{V}$，選定 $\mathbf{V}_\phi$ 為參考相量： $\mathbf{V}_\phi = \frac{208}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ \approx 120.09\angle 0^\circ\ \text{V}$

2. 求電樞相電流 $\mathbf{I}_a$： 三相輸出實功率 $P = 3\ \text{kW} = 3000\ \text{W}$，功率因數 $\text{pf} = 0.6$ 落後（$\theta = \cos^{-1}(0.6) \approx 53.13^\circ$）： $I_a = \frac{P}{\sqrt{3} V_L \cos\theta} = \frac{3000}{\sqrt{3} \times 208 \times 0.6} = \frac{5000}{208\sqrt{3}} \approx 13.88\ \text{A}$ 落後功率因數表示電流相位落後端電壓： $\mathbf{I}_a = 13.88\angle -53.13^\circ\ \text{A} = 13.88 \times (0.6 - j0.8)\ \text{A} \approx 8.33 - j11.10\ \text{A}$

3. 計算磁化電壓 $\mathbf{E}_f$： $j X_s \mathbf{I}_a = j8 \times (8.33 - j11.10) = 88.80 + j66.64\ \text{V}$ $\mathbf{E}_f = \mathbf{V}_\phi + j X_s \mathbf{I}_a = 120.09 + (88.80 + j66.64) = 208.89 + j66.64\ \text{V}$ 換算為極座標形式：