109 高普考高考三級 輻射安全 輻射度量 考古題詳解

核心觀念

1. 半導體能隙寬度（Bandgap Energy, $E_g$）與本質載子濃度（Intrinsic Carrier Concentration, $n_i$）： 半導體材料中的電子受熱擾動激發跨越能隙之機率與溫度及能隙大小相關。本質載子濃度之理論關係式為： $n_i \propto T^{3/2} \exp\left(-\frac{E_g}{2k_B T}\right)$ 其中 $k_B$ 為波茲曼常數（室溫 $300\text{ K}$ 下，$k_B T \approx 0.026\text{ eV}$），$T$ 為絕對溫度。當能隙過小，室溫下的熱激發載子過多，將形成極大的逆向漏電流與熱雜訊（Thermal Noise），淹沒加馬射線沉積能量所產生的微弱游離信號。

2. 加馬射線光電效應截面與原子序關係： 光電吸收截面（$\sigma_{\text{pe}}$）與物質的原子序（$Z$）及入射光子能量（$E_\gamma$）之近似關係為： $\sigma_{\text{pe}} \propto \frac{Z^{4\sim 5}}{E_\gamma^{3.5}}$ 原子序越高，對加馬射線的阻止本領（Stopping Power）越強。

3. 能量解析度與載子傳輸特性（$\mu\tau$ 乘積）：

• 能量解析度取決於產生單一電子-電洞對所需的平均電離能（$w$）、Fano 因子（$F$）以及電荷收集效率。理論極限半高全寬（$\text{FWHM}$）為： $\text{FWHM} = 2.355 \sqrt{F \cdot w \cdot E_\gamma}$
• 電荷收集效率取決於載子遷移率與平均壽命之乘積（Mobility-Lifetime Product, $\mu\tau$）。

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解題方法

• 第 (一) 小題切入點： 比較各半導體的能隙大小。純鍺（$\text{Ge}$）之能隙僅約 $0.67\text{ eV}$，在室溫下會產生極大漏電流，必須降溫至 $77\text{ K}$（液態氮溫度）以抑制熱雜訊；反觀 $\text{HgI}_2$（$E_g \approx 2.13\text{ eV}$）與 $\text{CdTe}$（$E_g \approx 1.44\sim 1.52\text{ eV}$）屬於「寬能隙半導體」（Wide Bandgap Semiconductor），室溫下熱激發載子極少，電阻率極高，因此無須冷卻系統即可工作。

• 第 (二) 小題切入點： 從「運作機制與儀器特性」進行全方位對比，歸納為三大優點與三大缺點：

1. 優點：操作便利性（免液氮冷卻）、體積與便攜性、加馬射線吸收截面（高有效原子序 $Z$）。
2. 缺點：能量解析度（平均電離能較大、電洞捕獲現象嚴重）、晶體尺寸與全能峰絕對效率、長期操作穩定性（極化效應與晶體瑕疵）。

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選項分析

本題為申論題，各小題得分要點與評分規準剖析如下：

• 第 (一) 小題（10 分）得分要素：

1. 標明純鍺與寬能隙半導體之能隙數值差異（$\text{Ge}\approx 0.67\text{ eV}$ vs. $\text{CdTe}\approx 1.44\text{ eV}$、$\text{HgI}_2\approx 2.13\text{ eV}$）。
2. 闡明熱雜訊來源：引用熱激發公式或波茲曼分布，說明小能隙材料在室溫下的熱激發載子會導致過大漏電流。
3. 點出寬能隙半導體的高阻抗特性（電阻率高達 $10^9\sim 10^{11}\ \Omega\cdot\text{cm}$），使室溫熱雜訊降至不影響能譜辨識的水準。

• 第 (二) 小題（10 分）得分要素：

1. 優點至少列出兩項：免液氮製冷系統（可微型化/可攜化）、高 $Z$ 值帶來的單位體積高光電吸收效率。
2. 缺點至少列出三項：能量解析度劣於 HPGe（電離能大、$\mu_h\tau_h$ 不良導致的低能端拖尾）、晶體體積難以做大、極化現象（Polarization Effect）導致的能譜漂移。

