112 高普考高考三級 輻射安全 輻射劑量學 考古題詳解

核心觀念

本題評量放射物理與輻射劑量學之基礎放射化學計算，核心在於放射性活度、原子數與質量三者之間的定量關係：

1. 活度與衰變常數的定義： 放射性活度 $A$（Activity）代表單位時間內的衰變數，與核種當下的原子數 $N$ 呈正比： $A = \lambda N$ 其中 $\lambda$ 為衰變常數（Decay constant），與物理半衰期 $T_{1/2}$ 的關係為： $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$
2. 原子數與質量的轉換： 透過亞佛加厥常數 $N_A \approx 6.022 \times 10^{23}\ \mathrm{atoms/mol}$ 與核種之莫耳質量 $M$（$^{99m}\mathrm{Tc}$ 的質量數約為 $99\ \mathrm{g/mol}$），可求得核種的總質量 $m$： $m = \frac{N}{N_A} \times M$
3. 單位統一原則（SI 制）： 活度單位貝克（$\mathrm{Bq}$）之因次為 $\mathrm{s}^{-1}$（每秒衰變次數），因此半衰期 $T_{1/2}$ 必須換算為「秒（$\mathrm{s}$）」代入運算。

解題方法

步驟一：參數整理與單位換算

• 樣品放射性活度： $A = 15\ \mathrm{mCi} = 555\ \mathrm{MBq} = 5.55 \times 10^8\ \mathrm{Bq} = 5.55 \times 10^8\ \mathrm{s}^{-1}$
• $^{99m}\mathrm{Tc}$ 半衰期換算為秒： $T_{1/2} = 6\ \text{小時} = 6 \times 3600\ \mathrm{s} = 21,600\ \mathrm{s}$
• $^{99m}\mathrm{Tc}$ 之衰變常數 $\lambda$： $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.69315}{21,600\ \mathrm{s}} \approx 3.209 \times 10^{-5}\ \mathrm{s}^{-1}$

步驟二：計算 $^{99m}\mathrm{Tc}$ 的原子總數 $N$

由 $A = \lambda N$ 移項推導： $N = \frac{A}{\lambda} = \frac{A \cdot T_{1/2}}{\ln 2}$

代入數值： $N = \frac{5.55 \times 10^8\ \mathrm{s}^{-1} \times 21,600\ \mathrm{s}}{0.69315} = \frac{1.1988 \times 10^{13}}{0.69315} \approx 1.7295 \times 10^{13}\ \text{個}$

核心觀念

1. 放射性衰變定律與平均壽命（Mean life）：

• 放射性核種的活度（活性）隨時間呈指數衰減，其數學式為： $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ 其中 $A_0$ 為初始活度，$\lambda$ 為衰變常數（decay constant）。
• 平均壽命 $\tau$ 定義為放射性核種衰變常數的倒數： $\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \approx 1.443 \, T_{1/2}$ 其中 $T_{1/2}$ 為半衰期。

2. 偵檢器計數效率與絕對活度：

• 計數率（Counts per second, cps）為偵檢器單位時間內實際記錄到的脈衝數。
• 衰變率（Disintegrations per second, dps）為放射源單位時間內實際發生的核衰變次數，即絕對活度（$1\text{ dps} = 1\text{ Bq}$）。
• 偵檢效率（Detection Efficiency, $\epsilon$）定義為： $\epsilon = \frac{\text{計數率 (cps)}}{\text{衰變率 (dps)}} = \frac{R}{A}$
• 當已知偵檢效率 $\epsilon$ 時，未知樣品的絕對活度 $A$ 為： $A = \frac{R}{\epsilon}$

解題方法

(一) 計算經過一個平均壽命衰變掉的活性分率

1. 求殘留活性（$A(\tau)$）： 將時間 $t = \tau = \frac{1}{\lambda}$ 代入放射性衰變定律： $A(\tau) = A_0 e^{-\lambda \left(\frac{1}{\lambda}\right)} = A_0 e^{-1} = \frac{A_0}{e}$ 因此，殘留活度佔初始活度的分率為： $\frac{A(\tau)}{A_0} = e^{-1} \approx \frac{1}{2.7183} \approx 0.3679 \text{（即 } 36.8\% \text{）}$

