112 高普考高考三級 電力工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

本題評量三相交流電力系統中感應電動機的功率轉換、三相平衡功率計算，以及交流弦波波形參數之定義：

1. 電動機功率與效率轉換：

• 額定馬力（$\mathrm{hp}$）係指電動機轉軸輸出的機械功率（$P_{\text{out}}$），換算關係為 $1\ \mathrm{hp} = 746\ \mathrm{W}$。
• 滿載輸入電功率（$P_{\text{in}}$）與輸出機械功率透過效率 $\eta$ 連結： $P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta}$

2. 三相平衡系統之功率與電流：

• 忽略輸電線阻抗時，電源端供電功率即為電動機端輸入功率。
• 三相平衡實功率：$P = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta$
• 三相平衡虛功率：$Q = \sqrt{3} V_L I_L \sin\theta = P \tan\theta$（落後功因取正值）
• 三相複數功率：$S = P + jQ$
• 視在功率大小：$|S| = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{3} V_L I_L$

3. 交流弦波有效值與峰值之關係：

• 電力系統中未特別聲明之交流電壓與電流均為有效值（RMS）。
• 正弦波之峰值（Peak Value）與有效值（RMS）關係為： $I_{\text{peak}} = \sqrt{2} I_{\text{rms}}$

4. 相序（Phase Sequence）影響性：

• 題目提及之「負相序平衡電源」，僅決定三相電壓與電流之間的相角先後順序（如 $a\text{-}c\text{-}b$ 序），在三相負載完全平衡之穩態運轉條件下，各相間對稱性不變，不影響三相總實功率、總虛功率、複數功率純量值，亦不影響電壓與電流之大小（振幅、有效值、峰值）。

解題方法

(二) 該電動機轉軸輸出的功率

電動機額定功率為 $200\ \mathrm{hp}$，運轉於滿載條件下，其轉軸輸出之機械功率 $P_{\text{out}}$ 為： $P_{\text{out}} = 200\ \mathrm{hp} \times 746\ \mathrm{W/hp} = 149,200\ \mathrm{W} = 149.2\ \mathrm{kW}$

(一) 該電源所提供之電流峰值、複數功率

1. 求電動機輸入電功率（即電源所提供之實功率 $P$）： 已知滿載效率 $\eta = 80\% = 0.8$，且輸電線阻抗忽略： $P = P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta} = \frac{149.2\ \mathrm{kW}}{0.8} = 186.5\ \mathrm{kW}$

2. 求電源所提供之複數功率 $S$：

• 滿載功率因數 $\text{PF} = \cos\theta = 0.8\text{ lagging}$，表示電流落後電壓，虛功率為感性（正值）。
• 功率因數角：$\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$，$\sin\theta = 0.6$。
• 視在功率大小 $|S|$： $|S| = \frac{P}{\cos\theta} = \frac{186.5\ \mathrm{kW}}{0.8} = 233.125\ \mathrm{kVA}$
• 虛功率 $Q$：

核心觀念

本題出自經典電力系統故障分析範疇（參考經典教科書 Stevenson & Grainger 之標準題型），核心考點包含：

1. 三相同步發電機三相短路電流階段劃分： 同步發電機突遭三相短路時，電樞電流隨時間經歷三個主要階段，各階段分別由不同的等效電抗主導：

• 次暫態期（Subtransient period）：故障初期數個週波內，阻抗最小，電流最大，由次暫態電抗 $X_d''$ 決定。
• 暫態期（Transient period）：次暫態阻尼繞組效應消失後，由暫態電抗 $X_d'$ 決定。
• 持續（穩態）期（Sustained/Steady-state period）：所有電磁暫態衰減完畢，由同步電抗 $X_d$ 決定。

2. 標麼值（per-unit）與基準電流換算： 三相系統的基準電流公式為： $I_B = \frac{S_B}{\sqrt{3} V_B}$ 其中 $S_B$ 為三相基準容量，$V_B$ 為線電壓基準值。