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解題技巧

1. 破題關鍵詞對照矩陣：

• 鍺（$\text{Ge}$）：$Z = 32$、$E_g \approx 0.67\text{ eV}$、$w \approx 2.96\text{ eV}$，需 $77\text{ K}$ 冷卻，解析度極佳。
• 碲化鎘（$\text{CdTe}$）：$Z_{\text{Cd}}=48, Z_{\text{Te}}=52$、$E_g \approx 1.5\text{ eV}$、$w \approx 4.43\text{ eV}$，室溫操作，吸收強。
• 碘化汞（$\text{HgI}_2$）：$Z_{\text{Hg}}=80, Z_{\text{I}}=53$、$E_g \approx 2.13\text{ eV}$、$w \approx 4.2\text{ eV}$，室溫操作，吸收極強。

2. 常見陷阱防範：

• 考生常只回答「因為能隙比較大」，這僅能拿一半分數。

核心觀念

1. 加馬射線的指數衰減與本質偵檢效率（Intrinsic Efficiency）

• 線衰減係數（Linear Attenuation Coefficient, $\mu$）：與質量衰減係數（$\mu/\rho$）及密度（$\rho$）之關係為： $\mu = \left(\frac{\mu}{\rho}\right) \times \rho$
• 本質效率（$\epsilon_{\text{int}}$）：入射至偵檢器敏感體積（耗乏區）的射線中，與偵檢器發生相互作用的機率。若敏感厚度為 $x$，則未發生作用穿透的機率為 $e^{-\mu x}$，發生相互作用之本質效率為： $\epsilon_{\text{int}} = 1 - e^{-\mu x}$
• 註：嚴格而言，全能峰本質效率（$\epsilon_{\text{ip}}$）應為本質總效率乘上峰總比（Peak-to-Total ratio, $P/T$）。本題未給定光電吸收係數或峰總比，依國考命題慣例，題意將所給定之衰減係數視為全能峰有效相互作用係數，直接以相互作用機率計算。

2. 放射性衰變定律（Radioactive Decay Law）

• 經過時間 $t$ 後之活度 $A(t)$ 公式： $A(t) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} = A_0 e^{-\lambda t}$ 其中 $A_0$ 為初始活度，$T_{1/2}$ 為半衰期。
• 活度單位換算：$1\ \mathrm{Ci} = 3.7 \times 10^{10}\ \mathrm{Bq}\ (\text{或}\ \mathrm{dps}，每秒衰變數)$。

3. 加馬射線發射率與絕對偵檢效率（Absolute Efficiency）

• 加馬發射率（$S$）：考慮衰變分歧比（Branching Ratio / Yield, $Y$），每秒發射之特定能量加馬光子數為： $S = A \times Y$
• 無死時間損失下之理論計數率（真實計數率, $R_{\text{true}}$）： $R_{\text{true}} = S \times \epsilon_{\text{abs}}$ 其中 $\epsilon_{\text{abs}}$ 為該能量全能峰之絕對偵檢效率。

4. 系統無感時間（死時間, Dead Time）修正

• 多頻道分析儀（MCA）顯示之無感時間百分比 $DT = 8\%$，代表偵檢器系統處理信號時脈衝堆疊或阻塞的時間比例。
• 系統的活時間分率（Live Time Fraction）為 $1 - DT = 1 - 0.08 = 0.92$。
• 實測計數率（$R_{\text{obs}}$）與真實計數率之關係為： $R_{\text{obs}} = R_{\text{true}} \times (1 - DT)$
• 測量時間 $T$ 內獲得之實測全能峰計數 $C$ 為： $C = R_{\text{obs}} \times T = R_{\text{true}} \times T \times (1 - DT)$

