110 高普考高考三級 輻射安全 輻射度量 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・輻射安全
試題代碼 輻射度量

第 一 題10 分

某原子核的 QQ 值為 5.05 MeV5.05\ \mathrm{MeV}，其中 5.5%5.5\% 進行能量為 4.745 MeV4.745\ \mathrm{MeV} 的阿伐（α\alpha）衰變，其他機率進行能量為 4.783 MeV4.783\ \mathrm{MeV} 的阿伐（α\alpha）衰變。之後伴隨著伽馬（γ\gamma）輻射，請畫出其衰變圖。

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核心觀念

本題考查 α 衰變的分支比、衰變能量與子核激發態能階的關係。題目給定母核的 QQ 值與兩種 α 粒子能量；在忽略子核反沖能、並將 Q−EαQ-E_\alpha 視為子核激發能的簡化作法下，可由能量差求出兩個子核激發態。

解題方法

α 粒子能量較低的分支，代表留下的能量較多，子核因此處於較高的激發態。依題目給定的 QQ 值計算：

E激發=Q−EαE_{\text{激發}}=Q-E_\alpha
  • 5.5%5.5\% 的分支：
E激發,1=5.05−4.745=0.305 MeVE_{\text{激發},1}=5.05-4.745=0.305\ \mathrm{MeV}
  • 其餘 94.5%94.5\% 的分支：
E激發,2=5.05−4.783=0.267 MeVE_{\text{激發},2}=5.05-4.783=0.267\ \mathrm{MeV}

因此，兩個 α 分支分別布居子核的 0.305 MeV0.305\ \mathrm{MeV} 與 0.267 MeV0.267\ \mathrm{MeV} 激發態。若各激發態直接以 γ 輻射躍遷至基態，γ 能量分別為 0.305 MeV0.305\ \mathrm{MeV} 與 0.267 MeV0.267\ \mathrm{MeV}。

衰變圖

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第 二 題10 分

某光子進行康普敦散射（Compton Scattering）後，散射光子與散射電子能量相等，請計算：

(一) 散射光子與原來方向夾幾度角時，某光子能量可以最低？

(二) 此最低能量為多少？

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核心觀念

康普敦散射遵守能量與動量守恆。設入射光子能量為 EE，散射光子能量為 E′E'，散射電子的動能為 TT，則

E=E′+T.E=E'+T.

題目給定散射光子與散射電子能量相等，即 E′=TE'=T，因此 E′=E/2E'=E/2。

光子散射能量與散射角 θ\theta 的關係為

E′=E1+Emec2(1−cos⁡θ),E'=\frac{E}{1+\dfrac{E}{m_ec^2}(1-\cos\theta)},

其中 mec2=0.511 MeVm_ec^2=0.511\ \text{MeV} 是電子靜止能量。

解題方法

由能量守恆及 E′=TE'=T：

E=E′+T=2E′,E′=E2.E=E'+T=2E', \qquad E'=\frac{E}{2}.

代入康普敦散射公式：

E2=E1+Emec2(1−cos⁡θ).\frac{E}{2} = \frac{E}{1+\dfrac{E}{m_ec^2}(1-\cos\theta)}.

約去 EE 並整理：

1+Emec2(1−cos⁡θ)=2,1+\frac{E}{m_ec^2}(1-\cos\theta)=2,

所以

E(1−cos⁡θ)=mec2.E(1-\cos\theta)=m_ec^2.

因此，符合「散射光子與散射電子能量相等」的入射光子能量為

E=mec21−cos⁡θ.E=\frac{m_ec^2}{1-\cos\theta}.
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第 三 題15 分

某樣本淨計數率和背景計數率分別約為 8080 和 20 cpm20\ \mathrm{cpm}。若有 3030 分鐘的量測時間，請問：

(一) 如何分配樣本與背景量測時間，以最小化樣本計數率的標準差？

(二) 樣本計數率的標準差為多少？

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核心觀念

本題考查樣本淨計數率的統計不確定度，以及總量測時間有限時，如何分配樣本與背景量測時間，使淨計數率的標準差最小。

令樣本總計數率為 RsR_s、背景計數率為 RbR_b，淨計數率為 Rn=Rs−RbR_n=R_s-R_b。若樣本與背景的計數服從卜瓦松統計，兩者量測時間分別為 tst_s、tbt_b，則淨計數率的變異數為

σRn 2=Rsts+Rbtb.\sigma_{R_n}^{\,2} =\frac{R_s}{t_s}+\frac{R_b}{t_b}.

題目給的是淨計數率約 80 cpm80\ \mathrm{cpm}，背景計數率約 20 cpm20\ \mathrm{cpm}，因此樣本總計數率為

Rs=Rn+Rb=80+20=100 cpm.R_s=R_n+R_b=80+20=100\ \mathrm{cpm}.

