110 年高普考高考三級電力工程考古題與詳解

Question 1

一個方型鐵芯磁路平均長度 $60\ \mathrm{cm}$，截面積 $150\ \mathrm{cm^2}$，鐵芯上繞有一組 $200$ 匝線圈，鐵芯激磁特性曲線如圖一所示。 （一）計算線圈需多少安培電流，才能在磁路產生 $0.015\ \mathrm{Wb}$ 磁通。 （二）計算此時鐵芯的相對導磁係數（relative permeability）$\mur$。 （三）計算此時線圈電感量 $L$。 （四）計算此時線圈儲能多少焦耳。 圖一、鐵芯激磁特性曲線： - 縱軸：磁通密度（Flux density）$B\ (\mathrm{T})$，刻度為 $0.25$、$0.5$、$0.75$、$1.0$、$1.25$。 - 橫軸：激磁強度（Magnetizing intensity）$H\ (\mathrm{A\cdot T/m})$，刻度為 $50$、$100$、$200$、$300$、$500$、$1000$、$2000$。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查磁路中的磁通密度、磁場強度、相對導磁係數、線圈電感及磁場能量。基本關係式為

B=\frac{\Phi}{A},\qquad H=\frac{NI}{\ell},\qquad \mu_r=\frac{B}{\mu_0H},\qquad L=\frac{N\Phi}{I},

其中 $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ 。題目給的是非線性的 $B$ - $H$ 曲線，因此磁場能量應依曲線下面積計算。

解題方法

先將長度與截面積換成 SI 單位：

\ell=60\ \mathrm{cm}=0.6\ \mathrm{m},\qquad A=150\ \mathrm{cm^2}=0.015\ \mathrm{m^2}.

（一）求線圈電流

B=\frac{\Phi}{A} =\frac{0.015}{0.015} =1\ \mathrm{T}.

由圖一讀取 $B=1\ \mathrm{T}$ 時， $H\approx200\ \mathrm{A/m}$ 。圖上 $H$ 軸的單位標示為 $\mathrm{A\cdot T/m}$ ，但磁場強度的標準單位是 $\mathrm{A/m}$ 。

由 $H=NI/\ell$ 得

I=\frac{H\ell}{N} =\frac{200(0.6)}{200} =0.6\ \mathrm{A}.

（二）求相對導磁係數

Question 2

對於直流串激電動機： （一）試繪出直流串激電動機的等效電路。 （二）試以公式說明此電動機為何具有高啟動轉矩特性。

Accepted Answer

核心觀念

直流串激電動機的電樞繞組與串激磁場繞組串聯，因此兩者流過相同電流。電動機的電磁轉矩為

T_e=k\Phi I_a

其中 $T_e$ 為電磁轉矩、 $\Phi$ 為磁通量、 $I_a$ 為電樞電流。串激電動機未進入磁飽和時，磁通量近似正比於電樞電流，因此啟動轉矩約與電流平方成正比。

解題方法

（一）等效電路

將電源電壓 $V_t$ 串接電樞電阻 $R_a$ 、串激磁場電阻 $R_{se}$ ，以及反電勢 $E_a$ 。電樞與串激磁場電流相同，故 $I_a=I_{se}$ 。

 Ia →
 (+) ─── Ra ─── Rse ─── [ Ea：反電勢 ] ─── (−)
 │ │
 └──────────────── Vt ────────────────────┘

忽略電刷壓降時，依電壓平衡式：

V_t=E_a+I_a(R_a+R_{se})

