112 高普考高考三級 輻射安全 輻射度量 考古題詳解

112 年・高普考・高考三級・輻射安全
試題代碼 輻射度量

第 一 題15 分

某 GM counter 連續三次之背景值量測結果如下：

背景值量測：

Counting time (sec)：20,00020{,}000、25,00025{,}000、30,00030{,}000

Total counts：111,000111{,}000、188,800188{,}800、282,500282{,}500

而其連續三次對某放射性核種之量測結果如下：

放射性核種量測：

Counting time (sec)：1,5001{,}500、2,0002{,}000、1,6001{,}600

Total counts：87,00087{,}000、99,00099{,}000、82,00082{,}000

請問此放射性核種的淨計數率為何？誤差為何？又若整體計數時間為 3,0003{,}000 秒，則背景值量測與放射性核種量測的分布時間應如何配置最合理？

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核心觀念

本題考查：

  1. 計數率的定義 R=NtR=\frac{N}{t}

  2. 背景扣除後的淨計數率 Rnet=Rs−RbR_{\text{net}}=R_{\text{s}}-R_{\text{b}}

  3. 偶然計數誤差符合 Poisson 統計： σN=N\sigma_N=\sqrt{N}

  4. 淨計數率誤差的誤差傳播，以及固定總計數時間下的最佳時間配置。

以下以計數統計為主要誤差來源，誤差採 1σ1\sigma 標準差。

解題方法

一、計算背景計數率

三次背景量測的總計數與總時間分別為

Nb=111000+188800+282500=582300N_{\text{b}}=111000+188800+282500=582300 tb=20000+25000+30000=75000 st_{\text{b}}=20000+25000+30000=75000\ \text{s}

因此，合併後的背景計數率為

Rb=58230075000=7.764 cpsR_{\text{b}}=\frac{582300}{75000} =7.764\ \text{cps}

二、計算放射性核種的總計數率

放射性核種三次量測的總計數與總時間為

Ns=87000+99000+82000=268000N_{\text{s}}=87000+99000+82000=268000 ts=1500+2000+1600=5100 st_{\text{s}}=1500+2000+1600=5100\ \text{s}

因此，放射性核種量測的總計數率為

Rs=2680005100=52.549 cpsR_{\text{s}}=\frac{268000}{5100} =52.549\ \text{cps}

此計數率包含放射性核種計數與背景計數。

三、計算淨計數率

Rnet=Rs−RbR_{\text{net}} =R_{\text{s}}-R_{\text{b}} Rnet=52.549−7.764=44.785 cpsR_{\text{net}} =52.549-7.764 =44.785\ \text{cps}

因此淨計數率約為

Rnet≈44.8 cpsR_{\text{net}}\approx 44.8\ \text{cps}

誤差計算

對於總計數 NN，其標準差為 N\sqrt{N}。因此，放射性核種量測計數率的變異數為

σRs2=Nsts2\sigma_{R_{\text{s}}}^2 =\frac{N_{\text{s}}}{t_{\text{s}}^2}

背景計數率的變異數為

σRb2=Nbtb2\sigma_{R_{\text{b}}}^2 =\frac{N_{\text{b}}}{t_{\text{b}}^2}

由於兩者為獨立量測，淨計數率的變異數為

σRnet2=Nsts2+Nbtb2\sigma_{R_{\text{net}}}^2 = \frac{N_{\text{s}}}{t_{\text{s}}^2} + \frac{N_{\text{b}}}{t_{\text{b}}^2}

代入數值：

σRnet=26800051002+582300750002\sigma_{R_{\text{net}}} = \sqrt{ \frac{268000}{5100^2} + \frac{582300}{75000^2} } σRnet=0.010304+0.000104≈0.102 cps\sigma_{R_{\text{net}}} = \sqrt{0.010304+0.000104} \approx 0.102\ \text{cps}

所以

Rnet=(44.785±0.102) cpsR_{\text{net}}=(44.785\pm0.102)\ \text{cps}

相對誤差為

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第 二 題20 分

0.1 mg0.1\ \mathrm{mg} 197Au^{197}\mathrm{Au} 的熱中子吸收截面為 108108 邦（10−24 cm210^{-24}\ \mathrm{cm}^2），反應器的熱中子通率為 6.0×1012 cm−2⋅sec−16.0\times10^{12}\ \mathrm{cm}^{-2}\cdot\mathrm{sec}^{-1}。需要於 33 分鐘照射並置放冷卻多少分鐘後，仍能於 4040 秒的量測中達到剛好 5,0005{,}000 的計數（197Au^{197}\mathrm{Au} 物理半衰期為 2.72.7 day，偵檢器效率為 0.002 cps/dps0.002\ \mathrm{cps/dps}）？

