107 高普考高考三級 輻射安全 放射物理學 考古題詳解

核心觀念

本題評估核子醫學體內放射性藥物對特定標靶器官所造成的吸收劑量，核心理論為醫學體內輻射劑量委員會（MIRD, Medical Internal Radiation Dose）劑量計算模式與體內藥物動力學。涉及的核心公式與物理量如下：

1. 有效半衰期（Effective Half-Life, $T_{\text{eff}}$）與有效衰變常數（$\lambda_{\text{eff}}$）： 放射性藥物在體內的清除受「物理衰變」與「生物排泄」共同影響： $\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{T_p} + \frac{1}{T_b}$ $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_p + \lambda_b$ 其中 $T_p$ 為物理半衰期，$T_b$ 為生物半衰期。當藥物無排泄時（$T_b \to \infty$），$T_{\text{eff}} = T_p$。

2. 累積活性（Cumulated Activity, $\tilde{A}$）： 累積活性代表自給藥起至完全衰變期間，器官內所經歷的放射性衰變總次數，即活度對時間的積分： $\tilde{A} = \int_0^\infty A(t) \, dt = \frac{A_0}{\lambda_{\text{eff}}} = \frac{A_0 \cdot T_{\text{eff}}}{\ln 2} \approx 1.443 \cdot A_0 \cdot T_{\text{eff}}$ 其中 $A_0$ 為進入該器官的初始活度。

3. MIRD 吸收劑量基本方程式： 標靶器官 $r_T$ 受到源器官 $r_S$ 照射之平均吸收劑量 $\bar{D}$ 為： $\bar{D}(r_T \leftarrow r_S) = \frac{\tilde{A}_S}{m_T} \sum_i \Delta_i \phi_i(r_T \leftarrow r_S)$ 本題為肝臟自體照射（$r_T = r_S = \text{liver}$）： $\bar{D} = \frac{\tilde{A}}{m} \sum_i \Delta_i \phi_i$

• $m$：標靶器官質量。
• $\Delta_i$：第 $i$ 種輻射的平衡吸收劑量常數（Equilibrium Absorbed Dose Constant）。
• $\phi_i$：第 $i$ 種輻射自源器官發射並在標靶器官吸收之吸收分率（Absorbed Fraction）。
• 在傳統 MIRD 單位系統中，$\Delta_i$ 的單位為 $\mathrm{g \cdot rad / (\mu Ci \cdot h)}$，$\phi_i$ 為無因次，$\tilde{A}$ 單位為 $\mu\mathrm{Ci}\cdot\mathrm{h}$，$m$ 單位為 $\mathrm{g}$，算出的吸收劑量單位為 $\mathrm{rad}$。

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解題方法

步驟一：整理題目已知條件與核種物理常數

• 給藥活度：$A_{\text{admin}} = 3\,\mathrm{mCi} = 3000\,\mu\mathrm{Ci} = 111\,\mathrm{MBq}$。
• 肝臟攝取分率：$f = 85\% = 0.85$。
• 肝臟初始活度： $A_0 = f \cdot A_{\text{admin}} = 0.85 \times 3000\,\mu\mathrm{Ci} = 2550\,\mu\mathrm{Ci}$ （以國際單位制表示為 $0.85 \times 111\,\mathrm{MBq} = 94.35\,\mathrm{MBq}$）。
• 生物清除條件：藥物沒有排泄出來，故生物半衰期 $T_b = \infty$。
• $^{99m}\mathrm{Tc}$ 物理半衰期：$T_p = 6.0\,\mathrm{h}$（亦可取精確值 $6.02\,\mathrm{h}$）。
• 有效半衰期： $T_{\text{eff}} = T_p = 6.0\,\mathrm{h}$ 有效衰變常數： $\lambda_{\text{eff}} = \frac{\ln 2}{T_{\text{eff}}} = \frac{0.693}{6.0\,\mathrm{h}} = 0.1155\,\mathrm{h}^{-1}$
• 肝臟質量：$m = 1700\,\mathrm{g}$。
• MIRD 參數乘積總和：$\sum_i \Delta_i \phi_i = 0.0806\,\mathrm{g \cdot rad / (\mu Ci \cdot h)}$。

