109 高普考高考三級 輻射安全 輻射劑量學 考古題詳解

核心觀念

本題考查放射物理與輻射劑量學中極為經典的**連續衰變（Successive Decay）與放射平衡（Radioactive Equilibrium）**理論。

1. 衰變常數與半衰期之關係： $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

• 母核 A 的半衰期 $T_A = 10\text{ h}$，衰變常數 $\lambda_A = \frac{\ln 2}{10} = 0.1 \ln 2\text{ h}^{-1}$。
• 子核 B 的半衰期 $T_B = 1\text{ h}$，衰變常數 $\lambda_B = \frac{\ln 2}{1} = \ln 2\text{ h}^{-1}$。

2. 貝特曼方程式（Bateman Equation）： 對於連續衰變鏈 $A \xrightarrow{\lambda_A} B \xrightarrow{\lambda_B} C\text{（穩定）}$，若初始條件（$t = 0$）為 $N_A(0) = N_0$、$N_B(0) = 0$：

• 母核原子數：$N_A(t) = N_0 e^{-\lambda_A t}$
• 子核原子數：$N_B(t) = \frac{\lambda_A N_0}{\lambda_B - \lambda_A} \left(e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}\right)$
• 母核活度：$A_A(t) = \lambda_A N_A(t) = A_A(0) e^{-\lambda_A t}$
• 子核活度： $A_B(t) = \lambda_B N_B(t) = \frac{\lambda_B}{\lambda_B - \lambda_A} A_A(0) \left(e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}\right)$

3. 子核活度極大值條件： 子核生成率與衰變率相等時（$\frac{dN_B}{dt} = 0$），子核活度達到最大值，此時 $A_B(t_m) = A_A(t_m)$。其對應的時間 $t_m$ 為： $t_m = \frac{\ln(\lambda_B / \lambda_A)}{\lambda_B - \lambda_A}$

4. 暫態平衡（Transient Equilibrium）： 當母核半衰期大於子核半衰期（$T_A > T_B$，即 $\lambda_A < \lambda_B$），且二者相差不超過一個數量級以上時，經過充分長時間（$t \gg T_B$），系統會達成「暫態平衡」。此時 $e^{-\lambda_B t} \to 0$，子核活度與母核活度的比值趨近於一固定常數： $\frac{A_B(t)}{A_A(t)} = \frac{\lambda_B}{\lambda_B - \lambda_A} = \frac{T_A}{T_A - T_B}$

解題方法

第 1 小題：求子核 B 活度達到最大值的時間 $t_m$

1. 求極值條件推導： 欲求 $A_B(t)$ 之最大值，對時間 $t$ 微分並令其等於 0： $\frac{d A_B(t)}{dt} = \frac{\lambda_B A_A(0)}{\lambda_B - \lambda_A} \left(-\lambda_A e^{-\lambda_A t} + \lambda_B e^{-\lambda_B t}\right) = 0$ 由此可得： $\lambda_A e^{-\lambda_A t_m} = \lambda_B e^{-\lambda_B t_m}$ $\frac{\lambda_B}{\lambda_A} = e^{(\lambda_B - \lambda_A) t_m}$ 兩邊取自然對數： $\ln\left(\frac{\lambda_B}{\lambda_A}\right) = (\lambda_B - \lambda_A) t_m \implies t_m = \frac{\ln(\lambda_B / \lambda_A)}{\lambda_B - \lambda_A}$

2. 代入數值計算：

• 衰變常數之比：$\frac{\lambda_B}{\lambda_A} = \frac{T_A}{T_B} = \frac{10}{1} = 10$
• 衰變常數之差：$\lambda_B - \lambda_A = \ln 2 - 0.1 \ln 2 = 0.9 \ln 2\text{ h}^{-1}$ 代入公式： $t_m = \frac{\ln 10}{0.9 \ln 2} \approx \frac{2.3026}{0.9 \times 0.69315} = \frac{2.3026}{0.62383} \approx 3.69\text{ 小時}$

第 2 小題：求時間 $t = 40$ 小時時，子核 B 與母核 A 的活度比值

1. 建立活度比值方程式： 將 $A_B(t)$ 除以 $A_A(t)$：

核心觀念

1. 曝露（Exposure, $X$）與曝露率（Exposure Rate, $\dot{X}$）之定義： 曝露為光子（X 光或 $\gamma$ 射線）在單位質量空氣中產生單一符號電荷的總量： $X = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}m}$ 曝露率則為單位時間內的曝露量，在游離腔量測中即為飽和游離電流 $I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 與敏感有效體積內空氣質量 $m$ 的比值： $\dot{X} = \frac{I}{m} = \frac{I}{\rho \cdot V}$