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解題方法

(一) 計算純鍺偵檢器 $0.6\ \mathrm{MeV}$ 全能峰之本質偵檢效率

1. 計算純鍺之線衰減係數 $\mu$ 已知質量衰減係數 $\mu/\rho = 0.005\ \mathrm{cm^2/g}$，純鍺密度 $\rho = 5.5\ \mathrm{g/cm^3}$： $\mu = 0.005\ \mathrm{cm^2/g} \times 5.5\ \mathrm{g/cm^3} = 0.0275\ \mathrm{cm^{-1}}$

2. 換算耗乏區厚度 $x$ 之單位 耗乏區厚度 $x = 20\ \mathrm{mm} = 2.0\ \mathrm{cm}$。

3. 計算射線在耗乏區之光學厚度 $\mu x$ $\mu x = 0.0275\ \mathrm{cm^{-1}} \times 2.0\ \mathrm{cm} = 0.055$

4. 求出本質偵檢效率 $\epsilon_{\text{int}}$ $\epsilon_{\text{int}} = 1 - e^{-\mu x} = 1 - e^{-0.055}$ 利用泰勒展開式或指數計算： $e^{-0.055} \approx 0.946485$ $\epsilon_{\text{int}} = 1 - 0.946485 = 0.053515 \approx 5.35\%$

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核心觀念

1. 放射性計數的統計分佈（卜瓦松分佈）： 放射性衰變具有隨機性，計數值 $N$ 服從卜瓦松分佈（Poisson Distribution）。當計數值夠大時，其標準差可表示為： $\sigma = \sqrt{N}$
2. 誤差傳遞定律（Error Propagation）： 當由毛計數（Gross count, $N_g$）扣除背景計數（Background count, $N_b$）求得樣品之淨計數（Net count, $N_n$）時，變異數具可加性： $N_n = N_g - N_b$ $\sigma_n = \sqrt{\sigma_g^2 + \sigma_b^2} = \sqrt{N_g + N_b}$ 相對標準差（即百分比誤差 $\%E$）定義為： $\%E = \frac{\sigma_n}{N_n} \times 100\% = \frac{\sqrt{N_g + N_b}}{N_g - N_b} \times 100\%$
3. 計數時間與統計誤差之關係： 在計數率恆定條件下，計數值 $N$ 與時間 $t$ 成正比（$N \propto t$），標準差 $\sigma \propto \sqrt{t}$。因此相對百分比誤差與時間之平方根成反比： $\%E \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$
4. 放射性衰變定律（Radioactive Decay Law）： 放射性核種活度隨時間呈指數衰減： $A(t) = A_0 e^{-\lambda t} = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ 若測量時間遠大於核種半衰期（$t \gg T_{1/2}$），樣品活度將急遽下降，不可再視為「定計數率」系統。

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解題方法

(一) 計算污染輻射強度與百分比誤差

1. 求淨強度（淨計數與淨計數率）：

• 福島樣品（毛計數）：$N_g = 104\text{ counts}$，量測時間 $t_g = 1\text{ h}$。
• 臺灣海產（背景計數）：$N_b = 100\text{ counts}$，量測時間 $t_b = 1\text{ h}$。

淨計數 $N_n$ 為： $N_n = N_g - N_b = 104 - 100 = 4\text{ counts}$ 以淨計數率 $R_n$ 表示（輻射強度）： $R_n = \frac{N_g}{t_g} - \frac{N_b}{t_b} = \frac{104}{1} - \frac{100}{1} = 4\text{ cph}\ (\text{counts/hour})$

2. 計算標準差（誤差）： 根據獨立變數差之誤差傳遞公式： $\sigma_n = \sqrt{N_g + N_b} = \sqrt{104 + 100} = \sqrt{204} \approx 14.28\text{ counts}$ 計數率的標準差為： $\sigma_{R_n} = \sqrt{\frac{R_g}{t_g} + \frac{R_b}{t_b}} = \sqrt{104 + 100} = \sqrt{204} \approx 14.28\text{ cph}$

