110 高普考高考三級 輻射安全 輻射劑量學 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・輻射安全
試題代碼 輻射劑量學

第 一 題15 分

請繪圖並說明氣體充氣式偵檢器中，隨電壓不同而發生的五個區域，其中無法分辨放射線種類的有哪幾區？

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核心觀念

本題考氣體充氣式偵檢器的「電壓—氣體放大與脈衝反應」特性。偵檢器內的氣體受輻射作用而游離，產生電子與正離子；加在兩極間的電壓愈高，電子在到達陽極前獲得的能量愈大，氣體響應依序經過五個區域：

  1. 復合區：電場太弱，部分電子與正離子在被收集前復合。
  2. 游離腔區（飽和區）：初級游離產生的電荷幾乎全被收集，無顯著氣體倍增。
  3. 比例區：初級電子引發氣體倍增，收集電荷量仍與初級游離量成比例。
  4. 有限比例區：空間電荷與電場變形等效應使倍增不再維持良好比例。
  5. 蓋革—穆勒區：游離效應擴展成整個氣體的放電，脈衝大小不再反映初級游離量。

解題方法

以電壓由低到高排列各區，再判斷每區的訊號是否保留入射輻射造成的初級游離差異。能否分辨放射線種類，關鍵在於脈衝大小是否仍與初級游離量有可用的對應關係。

區域電壓與主要作用脈衝特性與用途
復合區電壓低，部分離子對復合電荷收集不完全，通常不作為正常偵檢工作區
游離腔區初級離子對幾乎全被收集，無氣體倍增電荷量與初級游離量成正比；可用於劑量或劑量率測量，也可利用脈衝大小區分輻射種類
比例區發生湯森氣體倍增，倍增因子大致固定脈衝大小仍與初級游離量成正比；可用脈衝大小區分輻射種類
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第 二 題15 分

需要多厚的鉛與鐵，才能將 300 keV300\ \mathrm{keV} 的加馬線衰減至 12\frac{1}{2} 和 110\frac{1}{10} 的強度？

已知：

  • Pb density：11.34 g/cm311.34\ \mathrm{g/cm^3}
  • Fe density：7.87 g/cm37.87\ \mathrm{g/cm^3}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

本題考查單能光子在均勻材料中的指數衰減，以及由質量衰減係數換算線性衰減係數。

窄束幾何下，光子強度遵循：

I=I0e−μxI=I_0e^{-\mu x}

其中 μ\mu 為線性衰減係數，xx 為材料厚度。題圖縱軸提供的是質量衰減係數 μ/ρ\mu/\rho，因此先用材料密度 ρ\rho 換算：

μ=(μρ)ρ\mu=\left(\frac{\mu}{\rho}\right)\rho

解題方法

由圖在光子能量 0.3 MeV0.3\ \mathrm{MeV}（即 300 keV300\ \mathrm{keV}）處讀值，取近似值：

  • 鉛：μ/ρ≈0.40 cm2/g\mu/\rho \approx 0.40\ \mathrm{cm^2/g}
  • 鐵：μ/ρ≈0.11 cm2/g\mu/\rho \approx 0.11\ \mathrm{cm^2/g}

令透射強度比例為 f=I/I0f=I/I_0，由指數衰減式得：

x=−ln⁡fμx=\frac{-\ln f}{\mu}

所以衰減至一半時 x1/2=ln⁡2/μx_{1/2}=\ln 2/\mu；衰減至十分之一時 x1/10=ln⁡10/μx_{1/10}=\ln 10/\mu。

鉛：

μPb≈0.40×11.34=4.536 cm−1\mu_{\mathrm{Pb}}\approx 0.40\times11.34 =4.536\ \mathrm{cm^{-1}}
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第 三 題15 分

使用 GM Counter 度量 Tc-99m 時，經反覆三次度量，其平均值為 400 cpm400\ \mathrm{cpm}；而其伴隨之背景值共度量兩次：

  • 第一次為 8,000 sec8{,}000\ \mathrm{sec}，得數為 160,000160{,}000；
  • 第二次為 10,000 sec10{,}000\ \mathrm{sec}，得數為 190,000190{,}000。