步驟二：計算肝臟內的累積活性 $\tilde{A}$

核心觀念

本題評量放射物理學中「放射性衰變定律」（Radioactive Decay Law）之基本數學模型、重要物理特徵常數（半衰期、平均壽命）之定義與換算。所涉及之核心定義與公式如下：

1. 放射性衰變定律： $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ 其中 $A_0$ 為最初活度，$A(t)$ 為時間 $t$ 時之活度，$\lambda$ 為衰變常數（decay constant）。
2. 半衰期（Half-life, $T_{1/2}$）： 活度衰變至原本一半（$A/A_0 = 0.5$）所需的時間： $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69315}{\lambda}$
3. 平均壽命（Mean life, $\tau$）： 放射性核種存在的時間期望值，數值上等於衰變常數的倒數： $\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \approx 1.443 \times T_{1/2}$
4. 指數近似法（Taylor 展開式）： 當衰變比例極小（即 $\lambda t \ll 1$）時： $e^{-\lambda t} \approx 1 - \lambda t$

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解題方法

(一) 計算每年衰變 $1\%$ 之核種半衰期

核種每年衰變 $1\%$，代表經過時間 $t = 1\text{ y}$ 後，剩餘活度為原來的 $99\%$（即 $A/A_0 = 0.99$）。

• 方法一：近似計算法（考場無工程計算機時之標準速解） 根據微小衰變近似： $\frac{\Delta A}{A_0} \approx \lambda \cdot \Delta t \implies 0.01 = \lambda \times 1\text{ y} \implies \lambda \approx 0.01\text{ y}^{-1}$ 代入半衰期公式： $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{0.01\text{ y}^{-1}} = 69.3\text{ 年}$

• 方法二：精確對數計算法 依據衰變定律： $e^{-\lambda \cdot (1)} = 0.99 \implies \lambda = -\ln(0.99) \approx 0.01005\text{ y}^{-1}$ $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.69315}{0.01005\text{ y}^{-1}} \approx 68.97\text{ 年} \approx 69\text{ 年}$

(二) 計算活性剩下約 $1\%$ 所需之半衰期個數

設經過 $n$ 個半衰期（即 $t = n \times T_{1/2}$），活度比為原本的 $1\%$： $\left(\frac{1}{2}\right)^n = 1\% = 0.01 = \frac{1}{100}$ 兩邊取自然對數（或以底數為 2 取對數）： $2^n = 100 \implies n = \log_2(100) = \frac{\ln(100)}{\ln 2} = \frac{2 \ln 10}{\ln 2}$ 代入常用常數值（$\ln 10 \approx 2.3026$，$\ln 2 \approx 0.69315$）： $n = \frac{4.6052}{0.69315} \approx 6.64$ 因此，約需經過 $6.64$ 個半衰期（若以整數計算，則經過 $7$ 個半衰期後剩餘活度為 $\frac{1}{128} \approx 0.78\%$，已降至 $1\%$ 以下）。

(三) 說明平均壽命對應之活度剩餘百分比

依據平均壽命定義，$\tau = \frac{1}{\lambda}$。將 $t = \tau$ 代入放射性衰變公式： $\frac{A(\tau)}{A_0} = e^{-\lambda \tau} = e^{-\lambda \left(\frac{1}{\lambda}\right)} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

核心觀念

本題涵蓋《放射物理學》兩大經典基礎主題：光子能量與波長轉換以及加馬射源點射源暴露率計算。

1. 光子能量與波長關係（普朗克-愛因斯坦關係式）： 光子能量 $E$ 與其電磁波頻率 $\nu$ 或波長 $\lambda$ 成正比／反比關係： $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ 式中 $h$ 為普朗克常數（Planck's constant），$c$ 為真空中的光速（約 $3.0\times10^8\,\mathrm{m/s}$）。能量單位換算為電子伏特（$\mathrm{eV}$）時，需除以基本電荷電量（$1\,\mathrm{eV} \approx 1.602\times10^{-19}\,\mathrm{J}$）。

