114 高普考高考三級 電力工程 電機機械 考古題詳解

114 年・高普考・高考三級・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題20 分

圖一所示為啟動時之線性直流機，其中速度為 vv，導體感應電壓為 einde_{\mathrm{ind}}，電流為 i(t)i(t)，感應力為 FindF_{\mathrm{ind}}。當開關閉合時，導體上有電流流動，且導體以等速運動，即可啟動此線性直流機。

試以公式簡要說明啟動時線性直流機的動作原理，包含感應電壓 einde_{\mathrm{ind}}、電流 i(t)i(t)，與感應力 FindF_{\mathrm{ind}} 的變化。

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核心觀念

本題考查線性直流機的三個基本關係：

  1. 導體在磁場中運動所產生的感應電壓： eind=Bℓve_{\mathrm{ind}}=B\ell v

  2. 外加電壓、電阻及感應電壓間的迴路關係： VB=Ri(t)+eindV_B=Ri(t)+e_{\mathrm{ind}}

  3. 載流導體在磁場中所受的電磁力： Find=Bℓi(t)F_{\mathrm{ind}}=B\ell i(t)

圖中磁場方向為紙面向內，導體向右運動；依楞次定律，感應電壓方向抵抗外加電壓所造成的電流。

解題方法

忽略導體電感，依圖示電路列 KVL：

VB=Ri(t)+eindV_B=Ri(t)+e_{\mathrm{ind}}

因為

eind=Bℓve_{\mathrm{ind}}=B\ell v

故電流為

i(t)=VB−BℓvRi(t)=\frac{V_B-B\ell v}{R}

電磁力為

Find=Bℓi(t)=BℓR(VB−Bℓv)F_{\mathrm{ind}}=B\ell i(t) =\frac{B\ell}{R}\left(V_B-B\ell v\right)

1. 開關剛閉合時

導體尚未移動，故 v=0v=0，感應電壓為

eind=Bℓv=0e_{\mathrm{ind}}=B\ell v=0

此時電流最大：

i(0+)=VBRi(0^+)=\frac{V_B}{R}

因此導體所受電磁力為

Find(0+)=Bℓi(0+)=BℓVBRF_{\mathrm{ind}}(0^+)=B\ell i(0^+) =\frac{B\ell V_B}{R}

依佛萊明左手定則，電磁力方向向右，促使導體開始運動。

2. 導體開始向右運動後

導體速度 vv 增加，感應電壓隨之增加：

eind=Bℓv↑e_{\mathrm{ind}}=B\ell v \uparrow

由於感應電壓抵抗外加電壓，電流逐漸減小：

i(t)=VB−BℓvR↓i(t)=\frac{V_B-B\ell v}{R}\downarrow

因此電磁力也逐漸減小：

Find=Bℓi(t)↓F_{\mathrm{ind}}=B\ell i(t)\downarrow

這正是反電動勢的作用：速度越高，反電動勢越大，電流與電磁力越小，使系統趨於穩定運轉。

3. 等速運動時

若導體以等速運動，則加速度為零，機械方程為

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第 二 題20 分

一配電變壓器的規格為 100 kVA100\ \mathrm{kVA}、6900/220 V6900/220\ \mathrm{V}，其參考至一次側的阻抗為 30+j100 Ω30+j100\ \Omega。激磁分路上的元件參考至一次側之數值為 Rc=110 kΩR_c=110\ \mathrm{k}\Omega、XM=25 kΩX_M=25\ \mathrm{k}\Omega。試求：

(一) 當一次側電壓為 6800 V6800\ \mathrm{V}，且負載阻抗 ZL=2+j0.7 ΩZ_L=2+j0.7\ \Omega 時，變壓器的二次側電壓為何？

(二) 如果(一)中負載改為 −j3 Ω-j3\ \Omega 時，變壓器的二次側電壓為何？

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核心觀念

本題考查變壓器等效電路與相量分析。一次側電壓 V1V_1 加在激磁支路與「一次側串聯阻抗＋折算至一次側的負載」所構成的電路上；求出折算負載電壓後，再依變比換算為二次側電壓。

變比為

a=V1,額定V2,額定=6900220=31.3636a=\frac{V_{1,\mathrm{額定}}}{V_{2,\mathrm{額定}}} =\frac{6900}{220} =31.3636

二次側負載折算至一次側為 ZL′=a2ZLZ_L'=a^2Z_L。由於負載阻抗已給為二次側數值，而題目給定的串聯阻抗與激磁支路均參考至一次側，採用一次側等效電路計算。