若考慮電刷壓降 $V_b$ ，則為 $V_t=E_a+I_a(R_a+R_{se})+V_b$ 。

（二）高啟動轉矩的公式說明

電磁轉矩的基本式為

T_e=k\Phi I_a

Question 3

下表為一個單相、$50\ \mathrm{kVA}$、$60\ \mathrm{Hz}$、$2400/240\ \mathrm{V}$ 配電變壓器的短路（SC）與開路（OC）實驗測試結果。 | 實驗項目 | 電壓（V） | 電流（A） | 功率（Watt） | |---|---:|---:|---:| | 開路實驗，在一次側進行 | $V{\mathrm{OC}}=2400$ | $I{\mathrm{OC}}=0.541$ | $P{\mathrm{OC}}=186$ | | 短路實驗，在一次側進行 | $V{\mathrm{SC}}=168$ | $I{\mathrm{SC}}=20.8$ | $P{\mathrm{SC}}=650$ | （一）繪出轉換到一次側的等效電路，計算其中各電路元件參數，並標示於等效電路上。（10 分） （二）若此變壓器二次側操作在全載、功率因數（power factor）$0.8$ 落後、端電壓 $240\ \mathrm{V}$，試計算此變壓器的效率與電壓調整率（V.R.%）。（15 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查單相變壓器的開路與短路試驗、等效電路參數，以及效率與電壓調整率。

開路試驗：次級開路時，輸入電流很小，銅損可忽略，量得的功率近似鐵損；由電壓、電流與功率可求激磁支路的鐵損電阻 $R_c$ 與激磁電抗 $X_m$ 。
短路試驗：次級短路時，施加較低電壓使電流達額定值，鐵損可忽略；量得的功率近似額定銅損，可求等效串聯電阻 $R_{\mathrm{eq}}$ 與漏電抗 $X_{\mathrm{eq}}$ 。
效率定義為輸出功率除以輸入功率；電壓調整率以滿載與空載端電壓之差除以滿載端電壓計算。以下採用高考變壓器常用近似公式，並以題目給定的 $240\ \mathrm{V}$ 為滿載端電壓。

（一）一次側等效電路與參數

1. 變比與額定電流

變比為

a=\frac{V_1}{V_2}=\frac{2400}{240}=10

額定容量為 $50\ \mathrm{kVA}$ ，因此一次側額定電流為

I_{1,\mathrm{rated}}=\frac{50\,000}{2400}=20.833\ \mathrm{A}

短路試驗電流 $20.8\ \mathrm{A}$ 約等於一次側額定電流，故短路試驗結果可用來求額定負載時的一次側等效串聯參數。

2. 開路試驗求激磁支路

開路試驗在一次側進行，故激磁支路參數直接為一次側數值。鐵損電阻：

R_c=\frac{V_{\mathrm{OC}}^2}{P_{\mathrm{OC}}} =\frac{2400^2}{186} =30\,967.7\ \Omega \approx 30.97\ \mathrm{k}\Omega

激磁電流的有功分量為

I_c=\frac{P_{\mathrm{OC}}}{V_{\mathrm{OC}}} =\frac{186}{2400} =0.0775\ \mathrm{A}

激磁電流的無功分量為

I_m=\sqrt{I_{\mathrm{OC}}^2-I_c^2} =\sqrt{0.541^2-0.0775^2} \approx 0.5354\ \mathrm{A}

因此

X_m=\frac{V_{\mathrm{OC}}}{I_m} =\frac{2400}{0.5354} \approx 4482.6\ \Omega \approx 4.483\ \mathrm{k}\Omega

3. 短路試驗求等效串聯參數

短路試驗施加電壓很低，鐵損可忽略；量得功率主要為銅損。因此

R_{\mathrm{eq}}=\frac{P_{\mathrm{SC}}}{I_{\mathrm{SC}}^2} =\frac{650}{20.8^2} \approx 1.502\ \Omega

Z_{\mathrm{eq}}=\frac{V_{\mathrm{SC}}}{I_{\mathrm{SC}}} =\frac{168}{20.8} \approx 8.077\ \Omega

X_{\mathrm{eq}} =\sqrt{Z_{\mathrm{eq}}^2-R_{\mathrm{eq}}^2} =\sqrt{8.077^2-1.502^2} \approx 7.936\ \Omega

