108 高普考高考三級 輻射安全 輻射應用及其防護 考古題詳解

108 年・高普考・高考三級・輻射安全
試題代碼 輻射應用及其防護

第 一 題10 分

請說明氣體充氣式偵檢器中，非比例區產生的原因與如何抑制其發生？

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核心觀念

本題考查氣體充氣式偵檢器（Gas-filled Detector）之「脈衝高度對施加電壓特性曲線」中的工作區間特性，特別是有限比例區（Region of Limited Proportionality，又稱非比例區）​之微觀物理機制與儀器設計抑制方法。

相關物理原理與定義如下：

  1. 氣體增益（Gas Multiplication）與湯森雪崩（Townsend Avalanche）：當陽極電場強度 EE 足夠強時，初級電子在向陽極漂移途中獲得足夠動能，與氣體分子碰撞產生次級游離，形成雪崩式倍增。輸出電荷量為 Q=n0⋅e⋅MQ = n_0 \cdot e \cdot M，其中 n0n_0 為初級離子對數，MM 為氣體增益因子。
  2. 正離子鞘與空間電荷效應（Space Charge Effect）：電子漂移速度極快（約 106∼107 cm/s10^6 \sim 10^7\text{ cm/s}），微秒內即被陽極收集；重正離子漂移速度極慢（約 103∼104 cm/s10^3 \sim 10^4\text{ cm/s}），滯留於陽極表面形成一層正離子雲（正離子鞘）。
  3. 電場屏蔽效應：正離子雲產生的空間電場與外加電場反向，導致雪崩區的有效電場強度降低： Eeff=Eapplied−Espace chargeE_{\text{eff}} = E_{\text{applied}} - E_{\text{space charge}}
  4. 紫外線光電效應（UV Photoelectric Effect）：激發態氣體分子退激時釋放高能紫外光子（UV photons），會在氣體中或陰極壁引發次級光電子放電。

解題方法

本題為標準申論題，答題架構應分為「產生原因（微觀物理機制）」與「抑制方法（操作與儀器設計策略）」兩大部分深入論述：

一、非比例區產生的原因

在比例區內，氣體增益因子 MM 與初始游離對數 n0n_0 無關，輸出脈衝高度嚴格正比於射線在腔體內沉積的能量。然而，當偏壓持續升高進入非比例區時，正比關係破壞，其原因如下：

  1. 強烈的空間電荷效應（Space Charge Effect）造成自我限制（Self-limiting）：
  • 隨著施加電壓提高，雪崩規模劇烈擴大（M>104∼105M > 10^4 \sim 10^5），每次雪崩產生的正離子數極為龐大。
  • 由於正離子質量大、移動緩慢，在電子已被陽極完全收集後，大量正離子仍密集包圍在陽極細線周圍，形成厚重的「正離子鞘」。
  • 該正離子鞘削弱了陽極表面附近的電場強度（Eeff<EappliedE_{\text{eff}} < E_{\text{applied}}），導致後續雪崩過程提前終止，氣體增益因子 MM 被迫下降。
  • 非線性現象：初始游離對數越大（例如高電離密度的 α\alpha 粒子），產生的正離子越多，空間電荷的屏蔽效應越顯著，增益降低的幅度比低電離粒子（如 β\beta 粒子）更嚴重。因此，脈衝高度與初始能量失去線性正比關係，α\alpha 與 β\beta 的脈衝高度曲線在此區逐漸合流。
  1. 紫外線光電效應引發次級雪崩擴散：
  • 高電場下，大量惰性氣體分子受撞擊進入激發態。退激時釋出的紫外線光子逃逸至陰極管壁或雪崩區周圍的氣體中，藉由光電效應釋放出次級電子。
  • 次級電子在沿線其他位置引發額外的次級雪崩，使放電不再侷限於單一初始點，進一步加劇空間電荷的生成與非比例非線性失真。

二、如何抑制非比例區的發生

要使偵檢器維持在「真比例區（True Proportional Region）」而不落入非比例區，抑制方法主要從操作條件、填充氣體配方與幾何構造切入：

  1. 嚴格控制操作偏壓（降低氣體增益 MM）：
  • 經由繪製偵檢器的電壓特性曲線，將工作電壓設定於平坦穩定的比例計數區間，使增益因子嚴格控制在 M≤104M \le 10^4 以下。
  • 限制雪崩產生的總電荷量，從源頭防止正離子鞘密度達到足以屏蔽外加電場的臨界值。
  1. 添加多原子有機淬熄氣體（Quenching Gas）：
  • 腔體內不可使用純惰性氣體（如純氬氣），必須混合適當比例的多原子氣體（如甲烷 CH4\text{CH}_4、異丁烷、二氧化碳），最典型者為 P-10 氣體（90% 氬氣 + 10% 甲烷）。
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第 二 題10 分