解題方法

一次側激磁支路阻抗為

Zm=Rc∥jXMZ_m=R_c\parallel jX_M

負載支路總阻抗及並聯等效阻抗分別為

Zb=Zs+a2ZL,Zeq=Zm∥ZbZ_b=Z_s+a^2Z_L,\qquad Z_{\mathrm{eq}}=Z_m\parallel Z_b

其中 Zs=30+j100 ΩZ_s=30+j100\ \Omega。先由分壓求激磁支路端電壓 VpV_p，再求流入負載支路的電流 IbI_b，以及負載折算至一次側的電壓 VL′V_L'：

Vp=V1ZeqZs+Zeq,Ib=VpZb,VL′=Ib(a2ZL)V_p=V_1\frac{Z_{\mathrm{eq}}}{Z_s+Z_{\mathrm{eq}}},\qquad I_b=\frac{V_p}{Z_b},\qquad V_L'=I_b(a^2Z_L)

最後換算二次側端電壓：

V2=VL′aV_2=\frac{V_L'}{a}

計算過程以相量表示；負載電壓的相角是相對於一次側電壓的相角。

（一）ZL=2+j0.7 ΩZ_L=2+j0.7\ \Omega

先算變比平方與折算負載：

a2=983.95a^2=983.95 ZL′=983.95(2+j0.7)=1967.90+j688.76 ΩZ_L'=983.95(2+j0.7) =1967.90+j688.76\ \Omega

激磁支路阻抗為

Zm=110 kΩ∥j25 kΩ=5365.85+j23609.76 ΩZ_m=110\,\mathrm{k}\Omega\parallel j25\,\mathrm{k}\Omega =5365.85+j23609.76\ \Omega

負載支路總阻抗及並聯等效阻抗為

Zb=Zs+ZL′=(30+j100)+(1967.90+j688.76)=1997.90+j788.76 ΩZ_b=Z_s+Z_L' =(30+j100)+(1967.90+j688.76) =1997.90+j788.76\ \Omega Zeq=Zm∥Zb≈1854.12+j763.10 ΩZ_{\mathrm{eq}}=Z_m\parallel Z_b \approx 1854.12+j763.10\ \Omega

令 V1=6800∠0∘ VV_1=6800\angle 0^\circ\ \mathrm{V}，則

Vp=68001854.12+j763.10(30+j100)+(1854.12+j763.10)≈6561.0−j120.5 VV_p=6800\frac{1854.12+j763.10} {(30+j100)+(1854.12+j763.10)} \approx 6561.0-j120.5\ \mathrm{V}
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第 三 題20 分

一部 8 hp8\ \mathrm{hp}、120 V120\ \mathrm{V} 串激電動機，其電樞電阻為 0.1 Ω0.1\ \Omega，串激場電阻為 0.07 Ω0.07\ \Omega。於滿載下，輸入電流為 55 A55\ \mathrm{A}，額定轉速為 1060 rpm1060\ \mathrm{rpm}。根據其磁化曲線，當場電流為 55 A55\ \mathrm{A} 時，其內建電勢為 132 V132\ \mathrm{V}；而場電流為 70 A70\ \mathrm{A} 時，其內建電勢為 142 V142\ \mathrm{V}。試求：

(一) 滿載下此串激電動機的效率為何？

(二) 當此電機運轉於電樞電流為 70 A70\ \mathrm{A} 時，其轉速為何？

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核心觀念

串激電動機中，電樞電流與場電流相同。電機的電氣輸入功率為 Pin=VIaP_{\text{in}}=VI_a；電磁轉換功率為 Pconv=EaIaP_{\text{conv}}=E_a I_a，其中 EaE_a 為內建電勢。轉速改變時，若磁化曲線所列內建電勢是固定轉速下的數值，則可利用 Ea∝nE_a\propto n，並按磁化曲線比較不同場電流下的內建電勢。

解題方法

（一）滿載效率

滿載輸入功率為

Pin=VIa=120×55=6600 WP_{\text{in}}=VI_a=120\times55=6600\ \mathrm{W}

題目所給 8 hp8\ \mathrm{hp} 為滿載輸出功率。取 1 hp=746 W1\ \mathrm{hp}=746\ \mathrm{W}，則

Pout=8×746=5968 WP_{\text{out}}=8\times746=5968\ \mathrm{W}

因此效率為

η=PoutPin=59686600=0.9042\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} =\frac{5968}{6600} =0.9042 η≈90.4%\eta\approx90.4\%

（二）電樞電流為 70 A70\ \mathrm{A} 時的轉速

串激電動機的電樞電流等於場電流。先由電壓方程式求出兩種電流下的內建電勢：

Ea=V−Ia(Ra+Rs)E_a=V-I_a(R_a+R_s)