2. 點射源暴露率與平方反比定律（Inverse-square Law）： 未屏蔽之點射源在空氣中特定距離 $d$ 處所產生的暴露率 $\dot{X}$，由射源活度 $A$、暴露率常數（Exposure Rate Constant）$\Gamma$ 及距離 $d$ 決定： $\dot{X} = \frac{\Gamma \cdot A}{d^2}$ 此處必須嚴格注意各物理量與常數的單位一致性（$\mathrm{Ci}$、$\mathrm{m}$、$\mathrm{hr}$、$\mathrm{R}$）。

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解題方法

(一) 計算 $100\,\mathrm{pm}$ 之 X 射線光子能量（$\mathrm{keV}$）

1. 整理已知條件與單位轉換：

• 波長 $\lambda = 100\,\mathrm{pm} = 100\times10^{-12}\,\mathrm{m} = 1.0\times10^{-10}\,\mathrm{m}$。
• 普朗克常數 $h = 6.63\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$。
• 光速 $c = 3.0\times10^8\,\mathrm{m/s}$。
• 電子伏特轉換率：$1\,\mathrm{eV} = 1.602\times10^{-19}\,\mathrm{J}$（即 $1\,\mathrm{keV} = 1.602\times10^{-16}\,\mathrm{J}$）。

2. 帶入公式計算光子能量 $E$（焦耳 $\mathrm{J}$）： $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}\times 3.0\times10^8\,\mathrm{m/s}}{1.0\times10^{-10}\,\mathrm{m}} = 1.989\times10^{-15}\,\mathrm{J}$

3. 換算為 $\mathrm{keV}$： $E = \frac{1.989\times10^{-15}\,\mathrm{J}}{1.602\times10^{-16}\,\mathrm{J/keV}} \approx 12.42\,\mathrm{keV}$

核心觀念

1. 放射性連續衰變與永久平衡（Secular Equilibrium）

• 定義與條件：在放射性串聯衰變 $1 \xrightarrow{\beta^-} 2 \xrightarrow{\gamma} 3$ 中，若母核半衰期遠大於子核半衰期（$T_{1/2, 1} \gg T_{1/2, 2}$，即衰變常數 $\lambda_1 \ll \lambda_2$），當經過足夠時間（約子核的 $7 \sim 10$ 個半衰期以上）後，系統將達到「永久平衡」（Secular Equilibrium）。
• 子核活性公式（貝特曼方程式 Bateman Equation）： $A_2(t) = \frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} A_{10} \left(e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}\right) + A_{20} e^{-\lambda_2 t}$ 當初始無子核（$A_{20} = 0$），且 $\lambda_1 \ll \lambda_2$（$\frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} \approx 1$）、母核在短時間內衰變量微乎其微（$e^{-\lambda_1 t} \approx 1$）時，子核活性隨時間累積的增長式為： $A_2(t) \approx A_{10} \left(1 - e^{-\lambda_2 t}\right)$ 當衰變時間 $t \gg T_{1/2, 2}$ 時，$e^{-\lambda_2 t} \to 0$，子核活性趨近於母核活性：$A_2(t) \approx A_1(t) \approx A_{10}$。

2. 放射性指數衰變定律（Radioactive Decay Law）

• 活性與時間的關係式： $A(t) = A_0 e^{-\lambda t} = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$
• 其中 $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ 為衰變常數，「衰變掉原活性的 $\frac{8}{9}$」表示當下殘存的活性比值為 $1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$。