3. 短路電流之直流偏移成分（DC offset component）： 由於發電機與線路主要呈現感性，且電感電流不能瞬間突變，短路瞬間將感應出直流成分以維持電流連續性。 當故障發生瞬間，若對稱交流成分恰好為電壓峰值所對應的電流零點，直流偏移最大，其最大可能直流成分峰值等於交流次暫態電流的振幅： $I_{dc,\max} = \sqrt{2} I''$

解題方法

步驟一：計算基準電流與故障前內部電壓

以發電機額定值為基準值：

• 基準容量：$S_B = 500\ \mathrm{MVA}$
• 基準線電壓：$V_B = 24\ \mathrm{kV}$

計算額定基準電流（$I_B$）： $I_B = \frac{S_B}{\sqrt{3} V_B} = \frac{500 \times 10^6}{\sqrt{3} \times 24 \times 10^3} = \frac{500 \times 10^3}{24\sqrt{3}} \approx 12028.13\ \mathrm{A}$

由於發電機工作於開路且為額定端電壓，故障前無載（$I_0 = 0$），內部感應電勢標麼值為： $E_g = 1.0\ \mathrm{pu}$

步驟二：求 (一) 持續短路電流（Sustained short-circuit current）

故障發生於斷路器與變壓器之間，發電機經斷路器直接注入故障點，短路回路僅包含發電機內部電抗。 持續短路電流由同步電抗 $X_d = 130\% = 1.30\ \mathrm{pu}$ 決定：

1. 持續短路電流之標麼值： $I = \frac{E_g}{X_d} = \frac{1.0}{1.30} \approx 0.76923\ \mathrm{pu}$

2. 換算為實際電流（安培）： $I = 0.76923 \times 12028.13 \approx 9252.41\ \mathrm{A}$

步驟三：求 (二) 初始對稱均方根電流（Initial symmetrical rms current）

故障初始瞬間的對稱交流成分由次暫態電抗 $X_d'' = 19\% = 0.19\ \mathrm{pu}$ 決定：

核心觀念

本題旨在測驗電力系統暫態穩定度之基礎物理概念——**發電機轉子運動方程式（Swing Equation）**中功率、轉矩與轉速之關係：

1. 轉子加速功率與加速轉矩關係： 根據旋轉力學原理，功率 $P$、轉矩 $T$ 與機械角速度 $\omega_m$ 之關係為： $P = T \cdot \omega_m \implies T = \frac{P}{\omega_m}$ 因此，加速轉矩（Accelerating torque）$T_a$ 為加速功率 $P_a$ 與轉子機械角速度 $\omega_m$ 的比值： $T_a = T_m - T_e = \frac{P_m - P_e}{\omega_m} = \frac{P_a}{\omega_m}$ 其中：

• $P_m$ 為原動機輸入之機械功率。
• $P_e$ 為發電機輸出之電磁實功功率。
• $P_a = P_m - P_e$ 為加速功率。

2. 同步機之極數與機械角速度關係：

• 同步轉速（rpm）： $N_s = \frac{120 f}{P_{\text{pole}}}$
• 轉子機械角速度（$\mathrm{rad/s}$）： $\omega_m = \frac{2\pi N_s}{60} = \left(\frac{2}{P_{\text{pole}}}\right) \omega_e = \left(\frac{2}{P_{\text{pole}}}\right) (2\pi f)$ 其中 $P_{\text{pole}}$ 為發電機極數，$f$ 為電力系統頻率。

3. 故障瞬間之暫態特性：

• 蒸氣渦輪機及其調速系統（Governor）具有較大的機械時間常數（通常為數百毫秒至數秒），在故障發生瞬間無法立即反應，因此機械輸入功率 $P_m$ 視為維持定值。
• 忽略發電機內部損耗，故發電機在故障前穩態運轉時，機械輸入功率等於電氣輸出實功（$P_m = P_{e0}$）。

解題方法

步驟一：求故障前之發電機輸出實功與機械輸入功率

發電機於故障前以滿載運轉，功率因數 $\mathrm{PF} = 0.9\ \text{lagging}$，且額定容量 $S_{\text{rated}} = 100\ \mathrm{MVA}$： $P_{e0} = S \times \cos\theta = 100\ \mathrm{MVA} \times 0.9 = 90\ \mathrm{MW} = 90 \times 10^6\ \mathrm{W}$

