108 高普考高考三級 輻射安全 放射物理學 考古題詳解

核心觀念

單能光子的克馬可寫成

其中 $\Psi$ 是光子能量通量。光子在材料中前進時，未碰撞的能量通量依照指數定律衰減：

因此，穿越同一材料時，克馬隨光子通量衰減；跨越肌肉與骨骼界面時，在光子通量連續的情況下，克馬還會因兩種材料的質量轉移係數不同而改變。

解題方法

依圖示，$B$、$C$ 分別在第一個肌肉—骨骼界面的肌肉側與骨骼側；$D$、$E$ 分別在第二個骨骼—肌肉界面的骨骼側與肌肉側。採用窄射束近似，計算時只考慮一次光子的指數衰減。

先求兩種材料的線性衰減係數：

$B$ 點： 光子由 $A$ 點穿過 $2\ \mathrm{cm}$ 肌肉到達 $B$ 點：

$C$ 點： $B$、$C$ 位於同一界面的兩側，光子通量相同；克馬依質量轉移係數比值改變：

核心觀念

1. 放射性衰變定律（Radioactive Decay Law）： 不穩定原子核發生自發性衰變純屬隨機機率過程。在巨觀統計下，單位時間內發生衰變的原子核數量（衰變率或活度），與當時現存的放射性原子核個數 $N$ 成正比。
2. 衰變常數（Decay Constant, $\lambda$）： 代表單一原子核在單位時間內發生衰變的機率，為該核種之固有物理常數，單位為 $\text{s}^{-1}$ 或 $\text{time}^{-1}$，且 $\lambda > 0$。
3. 常微分方程分離變數法與定積分： 一階線性常微分方程透過分離變數後，給定確切的初始條件（Initial Condition，即 $t=0$ 時 $N=N_0$）與終端條件（經歷時間 $t$ 時剩餘核數 $N$），即可藉由定積分導出核數隨時間變化的函數關係。

解題方法

題目給定微分方程式： $dN = -\lambda N \cdot dt$

推導步驟如下：

1. 分離變數（Separation of Variables）： 將變數 $N$ 與變數 $t$ 分別移至等號兩側，得： $\frac{1}{N}\,dN = -\lambda\,dt$

2. 設定積分區間與上下界值（Boundary Conditions）：

• 題目明確要求寫出積分上下界。
• 時間自初始 $t = 0$ 經歷至任意時刻 $t$。
• 對應的未衰變原子核數自初始量 $N(0) = N_0$ 衰減至時刻 $t$ 的剩餘量 $N(t) = N$。

建立定積分式（為求嚴謹，被積變數以啞變數 $N'$ 與 $t'$ 表示）： $\int_{N_0}^{N} \frac{1}{N'}\,dN' = \int_{0}^{t} -\lambda\,dt'$

3. 計算定積分：

• 左式積分： $\int_{N_0}^{N} \frac{1}{N'}\,dN' = \left[ \ln N' \right]_{N_0}^N = \ln N - \ln N_0 = \ln\left(\frac{N}{N_0}\right)$ （註：原子核數量必為正值，即 $N > 0, N_0 > 0$，故對數運算不需加絕對值）
• 右式積分（$\lambda$ 為常數可提出積分號外）： $\int_{0}^{t} -\lambda\,dt' = -\lambda \left[ t' \right]_{0}^t = -\lambda (t - 0) = -\lambda t$

核心觀念

1. 質能等價與靜止能量（Rest Energy）： 根據愛因斯坦質能關係式 $E_0 = m_0 c^2$，粒子的質量可等效為靜止能量。在核物理與輻射物理中，原子質量單位（$\mathrm{amu}$）與能量的標準換算關係為： $1\,\mathrm{amu} \approx 931.5\,\mathrm{MeV}/c^2$

2. 狹義相對論動能與總能量： 在相對論架構下，粒子的總能量 $E$ 為靜止能量 $E_0$ 與動能 $T$ 之和： $E = E_0 + T = \gamma m_0 c^2$ 其中 $\gamma$ 為羅倫茲因子（Lorentz factor）： $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = 1 + \frac{T}{E_0}$ 無因次速率比值定義為 $\beta = \frac{v}{c}$。

3. 相對論力學適用準則： 當帶電粒子的動能 $T$ 達到其靜止能量 $E_0$ 的 $5\%$ 以上時，古典力學的動能公式 $T = \frac{1}{2}m v^2$ 會產生明顯誤差，必須採用相對論力學計算。本題中質子動能 $T = 200\,\mathrm{MeV}$，約為靜止質量的 $21\%$，必須嚴格使用相對論公式求解。

解題方法

步驟一：計算質子的靜止能量 $E_0$ 已知質子靜止質量 $m_0 = 1.0073\,\mathrm{amu}$，配合標準換算常數 $1\,\mathrm{amu} \approx 931.5\,\mathrm{MeV}$： $E_0 = m_0 c^2 = 1.0073 \times 931.5\,\mathrm{MeV} \approx 938.3\,\mathrm{MeV}$