請問 Tc-99m 的淨計數率為何？誤差為何？

若整體度量時間為 1212 小時，則背景量測與放射性核種量測的分布時間應如何配置最合理？

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核心觀念

本題考查背景扣除、計數統計誤差，以及在總量測時間固定時，如何分配樣品與背景量測時間以降低淨計數率的不確定度。

計數率以「總計數除以總量測時間」計算。背景量測時間不同時，應先合併計數與時間，再求背景計數率：

Rb=∑Nb∑tbR_b=\frac{\sum N_b}{\sum t_b}

淨計數率為樣品總計數率減去背景計數率：

Rnet=Rs−RbR_{\text{net}}=R_s-R_b

若計數服從 Poisson 統計，計數 NN 的標準差為 N\sqrt{N}；計數率的不確定度則為 N/t\sqrt{N}/t。彼此獨立的樣品與背景誤差相減時，變異數相加。

解題方法

兩次背景量測的總計數與總時間為：

Nb=160,000+190,000=350,000N_b=160{,}000+190{,}000=350{,}000 tb=8,000+10,000=18,000 st_b=8{,}000+10{,}000=18{,}000\ \mathrm{s}

所以背景計數率為：

Rb=350,00018,000=19.444 s−1=19.444×60=1,166.67 cpmR_b=\frac{350{,}000}{18{,}000} =19.444\ \mathrm{s^{-1}} =19.444\times60 =1{,}166.67\ \mathrm{cpm}

題目給定樣品平均計數率 Rs=400 cpmR_s=400\ \mathrm{cpm}，因此：

Rnet=400−1,166.67=−766.67 cpmR_{\text{net}}=400-1{,}166.67 =-766.67\ \mathrm{cpm}

負值表示依題目數據扣除背景後，未得到正的淨計數率；它不代表 Tc-99m 的實際放射性計數率為負。

背景計數率的 Poisson 標準不確定度為：

σb=350,00018,000×60=19.73 cpm\sigma_b =\frac{\sqrt{350{,}000}}{18{,}000}\times60 =19.73\ \mathrm{cpm}

不過，題目沒有提供樣品量測的總時間或三次量測各自的計數，因此無法算出樣品計數率的 Poisson 不確定度，也就無法唯一決定淨計數率的完整誤差。若樣品的總計數率為 400 cpm400\ \mathrm{cpm}，總量測時間為 tst_s 秒，則：

σs=(400/60)tsts×60\sigma_s=\frac{\sqrt{(400/60)t_s}}{t_s}\times60
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第 四 題25 分

20 MBq20\ \mathrm{MBq} 137Cs{}^{137}\mathrm{Cs}（γ\gamma-ray 0.662 MeV0.662\ \mathrm{MeV}，Iγ=82%I_\gamma=82\%）注射於 300 g300\ \mathrm{g} 老鼠體內，則老鼠體內的 γ\gamma-ray 平均吸收劑量為何（mSv/hr\mathrm{mSv/hr}）？

若將老鼠視為一個等重量肉球，則其中心吸收劑量和表面劑量各為何（mSv/hr\mathrm{mSv/hr}）？並說出你各項假設的理由。

質量衰減係數、質量能量轉移係數，以及光子與各種介質交互作用的質量能量吸收係數，單位為 cm2/g\mathrm{cm^2/g}：

Photon energy (keV)Air μ/ρ\mu/\rhoAir μtr/ρ\mu_{\mathrm{tr}}/\rhoAir μen/ρ\mu_{\mathrm{en}}/\rhoWater μ/ρ\mu/\rhoWater μtr/ρ\mu_{\mathrm{tr}}/\rhoWater μen/ρ\mu_{\mathrm{en}}/\rho
4000.100.030.030.110.030.03
5000.090.030.030.100.030.03
8000.070.030.030.080.030.03
10000.060.030.030.070.030.03
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核心觀念

均勻分布的放射性核種會在鼠體內各處發射光子。計算某一位置的劑量率時，先加總各處放射源對該位置造成的光子能量通量，再乘以質量能量吸收係數 μen/ρ\mu_{\mathrm{en}}/\rho，得到吸收劑量率。光子在介質中的衰減則用線性衰減係數 μ\mu 表示。