核種 AA 的物理半衰期為 7.04×108 yr7.04\times10^8\ \mathrm{yr}，核種 BB 的物理半衰期為 4.468×109 yr4.468\times10^9\ \mathrm{yr}。若 t=0t=0 時核種 AA 與 BB 的數量比為 1:11:1，則幾年後其比值為 0.3:99.70.3:99.7？

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核心觀念

本題測驗核物理與輻射防護中最基礎且重要的放射性衰變定律（Radioactive Decay Law）​以及雙核種比值隨時間之衰減推導。涉及的核心觀念與公式如下：

  1. 放射性衰變定律： 放射性核種數量隨時間呈指數衰減，其數學表示式為： N(t)=N0e−λt=N0(12)t/T1/2N(t) = N_0 e^{-\lambda t} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t / T_{1/2}} 其中 N0N_0 為初始核種數，λ\lambda 為衰變常數（Decay constant），T1/2T_{1/2} 為物理半衰期（Physical half-life）。

  2. 衰變常數與半衰期之關係： λ=ln⁡2T1/2≈0.69315T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0.69315}{T_{1/2}}

  3. 雙獨立衰變核種的數量比隨時間變化： 若核種 AA 與核種 BB 均獨立衰變，兩者之數量比值隨時間 tt 滿足： NA(t)NB(t)=NA0e−λAtNB0e−λBt=(NA0NB0)e−(λA−λB)t\frac{N_A(t)}{N_B(t)} = \frac{N_{A0} e^{-\lambda_A t}}{N_{B0} e^{-\lambda_B t}} = \left(\frac{N_{A0}}{N_{B0}}\right) e^{-(\lambda_A - \lambda_B)t}

解題方法

本題要求計算由初始比值 1:11:1 衰變至末期比值 0.3:99.70.3:99.7 所經歷的時間 tt。求解步驟如下：

步驟一：整理題意已知條件

  • 核種 AA 之半衰期：T1/2,A=7.04×108 yrT_{1/2, A} = 7.04 \times 10^8\ \mathrm{yr}
  • 核種 BB 之半衰期：T1/2,B=4.468×109 yrT_{1/2, B} = 4.468 \times 10^9\ \mathrm{yr}
  • t=0t = 0 時之初始數量比：NA(0)NB(0)=11=1\frac{N_A(0)}{N_B(0)} = \frac{1}{1} = 1
  • tt 時間後之數量比：NA(t)NB(t)=0.399.7\frac{N_A(t)}{N_B(t)} = \frac{0.3}{99.7}

步驟二：計算各核種之衰變常數 λ\lambda

  • 核種 AA 的衰變常數： λA=ln⁡2T1/2,A=0.693157.04×108 yr≈9.8458×10−10 yr−1\lambda_A = \frac{\ln 2}{T_{1/2, A}} = \frac{0.69315}{7.04 \times 10^8\ \mathrm{yr}} \approx 9.8458 \times 10^{-10}\ \mathrm{yr}^{-1}

  • 核種 BB 的衰變常數： λB=ln⁡2T1/2,B=0.693154.468×109 yr≈1.5514×10−10 yr−1\lambda_B = \frac{\ln 2}{T_{1/2, B}} = \frac{0.69315}{4.468 \times 10^9\ \mathrm{yr}} \approx 1.5514 \times 10^{-10}\ \mathrm{yr}^{-1}

  • 兩核種衰變常數之差值（Δλ\Delta \lambda）： λA−λB=(9.8458−1.5514)×10−10=8.2944×10−10 yr−1\lambda_A - \lambda_B = (9.8458 - 1.5514) \times 10^{-10} = 8.2944 \times 10^{-10}\ \mathrm{yr}^{-1}

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第 三 題20 分

說明下圖 AA、BB 兩核種是屬於連鎖蛻變中的那種平衡，其中 AA 為母核，BB 為子核；並推估兩核種的半衰期？若 BB 核種的半衰期比計算所得還慢兩倍，試畫出其連鎖蛻變的隨時間衰變圖？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