因忽略發電機內部各項損耗，且故障前處於穩態平衡運轉： $P_m = P_{e0} = 90\ \mathrm{MW}$

步驟二：求故障發生瞬間之電氣功率與加速功率

題目給定故障瞬間輸出實功降低 $50\%$： $P_e = P_{e0} \times (1 - 0.5) = 90\ \mathrm{MW} \times 0.5 = 45\ \mathrm{MW} = 45 \times 10^6\ \mathrm{W}$

機械輸入功率保持不變，故故障發生瞬間之加速功率 $P_a$ 為： $P_a = P_m - P_e = 90\ \mathrm{MW} - 45\ \mathrm{MW} = 45\ \mathrm{MW} = 45 \times 10^6\ \mathrm{W}$

步驟三：計算轉子同步機械角速度

發電機為 4 極（$P_{\text{pole}} = 4$）、頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$：

核心觀念

1. 雙繞組變壓器改接自耦變壓器之電壓與電流額定：

• 雙繞組變壓器改接為自耦變壓器時，各繞組所能承受之最大電壓與電流不得超過原繞組之額定值。
• 高壓側與低壓側繞組分別構成串聯繞組（Series Winding, $SE$）與共同繞組（Common Winding, $C$）。
• 本題自耦變壓器之高壓側電壓為 $V_H = 330\ \mathrm{V}$，低壓側電壓為 $V_L = 110\ \mathrm{V}$。
• 共同繞組電壓：$V_C = V_L = 110\ \mathrm{V}$。
• 串聯繞組電壓：$V_{SE} = V_H - V_L = 330 - 110 = 220\ \mathrm{V}$。

2. 自耦變壓器容量放大效益：

• 自耦變壓器之額定容量 $S_{\mathrm{auto}}$ 包含「電磁感應傳遞容量（即原雙繞組容量 $S_{\mathrm{2w}}$）」與「電氣直接傳導容量」： $S_{\mathrm{auto}} = \frac{V_H}{V_{SE}} S_{\mathrm{2w}} = \frac{V_H}{V_H - V_L} S_{\mathrm{2w}}$

3. 損耗與效率特性：

• 銅損（Copper Loss, $P_{\mathrm{cu}}$）：當自耦變壓器運轉於額定容量時，串聯繞組與共同繞組內的電流皆恰好等於原雙繞組變壓器的額定電流，因此滿載銅損與原雙繞組變壓器相同。
• 鐵損（Core Loss, $P_c$）：因各繞組所施加之端電壓均為原額定電壓（$220\ \mathrm{V}$ 與 $110\ \mathrm{V}$），鐵心磁通密度未變，故鐵損亦保持不變。
• 效率公式： $\eta = \frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{out}} + P_c + P_{\mathrm{cu}}} \times 100\%$ 其中 $P_{\mathrm{out}} = S_{\mathrm{auto}} \times \mathrm{PF}$。

解題方法

(一) 求單相自耦變壓器之額定容量

1. 原雙繞組變壓器之額定電流計算：

• $220\ \mathrm{V}$ 繞組額定電流： $I_{220} = \frac{S_{\mathrm{2w}}}{V_{220}} = \frac{11{,}000\ \mathrm{VA}}{220\ \mathrm{V}} = 50\ \mathrm{A}$
• $110\ \mathrm{V}$ 繞組額定電流： $I_{110} = \frac{S_{\mathrm{2w}}}{V_{110}} = \frac{11{,}000\ \mathrm{VA}}{110\ \mathrm{V}} = 100\ \mathrm{A}$

2. 自耦變壓器連接與繞組電流對應：

• 電源側（高壓側）電壓 $V_H = 330\ \mathrm{V}$，負載側（低壓側）電壓 $V_L = 110\ \mathrm{V}$。
• 串聯繞組承受電壓為 $V_{SE} = 330 - 110 = 220\ \mathrm{V}$，其允許之額定電流即為原 $220\ \mathrm{V}$ 繞組電流： $I_{SE} = I_{220} = 50\ \mathrm{A}$
• 電源側輸入電流 $I_H$ 直接流經串聯繞組，受限於串聯繞組額定電流： $I_H = I_{SE} = 50\ \mathrm{A}$