110 高普考高考三級 輻射安全 放射物理學 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・輻射安全
試題代碼 放射物理學

第 一 題15 分

有一顆帶有 5 MeV5\ \mathrm{MeV} 動能的電子入射至體積 VV、質量 mm 的介質，離開介質時帶走 1 MeV1\ \mathrm{MeV} 的動能。電子在行經介質時產生出 2 MeV2\ \mathrm{MeV} 的制動 xx 射線，該 xx 射線從介質中逃逸出去。

已知克馬（kerma）為

kerma=dϵtrdm\mathrm{kerma}=\frac{d\epsilon_{\mathrm{tr}}}{dm}

碰撞克馬（collision kerma）為

collision kerma=dϵtrndm\mathrm{collision\ kerma}=\frac{d\epsilon_{\mathrm{tr}}^{n}}{dm}

吸收劑量（absorbed dose）為

absorbed dose=dϵdm\mathrm{absorbed\ dose}=\frac{d\epsilon}{dm}

試求下述物理量：

(一) ϵtr\epsilon_{\mathrm{tr}}

(二) ϵtrn\epsilon_{\mathrm{tr}}^{n}

(三) ϵ\epsilon

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核心觀念

本題在區分能量轉移、碰撞能量轉移與介質實際吸收的能量：

  • ϵtr\epsilon_{\mathrm{tr}}：帶電粒子由非帶電輻射取得的能量；本題中，電子在介質內由入射能量所提供的能量為 5 MeV5\ \mathrm{MeV}。
  • ϵtrn\epsilon_{\mathrm{tr}}^{n}：扣除轉化成制動輻射的輻射能量後，留給帶電粒子碰撞耗損的能量。
  • ϵ\epsilon：介質實際吸收的能量；應扣除離開介質的電子動能，以及逃逸出去的制動 xx 射線能量。

題目給定的定義為：

kerma=dϵtrdm,collision kerma=dϵtrndm,absorbed dose=dϵdm\mathrm{kerma}=\frac{d\epsilon_{\mathrm{tr}}}{dm},\qquad \mathrm{collision\ kerma}=\frac{d\epsilon_{\mathrm{tr}}^{n}}{dm},\qquad \mathrm{absorbed\ dose}=\frac{d\epsilon}{dm}

解題方法

入射電子帶入 5 MeV5\ \mathrm{MeV}。其中 2 MeV2\ \mathrm{MeV} 轉成制動 xx 射線，且該光子逃逸介質；電子離開介質時還帶走 1 MeV1\ \mathrm{MeV}。因此，留在介質中的能量為：

5−2−1=2 MeV5-2-1=2\ \mathrm{MeV}

逐項計算如下。

(一) ϵtr\epsilon_{\mathrm{tr}}

電子由入射能量取得並轉移到介質中的能量為 5 MeV5\ \mathrm{MeV}，故：

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第 二 題20 分

有一道 6 MeV6\ \mathrm{MeV} 的窄射束含有 101010^{10} 個光子，垂直入射在厚度為 20 mm20\ \mathrm{mm} 的鉛板上。鉛原子序 Z=82Z=82、鉛質量數 A=207A=207、鉛板密度 ρ=11.3×103 kg/m3\rho=11.3\times10^{3}\ \mathrm{kg/m^{3}}。

已知光電效應、康普頓散射、成對發生與合調散射的每原子作用截面分別為：

aτ=3.36×10−25 cm2/atom{}^{a}\tau=3.36\times10^{-25}\ \mathrm{cm^{2}/atom} aσ=6.02×10−24 cm2/atom{}^{a}\sigma=6.02\times10^{-24}\ \mathrm{cm^{2}/atom} aκ=8.5809×10−24 cm2/atom{}^{a}\kappa=8.5809\times10^{-24}\ \mathrm{cm^{2}/atom} aσR=2×10−26 cm2/atom{}^{a}\sigma_{R}=2\times10^{-26}\ \mathrm{cm^{2}/atom}

試計算光子發生四種作用的次數各為何？

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核心觀念

本題考的是窄射束光子在均勻介質中的衰減，以及各種交互作用的發生比例。已知每原子作用截面時，先將四種截面相加得到總截面，再利用鉛板內原子數密度計算總衰減；各作用的次數則依其截面占總截面的比例分配。