• SI 制單位：$\mathrm{C\cdot kg^{-1}\cdot s^{-1}}$
• 傳統單位：倫琴每秒（$\mathrm{R/s}$）或倫琴每小時（$\mathrm{R/h}$），其中 $1\ \mathrm{R} = 2.58\times 10^{-4}\ \mathrm{C\cdot kg^{-1}}$

2. 理想氣體狀態方程式與溫壓校正（Temperature and Pressure Correction）： 開口式游離腔內氣體密度與環境溫度成反比、與大氣壓力成正比。當環境偏離標準狀態（STP：$T_0 = 0^\circ\mathrm{C} = 273.15\ \mathrm{K}$、$P_0 = 760\ \mathrm{mmHg}$）時，實際空氣密度 $\rho$ 為： $\rho(T, P) = \rho_0 \times \left(\frac{P}{P_0}\right) \times \left(\frac{T_0}{T}\right)$ 若將曝露率表示為基準狀態與校正因子 $k_{T, P}$ 的形式： $\dot{X} = \frac{I}{\rho_0 \cdot V} \times k_{T, P}, \quad \text{其中 } k_{T, P} = \left(\frac{273.15 + T}{273.15}\right) \times \left(\frac{760}{P}\right)$

解題方法

步驟一：計算在 $10^\circ\mathrm{C}$、$755\ \mathrm{mmHg}$ 下游離腔內的空氣質量 $m$

題目給定條件：

• 游離電流 $I = 1\times 10^{-9}\ \mathrm{A} = 1\times 10^{-9}\ \mathrm{C\cdot s^{-1}}$
• 有效體積 $V = 4\ \mathrm{cm^3}$
• STP 密度 $\rho_0 = 1.293\times 10^{-6}\ \mathrm{kg\cdot cm^{-3}}$
• 實際溫度 $T = 273.15 + 10 = 283.15\ \mathrm{K}$
• 實際壓力 $P = 755\ \mathrm{mmHg}$

實際空氣密度 $\rho$： $\rho = 1.293\times 10^{-6}\times \left(\frac{755}{760}\right)\times \left(\frac{273.15}{283.15}\right) \approx 1.293\times 10^{-6}\times 0.99342 \times 0.96468 \approx 1.2391\times 10^{-6}\ \mathrm{kg\cdot cm^{-3}}$

有效體積內的空氣質量 $m$： $m = \rho \cdot V = 1.2391\times 10^{-6}\ \mathrm{kg\cdot cm^{-3}} \times 4\ \mathrm{cm^3} \approx 4.9564\times 10^{-6}\ \mathrm{kg}$

步驟二：計算曝露率 $\dot{X}$（SI 單位）

核心觀念

本題為典型的**體內劑量評估（Internal Dosimetry）**計算題，採用醫用內部輻射劑量委員會（MIRD）的劑量評估體系與單腔室（Single-compartment）滯留模型。涉及的核心觀念與公式如下：

1. 有效半衰期（Effective Half-life, $T_{\text{eff}}$）與有效衰變常數（$\lambda_{\text{eff}}$）： 體內放射性核種之排除同時受物理衰變（Physical decay）與生物排泄（Biological elimination）影響： $\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{T_p} + \frac{1}{T_b} \implies T_{\text{eff}} = \frac{T_p \cdot T_b}{T_p + T_b}$ $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_p + \lambda_b = \frac{\ln 2}{T_{\text{eff}}}$

2. 體內滯留活度回推（Retention Function）： 放射性核種在單一器官內的清除遵循單指數衰減規律： $A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda_{\text{eff}} \cdot t} = A_0 \cdot 2^{-t / T_{\text{eff}}}$ 已知經過時間 $t$ 後的活度 $A(t)$，可反求初始活度 $A_0$。

3. 累積衰變數（Cumulated Activity, $\tilde{A}$）： 從攝入開始至完全清除（$t = 0 \to \infty$），核種在目標器官內發生的總衰變次數： $\tilde{A} = \int_{0}^{\infty} A(t)\, dt = \frac{A_0}{\lambda_{\text{eff}}} = \frac{A_0 \cdot T_{\text{eff}}}{\ln 2} \approx 1.443 \cdot A_0 \cdot T_{\text{eff}}$