3. 計算百分比誤差： $\%E = \frac{\sigma_n}{N_n} \times 100\% = \frac{\sqrt{204}}{4} \times 100\% = \frac{14.2829}{4} \times 100\% \approx 357.07\%$

4. 輻射強度結果表示：

• 淨計數率表示：$4 \pm 14.28\text{ cph}$，百分比誤差為 $357.1\%$（或表示為 $4\text{ cph} \pm 357.1\%$）。
• 淨計數值表示：$4 \pm 14.28\text{ counts}$，百分比誤差為 $357.1\%$。

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(二) 計數時間增加 10,000 倍後百分比誤差降低之倍數

1. 建立時間與計數之比例關係： 題設「平均起始計數率不變」，設計數時間擴大為原來的 $k$ 倍（$k = 10000$）： $t'_g = k \cdot t_g,\quad t'_b = k \cdot t_b$ 新計數值分別為： $N'_g = k \cdot N_g,\quad N'_b = k \cdot N_b$ 新淨計數值為： $N'_n = N'_g - N'_b = k(N_g - N_b) = k \cdot N_n$

2. 推導新標準差與新百分比誤差： 新淨計數標準差為： $\sigma'_n = \sqrt{N'_g + N'_b} = \sqrt{k(N_g + N_b)} = \sqrt{k} \cdot \sigma_n$ 新百分比誤差 $\%E'$ 為：

核心觀念

本題評量**中子活化分析（Neutron Activation Analysis, NAA）結合加馬能譜量測技術（Gamma-ray Spectroscopy）**之核心理論與實務操作。涉及之關鍵物理觀念與法理定義如下：

1. 核種定性原理（Qualitative Analysis）：

• 特性加馬能量（$E_\gamma$）：不穩定核種衰變退激至基態時釋放特性加馬射線，其能階差為核種固有特徵。純鍺偵檢器（HPGe）具備優異之能量解析度（如對 $^{60}\text{Co}$ 的 $1332.5\text{ keV}$ 其半高全寬 $\text{FWHM} \approx 1.8 \sim 2.0\text{ keV}$），可將全能峰（Full-energy peak, FEP）中心通道精確對應至光子能量。
• 半衰期（$T_{1/2}$）：特定加馬峰之淨計數率隨時間依指數規律衰減，透過多時間點能譜追蹤，計算衰變常數 $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$，可作為二次驗證定性依據。

2. 核種定量原理（Quantitative Analysis）：

• 活性（Activity, $A$）係透過全能峰淨計數（Net Peak Area, $C_{\text{net}}$）與全能峰絕對偵測效率（$\varepsilon_p$）、加馬射線發射機率（Branching Ratio, $I_\gamma$）、活時計數時間（Live Time, $t_{\text{live}}$）及各項修正因子之數學關聯求得： $A = \frac{C_{\text{net}}}{t_{\text{live}} \times \varepsilon_p(E_\gamma) \times I_\gamma \times f_c}$ 式中 $f_c$ 為衰變校正因子（包含計數期間衰變修正、冷卻時間修正等）。

3. 偵測極限與干擾機制：

• 核種能否被檢出受限於衰變模式（是否釋放 $\gamma$ 射線）、核反應截面（$\sigma$）、核種半衰期（$T_{1/2}$）、基質干擾（康普頓連續背景、同能干擾）及自吸收效應。