故一次側等效串聯阻抗為

Z_{\mathrm{eq}}=R_{\mathrm{eq}}+jX_{\mathrm{eq}} \approx 1.502+j7.936\ \Omega

4. 一次側等效電路

將二次側參數折算至一次側後，串聯部分為 $R_{\mathrm{eq}}$ 與 $X_{\mathrm{eq}}$ ；激磁支路並聯於一次側輸入端：

Question 4

一部三相、$460\ \mathrm{V}$、$60\ \mathrm{Hz}$、$4$ 極、Y 接線感應電動機，有以下等效到定子側的單相等效電路參數，包含鐵芯損失的總旋轉損失為 $1\ \mathrm{kW}$： $R1=0.3\ \Omega$，$R2=0.3\ \Omega$，$X1=1.0\ \Omega$，$X2=1.0\ \Omega$，$XM=25\ \Omega$。 若此感應電動機操作轉差率為 $3\%$，試計算： （一）轉子轉速多少 $\mathrm{rpm}$？ （二）轉子感應電流頻率多少 $\mathrm{Hz}$？ （三）定子電流與功率因數（power factor）。 （四）轉子輸出轉矩多少 $\mathrm{kg\mathchar-m}$？ （五）感應電動機效率。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查三相感應電動機的同步轉速、轉差率、轉子頻率，以及以每相等效電路計算電流、功率因數、輸出轉矩與效率。

由於電動機為 Y 接線，每相電壓為線電壓除以 $\sqrt{3}$ 。每相等效電路中，轉子支路阻抗為 $\frac{R_2}{s}+jX_2$ ；轉子電流以定子側等效電流表示時，其大小等於實際轉子電流。

解題方法

（一）轉子轉速

同步轉速為

n_s=\frac{120f}{P} =\frac{120\times60}{4} =1800\ \mathrm{rpm}

轉差率 $s=0.03$ ，因此轉子轉速為

n_r=(1-s)n_s =0.97\times1800 =\boxed{1746\ \mathrm{rpm}}

（二）轉子感應電流頻率

轉子感應電流頻率為定子頻率乘以轉差率：

f_r=sf=0.03\times60 =\boxed{1.8\ \mathrm{Hz}}

（三）定子電流與功率因數

每相電壓為

V_\phi=\frac{460}{\sqrt{3}} =265.58\ \mathrm{V}

每相轉子支路阻抗為

Z_2'=\frac{R_2}{s}+jX_2 =\frac{0.3}{0.03}+j1 =10+j1\ \Omega

轉子支路與磁化電抗 $jX_M=j25\ \Omega$ 並聯：

Z_p=(j25)\parallel(10+j1) =\frac{j25(10+j1)}{10+j26} \approx8.054+j4.059\ \Omega

加入定子阻抗 $R_1+jX_1=0.3+j1.0\ \Omega$ ，得到每相輸入阻抗：

Z_{\mathrm{in}}=0.3+j1.0+Z_p \approx8.354+j5.059\ \Omega

因此定子電流為

I_1=\frac{V_\phi}{Z_{\mathrm{in}}} \approx27.19\angle-31.2^\circ\ \mathrm{A}

Y 接線的線電流等於相電流，所以

\boxed{I_L=I_\phi\approx27.2\ \mathrm{A}}

功率因數為

\mathrm{pf}=\cos31.2^\circ\approx\boxed{0.855\ \text{落後}}

（四）轉子輸出轉矩

由電流分配可得轉子支路電流：

I_2'=\left|I_1\frac{Z_p}{Z_2'}\right| \approx24.4\ \mathrm{A}

氣隙功率為

Question 5

一部三相、$1.5\ \mathrm{MVA}$、$2.3\ \mathrm{kV}$、$60\ \mathrm{Hz}$、$30$ 極、Y 接線凸極式轉子（salient pole rotor）同步電動機，直軸電抗為 $Xd=1.95\ \Omega/	ext{每相}$，交軸電抗為 $Xq=1.4\ \Omega/	ext{每相}$，電樞電阻忽略不計。 此電動機以額定電壓、額定容量、功率因數（power factor）$1.0$ 運轉，所有損失均不計。 （一）說明直軸電抗 $Xd$ 為何大於交軸電抗 $Xq$。（5 分） （二）計算電樞感應電壓（induced armature voltage, $EA$）與功率角（power angle, $\delta$）。（10 分） （三）計算運轉輸出轉矩多少 $\mathrm{N\cdot m}$。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查凸極式同步電動機的直軸、交軸電抗，以及功率角、感應電壓與轉矩的計算。