解題方法

總量測時間固定為 T=30 minT=30\ \mathrm{min}，所以 ts+tb=Tt_s+t_b=T。要使標準差最小，等價於使其平方，也就是變異數最小：

V(ts)=Rsts+RbT−ts.V(t_s)=\frac{R_s}{t_s}+\frac{R_b}{T-t_s}.

對 tst_s 微分並令導數為零：

dVdts=−Rsts2+Rb(T−ts)2=0.\frac{dV}{dt_s} =-\frac{R_s}{t_s^2} +\frac{R_b}{(T-t_s)^2}=0.

整理得

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第 四 題15 分

以游離腔量測一質量阻擋本領為 0.2 MeV⋅m2⋅kg−10.2\ \mathrm{MeV\cdot m^2\cdot kg^{-1}} 之帶電粒子，測得電流為 1×10−13 A1\times10^{-13}\ \mathrm{A}。已知此帶電粒子在游離腔中之平均弦長為 0.2 m0.2\ \mathrm{m}。

(一) 所產生的游離電子對有多少？

(二) 計數率為多少？

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核心觀念

本題考查帶電粒子通過游離腔時，如何由電流換算游離電子對數，以及如何由質量阻止本領與粒子在腔內的平均路徑，求出粒子計數率。

質量阻止本領 Scol/ρS_{\mathrm{col}}/\rho 表示帶電粒子每通過單位面密度所損失的能量。粒子在游離腔內的平均能量損失為

ΔE=(Scolρ)ρL\Delta E=\left(\frac{S_{\mathrm{col}}}{\rho}\right)\rho L

其中 ρ\rho 為腔內介質密度，LL 為平均弦長。每形成一對離子所需的平均能量以 WW 表示，因此每個粒子產生的電子對數為 ΔE/W\Delta E/W。

電流 II 是單位時間通過的電量；每一對離子形成一個正離子與一個電子，收集到的電荷量為基本電荷 ee。因此，游離電子對產生率為 I/eI/e。

解題方法

題目給的質量阻止本領單位為 MeV⋅m2⋅kg−1\mathrm{MeV\cdot m^2\cdot kg^{-1}}，必須乘上介質密度與平均弦長，才能得到單一粒子的能量損失。題目未提供氣體密度及平均成對游離能 WW，採用空氣的標準近似值 ρ=1.29 kg m−3\rho=1.29\ \mathrm{kg\,m^{-3}}、W=34 eVW=34\ \mathrm{eV} 計算。

先算單一粒子的能量損失：

ΔE=0.2 MeV⋅m2kg×1.29 kgm3×0.2 m=0.0516 MeV\Delta E =0.2\ \frac{\mathrm{MeV\cdot m^2}}{\mathrm{kg}} \times1.29\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \times0.2\ \mathrm{m} =0.0516\ \mathrm{MeV}

換算為電子伏特：

0.0516 MeV=5.16×104 eV0.0516\ \mathrm{MeV}=5.16\times10^4\ \mathrm{eV}
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第 五 題10 分

計算蓋格計數器真實計數率與計數率差異小於 1.0%1.0\% 時之最大無感時間。

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核心觀念

蓋格計數器在無感時間 τ\tau 內無法辨識後續事件，因此儀器讀值的計數率 mm 會低於真實計數率 nn。若採用常見的非麻痺型模型，兩者關係為

m=n1+nτ⟺n=m1−mτ.m=\frac{n}{1+n\tau} \qquad\Longleftrightarrow\qquad n=\frac{m}{1-m\tau}.

題目要求真實計數率與儀器讀值的差異小於 1.0%1.0\%，但未提供計數率；最大無感時間須依計數率而定，因此無法算出唯一的數值答案。

解題方法

以真實計數率為基準，將相對差異定義為

n−mn<0.010.\frac{n-m}{n}<0.010.

代入 m=n/(1+nτ)m=n/(1+n\tau)：

n−mn=1−mn=1−11+nτ=nτ1+nτ.\frac{n-m}{n} =1-\frac{m}{n} =1-\frac{1}{1+n\tau} =\frac{n\tau}{1+n\tau}.

令差異達到 1.0%1.0\% 時求臨界無感時間：

nτmax⁡1+nτmax⁡=0.010,\frac{n\tau_{\max}}{1+n\tau_{\max}}=0.010,

解得

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第 六 題10 分

某閃爍偵檢器接受 1 MeV1\ \mathrm{MeV} 的能量沉積，計算後產生 20,30020{,}300 個平均波長為 447 nm447\ \mathrm{nm} 的光子，試求其閃爍效率。

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核心觀念

本題考查閃爍效率，亦即閃爍體將沉積能量轉換為可見光的比例。其定義為：

η=產生的閃爍光子總能量沉積能量×100%\eta=\frac{\text{產生的閃爍光子總能量}}{\text{沉積能量}}\times 100\%

每個光子的能量由波長換算：

Eγ=hcλE_\gamma=\frac{hc}{\lambda}

其中 h=6.626×10−34 J sh=6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}、c=3.00×108 m/sc=3.00\times10^8\ \mathrm{m/s}，且 1 eV=1.602×10−19 J1\ \mathrm{eV}=1.602\times10^{-19}\ \mathrm{J}。