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解題方法

(一) 純鍺偵檢器鑑定中子活化核種與活度之方法及執行步驟

1. 鑑定方法與物理原理

• 核種定性（Identification）： 經中子活化後產生的放射性核種，其退激釋出之加馬射線能量（$E_\gamma$）由多頻道分析儀（MCA）記錄為波高分布。藉由比對能譜中全能峰能量與國際核數據庫（如 ENSDF、NuDat），初步判定核種；若能量鄰近造成混淆，則透過不同冷卻時間（Cooling time）連續量測該峰之衰減斜率，反推半衰期進行雙重確認。
• 活度定量（Quantification）： 量測全能峰之淨面積 $C_{\text{net}}$，代入絕對量測公式推算量測起始點之活度 $A(t_1)$，並回推至照射結束時（$t_0$）之初始活度 $A_0$： $A_0 = \frac{C_{\text{net}}}{t_{\text{live}} \cdot \varepsilon_p(E_\gamma) \cdot I_\gamma \cdot \left(\frac{1 - e^{-\lambda t_{\text{real}}}}{\lambda t_{\text{real}}}\right) \cdot e^{-\lambda t_{\text{cool}}}}$ （其中 $t_{\text{real}}$ 為真實量測時間，$t_{\text{cool}}$ 為冷卻時間）。

2. 標準執行步驟

• 步驟一：系統校正（Calibration）

1. 能量校正（Energy Calibration）：使用已知多能點標準射源（如 $^{152}\text{Eu}$、$^{60}\text{Co}$、$^{137}\text{Cs}$），建立頻道數（Channel number, $ch$）與能量（$E$）之線性迴歸方程式： $E = a \cdot ch + b$
2. 效率校正（Efficiency Calibration）：在固定量測幾何（Geometry）條件下，量測標準多能量混合射源，繪製全能峰絕對效率對能量的效率曲線 $\varepsilon_p(E)$： $\varepsilon_p(E) = \frac{C_{\text{net, std}}}{A_{\text{std}} \cdot I_\gamma \cdot t_{\text{live}}}$

• 步驟二：環境背景量測（Background Measurement） 在鉛屏蔽屏蔽體內置入空樣品盒，進行長時間量測，取得環境本底及鉛室雜散加馬能譜，確認天然放射性（如 $^{40}\text{K}$、鈾-釷系衰變產物）對目標能量區間之貢獻。
• 步驟三：活化樣品量測（Sample Counting） 將經反應器或中子源照射並經過適當冷卻（去除超短半衰期干擾）之樣品，置於與「效率校正完全相同」之幾何位置與幾何構型上，設定足夠的活時計數時間（$t_{\text{live}}$）進行能譜擷取。
• 步驟四：能譜解析與定性分析（Spectrum Analysis）

1. 執行尖峰搜尋演算法（Peak Search），利用高斯擬合扣除康普頓平原（Compton Continuum）連續背景，計算各全能峰之淨計數面積 $C_{\text{net}}$ 與中心通道。
2. 由能量校正曲線轉換出各峰之能量值，比對標準同位素資料庫，辨識出對應核種。
3. 對於疑似核種，隔適當時間再測一次，檢驗該全能峰計數之衰減率是否符合該核種之半衰期 $T_{1/2}$。

• 步驟五：活度計算與修正（Activity Determination） 帶入樣品淨計數率 $R_p = \frac{C_{\text{net}}}{t_{\text{live}}}$、對應能量之效率 $\varepsilon_p(E_\gamma)$ 及分支比 $I_\gamma$ 計算活度，並完成幾何形狀修正、樣品自吸收修正（Self-attenuation correction）及衰變時間修正。

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(二) 部分核種無法被鑑定之原因剖析

核心觀念

本題評量輻射防護人員劑量評估中「熱發光劑量計」（Thermoluminescent Dosimeter, TLD）之物理機制與實務應用，核心考點包含：

1. 固態能帶理論（Band Theory of Solids）：價帶（Valence Band）、導帶（Conduction Band）、禁帶（Band Gap）中由摻雜雜質形成的亞穩態陷阱能階（Metastable Traps）與發光中心（Luminescence/Recombination Centers），以及加熱激發釋放可見光之機制。
2. 被動式累積偵檢器與主動式偵檢器之本質差異：資訊儲存之熱力學穩定度、離線加熱計讀流程、破壞性讀取（Destructive Readout）限制。
3. 個人等效劑量之運作量（Operational Quantities）：以命題當年（民國 109 年）《游離輻射防護安全標準》為準，個人等效劑量區分為：