4. 器官吸收劑量（Absorbed Dose, $D$）之 MIRD 公式： $D = \frac{\tilde{A} \cdot \sum \left( Y_i \cdot E_i \cdot \phi_i \right)}{m}$ 其中：

• $Y_i$：第 $i$ 種輻射的發射產率（Yield）。
• $E_i$：第 $i$ 種輻射的平均能量。
• $\phi_i$：第 $i$ 種輻射在甲狀腺的吸收分率（Absorbed fraction）。
• $m$：甲狀腺質量。

解題方法

第一步：求 I-125 在甲狀腺之有效半衰期（$T_{\text{eff}}$）

已知物理半衰期 $T_p = 60\ \text{days}$，生物半衰期 $T_b = 130\ \text{days}$： $T_{\text{eff}} = \frac{T_p \cdot T_b}{T_p + T_b} = \frac{60 \times 130}{60 + 130} = \frac{7800}{190} \approx 41.05\ \text{days}$

對應之有效衰變常數 $\lambda_{\text{eff}}$： $\lambda_{\text{eff}} = \frac{\ln 2}{T_{\text{eff}}} = \frac{0.69315}{41.0526\ \text{days}} \approx 0.01688\ \text{day}^{-1}$ 換算為國際標準單位制（$\text{s}^{-1}$）： $\lambda_{\text{eff}} = \frac{0.016884\ \text{day}^{-1}}{86400\ \text{s/day}} \approx 1.9542 \times 10^{-7}\ \text{s}^{-1}$

第二步：求 14 天前甲狀腺之 I-125 活度（$A_0$）

已知目前（$t = 14\ \text{days}$）甲狀腺活度 $A(14) = 2.4\ \mu\text{Ci}$： $A(14) = A_0 \cdot e^{-\lambda_{\text{eff}} \cdot 14}$ $A_0 = A(14) \cdot e^{\lambda_{\text{eff}} \cdot 14} = 2.4 \cdot e^{0.016884 \times 14} = 2.4 \cdot e^{0.23638}$ $A_0 \approx 2.4 \times 1.2667 \approx 3.04\ \mu\text{Ci}$

換算為國際標準單位貝克（$\text{Bq}$）： $A_0 = 3.040\ \mu\text{Ci} \times 3.7 \times 10^4\ \text{Bq}/\mu\text{Ci} \approx 1.125 \times 10^5\ \text{Bq}$

第三步：求甲狀腺之終生累計 I-125 衰變（$\tilde{A}$）

終生累計衰變次數即為自攝入發生起（$t = 0$）至無窮遠時間的累積活度： $\tilde{A} = \frac{A_0}{\lambda_{\text{eff}}}$

核心觀念

1. 碳-14 定年法原理（Radiocarbon Dating）： 活體生物（如植物）藉由光合作用或食物鏈持續與大氣進行碳交換，使其體內的 $^{14}\mathrm{C}$ 比活度與大氣環境保持動態平衡，此時的比活度即為初始比活度 $A_0$。當生物死亡後，與外界的碳交換立即停止，體內的 $^{14}\mathrm{C}$ 僅隨時間進行放射性衰變而減少。
2. 放射性衰變定律（Radioactive Decay Law）： 放射性核種的活度隨時間呈指數衰減，其數學關係式為： $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ 亦可表示為半衰期形式： $A(t) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$
3. 衰變常數與半衰期關係： $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ 式中：

• $A_0$：初始比活度（以活著的植物之比活度代表）。
• $A(t)$：經過時間 $t$ 後的現存比活度（古文物測得之比活度）。
• $\lambda$：衰變常數（$\mathrm{year}^{-1}$）。
• $T_{1/2}$：半衰期（題目給定為 $5715\ \mathrm{年}$）。
• $t$：文物歷經的時間（即古文物的年代）。

解題方法

步驟一：整理已知數值

• 現存比活度 $A(t) = 1.5 \times 10^{-1}\ \mathrm{Bq/g}$
• 初始比活度 $A_0 = 1.67 \times 10^{-1}\ \mathrm{Bq/g}$
• $^{14}\mathrm{C}$ 半衰期 $T_{1/2} = 5715\ \mathrm{年}$