窄射束假設下，忽略散射光子再次進入原光束的貢獻。每種作用截面為 σi\sigma_i 時，光束穿透厚度 xx 後，該作用的期望次數可寫為

Ni=N0(1−e−nσtotx)σiσtotN_i=N_0\left(1-e^{-n\sigma_{\mathrm{tot}}x}\right) \frac{\sigma_i}{\sigma_{\mathrm{tot}}}

其中 N0N_0 為入射光子數，nn 為原子數密度，σtot=∑iσi\sigma_{\mathrm{tot}}=\sum_i\sigma_i。

解題方法

1. 統一單位並計算鉛的原子數密度

鉛板厚度為

x=20 mm=2.0 cmx=20\ \mathrm{mm}=2.0\ \mathrm{cm}

密度換成 g/cm3\mathrm{g/cm^3}：

ρ=11.3×103 kg/m3=11.3 g/cm3\rho=11.3\times10^3\ \mathrm{kg/m^3} =11.3\ \mathrm{g/cm^3}

鉛的原子數密度為

n=ρNAA=11.3207(6.022×1023)=3.286×1022 atom/cm3n=\frac{\rho N_A}{A} =\frac{11.3}{207}(6.022\times10^{23}) =3.286\times10^{22}\ \mathrm{atom/cm^3}

2. 求總作用截面與總衰減

四種作用的總截面為

aσtot=aτ+aσ+aκ+aσR=(0.336+6.020+8.5809+0.020)×10−24=1.49569×10−23 cm2/atom\begin{aligned} {}^a\sigma_{\mathrm{tot}} &={}^a\tau+{}^a\sigma+{}^a\kappa+{}^a\sigma_R\\ &=(0.336+6.020+8.5809+0.020)\times10^{-24}\\ &=1.49569\times10^{-23}\ \mathrm{cm^2/atom} \end{aligned}

因此，厚度 xx 上的總衰減指數為

nσtotx=(3.286×1022)(1.49569×10−23)(2.0)=0.9829n\sigma_{\mathrm{tot}}x =(3.286\times10^{22})(1.49569\times10^{-23})(2.0) =0.9829

穿透鉛板後仍在原窄射束中的光子數為

Nout=N0e−0.9829=1010e−0.9829≈3.742×109N_{\mathrm{out}}=N_0e^{-0.9829} =10^{10}e^{-0.9829} \approx3.742\times10^9

故在鉛板內發生任一種作用的光子總數為

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第 三 題20 分

假設 20 MeV20\ \mathrm{MeV} 的某種帶電粒子與介質發生硬碰撞（hard collision），轉移給電子的最大能量為何？試討論當該帶電粒子是：

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核心觀念

硬碰撞（hard collision）是入射帶電粒子與介質中的電子發生近距離碰撞，並將較大能量轉移給該電子。題目要找的是單次碰撞中，靜止電子所能得到的最大動能 Tmax⁡T_{\max}。

設入射粒子的靜止質量為 MM、動能為 TT，靶電子質量為 mem_e。對質量遠大於電子的入射粒子，相對論性兩體碰撞的最大能量轉移為

Tmax⁡=2mec2β2γ21+2γme/M+(me/M)2,γ=1+TMc2,β2=1−1γ2.T_{\max} = \frac{2m_ec^2\beta^2\gamma^2} {1+2\gamma m_e/M+(m_e/M)^2}, \qquad \gamma=1+\frac{T}{Mc^2},\quad \beta^2=1-\frac{1}{\gamma^2}.

電子與正子的質量和靶電子相同，需另外考慮碰撞後兩個相同粒子的區分；兩者的最大能量轉移公式不同。

解題方法

題目給定 T=20 MeVT=20\ \mathrm{MeV}。質子與 α 粒子的質量遠大於電子，因此可直接代入上式。計算時取

mec2=0.511 MeV,mpc2≈938.3 MeV,mαc2≈3727.4 MeV.m_ec^2=0.511\ \mathrm{MeV},\quad m_pc^2\approx938.3\ \mathrm{MeV},\quad m_\alpha c^2\approx3727.4\ \mathrm{MeV}.