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解題方法

(一) 計算經過 50 分鐘後 $^{137m}\mathrm{Ba}$ 的活性

1. 參數整理：

• 母核 $^{137}\mathrm{Cs}$：$T_{1/2, 1} = 30.1\,\text{年} \approx 1.58 \times 10^7\,\text{分鐘}$，衰變常數 $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{1.58 \times 10^7} \approx 4.38 \times 10^{-8}\,\text{min}^{-1}$。
• 子核 $^{137m}\mathrm{Ba}$：$T_{1/2, 2} = 2.552\,\text{分鐘}$，衰變常數 $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{2.552} \approx 0.2716\,\text{min}^{-1}$。
• 初始條件：純 $^{137}\mathrm{Cs}$，即 $A_{10} = 5.00 \times 10^6\,\text{Bq}$，$A_{20} = 0\,\text{Bq}$。
• 衰變時間：$t = 50\,\text{分鐘}$。

2. 判斷平衡狀態：

• 計算經過的時間相當於子核的半衰期期數 $n$： $n = \frac{t}{T_{1/2, 2}} = \frac{50\,\text{min}}{2.552\,\text{min}} \approx 19.59\,\text{個半衰期}$
• 因 $n \approx 19.6 \gg 7$，殘存的瞬態過渡項為： $e^{-\lambda_2 t} = e^{-0.2716 \times 50} = e^{-13.58} \approx 1.27 \times 10^{-6} \approx 0$
• 母核在 50 分鐘內的耗損： $e^{-\lambda_1 t} = e^{-4.38 \times 10^{-8} \times 50} \approx 1 - 2.19 \times 10^{-6} \approx 1$

3. 代入子核活性公式：

核心觀念

本題為公職高普考「輻射安全」類科《放射物理學》典型的申論名詞解釋題，橫跨四大知識領域：

1. 輻射劑量學基礎量與相互作用：克馬（KERMA）、質量阻擋本領（Mass Stopping Power）。
2. 輻射度量與偵測儀器：熱發光劑量計（TLD）。
3. 輻射防護法規與生物效應：約定等價劑量、非機率性效應、合理抑低（ALARA）、背景輻射（依據命題當年民國 107 年《游離輻射防護法》及其子法《游離輻射防護安全標準》之法定名詞定義）。
4. 原子核物理與衰變動力學：電子捕獲（EC）、有效半衰期（$T_e$）。

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解題方法

針對高普考名詞解釋題，切忌僅以一句白話帶過。答題結構應採取標準「三段論法」或「四項全備法」：

1. 明確定義：點出物理意義或法規條文標準定義。
2. 數學公式與物理機制：給予精確的控制方程式（如適用）、符號意義與衰變路徑。
3. 單位與物理特性：SI 單位、衍生單位、主要影響參數。
4. 實務應用與延伸比較：與相近觀念對比（如 KERMA 與 Absorbed Dose、確定性與機率性、物理與生物半衰期等），展現考生專業縱深。

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各名詞重點剖析

(一) 克馬（KERMA, Kinetic Energy Released per unit MAss）

• 核心定義：非帶電游離輻射（如光子、中子）在質量為 $dm$ 的特定介質中，經交互作用後轉移給所有「初始次級帶電粒子」（如光電子、康普吞電子、成對產生電子等）的動能總和 $dE_{tr}$。
• 數學關係式： $K = \frac{dE_{tr}}{dm} = \Phi \cdot E \cdot \left(\frac{\mu_{tr}}{\rho}\right)$ 其中 $\Phi$ 為光子通量（$\text{m}^{-2}$），$E$ 為入射光子能量，$\frac{\mu_{tr}}{\rho}$ 為該介質之質量能量轉移係數（$\text{cm}^2/\text{g}$）。
• 成分劃分： $K = K_{col} + K_{rad}$
• $K_{col}$（碰撞克馬）：釋放之帶電粒子後續在介質中以游離與激發損失的能量。
• $K_{rad}$（輻射克馬）：釋放之帶電粒子後續產生制動輻射或互滅輻射損失的能量。
• 單位：SI 單位為戈雷（$\text{Gy} = 1\text{ J/kg}$）；傳統單位為雷得（$\text{rad}$），$1\text{ Gy} = 100\text{ rad}$。
• 與吸收劑量（$D$）之關係：吸收劑量為介質單位質量「真正吸收」之能量。在達成帶電粒子平衡（CPE）且輻射損失可忽略時，$D = K_{col} \approx K$；在無 CPE 時，$K$ 反映的是射源入射點附近的能量釋放，而 $D$ 則隨次級電子射程沉積於後方。