步驟二：計算質子的相對論總能量 $E$ 與羅倫茲因子 $\gamma$ 動能 $T = 200\,\mathrm{MeV}$，其相對論總能量為： $E = E_0 + T = 938.3\,\mathrm{MeV} + 200\,\mathrm{MeV} = 1138.3\,\mathrm{MeV}$ 羅倫茲因子為： $\gamma = \frac{E}{E_0} = \frac{1138.3}{938.3} \approx 1.2131$

步驟三：推導並計算速度比值 $\beta$ 由 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$ 反推 $\beta$： $\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = \sqrt{1 - \left(\frac{E_0}{E}\right)^2}$ 代入數值： $\frac{E_0}{E} = \frac{938.3}{1138.3} \approx 0.8243$

核心觀念

本題考查點射源的伽馬光子能通量率、空氣劑量率與曝露量之間的換算。鈷-60 每次衰變放出兩個伽馬光子，能量分別為 $1.173\,\mathrm{MeV}$ 與 $1.332\,\mathrm{MeV}$；計算光子能通量時，須把兩條伽馬射線的能量都納入。

距離 $r$ 處的能通量率為

空氣劑量率以空氣質量能量吸收係數計算：

曝露量由空氣中產生的電離電荷換算：

其中 $e$ 為基本電荷；最後以 $1\,\mathrm{R}=2.58\times10^{-4}\,\mathrm{C\,kg^{-1}}$ 換算成侖琴。

解題方法與計算

源活度與距離為

每次衰變的伽馬光子總能量：

換算為焦耳：

因此，距源 $1.0\,\mathrm{m}$ 處的能通量率為

核心觀念

本題考查近接放射治療（Brachytherapy）中永久植入（Permanent Implant）的累積吸收劑量原理與放射性衰變動態學：

1. 放射性衰變定律與劑量率關係： 永久植入體內的放射性核種（如 ${}^{125}\mathrm{I}$）活度隨時間呈指數衰減，其所產生的組織吸收劑量率 $\dot{D}(t)$ 亦隨時間呈指數衰減： $\dot{D}(t) = \dot{D}_0 e^{-\lambda t}$ 其中 $\dot{D}_0$ 為初始吸收劑量率，$\lambda$ 為衰變常數（$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$）。

2. 永久植入的總累積吸收劑量（Total Cumulative Dose, $D_\infty$）： 核種永久留置體內，療程視為時間無限長（$t \to \infty$）。對劑量率進行全時間積分，即等於初始劑量率乘上平均壽命（Mean life, $\tau$）： $D_\infty = \int_0^\infty \dot{D}(t)\,dt = \frac{\dot{D}_0}{\lambda} = \tau \cdot \dot{D}_0 = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \cdot \dot{D}_0 \approx 1.443 \cdot T_{1/2} \cdot \dot{D}_0$

3. 有限時間內之累積吸收劑量比例： 在時間 $t$ 內所累積的吸收劑量 $D(t)$ 為： $D(t) = \int_0^t \dot{D}_0 e^{-\lambda t'}\,dt' = \frac{\dot{D}_0}{\lambda}\left(1 - e^{-\lambda t}\right) = D_\infty \left(1 - e^{-\lambda t}\right)$ 因此，時間 $t$ 內累積劑量占總劑量的百分比僅由核種半衰期與經過時間決定，與初始劑量率無關： $\frac{D(t)}{D_\infty} = 1 - e^{-\lambda t} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{t / T_{1/2}}$

解題方法

（一）計算整個療程攝護腺的吸收劑量

1. 統一時間單位： 題給半衰期為天（$\mathrm{d}$），初始劑量率單位為小時（$\mathrm{h}$），須先將時間單位統一： $T_{1/2} = 59.4\,\mathrm{d} = 59.4 \times 24\,\mathrm{h} = 1425.6\,\mathrm{h}$ 或將初始劑量率換算為每日劑量率： $\dot{D}_0 = 6.8 \times 10^{-2}\,\mathrm{Gy\cdot h^{-1}} \times 24\,\mathrm{h\cdot d^{-1}} = 1.632\,\mathrm{Gy\cdot d^{-1}}$

2. 計算衰變常數 $\lambda$： $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.69315}{1425.6\,\mathrm{h}} \approx 4.862 \times 10^{-4}\,\mathrm{h^{-1}}$

3. 計算總累積吸收劑量 $D_\infty$：

核心觀念

本題考核銫-137 衰變時的光子與內轉換電子產率，以及原子殼層束縛能和奧傑電子能量的關係。

活度代表每秒的核衰變數。$1\,\mathrm{Ci}=3.7\times10^{10}\,\mathrm{s^{-1}}$，因此 $1.0\,\mu\mathrm{Ci}=3.7\times10^4$ 次衰變／秒。圖中的 $662\,\mathrm{keV}$ 光子產率為 $85\%$，$K$ 層內轉換電子產率為 $7.7\%$，皆以銫-137 每次衰變為基準。

解題方法

（一）$662\,\mathrm{keV}$ 光子數

每秒衰變數乘上光子產率：

（二）$K$ 層內轉換電子數

每秒衰變數乘上 $K$ 層內轉換電子產率：

（三）$K$ 層內轉換電子的初始動能

內轉換電子取得核能階躍遷能量，並支付 $K$ 層電子束縛能：