2. 求衰變掉的活性分率（Decayed Fraction）： 衰變掉的活性 $\Delta A$ 為初始活性減去殘留活性： $\Delta A = A_0 - A(\tau) = A_0 - A_0 e^{-1} = A_0 (1 - e^{-1})$ 衰變掉的活性佔原活性的分率為： $\frac{\Delta A}{A_0} = 1 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e} \approx 1 - 0.3679 = 0.6321 \text{（即 } 63.2\% \text{）}$

(二) 計算偵檢器效率及樣品絕對活性

核心觀念

1. 吸收劑量（Absorbed Dose, $D$）：

• 根據國際放射防護委員會（ICRP）及我國《游離輻射防護安全標準》之定義，吸收劑量為游離輻射賦予質量為 $\mathrm{d}m$ 之受照物質的平均能量 $\mathrm{d}\bar{\epsilon}$，其定義式為： $D = \frac{\mathrm{d}\bar{\epsilon}}{\mathrm{d}m}$
• 性質：吸收劑量為強度性質（intensive property），代表「單位質量所吸收之輻射能量」，類似於密度或溫度，其數值大小取決於輻射場強度及物質種類，而非物質的總質量大小。
• 單位：傳統單位為雷得（$\mathrm{rad}$），國際標準（SI）單位為格雷（$\mathrm{Gy}$）；換算關係為 $1\ \mathrm{Gy} = 100\ \mathrm{rad} = 1\ \mathrm{J/kg}$。

2. 等價劑量（Equivalent Dose, $H_T$）：

• 等價劑量係考量不同輻射種類在組織器官內所造成之生物效應相對差異，由組織或器官的平均吸收劑量（$D_{T,R}$）乘以該輻射的輻射加權因子（$W_R$）求得： $H_T = D_{T,R} \times W_R$
• 單位：傳統單位為侖目（$\mathrm{rem}$），SI 單位為西弗（$\mathrm{Sv}$）；換算關係為 $1\ \mathrm{Sv} = 100\ \mathrm{rem} = 1\ \mathrm{J/kg}$。

解題方法

(一) 吸收劑量隨質量改變之計算

• 題目條件：
• 物質質量 $m_1 = 1\ \mathrm{g}$ 時，吸收劑量 $D_1 = 25\ \mathrm{rad} = 0.25\ \mathrm{Gy}$。
• 物質質量改為 $m_2 = 50\ \mathrm{g}$。
• 推導與解析：
• 在相同之均勻輻射場照射條件下，吸收劑量定義為「單位質量之賦予能量」（$\mathrm{d}\bar{\epsilon}/\mathrm{d}m$）。
• 當物質質量由 $1\ \mathrm{g}$ 增至 $50\ \mathrm{g}$ 時，物質所吸收的總能量（$\bar{\epsilon}$）會成正比增加 50 倍，但單位質量所吸收之能量維持不變。
• 因此，其吸收劑量仍維持原數值： $D_2 = D_1 = 25\ \mathrm{rad} = 0.25\ \mathrm{Gy}$

核心觀念

本題旨在測驗輻射防護三大原則「時間、距離、屏蔽」中屏蔽與距離之基礎定量計算：

1. 半值層（Half-Value Layer, HVL）之定義： 半值層係指單能窄射束或特定輻射射束之強度（或曝露率）衰減至初始值一半時，所需吸收物質的厚度。 當屏蔽厚度為 $x$ 時，其穿透曝露率 $\dot{X}$ 與原始曝露率 $\dot{X}_0$ 之關係式為： $\dot{X} = \dot{X}_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \dot{X}_0 \times 2^{-n}$ 其中 $n = \frac{x}{\mathrm{HVL}}$ 為半值層數。