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核心觀念

本題考查熱中子活化後的放射性活度變化，以及有限量測時間內的累積計數。計算分成三段：

  1. 由金原子數、吸收截面與熱中子通率求活化生成率。
  2. 計算照射 33 分鐘後的活度。
  3. 將冷卻期間的衰變與量測期間的積分計數納入，反求冷卻時間。

偵檢器效率 0.002 cps/dps0.002\ \mathrm{cps/dps} 表示每次衰變以 0.0020.002 的效率形成計數，因此量測總計數須由量測期間的活度積分求得。

解題方法

先計算金原子數。0.1 mg=1.0×10−4 g0.1\ \mathrm{mg}=1.0\times10^{-4}\ \mathrm{g}，以金的莫耳質量 197 g/mol197\ \mathrm{g/mol} 計：

N=1.0×10−4197NA=1.0×10−4197(6.022×1023)=3.057×1017 個原子N=\frac{1.0\times10^{-4}}{197}N_A =\frac{1.0\times10^{-4}}{197}(6.022\times10^{23}) =3.057\times10^{17}\ \text{個原子}

每秒中子吸收反應率（亦即活化生成率）為：

R=NσϕR=N\sigma\phi

其中 σ=108×10−24 cm2\sigma=108\times10^{-24}\ \mathrm{cm^2}，ϕ=6.0×1012 cm−2s−1\phi=6.0\times10^{12}\ \mathrm{cm^{-2}s^{-1}}，因此：

R=(3.057×1017)(108×10−24)(6.0×1012)=1.981×108 s−1R=(3.057\times10^{17})(108\times10^{-24})(6.0\times10^{12}) =1.981\times10^8\ \mathrm{s^{-1}}

由半衰期 T1/2=2.7 day=233,280 sT_{1/2}=2.7\ \mathrm{day}=233{,}280\ \mathrm{s}，得衰變常數：

λ=ln⁡2T1/2=0.693233,280=2.971×10−6 s−1\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}} =\frac{0.693}{233{,}280} =2.971\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}

恆定生成率照射 ti=3 min=180 st_i=3\ \mathrm{min}=180\ \mathrm{s} 後，照射結束時的活度為：

AEOB=R(1−e−λti)A_{\mathrm{EOB}}=R\left(1-e^{-\lambda t_i}\right)

代入數值：

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第 三 題20 分

請說明下圖中核種 A、B 為何種衰變關係，並推估 22 核種的半衰期。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資訊：

  • 圖名：chain decay A-B
  • 縱軸：relative intensity
  • 橫軸：elapsed time (min)
  • 實線：nuclide A
  • 虛線：nuclide B
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查放射性衰變鏈及半衰期的圖形判讀。

核種 A 的強度隨時間單調下降；核種 B 一開始上升，經過一個最大值後再下降，表示：

  • A 為母核種，會衰變生成 B。
  • B 為 A 的子核種，同時 B 本身也具有放射性，會繼續衰變成下一代核種。
  • 由圖中 A 衰減較快、B 在後期衰減較慢，可判斷 T1/2,A<T1/2,BT_{1/2,A}<T_{1/2,B}。

其基本衰變公式為

NA(t)=NA0e−λAtN_A(t)=N_{A0}e^{-\lambda_A t}

其中

λA=ln⁡2T1/2,A。\lambda_A=\frac{\ln 2}{T_{1/2,A}}。

若 A 衰變生成 B，B 的數量可表示為

NB(t)=NB0e−λBt+λANA0λB−λA(e−λAt−e−λBt)。N_B(t)=N_{B0}e^{-\lambda_B t} +\frac{\lambda_A N_{A0}}{\lambda_B-\lambda_A} \left(e^{-\lambda_A t}-e^{-\lambda_B t}\right)。

第二項代表 A 衰變所產生的 B，因此 B 不會從一開始就單調下降，而會先累積後衰減。

解題方法

  1. 判斷衰變關係

實線 A 在 t=0t=0 時相對強度約為 11，之後持續下降；虛線 B 起初約為 0.10.1，先逐漸上升，在約 200∼250200\sim250 分鐘達到最大值，之後下降。

因此 A 必須是 B 的母核種：

A⟶B⟶下一代核種A\longrightarrow B\longrightarrow \text{下一代核種}

B 的曲線先上升，是因為 A 不斷衰變產生 B；當 B 的生成速率逐漸小於 B 的衰變速率後，B 才開始下降。

  1. 估算核種 A 的半衰期

A 在 t=0t=0 時強度約為 11，尋找強度降至 0.50.5 的時間。由圖可讀得約為

t≈350 mint\approx350\ \text{min}

故

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第 四 題25 分

假設某細胞一擊致死的存活率方程式為 e−νDe^{-\nu D}，且 D37%D_{37\%} 劑量為 20 Sv20\ \mathrm{Sv}（即 e−νD=e−1=0.37e^{-\nu D}=e^{-1}=0.37）；若將假設調整為二擊致死，則其存活率方程式修正為 e−νD(1+νD)e^{-\nu D}(1+\nu D)。