題目給的是吸收劑量，單位卻寫 mSv/hr\mathrm{mSv/hr}。光子的輻射加權因數取 11，因此數值上 mGy/hr\mathrm{mGy/hr} 與 mSv/hr\mathrm{mSv/hr} 相同。

解題方法

將鼠體視為密度 ρ=1 g/cm3\rho=1\ \mathrm{g/cm^3} 的均勻水球，忽略散射回補與電子逸出。由表中水的質量衰減係數，在 500500 與 800 keV800\ \mathrm{keV} 間線性內插：

μρ=0.10+662−500800−500(0.08−0.10)=0.0892 cm2/g\frac{\mu}{\rho} =0.10+\frac{662-500}{800-500}(0.08-0.10) =0.0892\ \mathrm{cm^2/g}

因此 μ=0.0892 cm−1\mu=0.0892\ \mathrm{cm^{-1}}。質量能量吸收係數取表列值 μen/ρ=0.030 cm2/g\mu_{\mathrm{en}}/\rho=0.030\ \mathrm{cm^2/g}。

鼠體積與球半徑為

V=300 g1 g/cm3=300 cm3,R=(3V4π)1/3=4.15 cmV=\frac{300\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm^3}}=300\ \mathrm{cm^3}, \qquad R=\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{1/3}=4.15\ \mathrm{cm}

光子發射率及單位體積的光子能量發射率為

N˙γ=(20×106)(0.82)=1.64×107 s−1\dot N_\gamma =(20\times10^6)(0.82) =1.64\times10^7\ \mathrm{s^{-1}} qE=N˙γ(0.662)V=3.62×104 MeV cm−3 s−1q_E=\frac{\dot N_\gamma(0.662)}{V} =3.62\times10^4\ \mathrm{MeV\,cm^{-3}\,s^{-1}}

某位置若受到的能量通量率為 qEHq_EH，其中 HH 的單位為 cm，則劑量率換算為

D˙=qEH(μenρ)(1.602×10−10) Gy/s\dot D =q_EH\left(\frac{\mu_{\mathrm{en}}}{\rho}\right) (1.602\times10^{-10})\ \mathrm{Gy/s}

其中 1.602×10−101.602\times10^{-10} 是將 MeV/g\mathrm{MeV/g} 換成 J/kg\mathrm{J/kg} 的因數；再乘 36003600 換成每小時。

**球心劑量率：**球心到各放射源的距離只由半徑 rr 決定，球殼積分後的通量幾何因子為

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第 五 題15 分

0.2 mg0.2\ \mathrm{mg} 197Au{}^{197}\mathrm{Au} 的熱中子吸收截面為 108108 靶（10−24 cm210^{-24}\ \mathrm{cm^2}），反應器的熱中子通率為 5.0×1012 #/(cm2⋅sec)5.0\times10^{12}\ \#/\left(\mathrm{cm^2\cdot sec}\right)。

需要於 11 分鐘照射並置放冷卻多少分鐘後，仍能於 6060 秒的量測中達到剛好 3,0003{,}000 的計數？

已知：

  • 198Au{}^{198}\mathrm{Au} 物理半衰期為 2.72.7 day；
  • 偵檢器效率為 0.001 cps/dps0.001\ \mathrm{cps/dps}。

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核心觀念

本題考查中子活化分析中的「照射生成、冷卻衰變與計數期間衰變」：

  • 熱中子捕獲率為 R=NσϕR=N\sigma\phi，其中 NN 是靶核數、σ\sigma 是吸收截面、ϕ\phi 是中子通率。
  • 照射期間，生成的 198Au{}^{198}\mathrm{Au} 同時衰變，因此照射終了活度為 A0=R(1−e−λti),λ=ln⁡2T1/2.A_0=R\left(1-e^{-\lambda t_i}\right),\qquad \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
  • 冷卻 tct_c 後，活度降為 A0e−λtcA_0e^{-\lambda t_c}。量測期間也會持續衰變，因此計數須以活度對時間積分，並乘上偵檢器效率。

解題方法

1. 求 197Au{}^{197}\mathrm{Au} 原子數

金的質量為 0.2 mg=2.0×10−4 g0.2\ \mathrm{mg}=2.0\times10^{-4}\ \mathrm{g}，故

N=2.0×10−4197×6.022×1023≈6.11×1017 個.N=\frac{2.0\times10^{-4}}{197}\times 6.022\times10^{23} \approx 6.11\times10^{17}\ \text{個}.