對質子與 α 粒子，先算 γ\gamma、β2\beta^2，再代入 Tmax⁡T_{\max}。電子與正子則使用各自適用的公式。

(a) 電子

入射電子與靶電子為相同粒子，最大能量轉移時，碰撞後兩電子的動能相等。因此入射電子最多將一半動能轉移給靶電子：

Tmax⁡=T2=202=10 MeV.T_{\max}=\frac{T}{2} =\frac{20}{2} =10\ \mathrm{MeV}.

(b) 正子

入射正子與靶電子質量相同，但兩者可區分；在正面彈性碰撞的極限下，正子可將全部動能轉移給電子：

Tmax⁡=T=20 MeV.T_{\max}=T=20\ \mathrm{MeV}.

(c) 質子

質子動能 T=20 MeVT=20\ \mathrm{MeV}，故

γ=1+20938.3≈1.0213,β2=1−1γ2≈0.0412.\gamma=1+\frac{20}{938.3}\approx1.0213, \qquad \beta^2=1-\frac{1}{\gamma^2}\approx0.0412.

代入最大能量轉移公式：

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第 四 題10 分

假設有一個半徑為 4 cm4\ \mathrm{cm} 的水球，內盛均勻分布的 1122Na^{22}_{11}\mathrm{Na}，每克每秒發生 10610^{6} 次衰變。

已知 1122Na^{22}_{11}\mathrm{Na} 發生 K 層電子捕獲機率為 90%90\%，K 層電子束縛能為 (Eb)K=1.07 keV(E_b)_K=1.07\ \mathrm{keV}，K 層螢光產率 (YK)≃0(Y_K)\simeq0；1122Na^{22}_{11}\mathrm{Na} 發生 L 層電子捕獲機率為 10%10\%，L 層電子束縛能為 (Eb)L=0.06 keV(E_b)_L=0.06\ \mathrm{keV}，L 層螢光產率 (YL)≃0(Y_L)\simeq0。

請計算經由正子衰變與電子捕獲，在該球體中心處歷時一周所沉積的吸收劑量各為何？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

本題把均勻分布的放射源視為均勻的能量沉積源，分別計算正子衰變的正子動能，以及電子捕獲後原子殼層空缺釋出的束縛能。中微子不沉積能量；題目給定螢光產率近似為零，因此殼層束縛能視為由俄傑電子在局部沉積。

計算採用每克活度 a=106 s−1 g−1a=10^6\ \mathrm{s^{-1}\,g^{-1}}、一週時間 t=7×24×3600=604800 st=7\times24\times3600=604800\ \mathrm{s}，以及 1 MeV=1.602×10−13 J1\ \mathrm{MeV}=1.602\times10^{-13}\ \mathrm{J}、1 keV=1.602×10−16 J1\ \mathrm{keV}=1.602\times10^{-16}\ \mathrm{J}。吸收劑量為 D=E/mD=E/m，單位為 Gy=J kg−1\mathrm{Gy}=\mathrm{J\,kg^{-1}}。

解題方法

正子衰變分支比為 90.5%90.5\%，平均正子動能為 0.216 MeV0.216\ \mathrm{MeV}。每克水在一週內由正子動能沉積的能量為

Eβ+=(106)(604800)(0.905)(0.216)(1.602×10−13)=1.894×10−2 J g−1.E_{\beta^+} =(10^6)(604800)(0.905)(0.216)(1.602\times10^{-13}) =1.894\times10^{-2}\ \mathrm{J\,g^{-1}}.