• 深部個人等效劑量 $H_p(10)$：人體軟組織下深 $10\text{ mm}$ 處之劑量當量（主要評估強穿透輻射之全身有效劑量）。
• 淺部個人等效劑量 $H_p(0.07)$：人體軟組織下深 $0.07\text{ mm}$ 處之劑量當量（主要評估弱穿透輻射之皮膚等價劑量）。

4. 能量鑑別與射源分辨技術：

• 藉由不同面密度（$t \cdot \rho$）之濾片衰減效應區分淺部與深部穿透度。
• 利用鋰同位素對熱中子反應截面之極端差異（${}^6\text{Li}$ 具極高熱中子捕獲截面，${}^7\text{Li}$ 幾無反應），以配對晶片差分法求得中子劑量。

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解題方法

1. 子題(一) 解題切入點：依時間順序分四階段剖析能量轉換與載子躍遷過程：「輻射激發（吸收）」$\rightarrow$「陷阱捕捉（儲存）」$\rightarrow$「受熱脫困（釋出）」$\rightarrow$「發光復合與光電轉換（計讀）」，並說明光強對時間／溫度的積分（發光曲線面積）正比於吸收劑量。
2. 子題(二) 解題切入點：從「被動型（積分型）物理儲能特性」、「加熱計讀之破壞性」及「需專用離線計讀儀器」三個層面，論證 TLD 無法即時輸出電訊號或發出即時警報之原因。
3. 子題(三) 解題切入點：

• 深部與淺部之分辨：透過佩章內不同衰減能力與厚度的濾片（薄塑膠濾片對應 $0.07\text{ mm}$ 組織；增厚濾片對應 $10\text{ mm}$ 組織）進行能量衰減平衡補償。
• 中子劑量之分辨：透過同位素配對法，列出 ${}^6\text{Li}(n, \alpha){}^3\text{H}$ 之核反應方程式，並以富含 ${}^6\text{Li}$（感中子與光子）與富含 ${}^7\text{Li}$（僅感光子）之晶片訊號相減進行背景扣除。

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選項分析

本題屬於國家考試之申論問答題型，無選擇題選項。各子題評分核心要素與作答要點如下：

• 子題(一)（10 分）：必須精確寫出「價帶、導帶、禁帶陷阱能階、發光中心」四個固態物理名詞，並寫出光電倍增管（PMT）與發光曲線（Glow Curve）之關係；若僅籠統說明「加熱會發光」，分數將大幅受限。
• 子題(二)（5 分）：需切中「被動式載子累積非即時電訊號輸出」及「讀取程序需經離線專用設備加熱」等核心限制。
• 子題(三)（5 分）：必須分別答出「深／淺部（濾片面密度模擬人體組織深度）」與「中子（${}^6\text{Li}$ 與 ${}^7\text{Li}$ 同位素配對差分）」，缺一不可。

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解題技巧

1. 答題結構化：申論題採條列式標題與階段性說明，圖解概念化（能帶躍遷示意），有助於閱卷委員在有限時間內掌握得分關鍵字。
2. 法規厚度標準化：軟組織密度假定為 $1\text{ g/cm}^3$：

• 淺部 $0.07\text{ mm}$ 等效於 $7\text{ mg/cm}^2$ 面密度（薄窗、微薄塑膠）。
• 深部 $10\text{ mm}$ 等效於 $1000\text{ mg/cm}^2$ 面密度（厚塑膠或金屬濾片複合）。

3. 同位素型號記憶口訣：

• TLD-600（${}^6\text{Li}$）：中子＋光子（數字 6 聯想為能抓住中子）。
• TLD-700（${}^7\text{Li}$）：僅光子（對中子盲，專門用來扣除光子背景）。

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【答案】

(一) 熱發光偵檢器（TLD）之作用原理

熱發光偵檢器之物理作用原理建立於絕緣體或半導體之固態能帶理論（Band Theory），主要經歷以下四個階段：