請問：

(1) 其非隨機效應（non-stochastic effect）將於多少劑量（Sv\mathrm{Sv}）時出現？

(2) 二擊致死的 D37%D_{37\%} 劑量（Sv\mathrm{Sv}）為何？

（此題需要將二擊致死模式（model 1）依劑量變化作圖，並以此推估答案。）

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核心觀念

本題使用線性二次模型（linear-quadratic model, LQ model）描述細胞存活率。令

x=νDx=\nu D

其中 DD 為劑量，ν\nu 為劑量尺度參數。一擊致死模型為 S=e−xS=e^{-x}；二擊致死模型為

S=e−x(1+x)S=e^{-x}(1+x)

二擊模型在 D=0D=0 時存活率為 11，隨劑量增加而下降，但低劑量區的存活曲線斜率較平緩。題目所稱非隨機效應，依此題的作圖判讀，是指存活率曲線開始由 S=1S=1 向下偏離的劑量；因此須先由二擊模型作圖，再讀取曲線與 S=1S=1 的交會位置。

由一擊模型的 D37%=20 SvD_{37\%}=20\ \mathrm{Sv} 可得

e−ν(20)=e−1⟹ν=120=0.05 Sv−1e^{-\nu(20)}=e^{-1} \quad\Longrightarrow\quad \nu=\frac{1}{20}=0.05\ \mathrm{Sv^{-1}}

解題方法

(1) 將 ν=0.05 Sv−1\nu=0.05\ \mathrm{Sv^{-1}} 代入二擊存活率方程式：

S(D)=e−0.05D(1+0.05D)S(D)=e^{-0.05D}(1+0.05D)

曲線在 D=0D=0 時有 S(0)=1S(0)=1。其斜率為

dSdD=−ν2De−νD\frac{dS}{dD} =-\nu^2D e^{-\nu D}
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第 五 題20 分

將一隻老鼠體內注入 30 MBq30\ \mathrm{MBq} Tc-99m 溶液，放在核子攝影機間（gamma camera）量測，其在第 1010、5050、100100 及 150150 分鐘時，各掃描 22 分鐘，所得總計數值（gross counts）分別為 49,70949{,}709、36,78736{,}787、18,69618{,}696 及 20,67020{,}670；設 Tc-99m 的物理半衰期為 6.00676.0067 小時，請問此老鼠的生物和有效半衰期各為多少？又此核種在體內的平均壽命（mean life, or average life）是多少小時？

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核心觀念

這題考的是放射性核種在體內的物理衰變與生物排除共同作用，以及由連續量測計數估算有效半衰期。

計數率與體內活度成正比。若體內核種遵循單一指數排除，計數率可寫成

C(t)=C0e−λefftC(t)=C_0e^{-\lambda_{\mathrm{eff}}t}

其中有效衰變常數為

λeff=λp+λb\lambda_{\mathrm{eff}}=\lambda_p+\lambda_b

λp\lambda_p 為物理衰變常數，λb\lambda_b 為生物排除常數。三種半衰期的關係為

1Teff=1Tp+1Tb\frac{1}{T_{\mathrm{eff}}} =\frac{1}{T_p}+\frac{1}{T_b}

平均壽命（mean life）則定義為衰變常數的倒數：

τeff=1λeff=Teffln⁡2\tau_{\mathrm{eff}}=\frac{1}{\lambda_{\mathrm{eff}}} =\frac{T_{\mathrm{eff}}}{\ln 2}

解題方法

每次掃描時間皆為 2 分鐘，因此以總計數除以 2 分鐘即可得平均計數率。因測量時間相同，直接用總計數做指數擬合也會得到相同斜率。令

ln⁡C(t)=ln⁡C0−λefft\ln C(t)=\ln C_0-\lambda_{\mathrm{eff}}t

對四筆資料作 ln⁡C\ln C 對時間 tt 的直線最小平方法擬合，得到斜率約為 −0.01077 min−1-0.01077\ \mathrm{min^{-1}}，故

λeff≈0.01077 min−1=0.6462 h−1\lambda_{\mathrm{eff}}\approx 0.01077\ \mathrm{min^{-1}} =0.6462\ \mathrm{h^{-1}}

因此有效半衰期為

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