換算成每公斤的能量，即為劑量：

Dβ+=1.894×10−210−3=18.94 Gy.D_{\beta^+} =\frac{1.894\times10^{-2}}{10^{-3}} =\boxed{18.94\ \mathrm{Gy}}.
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第 五 題15 分

有一個 100 mg100\ \mathrm{mg} 的 88226Ra^{226}_{88}\mathrm{Ra} 射源，與其所有子核種處於平衡，試求下述物理量：

(一) 88226Ra^{226}_{88}\mathrm{Ra} 的衰變常數

(二) 88226Ra^{226}_{88}\mathrm{Ra} 平均壽命

(三) 在長期平衡下，86222Rn^{222}_{86}\mathrm{Rn} 的活度

已知：

88226Ra→τ1/2=1602 yα, γ86222Rn→τ1/2=3.824 dα, γ84218Po^{226}_{88}\mathrm{Ra}\xrightarrow[\tau_{1/2}=1602\ \mathrm{y}]{\alpha,\ \gamma}{}^{222}_{86}\mathrm{Rn}\xrightarrow[\tau_{1/2}=3.824\ \mathrm{d}]{\alpha,\ \gamma}{}^{218}_{84}\mathrm{Po}

1 g1\ \mathrm{g} 的 88226Ra^{226}_{88}\mathrm{Ra} 具有 0.988 Ci0.988\ \mathrm{Ci}。

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核心觀念

本題考查放射性核種的衰變常數、平均壽命，以及長期平衡下母核種與子核種的活度關係。

半衰期 T1/2T_{1/2}、衰變常數 λ\lambda 與平均壽命 τ\tau 的關係為：

λ=ln⁡2T1/2,τ=1λ=T1/2ln⁡2\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}},\qquad \tau=\frac{1}{\lambda}=\frac{T_{1/2}}{\ln 2}

226Ra^{226}\mathrm{Ra} 的半衰期遠長於 222Rn^{222}\mathrm{Rn}，因此達到長期平衡時，子核種 222Rn^{222}\mathrm{Rn} 的活度等於母核種 226Ra^{226}\mathrm{Ra} 的活度。

解題方法與計算

（一）88226Ra^{226}_{88}\mathrm{Ra} 的衰變常數

已知 T1/2=1602 yT_{1/2}=1602\ \mathrm{y}：

λRa=ln⁡21602 y=4.326×10−4 y−1\lambda_{\mathrm{Ra}} =\frac{\ln 2}{1602\ \mathrm{y}} =4.326\times10^{-4}\ \mathrm{y}^{-1}

若以秒為時間單位，取 1 y=365.25×24×3600 s1\ \mathrm{y}=365.25\times24\times3600\ \mathrm{s}：

λRa=4.326×10−4365.25×24×3600=1.371×10−11 s−1\lambda_{\mathrm{Ra}} =\frac{4.326\times10^{-4}}{365.25\times24\times3600} =1.371\times10^{-11}\ \mathrm{s}^{-1}

（二）88226Ra^{226}_{88}\mathrm{Ra} 平均壽命

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第 六 題10 分

依照 ICRP 的生物動力學模型，無機汞進入體內後經由血液運輸會有 8%8\% 被腎臟吸收，92%92\% 均勻分布於全身。體內 95%95\% 的汞含量具有生物半衰期 4040 天，剩餘 5%5\% 的汞含量具有生物半衰期 1000010000 天。

如在一次意外曝露吸入 80203Hg^{203}_{80}\mathrm{Hg}（物理半衰期 4747 天）標誌的水銀蒸氣，導致腎臟積存了 1 MBq1\ \mathrm{MBq} 的 80203Hg^{203}_{80}\mathrm{Hg}，請計算：

(一) 腎臟的累積活度（cumulated activity）。

(二) 積存於腎臟內的 80203Hg^{203}_{80}\mathrm{Hg} 對腎臟產生的劑量負擔（dose commitment）。

已知射源器官（rSr_S）為腎臟，目標器官（rTr_T）為腎臟，80203Hg^{203}_{80}\mathrm{Hg} 的單位累積活度之吸收劑量

S(rT←rS)=8.1×10−4 radμCi×hS(r_T\leftarrow r_S)=8.1\times10^{-4}\ \frac{\mathrm{rad}}{\mu\mathrm{Ci}\times\mathrm{h}}

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核心觀念

本題考查放射性核種在體內同時受到物理衰變與生物排除時的有效半衰期，以及累積活度與器官劑量的計算。

物理衰變常數與生物排除常數相加，因此各生物成分的有效衰變常數為

λeff,i=λp+λb,i=ln⁡2Tp+ln⁡2Tb,i\lambda_{\mathrm{eff},i} =\lambda_p+\lambda_{b,i} =\frac{\ln 2}{T_p}+\frac{\ln 2}{T_{b,i}}