凸極轉子的氣隙並非均勻：直軸沿磁極中心，交軸沿相鄰磁極間的插槽區。直軸氣隙較小、磁路磁阻較低，因此直軸電感較大，且因 $X=\omega L$ ，有 $X_d>X_q$ 。

忽略電樞電阻時，凸極同步機的功率角關係式為

P=3\frac{V_\phi E_A}{X_d}\sin\delta +3\frac{V_\phi^2}{2}\left(\frac{1}{X_q}-\frac{1}{X_d}\right)\sin2\delta

其中 $V_\phi$ 為每相端電壓；本題功率因數為 $1$ ，所以電樞電流與端電壓同相，且無功功率 $Q=0$ 。

解題方法

（一）說明 $X_d>X_q$

凸極轉子的直軸沿磁極中心，氣隙較小，磁路磁阻較低，磁通較容易建立，因此直軸電感 $L_d$ 大於交軸電感 $L_q$ 。由 $X=\omega L$ ，可得

X_d>X_q

（二）計算 $E_A$ 與 $\delta$

先求每相電壓、額定電流：

V_\phi=\frac{2300}{\sqrt{3}}=1327.91\ \mathrm{V}

I_A=\frac{1.5\times10^6}{\sqrt{3}\times2300} =376.50\ \mathrm{A}

對凸極同步機，將功率角公式與無功功率 $Q=0$ 的條件聯立，可化得

\tan\delta=\frac{X_q I_A}{V_\phi}

代入數值：

\tan\delta=\frac{1.4\times376.50}{1327.91}=0.39698

\boxed{\delta=21.67^\circ}

再由 $Q=0$ 的關係式

E_A\cos\delta =V_\phi\left(\cos^2\delta+\frac{X_d}{X_q}\sin^2\delta\right)

可得

110 高普考高考三級電力工程電機機械考古題詳解

第一題20 分

核心觀念

解題方法

第二題10 分

核心觀念

解題方法

第三題25 分

核心觀念

（一）一次側等效電路與參數

1. 變比與額定電流

2. 開路試驗求激磁支路

3. 短路試驗求等效串聯參數

4. 一次側等效電路

第四題25 分

核心觀念

解題方法

（一）轉子轉速

（二）轉子感應電流頻率

（三）定子電流與功率因數

（四）轉子輸出轉矩

第五題20 分

核心觀念

解題方法

（一）說明 $X_d>X_q$

（二）計算 $E_A$ 與 $\delta$

其他考古題

110 年電力工程的其他科目

電力工程《電機機械》其他年度

實驗項目	電壓（V）	電流（A）	功率（Watt）
開路實驗，在一次側進行	$V_{\mathrm{OC}}=2400$	$I_{\mathrm{OC}}=0.541$	$P_{\mathrm{OC}}=186$
短路實驗，在一次側進行	$V_{\mathrm{SC}}=168$	$I_{\mathrm{SC}}=20.8$	$P_{\mathrm{SC}}=650$

110 高普考高考三級 電力工程 電機機械 考古題詳解

第 一 題20 分

核心觀念

解題方法

第 二 題10 分

核心觀念

解題方法

第 三 題25 分

核心觀念

（一）一次側等效電路與參數

1. 變比與額定電流

2. 開路試驗求激磁支路

3. 短路試驗求等效串聯參數

4. 一次側等效電路

第 四 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）轉子轉速

（二）轉子感應電流頻率

（三）定子電流與功率因數

（四）轉子輸出轉矩

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）說明 Xd>XqX_d>X_qXd​>Xq​

（二）計算 EAE_AEA​ 與 δ\deltaδ

其他考古題

110 年電力工程的其他科目

電力工程《電機機械》其他年度

110 高普考高考三級電力工程電機機械考古題詳解

第一題20 分

第二題10 分

第三題25 分

第四題25 分

第五題20 分

（一）說明 $X_d>X_q$

（二）計算 $E_A$ 與 $\delta$