(二) 質量阻擋本領（Mass Stopping Power）

• 核心定義：帶電粒子穿透物質時，在單位路徑長度內因與介質發生交互作用而損失的平均能量，稱為線性阻擋本領（$S = -\frac{dE}{dx}$）；將線性阻擋本領除以該介質的密度 $\rho$，即為質量阻擋本領（$\frac{S}{\rho}$）。
• 數學關係式： $\frac{S}{\rho} = \frac{1}{\rho}\left(-\frac{dE}{dx}\right) = \left(\frac{S}{\rho}\right)_{col} + \left(\frac{S}{\rho}\right)_{rad}$
• $\left(\frac{S}{\rho}\right)_{col}$（質量碰撞阻擋本領）：帶電粒子與軌域電子庫侖碰撞造成游離或激發之能量損失，由 Bethe-Bloch 方程式描述。
• $\left(\frac{S}{\rho}\right)_{rad}$（質量輻射阻擋本領）：高能輕帶電粒子（如電子）受原子核強庫侖場偏折產生制動輻射（Bremsstrahlung）之能量損失，與入射電子能量 $E$ 及介質原子序 $Z$ 成正比。
• 單位：常用單位為 $\text{MeV}\cdot\text{cm}^2/\text{g}$ 或 SI 單位 $\text{J}\cdot\text{m}^2/\text{kg}$。
• 物理意義：除以密度 $\rho$ 後，消除了介質因聚集狀態（氣態、液態、固態）密度不同造成的差異，能客觀呈現原子本身阻擋帶電粒子的能力。

(三) 熱發光劑量計（Thermoluminescence Detectors, TLD）

• 核心機制：固態無機晶體中的能帶結構與陷阱效應。

1. 照射蓄能：游離輻射照射晶體時，電子與電洞被激發至傳導帶與價帶，部分載子被雜質或晶格缺陷所形成的亞穩能階（電子陷阱與電洞陷阱）捕獲。
2. 加熱釋光：在實驗室以線性升溫程序加熱晶體，受陷電子獲得熱活化能跳脫陷阱，回跌並於發光中心（Luminescent center）與電洞復合，釋出特徵波長之可見光。

• 量測量：熱發光曲線（Glow Curve）的積分發光強度（發光光子數）與晶體吸收之游離輻射劑量成正比。
• 常用材料：
• $\text{LiF:Mg,Ti}$（TLD-100）：有效原子序接近人體軟組織（$Z_{eff} \approx 8.2$），組織等效性極佳，常用於個人佩章與醫療活體劑量評估。
• $\text{CaSO}_4\text{:Dy}$：靈敏度極高，但有效原子序較高，能量相依性大，常用於環境低劑量監測。
• 特性：體積小、可重複使用、耐候性佳；讀讀後資訊被清除（具破壞性讀取），需嚴格執行退火程序（Annealing）以消除殘餘訊號並穩定晶格靈敏度。

(四) 約定等價劑量（Committed Equivalent Dose, $H_T(\tau)$）

• 法源依據：以命題當年（民國 107 年）《游離輻射防護安全標準》為準（現行法規定義維持一致）。
• 法定定義：指體內攝入放射性核種後，在評估期間內，某一組織或器官所將累積接受之等價劑量總和。
• 積分方程式： $H_T(\tau) = \int_{t_0}^{t_0 + \tau} \dot{H}_T(t)\, dt$ 其中 $t_0$ 為攝入時刻，$\dot{H}_T(t)$ 為器官 $T$ 在時間 $t$ 的等價劑量率，$\tau$ 為約定評估時間跨度。
• 法規約定期間 $\tau$：
• 成年人（工作人員）：以攝入後 50 年 計算。
• 孩童或公眾（受評估年齡 $\le 17$ 歲）：計算至 70 歲 為止。
• 單位：西弗（$\text{Sv}$）或毫西弗（$\text{mSv}$）。