本題考查母核與子核的連鎖蛻變平衡。圖中子核 BB 的活度先上升、達到最大值後再下降；後期 AA、BB 的衰減曲線近乎平行，且 BB 的活度略高於 AA。這是暫態平衡的特徵：母核 AA 的半衰期較長，但與子核 BB 的半衰期相近。

設母核、子核的衰變常數分別為 λA\lambda_A、λB\lambda_B，則：

λA=ln⁡2TA,λB=ln⁡2TB\lambda_A=\frac{\ln 2}{T_A},\qquad \lambda_B=\frac{\ln 2}{T_B}

假設圖示起始活度約為 A0=1A_0=1、B0=0.1B_0=0.1，子核活度隨時間為：

AB(t)=AB(0)e−λBt+λBAA(0)λB−λA(e−λAt−e−λBt)A_B(t)=A_B(0)e^{-\lambda_Bt} +\frac{\lambda_B A_A(0)}{\lambda_B-\lambda_A} \left(e^{-\lambda_At}-e^{-\lambda_Bt}\right)

暫態平衡時，後期子核與母核的活度比趨近：

ABAA⟶λBλB−λA\frac{A_B}{A_A}\longrightarrow \frac{\lambda_B}{\lambda_B-\lambda_A}

解題方法

先從母核曲線讀取半衰期：AA 的活度由 11 降至約 0.50.5，所需時間約為 380380 分鐘，因此：

TA≈380 分鐘T_A\approx 380\ \text{分鐘}

再看後期曲線，B/AB/A 約為 1.251.25。代入暫態平衡的活度比：

1.25≈λBλB−λA⇒λB≈5λA1.25\approx\frac{\lambda_B}{\lambda_B-\lambda_A} \quad\Rightarrow\quad \lambda_B\approx5\lambda_A

因此：

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第 四 題15 分

質子與中子之 a.m.u.（atomic mass unit）分別為 1.0078251.007825、1.0086651.008665；則下表中四核種，何者最為穩定；且核種間可藉由何種蛻變轉換至穩定核種？

🖼️【此處有附表，請對照原卷】

表題：Isobar; A=102A=102

項目TcRuRhPd
nuclide
proton43444546
neutron59585756
Atomic Mass Unit101.91101.909101.914101.914
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核心觀念

同一質量數 A=102A=102 的核種，穩定性可由每核子的平均束縛能比較：每核子的束縛能越大，核種越穩定。使用氫原子質量 mH=1.007825 um_{\mathrm H}=1.007825\,\mathrm u 與中子質量 mn=1.008665 um_n=1.008665\,\mathrm u，可避開原子核質量中的電子質量：

Δm=Z mH+N mn−M原子,BA=Δm c2A\Delta m=Z\,m_{\mathrm H}+N\,m_n-M_{\text{原子}},\qquad \frac{B}{A}=\frac{\Delta m\,c^2}{A}

其中 ZZ 為質子數、NN 為中子數，且 1 u c2≈931.5 MeV1\,\mathrm u\,c^2\approx931.5\,\mathrm{MeV}。

解題方法

將表中各核種的 ZZ、NN 與原子質量代入，計算質量虧損及每核子的束縛能：

核種質量虧損 Δm\Delta m（u）每核子的束縛能 B/AB/A（MeV）
102Tc^{102}\mathrm{Tc}43(1.007825)+59(1.008665)−101.910=0.93771043(1.007825)+59(1.008665)-101.910=0.937710約 8.568.56
102Ru^{102}\mathrm{Ru}44(1.007825)+58(1.008665)−101.909=0.93787044(1.007825)+58(1.008665)-101.909=0.937870約 8.568.56
102Rh^{102}\mathrm{Rh}45(1.007825)+57(1.008665)−101.914=0.93203045(1.007825)+57(1.008665)-101.914=0.932030約 8.518.51
102Pd^{102}\mathrm{Pd}46(1.007825)+56(1.008665)−101.914=0.93119046(1.007825)+56(1.008665)-101.914=0.931190約 8.508.50
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第 五 題20 分