2. 求中子捕獲率與衰變常數

吸收截面為 108 靶=108×10−24 cm2108\ \text{靶}=108\times10^{-24}\ \mathrm{cm^2}，中子通率為 5.0×1012 #/(cm2⋅sec)5.0\times10^{12}\ \#/\left(\mathrm{cm^2\cdot sec}\right)，所以

R=Nσϕ=(6.11×1017)(108×10−24)(5.0×1012)≈3.30×108 s−1.R=N\sigma\phi =(6.11\times10^{17})(108\times10^{-24})(5.0\times10^{12}) \approx 3.30\times10^8\ \mathrm{s^{-1}}.

198Au{}^{198}\mathrm{Au} 半衰期換算為秒：

T1/2=2.7×24×3600=233280 s,λ=ln⁡2233280≈2.970×10−6 s−1.T_{1/2}=2.7\times24\times3600=233280\ \mathrm{s}, \qquad \lambda=\frac{\ln2}{233280} \approx 2.970\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}.

3. 求照射終了活度

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第 六 題15 分

質子與中子之 a.m.u.（atomic mass unit）分別為 1.0078251.007825、1.0086651.008665；且 2455Cr{}^{55}_{24}\mathrm{Cr}、2555Mn{}^{55}_{25}\mathrm{Mn}、2655Fe{}^{55}_{26}\mathrm{Fe} 與 2755Co{}^{55}_{27}\mathrm{Co} 之 a.m.u. 分別為 54.94083354.940833、54.93805054.938050、54.93829954.938299 與 54.94201354.942013。

則此四種核種何者最為穩定？另外三核種分別以何種方式蛻變至該核種？

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核心觀念

本題考查同質量數核種的穩定性比較，以及 β−\beta^- 衰變、正電子（β+\beta^+）衰變與電子捕獲（EC）的質量判據。

對同一質量數 AA 的核種，原子質量較低者能量較低；若核種可藉由允許的衰變降至較低質量狀態，便不穩定。以原子質量比較時：

  • β−\beta^- 衰變：母核原子質量大於子核原子質量，即可放能。
  • 電子捕獲：母核原子質量大於子核原子質量，即可放能。
  • β+\beta^+ 衰變：母核原子質量與子核原子質量之差須大於 2me2m_e，其中 me≈0.000549 um_e\approx0.000549\ \mathrm{u}；門檻為 2me≈0.001097 u.2m_e\approx0.001097\ \mathrm{u}.

解題方法

四種核種皆為 A=55A=55，因此直接比較所給原子質量：

核種原子質量（u）
2455Cr{}^{55}_{24}\mathrm{Cr}54.940833
2555Mn{}^{55}_{25}\mathrm{Mn}54.938050
2655Fe{}^{55}_{26}\mathrm{Fe}54.938299
2755Co{}^{55}_{27}\mathrm{Co}54.942013

55Mn{}^{55}\mathrm{Mn} 的原子質量最低，故四者中最穩定。

依質量差判斷各核種的衰變：

  1. 55Cr→55Mn{}^{55}\mathrm{Cr}\rightarrow{}^{55}\mathrm{Mn}

ΔM=54.940833−54.938050=0.002783 u>0\Delta M=54.940833-54.938050=0.002783\ \mathrm{u}>0

原子序由 24 增至 25，符合 β−\beta^- 衰變；質量差為正，衰變可放能。

  1. 55Fe→55Mn{}^{55}\mathrm{Fe}\rightarrow{}^{55}\mathrm{Mn}

ΔM=54.938299−54.938050=0.000249 u>0\Delta M=54.938299-54.938050=0.000249\ \mathrm{u}>0

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