2. 距離平方反比定律（Inverse Square Law）： 在忽略空氣吸收與散射的前提下，點射源（Point Source）於空間中各點的輻射強度或曝露率，與射源至該點距離之平方成反比： $\dot{X}_1 \cdot r_1^2 = \dot{X}_2 \cdot r_2^2 \implies \dot{X}_2 = \dot{X}_1 \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ 其中 $\dot{X}_1$ 與 $\dot{X}_2$ 分別為距離射源 $r_1$ 與 $r_2$ 處之曝露率。

解題方法

(一) 計算經 1 半值層屏蔽後之曝露率

依題意，屏蔽厚度為 $1\ \mathrm{HVL}$，即半值層數 $n = 1$，原始曝露率 $\dot{X}_0 = 150\ \mathrm{mR/hr}$。 代入半值層衰減公式： $\dot{X} = \dot{X}_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 150 \times 0.5 = 75\ \mathrm{mR/hr}$

(二) 計算距離 $3\ \mathrm{m}$ 及 $6\ \mathrm{m}$ 處之曝露率

假設該射源為點射源，已知 $r_1 = 4\ \mathrm{m}$ 處之曝露率 $\dot{X}_1 = 500\ \mathrm{mR/hr}$。

1. 求距離 $r_2 = 3\ \mathrm{m}$ 處之曝露率 $\dot{X}_{3\mathrm{m}}$： 由距離平方反比定律可知：

核心觀念

本題評量輻射物理與劑量學的兩大基礎物理機制：

1. 光子能量與波長的關係（普朗克－愛因斯坦關係式）： 光子攜帶的能量與其頻率成正比、與波長成反比： $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ 式中 $h$ 為普朗克常數（Planck constant），$c$ 為真空光速（$c \approx 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$），$\lambda$ 為波長。單位換算時需注意皮米（$\mathrm{pm} = 10^{-12}\ \mathrm{m}$）與焦耳（$\mathrm{J}$）、電子伏特（$\mathrm{eV}$、$\mathrm{keV}$）之間的轉換（$1\ \mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$）。

2. 成對產生（Pair Production）的能量守恆： 高能光子（能量大於閾值 $2m_0 c^2 = 1.022\ \mathrm{MeV}$）與物質原子核的庫侖場交互作用時，光子完全消失並轉化為一對正、負電子（$e^+$ 與 $e^-$）。 根據能量守恆定律： $h\nu = 2m_0 c^2 + T_{e^-} + T_{e^+} + T_{\text{nucleus}}$ 由於原子核質量遠大於電子質量，其反衝動能（$T_{\text{nucleus}}$）微小至可忽略，故光子多餘的能量完全分配為正、負電子的動能： $h\nu - 1.022\ \mathrm{MeV} = T_{e^-} + T_{e^+}$

解題方法

(一) 計算波長 10 pm 之 X 射線單一光子能量

1. 單位轉換： 波長 $\lambda = 10\ \mathrm{pm} = 10 \times 10^{-12}\ \mathrm{m} = 1.0 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$。

2. 計算光子能量（以焦耳 $\mathrm{J}$ 表示）： 代入光子能量公式，光速取標準值 $c = 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$： $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.625 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}) \times (3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s})}{1.0 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}}$ $E = \frac{1.9875 \times 10^{-25}}{1.0 \times 10^{-11}} = 1.9875 \times 10^{-14}\ \mathrm{J} \approx 1.99 \times 10^{-14}\ \mathrm{J}$

3. 換算為游離輻射常用單位（$\mathrm{eV}$ / $\mathrm{keV}$）： $E = \frac{1.9875 \times 10^{-14}\ \mathrm{J}}{1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J/eV}} \approx 124,064\ \mathrm{eV} \approx 124.1\ \mathrm{keV}$

(二) 計算 8 MeV 光子發生成對過程後之正電子能量

1. 成對產生之能量分配關係： 入射光子能量 $h\nu = 8.0\ \mathrm{MeV}$。 產生一對正負電子所需的靜止質量能量閾值為： $2m_0 c^2 = 2 \times 0.511\ \mathrm{MeV} = 1.022\ \mathrm{MeV}$