若初始活度為 A0A_0，某成分占比為 fif_i，該成分對累積活度的貢獻為

A~i=∫0∞fiA0e−λeff,it dt=fiA0λeff,i\widetilde A_i =\int_0^\infty f_iA_0e^{-\lambda_{\mathrm{eff},i}t}\,dt =\frac{f_iA_0}{\lambda_{\mathrm{eff},i}}

本題腎臟內的汞分成兩個生物半衰期成分，應分別計算後加總。

解題方法

已知腎臟初始積存活度為 A0=1 MBqA_0=1\ \mathrm{MBq}，物理半衰期 Tp=47T_p=47 天。兩個生物成分分別為：

  • 95%95\%：Tb,1=40T_{b,1}=40 天
  • 5%5\%：Tb,2=10000T_{b,2}=10000 天

各成分的有效衰變常數為

λeff,1=ln⁡247+ln⁡240=0.03208 day−1\lambda_{\mathrm{eff},1} =\frac{\ln 2}{47}+\frac{\ln 2}{40} =0.03208\ \mathrm{day}^{-1} λeff,2=ln⁡247+ln⁡210000=0.01482 day−1\lambda_{\mathrm{eff},2} =\frac{\ln 2}{47}+\frac{\ln 2}{10000} =0.01482\ \mathrm{day}^{-1}

（一）腎臟的累積活度

以兩個成分的初始活度占比分別乘上各自的平均停留時間：

A~=A0(0.95λeff,1+0.05λeff,2)\widetilde A =A_0\left( \frac{0.95}{\lambda_{\mathrm{eff},1}} +\frac{0.05}{\lambda_{\mathrm{eff},2}} \right)
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第 七 題10 分

已知 55137Cs^{137}_{55}\mathrm{Cs} 粒子具有 0.5 μm0.5\ \mu\mathrm{m} 活性中數空氣動力直徑（AMAD），肺吸收類別屬 F 類，劑量係數（dose coefficient）為

6.7×10−9 Sv/Bq6.7\times10^{-9}\ \mathrm{Sv/Bq}

如該 55137Cs^{137}_{55}\mathrm{Cs} 粒子吸入體內後會分布於全身，請依據游離輻射防護安全標準之定義，計算：

(一) 年攝入限度（ALI）。

(二) 推定空氣濃度（DAC）。

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核心觀念

本題考查《游離輻射防護安全標準》中年攝入限度（ALI）與推定空氣濃度（DAC）的定義，以及如何由劑量係數換算。

以命題當年（民國 110 年）法規為準，ALI 是工作人員一年內攝入放射性核種的限度，取下列兩種攝入量中較小者：

  • 造成 50 年累積有效劑量達 20 mSv20\ \mathrm{mSv} 的攝入量。
  • 造成任一器官或組織累積等價劑量達 500 mSv500\ \mathrm{mSv} 的攝入量。

題目說明核種會分布於全身，並給定劑量係數 6.7×10−9 Sv/Bq6.7\times10^{-9}\ \mathrm{Sv/Bq}。依此計算有效劑量所對應的攝入量。題目未提供器官等價劑量係數，因此按給定的有效劑量係數計算 ALI。

DAC 是一種放射性核種在空氣中的濃度；工作人員以每小時 1.2 m31.2\ \mathrm{m^3} 的呼吸率工作 20002000 小時，吸入的總活度等於 ALI。因此：

DAC=ALI1.2 m3/h×2000 h\mathrm{DAC}=\frac{\mathrm{ALI}}{1.2\ \mathrm{m^3/h}\times 2000\ \mathrm{h}}

解題方法

（一）年攝入限度 ALI

先將有效劑量限度換算成西弗：

20 mSv=20×10−3 Sv=0.020 Sv20\ \mathrm{mSv}=20\times10^{-3}\ \mathrm{Sv}=0.020\ \mathrm{Sv}

劑量係數表示每攝入 1 Bq1\ \mathrm{Bq} 所對應的劑量，因此：

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輻射安全《放射物理學》其他年度

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