(五) 非機率性效應（Nonstochastic Effects）

• 核心定義：又稱「確定性效應（Deterministic Effects）」，國際放射防護委員會（ICRP 118 號報告）進一步稱之為「組織反應（Tissue Reactions）」。指大量組織細胞受損或死亡導致器官功能失常的效應。
• 二大核心特徵：

1. 具劑量低限值（Threshold Dose）：劑量低於該臨界值時，人體細胞修復機制可抵銷損害，不發生臨床可觀察之症狀；一旦超過低限值，該效應必然發生。
2. 嚴重度隨劑量增加而上升：超額劑量越大，細胞殺滅數越多，臨床病徵之嚴重程度（Severity）隨劑量線性或非線性急遽增加。

• 代表性病徵：水晶體混濁（白內障）、皮膚紅斑、造血功能抑制、暫時或永久不孕、急性輻射症候群（ARS）。

(六) 合理抑低（As Low As Reasonably Achievable, ALARA）

• 核心觀念：源自 ICRP 輻射防護三大原則中的「防護最適化（Optimization of Protection）」。
• 定義：在考量「經濟與社會因素」之平衡下，所有個人受照劑量、暴露人數以及潛在暴露的發生機率，均應保持在合理可達成的最低程度。
• 法規地位：ALARA 不僅是作業精神，更是在劑量限度（Dose Limits）以下必須強制作業考量的行政法規要求；即使作業劑量已低於法規限度，仍不能免除最適化抑低之責任。
• 體外防護操作三大要領：

1. 時間（Time）：縮短作業時間，降低累積劑量。
2. 距離（Distance）：拉長與射源距離，利用點射源「反比平方定律（Inverse Square Law）」急遽降低曝露率。
3. 屏蔽（Shielding）：於射源與人體間配置適當厚度與材質之吸收屏蔽介質。

(七) 電子捕獲（Electron Capture, EC）

• 物理機制：富質子（Proton-rich）原子核發生的一種自發性放射性核衰變模式。原子核受弱交互作用影響，捕獲軌域內層電子（通常為 K 殼層，稱為 K-capture；

核心觀念

1. 中子彈性碰撞與能量衰減（Neutron Moderation）： 快中子與介質原子核（如碳核 $^{12}\mathrm{C}$）發生彈性散射時，中子會將部分動能轉移給反衝核。若每次碰撞後平均殘餘能量比例固定為 $f = \frac{E_{n}}{E_{n-1}} = 0.85$，則經歷 $n$ 次碰撞後的平均能量滿足幾何級數（等比數列）關係： $E_n = E_0 \cdot f^n$ 兩邊取對數即可解出所需碰撞次數 $n$。

2. 環形加速器的能量增益與軌道幾何（Particle Accelerator Kinematics）：

• 電子在環形加速器（如電子感應加速器 Betatron 或同步加速器 Synchrotron）中，每繞行一圈獲得固定能量增益 $\Delta E$。欲達到總目標能量增益 $E_{\text{total}}$，所需繞行的總圈數為： $N = \frac{E_{\text{total}}}{\Delta E}$
• 半徑為 $r$ 的圓形軌道，每圈周長為 $C = 2\pi r$。
• 電子繞行的總距離即為總圈數與單圈周長的乘積： $D = N \times C = N \times (2\pi r)$
• 題目提及「電子以光速行走」（題文「以光束行走」為考卷印刷筆誤，實指極相對論性電子速度 $v \approx c$），用以說明高能電子速度已飽和，但計算行經軌道總幾何長度時，直接由圈數與圓周長即可求解。