核心觀念

本題評量放射物理與輻射劑量學中最基礎且核心的放射性衰變定律（Radioactive Decay Law），包含以下觀念與公式：

1. 放射性衰變公式： 放射性核種的活度 $A(t)$ 或計數率 $C(t)$（在測量幾何與效率維持恆定且忽略背景值的情形下，$C(t) \propto A(t)$）隨時間呈指數衰減： $C(t) = C_0 e^{-\lambda t} = C_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ 其中 $C_0$ 為初始計數率，$\lambda$ 為衰變常數（decay constant），$T_{1/2}$ 為物理半衰期（half-life）。

2. 衰變常數與半衰期的轉換： $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0.693}{T_{1/2}}$

3. 醫用放射性核種基本常數： 高考輻射安全類科的命題慣例中，常見醫用與工業核種（如 $^{131}\mathrm{I}$、$^{99\mathrm{m}}\mathrm{Tc}$、$^{60}\mathrm{Co}$、$^{137}\mathrm{Cs}$、$^{192}\mathrm{Ir}$）之半衰期多視為考生必備的基本常識。碘-131（$^{131}\mathrm{I}$）的物理半衰期 $T_{1/2} \approx 8.02\text{ 天}$（或取 $8.0\text{ 天}$）。

解題方法

(一) 計算未知樣品之半衰期

1. 代入衰變定律： 已知初始計數率 $C_0 = 10,000\text{ cpm}$，經過時間 $t = 2\text{ 小時}$ 後，計數率 $C(t) = 3,895\text{ cpm}$。 $C(t) = C_0 e^{-\lambda t}$ $\frac{3,895}{10,000} = e^{-\lambda \times 2}$ $0.3895 = e^{-2\lambda}$

2. 求解衰變常數 $\lambda$： 兩邊取自然對數： $\ln(0.3895) = -2\lambda$ $-0.9429 = -2\lambda \implies \lambda = \frac{0.9429}{2} \approx 0.4714\text{ hr}^{-1}$

3. 求算半衰期 $T_{1/2}$： $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.69315}{0.4714\text{ hr}^{-1}} \approx 1.47\text{ 小時}$ 若換算為分鐘： $1.4703 \times 60 \approx 88.2\text{ 分鐘}$

(二) 計算 $^{131}\mathrm{I}$ 裝運時之活度

1. 列出已知條件與關係式：

• 到達病人處所需活度 $A(t) = 10\ \mathrm{mCi}$
• 運送歷時 $t = 3\text{ 天}$
• $^{131}\mathrm{I}$ 的半衰期 $T_{1/2} \approx 8.02\text{ 天}$，衰變常數 $\lambda = \frac{\ln 2}{8.02\text{ 天}} \approx 0.08643\text{ day}^{-1}$

2. 推導裝運初始活度 $A_0$： $A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \implies A_0 = A(t) \cdot e^{\lambda t} = A(t) \cdot 2^{\frac{t}{T_{1/2}}}$

3. 帶入數值計算：

• 方式一（指數式）：

核心觀念

本題涵蓋「放射性活度計算」與「放射性同位素熱電機（RTG）之輻射防護特性」兩大重點：

1. 放射性活度（Activity, $A$）公式： $A = \lambda N$ 其中 $\lambda$ 為衰變常數（$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$），$N$ 為放射性核種原子數（$N = \frac{m}{M} \times N_A$）。
2. 單位換算：

• 活度國際標準單位：$1\text{ Bq} = 1\text{ 衰變/秒}$（$\text{dps}$）。
• 傳統活度單位居里：$1\text{ Ci} = 3.7 \times 10^{10}\text{ Bq}$。
• 時間單位：$1\text{ 年} \approx 365.25\text{ 天} \times 24\text{ 小時/天} \times 3600\text{ 秒/小時} \approx 3.156 \times 10^7\text{ 秒}$（若以 $365\text{ 天}$ 計算約為 $3.1536 \times 10^7\text{ 秒}$）。