已知 51V^{51}\mathrm{V} 的熱中子吸收截面為 7.6 b7.6\ \mathrm{b}（10−24 cm210^{-24}\ \mathrm{cm}^2），反應器的熱中子通率為 5.0×1011 #/(cm2⋅sec)5.0\times10^{11}\ \#/(\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{sec})，至少多少 mg 的 51V^{51}\mathrm{V} 經 1 分鐘照射並置放冷卻 10 分鐘後，仍能於 60 秒的量測中達到超過 2,000 的計數（52V^{52}\mathrm{V} 物理半衰期為 3.8 min.，偵檢器效率為 0.0001 cps/dps）？同樣的條件，若僅將量測時間調整為 120 秒，則預估計數值為何？

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核心觀念

本題屬於中子活化分析（Neutron Activation Analysis, NAA）​的經典計算題，考查核反應生成、放射性衰變以及量測計數的完整物理歷程。核心公式與觀念涵蓋以下四部分：

  1. 照射活化階段（Activation）： 靶核 51V^{51}\mathrm{V} 經熱中子捕獲反應 51V(n,γ)52V^{51}\mathrm{V}(n,\gamma)^{52}\mathrm{V} 生成放射性核種 52V^{52}\mathrm{V}。照射時間為 tit_i 時，照射結束當下的活度 A1A_1 為： A1=Nσϕ(1−e−λti)A_1 = N \sigma \phi (1 - e^{-\lambda t_i}) 其中 NN 為靶核原子數，σ\sigma 為熱中子微觀吸收截面，ϕ\phi 為熱中子通率，λ\lambda 為生成核種 52V^{52}\mathrm{V} 之衰變常數，S=(1−e−λti)S = (1 - e^{-\lambda t_i}) 稱為飽和因子（Saturation factor）。

  2. 冷卻衰變階段（Cooling / Decay）： 照射後置放冷卻時間 tdt_d，樣品活度指數衰變至 A2A_2： A2=A1e−λtdA_2 = A_1 e^{-\lambda t_d}

  3. 量測計數階段（Counting）： 當量測時間 tct_c 與核種半衰期 T1/2T_{1/2} 相當（不能忽略量測期間的自身衰變）時，在計數區間 [0,tc][0, t_c] 內發生的總核蛻變數 ΔN\Delta N 必須透過活度對時間積分求得： ΔN=∫0tcA2e−λtdt=A2λ(1−e−λtc)\Delta N = \int_{0}^{t_c} A_2 e^{-\lambda t} dt = \frac{A_2}{\lambda} (1 - e^{-\lambda t_c}) 探測器所記錄到的總計數值 CC 則為總蛻變數乘上偵檢效率 ϵ\epsilon： C=ϵ⋅ΔN=ϵA2λ(1−e−λtc)C = \epsilon \cdot \Delta N = \epsilon \frac{A_2}{\lambda} (1 - e^{-\lambda t_c})

  4. 原子數與質量關係： N=mMNAN = \frac{m}{M} N_A 其中 mm 為 51V^{51}\mathrm{V} 質量，MM 為原子量（51V≈50.94 g/mol^{51}\mathrm{V} \approx 50.94\ \mathrm{g/mol} 或取質量數 51 g/mol51\ \mathrm{g/mol}），NAN_A 為亞佛加厥常數（6.022×1023 atoms/mol6.022 \times 10^{23}\ \mathrm{atoms/mol}）。

解題方法

第一小題：求最少所需之 51V^{51}\mathrm{V} 質量（mg\mathrm{mg}）

步驟一：整理已知條件與計算衰變常數

  • 微觀截面 σ=7.6 b=7.6×10−24 cm2\sigma = 7.6\ \mathrm{b} = 7.6 \times 10^{-24}\ \mathrm{cm}^2
  • 熱中子通率 ϕ=5.0×1011 n/(cm2⋅s)\phi = 5.0 \times 10^{11}\ \mathrm{n}/(\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{s})
  • 照射時間 ti=1 min=60 st_i = 1\ \mathrm{min} = 60\ \mathrm{s}
  • 冷卻時間 td=10 min=600 st_d = 10\ \mathrm{min} = 600\ \mathrm{s}
  • 量測時間 tc=60 s=1 mint_c = 60\ \mathrm{s} = 1\ \mathrm{min}
  • 偵檢效率 ϵ=0.0001=1.0×10−4 cps/dps\epsilon = 0.0001 = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{cps/dps}
  • 要求計數值 C≥2,000C \ge 2,000
  • 52V^{52}\mathrm{V} 半衰期 T1/2=3.8 min=228 sT_{1/2} = 3.8\ \mathrm{min} = 228\ \mathrm{s}