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解題方法

(一) 中子碰撞次數計算

1. 列出能量衰減方程式：

• 初能量 $E_0 = 20\,\mathrm{MeV}$
• 目標終能量 $E_n = 0.2\,\mathrm{MeV}$
• 每次碰撞後殘留能量比率 $f = 85\% = 0.85$

根據連續碰撞模型： $E_n = E_0 \times (0.85)^n$

2. 求取比值並取對數： $\frac{E_n}{E_0} = \frac{0.2\,\mathrm{MeV}}{20\,\mathrm{MeV}} = 0.01 = 10^{-2}$ $(0.85)^n = 0.01$

兩邊取自然對數 $\ln$（或常用對數 $\log_{10}$）： $n \cdot \ln(0.85) = \ln(0.01)$ $n = \frac{\ln(0.01)}{\ln(0.85)} \approx \frac{-4.6052}{-0.1625} \approx 28.34$

3. 碰撞次數之物理意義取整： 碰撞次數必須為整數。若經過 $28$ 次碰撞，能量尚有： $E_{28} = 20 \times (0.85)^{28} \approx 0.211\,\mathrm{MeV} > 0.2\,\mathrm{MeV}$ 必須再進行第 $29$ 次碰撞，能量才會降至 $0.2\,\mathrm{MeV}$ 以下（$E_{29} \approx 0.179\,\mathrm{MeV}$）。因此理論值約為 $28.3$ 次，實務上需發生 $29$ 次碰撞。

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(二) 電子加速器繞行距離計算

1. 計算加速所需之總圈數 $N$：

• 電子欲獲得之總能量 $E_{\text{total}} = 25\,\mathrm{MeV} = 2.5 \times 10^7\,\mathrm{eV}$
• 每繞行一圈所獲得的能量 $\Delta E = 100\,\mathrm{eV}$

核心觀念

本題評量放射物理學中「中子與物質相互作用」與「窄射束指數衰減定律」的基礎計算，核心包含三個物理觀念與公式：

1. 窄射束中子衰減定律（Beer-Lambert Law 形式）： 單能中子束通過均質物質時，其強度衰減遵循指數律： $I = I_0 e^{-\Sigma_t x}$ 式中 $I_0$ 為入射中子射束強度，$I$ 為穿透之中子射束強度，$x$ 為屏蔽厚度，$\Sigma_t$ 為總巨觀截面（Macroscopic Cross Section）。本題題目指定依據給定的總吸收截面進行衰減計算，故以巨觀吸收截面 $\Sigma_a$ 表示： $I = I_0 e^{-\Sigma_a x}$

2. 巨觀截面與微觀截面之關係： 巨觀吸收截面 $\Sigma_a$（單位為 $\mathrm{cm^{-1}}$）為原子核數密度 $N$ 與微觀吸收截面 $\sigma_a$（Microscopic Cross Section）的乘積： $\Sigma_a = N \sigma_a$

3. 原子核數密度（Atomic Number Density, $N$）： 物質單位體積內的靶核數目，由密度 $\rho$、亞佛加厥常數 $N_A$ 及原子量 $M$ 決定： $N = \frac{\rho \cdot N_A}{M}$

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解題方法

本題題目未列出鎘（$\mathrm{Cd}$）之原子量與亞佛加厥常數，此為公職國考基礎常數儲備範疇，代入標準常數：

• 鎘原子量 $M_{\mathrm{Cd}} \approx 112.41\,\mathrm{g/mol}$
• 亞佛加厥常數 $N_A \approx 6.022\times 10^{23}\,\mathrm{atoms/mol}$
• 微觀截面單位換算：$1\,\mathrm{b} = 10^{-24}\,\mathrm{cm^2}$，故 $\sigma_a = 2.40\times 10^3\,\mathrm{b} = 2.40\times 10^{-21}\,\mathrm{cm^2}$