3. 體內植入核能電池核種選擇之輻射安全條件：

• 半衰期長短適中，衰變能量穩定且功率維持期長。
• 衰變輻射種類（以純 $\alpha$ 衰變為最佳，易被外殼阻擋，體外外曝劑量極低）。
• 高比功率（Specific Power），僅需微量質量即可產生足夠熱能，體積小。

解題方法

第一部分：計算純 $^{238}\mathrm{Pu}$（$0.25\text{ g}$）的活度（$\text{Ci}$）

1. 計算 $^{238}\mathrm{Pu}$ 之原子數（$N$）：

• 鈽-238 的莫耳質量 $M \approx 238\text{ g/mol}$。
• 亞佛加厥常數 $N_A \approx 6.022 \times 10^{23}\text{ atoms/mol}$。 $N = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{0.25\text{ g}}{238\text{ g/mol}} \times 6.022 \times 10^{23}\text{ atoms/mol} \approx 6.326 \times 10^{20}\text{ 個原子}$

2. 計算衰變常數（$\lambda$）：

• 半衰期 $T_{1/2} = 87.74\text{ 年}$。
• 換算為秒： $T_{1/2} = 87.74 \times 365.25 \times 24 \times 3600\text{ s} \approx 2.769 \times 10^9\text{ s}$ （若採 1 年 = 365 天計算，則 $T_{1/2} \approx 2.767 \times 10^9\text{ s}$）
• 衰變常數： $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.69315}{2.769 \times 10^9\text{ s}} \approx 2.503 \times 10^{-10}\text{ s}^{-1}$

3. 計算活度（$A$）並換算為居里（$\text{Ci}$）： $A = \lambda N = (2.503 \times 10^{-10}\text{ s}^{-1}) \times (6.326 \times 10^{20}) \approx 1.583 \times 10^{11}\text{ Bq}$ 換算為居里： $A = \frac{1.583 \times 10^{11}\text{ Bq}}{3.7 \times 10^{10}\text{ Bq/Ci}} \approx 4.28\text{ Ci}$ （若以 1 年 = 365 天計算，活度約為 $4.29\text{ Ci}$）

第二部分：分析 $^{238}\mathrm{Pu}$ 適合人體植入的特性

$^{238}\mathrm{Pu}$ 曾廣泛應用於早期心律調節器之熱電式電池（RTG），其作為植入熱源的關鍵優勢如下：

核心觀念

本題涵蓋輻射劑量學兩大核心主題：加馬射源衰變與曝露率計算，以及高能量貝他射源劑量率估算。

1. 放射性衰變定律（Radioactive Decay Law）： 射源活性隨時間呈指數衰減，其數學關係式為： $A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t} = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ 其中 $A_0$ 為初始活性，$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ 為衰變常數，$T_{1/2}$ 為半衰期。

2. 點射源加馬曝露率計算（Gamma Exposure Rate）：

• 經驗速算公式（6CE 公式，英制常用）： 對無屏蔽之點射源，當距離 $d$ 單位為呎（$\text{ft}$）、活性 $C$ 單位為居里（$\text{Ci}$）時，曝露率 $\dot{X}$（$\text{R/h}$）可估算為： $\dot{X} \approx \frac{6 \cdot C \cdot E}{d^2}$ 式中 $E = \sum n_i E_i$ 為每次衰變所釋放之總加馬射線能量（單位為 $\text{MeV}$），$n_i$ 為光子產率（分歧比）。
• 曝露率常數法（$\Gamma$ 法）： $\dot{X} = \frac{\Gamma \cdot A}{d^2}$ 其中理論近似常數 $\Gamma \approx 0.5 \sum n_i E_i\ \left(\frac{\text{R}\cdot\text{m}^2}{\text{h}\cdot\text{Ci}}\right)$；若使用文獻標準值，$\text{Co-60}$ 的比加馬射線常數 $\Gamma_{\text{Co-60}} \approx 13.0 \sim 13.2\ \frac{\text{R}\cdot\text{ft}^2}{\text{h}\cdot\text{Ci}}$（相當於 $1.30 \sim 1.32\ \frac{\text{R}\cdot\text{m}^2}{\text{h}\cdot\text{Ci}}$）。