解題方法

題目給出光子數 N=20,300N=20{,}300、平均波長 λ=447 nm\lambda=447\ \mathrm{nm}，以及沉積能量 1 MeV1\ \mathrm{MeV}。先求單一光子的能量，再乘以光子數，最後除以沉積能量。

將波長換算為公尺：

λ=447×10−9 m\lambda=447\times10^{-9}\ \mathrm{m}

單一光子的能量為：

Eγ=(6.626×10−34)(3.00×108)447×10−9≈4.45×10−19 JE_\gamma =\frac{(6.626\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {447\times10^{-9}} \approx 4.45\times10^{-19}\ \mathrm{J}
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第 七 題15 分

計算 1 MeV1\ \mathrm{MeV} 質子：

(一) 完全能量沉積在游離腔中產生的電子－正離子對數。

(二) 完全能量沉積在矽半導體偵檢器中產生的電子－電洞對數。

(三) 在空氣中和在矽中，相同的能量沉積所產生之電荷載體比例。

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核心觀念

本題考的是平均成對能量（mean energy per ion pair, WW）：粒子在介質中沉積能量 EdepE_{\mathrm{dep}} 時，平均每產生一對電荷載體所需的能量。產生的載體對數為

N=EdepWN=\frac{E_{\mathrm{dep}}}{W}

空氣中產生一對電子－正離子，平均約需 Wair=33.97 eVW_{\mathrm{air}}=33.97\ \mathrm{eV}；矽中產生一對電子－電洞，平均約需 WSi=3.6 eVW_{\mathrm{Si}}=3.6\ \mathrm{eV}。

題目指定質子能量完全沉積，因此 Edep=1 MeV=106 eVE_{\mathrm{dep}}=1\ \mathrm{MeV}=10^6\ \mathrm{eV}。

解題方法

(一) 游離腔中的電子－正離子對數

Nair=106 eV33.97 eV/pair≈2.94×104 pairsN_{\mathrm{air}} =\frac{10^6\ \mathrm{eV}}{33.97\ \mathrm{eV/pair}} \approx 2.94\times 10^4\ \mathrm{pairs}

因此，約產生 2.94×1042.94\times 10^4 對電子－正離子。

(二) 矽半導體偵檢器中的電子－電洞對數

NSi=106 eV3.6 eV/pair≈2.78×105 pairsN_{\mathrm{Si}} =\frac{10^6\ \mathrm{eV}}{3.6\ \mathrm{eV/pair}} \approx 2.78\times 10^5\ \mathrm{pairs}

因此，約產生 2.78×1052.78\times 10^5 對電子－電洞。

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第 八 題15 分

討論 BF3\mathrm{BF_3} 或 3He{}^3\mathrm{He} 作為中子量測蓋格管或比例計數器充填氣體的可行性。

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核心觀念

中子不帶電，不能直接使計數器氣體電離。中子計數器通常利用氣體中的核種吸收中子，藉核反應產生帶電粒子，再由這些粒子電離氣體並形成訊號。BF3\mathrm{BF_3} 中的 10B{}^{10}\mathrm{B} 與 3He{}^{3}\mathrm{He} 都能吸收熱中子，因此可作為中子偵測器的充填氣體。

兩種主要反應為：

10B+n→7Li+α{}^{10}\mathrm{B}+n\rightarrow{}^{7}\mathrm{Li}+\alpha

此反應多數會先生成激發態 7Li∗{}^{7}\mathrm{Li}^{*}，再放出約 478 keV478\ \mathrm{keV} 的 γ\gamma 光子。反應總能量約 2.79 MeV2.79\ \mathrm{MeV}，主要分配給 α\alpha 粒子與鋰核。

3He+n→3H+p{}^{3}\mathrm{He}+n\rightarrow{}^{3}\mathrm{H}+p

此反應放出質子與氚核，總能量約 0.764 MeV0.764\ \mathrm{MeV}。兩種反應產生的帶電粒子都能在氣體中造成電離。

解題方法

本題應從「中子吸收反應能否產生可偵測訊號」以及「氣體計數器的工作區域」兩方面判斷。

熱中子被吸收後，反應產物的帶電粒子在氣體中產生初級電離；施加適當電壓後，這些電離電子可在陽極附近引發氣體倍增，形成可量測脈衝。熱中子吸收截面大致為：

  • 10B(n,α){}^{10}\mathrm{B}(n,\alpha)：約 3,8373{,}837 barn。
  • 3He(n,p){}^{3}\mathrm{He}(n,p)：約 5,3305{,}330 barn。

因此兩者都適合用於熱中子偵測。裸管對快中子的靈敏度通常較低；若要量測快中子，常在計數器外加慢化體，先將快中子慢化成熱中子，再由氣體吸收。

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