解題步驟如下：

步驟一：計算鎘金屬的原子核數密度 $N$

將題給鎘密度 $\rho = 8.60\,\mathrm{g/cm^3}$ 代入數密度公式： $N = \frac{\rho \cdot N_A}{M_{\mathrm{Cd}}} = \frac{8.60\,\mathrm{g/cm^3} \times 6.022\times 10^{23}\,\mathrm{atoms/mol}}{112.41\,\mathrm{g/mol}} \approx 4.607\times 10^{22}\,\mathrm{atoms/cm^3}$

步驟二：計算鎘金屬的巨觀吸收截面 $\Sigma_a$

$\Sigma_a = N \cdot \sigma_a = (4.607\times 10^{22}\,\mathrm{atoms/cm^3}) \times (2.40\times 10^{-21}\,\mathrm{cm^2}) \approx 110.57\,\mathrm{cm^{-1}}$

步驟三：由指數衰減公式推導並求解門厚度 $x$

由中子強度衰減關係式：

核心觀念

本題評量中子活化（Neutron Activation）與放射性核種生成的活度增長公式。

1. 標靶原子核數（$N$）： $N = \frac{m}{M} \times N_A$ 其中 $m$ 為標靶質量（$\mathrm{g}$），$M$ 為核種之原子量（$\mathrm{g/mol}$），$N_A$ 為亞佛加厥常數（取 $6.022 \times 10^{23}\,\mathrm{atoms/mol}$）。
2. 生成率與飽和活度（$A_{\text{sat}}$）： 在不考慮標靶核顯著耗乏（Burnup）的情況下，生成率 $R$ 等於照射達無限長時間時的飽和活度 $A_{\text{sat}}$： $R = A_{\text{sat}} = N \sigma \phi$ 其中 $\sigma$ 為反應截面（$1\,\mathrm{barn} = 10^{-24}\,\mathrm{cm^2}$，$1\,\mathrm{mbarn} = 10^{-27}\,\mathrm{cm^2}$），$\phi$ 為熱中子通量（$\mathrm{cm^{-2}\cdot s^{-1}}$）。
3. 活度隨照射時間累積公式： $A(t) = A_{\text{sat}} \left(1 - e^{-\lambda t}\right) = N \sigma \phi \left(1 - e^{-\lambda t}\right)$ 其中 $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ 為產物核種（$^{99}\mathrm{Mo}$）的衰變常數，$T_{1/2}$ 為其半衰期。

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解題方法

步驟一：計算標靶 $^{235}\mathrm{U}$ 的原子核數 $N$

$^{235}\mathrm{U}$ 質量數 $M \approx 235\,\mathrm{g/mol}$，質量 $m = 4\,\mathrm{g}$： $N = \frac{4\,\mathrm{g}}{235\,\mathrm{g/mol}} \times 6.022 \times 10^{23}\,\mathrm{atoms/mol} \approx 1.025 \times 10^{22}\,\text{個原子核}$

步驟二：計算飽和活度 $A_{\text{sat}}$

題目給定核種反應截面 $\sigma = 20\,\mathrm{mbarns} = 20 \times 10^{-27}\,\mathrm{cm^2} = 2 \times 10^{-26}\,\mathrm{cm^2}$，熱中子通量 $\phi = 2 \times 10^{14}\,\mathrm{cm^{-2}\cdot s^{-1}}$： $A_{\text{sat}} = N \sigma \phi = (1.025 \times 10^{22}) \times (2 \times 10^{-26}\,\mathrm{cm^2}) \times (2 \times 10^{14}\,\mathrm{cm^{-2}\cdot s^{-1}})$ $A_{\text{sat}} = 4.10 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq} = 41.0\,\mathrm{GBq}$

步驟三：計算 $^{99}\mathrm{Mo}$ 的衰變常數 $\lambda$

$^{99}\mathrm{Mo}$ 的半衰期 $T_{1/2} = 66\,\mathrm{hr}$：