3. 高能量貝他射源劑量率經驗公式（Beta Dose Rate Rule of Thumb）： 高能量 $\beta$ 射線在近距離未受顯著自吸收與空氣衰減時，保健物理學常用經典經驗公式估算空氣或淺層組織吸收劑量率：

• 距離 $1\text{ ft}$ 處，劑量率約為 $300\ \text{rad/h per Ci}$（即 $300\ \text{mrad/h per mCi}$）。
• 配合平方反比定律，距離 $d$ 處之吸收劑量率為： $\dot{D}_\beta \approx \frac{300 \cdot A}{d_{\text{ft}}^2}\ (\text{mrad/h})$ （其中 $A$ 單位為 $\text{mCi}$，$d_{\text{ft}}$ 為距離呎數）
• 若改以公制距離 $d_{\text{m}}$（公尺）表示（$1\text{ ft} = 0.3048\text{ m}$）： $\dot{D}_\beta \approx \frac{300 \times (0.3048)^2 \cdot A}{d_{\text{m}}^2} \approx \frac{27.87 \cdot A}{d_{\text{m}}^2}\ (\text{mrad/h})$

4. 等價劑量（Equivalent Dose）： $H = D \cdot w_R$ 貝他射線（電子）的輻射加權因數 $w_R = 1$（或射質因數 $Q = 1$），因此數值上吸收劑量數值等於等價劑量數值（$1\text{ rad} = 1\text{ rem}$，$1\text{ Gy} = 1\text{ Sv}$；$1\text{ rem} = 10\text{ mSv}$）。

解題方法

(一) 計算 Co-60 射源離 3.0 ft 處的曝露率

步驟 1：計算 15 年後 Co-60 射源的剩餘活性 $A(t)$

• 初始活性 $A_0 = 5.0\text{ Ci}$
• 經過時間 $t = 15\text{ 年}$
• 半衰期 $T_{1/2} = 5.27\text{ 年}$
• 衰變次數 $n_{\text{decay}} = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5.27} \approx 2.8463$

$A(15) = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2.8463} = 5.0 \times 0.13896 \approx 0.6948\text{ Ci}$

步驟 2：計算每次衰變釋放之總加馬射線能量 $E$ $\text{Co-60}$ 每次衰變放射出兩條主要加馬射線：$E_1 = 1.17\text{ MeV}$ 與 $E_2 = 1.33\text{ MeV}$，題目給定分歧比 $n_1 = n_2 = 1$： $E = n_1 E_1 + n_2 E_2 = 1 \times 1.17 + 1 \times 1.33 = 2.50\text{ MeV}$

步驟 3：計算距離 $d = 3.0\text{ ft}$ 處的曝露率 $\dot{X}$

• 解法一：採用題目提示 $n$ 值之標準經驗速算公式（6CE 公式） $\dot{X} \approx \frac{6 \cdot C \cdot E}{d^2} = \frac{6 \times 0.6948\text{ Ci} \times 2.50\text{ MeV}}{(3.0\text{ ft})^2} = \frac{10.422}{9.0} \approx 1.16\text{ R/h}$

核心觀念

本題涵蓋游離輻射劑量學的兩大基礎核心：

1. 侖琴（Roentgen, $\mathrm{R}$）的定義與單位換算：

• 傳統制單位「侖琴」是專用於光子（X 射線與 $\gamma$ 射線）在乾燥空氣中的**曝露（Exposure, $X$）**單位。
• 原始定義為：在標準溫壓（$\mathrm{STP}$：$0^\circ\mathrm{C}$、$1\ \mathrm{atm}$，此時空氣密度 $\rho = 0.001293\ \mathrm{g/cm^3}$）下，使 $1\ \mathrm{cm}^3$（即 $0.001293\ \mathrm{g}$）乾燥空氣產生任一符號電荷量為 $1\ \mathrm{esu}$（靜電單位）之游離電荷量。
• 國際單位制（$\mathrm{SI}$ 制）中，曝露的單位為庫侖／公斤（$\mathrm{C/kg}$）。本題需利用靜電單位與庫侖的換算（$1\ \mathrm{C} \approx 3 \times 10^9\ \mathrm{esu}$ 或更精準之光速常數比）進行嚴謹推導。