衰變常數 λ\lambda： λ=ln⁡2T1/2=0.693153.8 min≈0.18241 min−1≈3.0401×10−3 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.69315}{3.8\ \mathrm{min}} \approx 0.18241\ \mathrm{min}^{-1} \approx 3.0401 \times 10^{-3}\ \mathrm{s}^{-1}

步驟二：計算各階段的時間因子

  1. 照射飽和因子： 1−e−λti=1−e−0.18241×1=1−0.83326≈0.166741 - e^{-\lambda t_i} = 1 - e^{-0.18241 \times 1} = 1 - 0.83326 \approx 0.16674
  2. 冷卻衰變因子： e−λtd=e−0.18241×10=e−1.8241≈0.16136e^{-\lambda t_d} = e^{-0.18241 \times 10} = e^{-1.8241} \approx 0.16136
  3. 量測累積因子： 1−e−λtcλ=1−e−3.0401×10−3×603.0401×10−3 s−1=0.166743.0401×10−3≈54.85 s\frac{1 - e^{-\lambda t_c}}{\lambda} = \frac{1 - e^{-3.0401 \times 10^{-3} \times 60}}{3.0401 \times 10^{-3}\ \mathrm{s}^{-1}} = \frac{0.16674}{3.0401 \times 10^{-3}} \approx 54.85\ \mathrm{s}

步驟三：推導計數方程式並求解原子數 NN 將各階段綜合代入計數方程式：

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第 六 題25 分

下圖左為 ICRP-30 號報告建議之服用 I-131 後，病人甲狀腺的體內動力學模型（Thyroid biokinetic model）。全身粗略定義為數個腔室（compartments），其中 body fluid 與 whole body 可定義為兩個獨立腔室，但實際上卻是無法在臨床量測時分割的；下圖右則是臨床上病人實際量測所得結果，其中 stomach、thyroid 和 body fluid and whole body 腔室中 I-131 放射活性隨時間的衰變圖。請整合兩圖的資訊，試說明此體內動力學的重點與腔室間的關係？並推估 stomach 和 body fluid and whole body 的生物半衰期，其中 I-131 的物理半衰期為 193 hr。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

依照 ICRP-30 號報告，所建議的分支比：

i12i_{12}、i23i_{23}、i34i_{34}、i45i_{45}、i25i_{25} 和 i42i_{42} 分別是 1.01.0、0.30.3、1.01.0、0.10.1、0.70.7 和 0.90.9。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查 I-131 進入人體後在各腔室間的轉移，以及如何由量測到的活性衰減估算生物半衰期。模型中的分支比表示進入某腔室的 I-131 後續流向各腔室或排泄的比例；它們不是半衰期。

生物排除與物理衰變同時發生，因此量測到的是有效半衰期 TeffT_{\mathrm{eff}}：

1Teff=1Tphys+1Tbio\frac{1}{T_{\mathrm{eff}}} = \frac{1}{T_{\mathrm{phys}}} + \frac{1}{T_{\mathrm{bio}}}

整理可得：

Tbio=TeffTphysTphys−TeffT_{\mathrm{bio}} = \frac{T_{\mathrm{eff}}T_{\mathrm{phys}}} {T_{\mathrm{phys}}-T_{\mathrm{eff}}}

其中 I-131 的物理半衰期 Tphys=193 hrT_{\mathrm{phys}}=193\ \mathrm{hr}。

解題方法與腔室關係

依題目所列分支比，模型的流向如下：

  • 胃（1）中的 I-131 全部進入體液（2）：i12=1.0i_{12}=1.0。
  • 體液中的 I-131 有 30%30\% 進入甲狀腺（3），70%70\% 排泄：i23=0.3i_{23}=0.3、i25=0.7i_{25}=0.7。
  • 甲狀腺中的 I-131 全部轉入全身（4）：i34=1.0i_{34}=1.0。
  • 全身中的 I-131 有 10%10\% 排泄，90%90\% 回到體液：i45=0.1i_{45}=0.1、i42=0.9i_{42}=0.9。

因此，服用後胃中活性快速下降，主要是內容物移入體液；體液中的一部分進入甲狀腺，造成甲狀腺活性上升；另一部分排出。進入全身的 I-131 又會有大部分回到體液，形成體液與全身間的循環。臨床量測無法將這兩個腔室分開，所以圖中以「body fluid and whole body」合併呈現。

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輻射安全《輻射應用及其防護》其他年度

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