其中總串聯電阻為

Ra+Rs=0.1+0.07=0.17 ΩR_a+R_s=0.1+0.07=0.17\ \Omega

當 Ia=70 AI_a=70\ \mathrm{A} 時，

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第 四 題20 分

一部 60 Hz60\ \mathrm{Hz}、六極感應電動機，其氣隙功率 PAG=26 kWP_{AG}=26\ \mathrm{kW}，由電能轉換到機械能的功率 Pconv=24 kWP_{\mathrm{conv}}=24\ \mathrm{kW}。試求：

(一) 此時感應電動機的轉差率與感應轉矩為何？

(二) 若在此轉差率下之機械損失為 330 W330\ \mathrm{W}，則其負載轉矩為何？

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核心觀念

感應電動機的氣隙功率 PAGP_{AG} 分為轉子銅損與電能轉換成機械能的功率 PconvP_{\mathrm{conv}}：

Protor cu=sPAG,Pconv=(1−s)PAGP_{\mathrm{rotor\,cu}}=sP_{AG},\qquad P_{\mathrm{conv}}=(1-s)P_{AG}

其中 ss 為轉差率。感應轉矩可用氣隙功率除以同步角速度求得；負載轉矩則以軸輸出功率除以轉子機械角速度求得。

解題方法

六極、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 感應電動機的同步轉速為

ns=120fP=120×606=1200 rpmn_s=\frac{120f}{P} =\frac{120\times60}{6} =1200\ \mathrm{rpm}

由 Pconv=(1−s)PAGP_{\mathrm{conv}}=(1-s)P_{AG} 得

s=1−PconvPAG=1−2426=113≈0.0769s=1-\frac{P_{\mathrm{conv}}}{P_{AG}} =1-\frac{24}{26} =\frac{1}{13} \approx 0.0769

所以轉差率為 7.69%7.69\%，轉子轉速為

nr=(1−s)ns=1213×1200≈1107.7 rpmn_r=(1-s)n_s =\frac{12}{13}\times1200 \approx1107.7\ \mathrm{rpm}

感應轉矩（電磁轉矩）以氣隙功率除以同步角速度計算：

ωs=2πns60=2π×120060=40π rad/s\omega_s=\frac{2\pi n_s}{60} =\frac{2\pi\times1200}{60} =40\pi\ \mathrm{rad/s}
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第 五 題20 分

一發電廠共有三部並聯運轉的同步發電機，每部規格為 300 MVA300\ \mathrm{MVA}、20 kV20\ \mathrm{kV}、0.90.9 PF 落後，且具有相同的轉速下降特性。發電機之原動機上調速機（governors）於滿載到無載之間產生 3 Hz3\ \mathrm{Hz} 的轉速下降。其中兩部在 60 Hz60\ \mathrm{Hz} 下供應穩定功率 250 MW250\ \mathrm{MW}，而第三部發電機負責系統負載的變化增量，使系統頻率維持在 60 Hz60\ \mathrm{Hz}。試求：

(一) 當系統的總負載為 600 MW600\ \mathrm{MW} 時，其系統頻率為 60 Hz60\ \mathrm{Hz}，則系統中每部發電機的無載頻率為何？

(二) 若系統的負載增加到 700 MW700\ \mathrm{MW}，且發電機之調速機設定點不變，新的系統頻率將為何？

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核心觀念

本題考同步發電機並聯運轉時的調速機下垂特性與負載分配。調速機設定點不變時，發電機輸出功率增加，穩態頻率會依下垂斜率下降；同一電力系統並聯機組的頻率相同。

每部機組的滿載至無載頻率差為 3 Hz3\ \mathrm{Hz}，額定實功率為

P額=300 MVA×0.9=270 MWP_{\text{額}}=300\ \mathrm{MVA}\times 0.9=270\ \mathrm{MW}

因此每部機組的功率—頻率斜率為

ΔPΔf=270 MW3 Hz=90 MW/Hz\frac{\Delta P}{\Delta f}=\frac{270\ \mathrm{MW}}{3\ \mathrm{Hz}} =90\ \mathrm{MW/Hz}

也就是每增加 90 MW90\ \mathrm{MW} 輸出，頻率下降 1 Hz1\ \mathrm{Hz}。

解題方法

兩部發電機各自固定供應 250 MW250\ \mathrm{MW}，第三部承擔系統負載的增量。因此當總負載為 600 MW600\ \mathrm{MW} 時，第三部輸出為

P3=600−2(250)=100 MWP_3=600-2(250)=100\ \mathrm{MW}

三部機組具有相同的下垂特性，且在並聯系統中頻率一致。由於兩部固定供應 250 MW250\ \mathrm{MW} 的機組在 60 Hz60\ \mathrm{Hz} 運轉，其無載頻率可由下垂關係求得：

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