2. 點射源加馬射線劑量率／曝露率評估（經驗公式與活度反推）：

• 在未給予空氣質量能量吸收係數 $\left(\frac{\mu_{en}}{\rho}\right)$ 數值表的情況下，輻射安全與劑量學考試普遍採用點射源加馬曝露率常數的經驗法則（Rule of Thumb）： $\Gamma \approx 0.5 \times n \times E\quad (\mathrm{R\cdot m^2 / (h\cdot Ci)})$ （適用於光子能量 $E$ 落在 $0.07\ \mathrm{MeV} \sim 2.0\ \mathrm{MeV}$ 範圍，此處 $n$ 為每次衰變發射光子之分歧比／產率）。
• 點射源距離 $d$ 處之曝露率：$\dot{X} = \frac{\Gamma \cdot A}{d^2}$。
• 曝露量與吸收劑量之關聯：
• 在軟組織中，實務劑量評估常取 $1\ \mathrm{R} \approx 1\ \mathrm{rad}$（數值近似相等）。
• 在空氣中，產生 $1\ \mathrm{R}$ 曝露量對應之空氣吸收劑量約為 $0.877\ \mathrm{rad}$（因空氣平均游離能量 $W/e \approx 33.97\ \mathrm{J/C}$）。

解題方法

(一) 侖琴（roentgen）單位換算為 $\mathrm{C/kg}$ 之推導

1. 基本物理量轉換關係：

• 電荷換算： 根據電磁學定義，光速 $c \approx 2.9979 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$，故 $1\ \mathrm{C} = 2.99792458 \times 10^9\ \mathrm{esu} \approx 3.0 \times 10^9\ \mathrm{esu}$。 $1\ \mathrm{esu} = \frac{1}{2.99792458 \times 10^9}\ \mathrm{C} \approx 3.33564 \times 10^{-10}\ \mathrm{C}$
• 質量換算： $m = 0.001293\ \mathrm{g} = 1.293 \times 10^{-3}\ \mathrm{g} = 1.293 \times 10^{-6}\ \mathrm{kg}$

2. 代入計算比值： $1\ \mathrm{R} = \frac{1\ \mathrm{esu}}{0.001293\ \mathrm{g}} = \frac{3.33564 \times 10^{-10}\ \mathrm{C}}{1.293 \times 10^{-6}\ \mathrm{kg}} \approx 2.5798 \times 10^{-4}\ \mathrm{C/kg} \approx 2.58 \times 10^{-4}\ \mathrm{C/kg}$

若以快速估算常用的 $1\ \mathrm{C} = 3 \times 10^9\ \mathrm{esu}$ 代入： $1\ \mathrm{R} = \frac{\frac{1}{3 \times 10^9}\ \mathrm{C}}{1.293 \times 10^{-6}\ \mathrm{kg}} = \frac{1}{3 \times 10^9 \times 1.293 \times 10^{-6}}\ \mathrm{C/kg} = \frac{1}{3879}\ \mathrm{C/kg} \approx 2.578 \times 10^{-4}\ \mathrm{C/kg} \approx 2.58 \times 10^{-4}\ \mathrm{C/kg}$

(二) 計算 γ 射線射源之活度（Ci）

已知條件：

• 單次發射光子數 $n = 1\ \mathrm{photon/disintegration}$
• 光子能量 $E = 1.67\ \mathrm{MeV}$（介於 $0.07\ \mathrm{MeV} \sim 2\ \mathrm{MeV}$ 經驗公式適用區間）
• 距離 $d = 1\ \mathrm{m}$
• 收到劑量率 $\dot{D} = 337\ \mathrm{mrad/h} = 0.337\ \mathrm{rad/h}$