步驟二：推導時間計算公式

將放射性衰變定律兩邊取自然對數（$\ln$）： $\frac{A(t)}{A_0} = e^{-\lambda t}$ $\ln\left(\frac{A(t)}{A_0}\right) = -\lambda t$ $t = \frac{\ln\left(\frac{A_0}{A(t)}\right)}{\lambda}$

將 $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ 代入，整理得： $t = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \times \ln\left(\frac{A_0}{A(t)}\right)$

步驟三：數值代入與計算

1. 計算活度比值的自然對數：

核心觀念

本題評量 ICRU（國際輻射單位與度量委員會）在輻射劑量學中最核心的微觀與巨觀物理量定義：能量轉移（Energy Transferred）、能量沉積（Energy Imparted）、克馬（Kerma）與吸收劑量（Absorbed Dose），並結合「成對產生（Pair Production）」與帶電粒子減速之能量平衡關係。

1. 能量轉移（$\epsilon_{\mathrm{tr}}$）： 間接游離輻射（如光子）在物質中發生交互作用時，轉移給帶電粒子之初始動能總和。 對於成對產生作用： $\epsilon_{\mathrm{tr}} = h\nu - 2 m_e c^2 = E_{\mathrm{k}, e^-} + E_{\mathrm{k}, e^+}$ 其中靜止質量能 $2 m_e c^2 \approx 1.022\ \mathrm{MeV}$ 用於生成正負電子對，不屬於轉移之動能。

2. 能量沉積（$\epsilon$）： 依 ICRU 定義，體積內最終留存（被物質吸收）的能量： $\epsilon = R_{\mathrm{in}} - R_{\mathrm{out}} + \sum Q$

• $R_{\mathrm{in}}$：進入該體積之所有非帶電游離輻射的輻射能量（Radiant energy）。
• $R_{\mathrm{out}}$：離開該體積之所有非帶電游離輻射的輻射能量。
• $\sum Q$：體積內所有核與原子核反應造成的靜止質量能量變化（質量轉能量為正，能量轉質量為負）。

若由帶電粒子能量耗損觀點檢視：帶電粒子動能用盡時，所沉積於介質的能量等於初動能扣除以制動輻射形式逃出介質的光子能量。

3. 克馬（Kerma, $K$）： 單位質量介質中所獲得之非帶電游離輻射轉移之帶電粒子初始動能： $K = \frac{\mathrm{d}\epsilon_{\mathrm{tr}}}{\mathrm{d}m} \approx \frac{\epsilon_{\mathrm{tr}}}{m}$ SI 制單位為戈雷（$\mathrm{Gy} = \mathrm{J/kg}$）。

4. 吸收劑量（Absorbed Dose, $D$）： 單位質量介質中所沉積之平均能量： $D = \frac{\mathrm{d}\bar{\epsilon}}{\mathrm{d}m} \approx \frac{\epsilon}{m}$ SI 制單位為戈雷（$\mathrm{Gy} = \mathrm{J/kg}$）。

5. 單位換算基準：

• $1\ \mathrm{eV} = 1.6022 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$，故 $1\ \mathrm{MeV} = 1.6022 \times 10^{-13}\ \mathrm{J}$
• $m = 100\ \mathrm{g} = 0.1\ \mathrm{kg}$

解題方法

1. 能量轉移（$\epsilon_{\mathrm{tr}}$）之計算

入射光子能量 $h\nu = 10\ \mathrm{MeV}$，經成對產生作用產生正電子與電子各具動能 $4.489\ \mathrm{MeV}$。 依定義，轉移給次級帶電粒子的初始動能總和為： $\epsilon_{\mathrm{tr}} = E_{\mathrm{k}, e^-} + E_{\mathrm{k}, e^+} = 4.489\ \mathrm{MeV} + 4.489\ \mathrm{MeV} = 8.978\ \mathrm{MeV}$

換算為 SI 制焦耳（$\mathrm{J}$）： $\epsilon_{\mathrm{tr}} = 8.978\ \mathrm{MeV} \times 1.6022 \times 10^{-13}\ \mathrm{J/MeV} = 1.4384 \times 10^{-12}\ \mathrm{J}$