步驟一：利用加馬射線曝露率常數經驗公式計算 $\Gamma$ $\Gamma \approx 0.5 \times n \times E = 0.5 \times 1 \times 1.67 = 0.835\ \mathrm{R\cdot m^2 / (h\cdot Ci)}$

步驟二：建立距離 $d = 1\ \mathrm{m}$ 處之活度 $A$ 與曝露率 $\dot{X}$ 方程式

核心觀念

1. 比活性（Specific Activity, SA）定義： 單位質量之物質所含有的放射性活度，定義為： $SA = \frac{A}{m}$ 其中 $A$ 為活度（$\text{Bq}$ 或 $\text{Ci}$），$m$ 為放射性核種的質量（通常以 $\text{g}$ 計）。

2. 無載體（Carrier-Free, CF）之意義： 「無載體」指該放射性同位素樣本中，不含同元素的任何穩定同位素或其他非放射性原子（即同位素純度為 $100\%$）。因此，樣本的全部質量皆由該放射性核種所構成，此時的比活性達到理論最大值，亦稱為「理論比活性（Theoretical Specific Activity）」。

3. 理論比活性公式推導：

• 活度與原子數關係： $A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$
• 質量與原子數關係（$M$ 為核種之原子量／質量數，單位為 $\mathrm{g/mol}$；$N_A$ 為亞佛加厥常數，取 $6.022 \times 10^{23}\ \mathrm{atoms/mol}$）： $N = \frac{m}{M} \times N_A$
• 將兩式合併，得無載體比活性公式： $SA = \frac{A}{m} = \frac{\lambda N_A}{M} = \frac{\ln 2 \cdot N_A}{T_{1/2} \cdot M}$

解題方法

一、通用計算公式建立

1. 國際標準制單位（$\mathrm{Bq/g}$）： 將常數代入： $\ln 2 \cdot N_A \approx 0.69315 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 4.174 \times 10^{23}$ 若半衰期 $T_{1/2}$ 以秒（$\text{s}$）為單位，則： $SA\ (\mathrm{Bq/g}) = \frac{4.174 \times 10^{23}}{T_{1/2}(\text{s}) \times M}$

2. 傳統制單位（$\mathrm{Ci/g}$）： 利用換算關係 $1\ \text{Ci} = 3.7 \times 10^{10}\ \text{Bq}$： $SA\ (\mathrm{Ci/g}) = \frac{SA\ (\mathrm{Bq/g})}{3.7 \times 10^{10}} = \frac{1.128 \times 10^{13}}{T_{1/2}(\text{s}) \times M}$

• 若 $T_{1/2}$ 以小時（$\text{h}$）表示（$1\ \text{h} = 3600\ \text{s}$）： $SA\ (\mathrm{Ci/g}) = \frac{3.133 \times 10^9}{T_{1/2}(\text{h}) \times M}$
• 若 $T_{1/2}$ 以天（$\text{d}$）表示（$1\ \text{d} = 86400\ \text{s}$）： $SA\ (\mathrm{Ci/g}) = \frac{1.306 \times 10^8}{T_{1/2}(\text{d}) \times M}$

二、各核種比活性逐一計算

1. $^{99m}\mathrm{Tc}$

• 已知條件：$M \approx 99\ \mathrm{g/mol}$，$T_{1/2} = 6\ \text{h} = 6 \times 3600\ \text{s} = 21,600\ \text{s}$。
• $\mathrm{Bq/g}$ 計算： $SA = \frac{4.174 \times 10^{23}}{21,600 \times 99} = \frac{4.174 \times 10^{23}}{2.1384 \times 10^6} \approx 1.95 \times 10^{17}\ \mathrm{Bq/g}$
• $\mathrm{Ci/g}$ 計算：