2. 能量沉積（$\epsilon$）之計算

可由兩種標準途徑計算，兩者結果完全一致：

• 途徑一：帶電粒子動能沉積觀點 電子與正電子的總初始動能為 $8.978\ \mathrm{MeV}$。兩者動能在物體中完全耗損，期間產生的制動輻射皆逃出物體：
• 電子產生兩個 $1.5\ \mathrm{MeV}$ 制動輻射光子，逃逸能量 $= 2 \times 1.5\ \mathrm{MeV} = 3.0\ \mathrm{MeV}$
• 正電子產生一個 $2\ \mathrm{MeV}$ 制動輻射光子，逃逸能量 $= 2.0\ \mathrm{MeV}$
• 制動輻射逃逸總能量 $E_{\mathrm{brem, esc}} = 3.0 + 2.0 = 5.0\ \mathrm{MeV}$

動能中透過碰撞損失（Collision loss）沉積於物體內的能量為： $\epsilon = \epsilon_{\mathrm{tr}} - E_{\mathrm{brem, esc}} = 8.978\ \mathrm{MeV} - 5.0\ \mathrm{MeV} = 3.978\ \mathrm{MeV}$

核心觀念

本題評量點射源外部曝露與劑量評估之基本計算能力，涉及以下三個核心觀念與公式：

1. 點射源曝露率公式： 點射源在無屏蔽與不考慮空氣衰減的條件下，距離 $r$ 處之曝露率（Exposure Rate, $\dot{X}$）公式為： $\dot{X} = \frac{\Gamma \cdot A}{r^2}$ 其中：

• $\Gamma$ 為特定核種之曝露率常數（Exposure Rate Constant）
• $A$ 為射源放射性活度（Activity）
• $r$ 為測量點與點射源間之距離

2. 距離平方反比定律（Inverse-Square Law）： 對於等向發散之點射源，輻射場強度與距離的平方成反比： $\frac{\dot{X}_1}{\dot{X}_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$

3. 曝露量與吸收劑量／等效劑量之轉換： 題幹提供之常數為「曝露率常數 $\Gamma$」（單位含 $\mathrm{R}$），但問項使用「劑量率」。在輻射度量實務與國家考試閱卷慣例中：

• 廣義上常直接以曝露率（單位：$\mathrm{R/hr}$ 或 $\mathrm{mR/hr}$）作為答案。
• 嚴格物理定義下，曝露量 $X$ 換算為空氣吸收劑量 $D_{\text{air}}$ 或組織吸收劑量／等效劑量 $H$：
• 空氣吸收劑量：$1\ \mathrm{R} = 0.877\ \mathrm{rad} = 8.77\ \mathrm{mGy}$
• 軟組織吸收劑量：$1\ \mathrm{R} \approx 0.96\ \mathrm{rad} = 9.6\ \mathrm{mGy}$
• 輻射防護實務（光子射線品質因數／輻射加權因數 $Q = w_R = 1$）：$1\ \mathrm{R} \approx 1\ \mathrm{rem} = 10\ \mathrm{mSv}$

解題方法

步驟一：釐清已知條件與單位一致化

• 射源活度 $A = 200\ \mathrm{mCi}$
• 曝露率常數 $\Gamma = 2.2\ \frac{\mathrm{R}\cdot\mathrm{cm^2}}{\mathrm{hr}\cdot\mathrm{mCi}}$
• 第一量測距離 $r_1 = 1\ \mathrm{cm}$
• 第二量測距離 $r_2 = 1\ \mathrm{m} = 100\ \mathrm{cm}$（必須化為公分以配合 $\Gamma$ 之單位）

步驟二：計算距離 $1\ \mathrm{cm}$ 處之曝露率／劑量率

代入點射源曝露率公式： $\dot{X}_1 = \frac{\Gamma \cdot A}{r_1^2} = \frac{2.2 \times 200}{1^2} = 440\ \mathrm{R/hr}$

換算為劑量率單位（實務防護基準）：

• 空氣吸收劑量率： $\dot{D}_{\text{air}, 1} = 440\ \mathrm{R/hr} \times 0.877\ \mathrm{rad/R} = 385.88\ \mathrm{rad/hr} \approx 3.86\ \mathrm{Gy/hr}$
• 等效劑量率（取 $1\ \mathrm{R} \approx 1\ \mathrm{rem} = 10\ \mathrm{mSv}$）： $\dot{H}_1 \approx 440\ \mathrm{rem/hr} = 4.4\ \mathrm{Sv/hr}$

步驟三：計算距離 $1\ \mathrm{m}$（$100\ \mathrm{cm}$）處之曝露率／劑量率

方法 A（直接代入公式）：