107 高普考高考三級 輻射安全 考古題詳解

核心觀念

本題為典型公職考試「名詞解釋」題型，涵蓋核工物理、輻射度量學、游離輻射防護法規、核子生物偵測技術及固態劑量學五大領域：

1. 緩和劑：考查中子物理中快中子熱化（Thermalization）之彈性散射機制與材料物化特性。
2. 侖琴：考查傳統輻射暴露量（Exposure, $X$）之嚴格物理定義、條件限制及國際單位制（SI）之換算。
3. 計畫特別暴露：考查我國《游離輻射防護安全標準》中非緊急狀態下超限暴露之法定要件與劑量限度（以命題當年民國 107 年法規為準）。
4. 自動放射攝影術：考查利用自體放射性核種釋放之輻射使感光介質成像之定性、定位顯影技術。
5. 輝光曲線：考查熱發光劑量計（TLD）之能帶模型、電子陷阱動力學及發光強度隨溫度變化之劑量評估原理。

解題方法

此類申論題每小題配分 4 分，閱卷採分點極為明確。切入點應把握「三段式作答架構」：

1. 精準物理／法規定義（佔 2 分）：明確給出標準定義與範疇，嚴禁模糊敘述。
2. 作用機制／定量數值／法規限制（佔 1～1.5 分）：列出關鍵公式、物理量、數值或法定邊界條件。
3. 實務應用或限制（佔 0.5～1 分）：補充工程或實驗上的材料、使用限制與應用實例。

題項逐一分析

(一) 緩和劑（moderator）

1. 定義與功能：在核反應器或中子物理中，用於將核分裂產生的快中子（平均能量約 $2\text{ MeV}$）透過連續彈性碰撞降速為熱中子（能量約 $0.025\text{ eV}$）之介質，藉以大幅提高 $^{235}\text{U}$ 等分裂性核種之熱中子捕獲分裂截面（Fission Cross Section, $\sigma_f$）。
2. 關鍵特性：

• 低質量數（$A \approx 1$）：依據彈性散射運動力學，原子核質量越接近中子質量，單次碰撞之平均對數能量損失率（$\xi$）越大。
• 高散射截面（$\sigma_s$）與極低吸收截面（$\sigma_a$）：須具備極高的緩和比（Moderating Ratio, $\text{MR} = \frac{\xi \sigma_s}{\sigma_a}$），避免寄生吸收中子。

3. 常見材料：輕水（$\text{H}_2\text{O}$）、重水（$\text{D}_2\text{O}$）、高純度石墨（$\text{C}$）、鈹（$\text{Be}$）。

(二) 侖琴（Roentgen，符號：$\text{R}$）

1. 定義與物理量：侖琴為傳統制之「暴露量（Exposure, $X$）」專用單位，用以量測光子在空氣中所產生次級電子的游離能力。
2. 定量定義：在標準溫度及壓力下（$\text{STP}$：$0^\circ\text{C}$、$760\text{ mmHg}$），於 $1\text{ cm}^3$ 之乾燥空氣中（質量約 $1.293 \times 10^{-6}\text{ kg}$），光子所釋放的次級電子在空氣中完全被阻止時，所產生任一符號之離子對電荷量為 $1\text{ esu}$（靜電單位），此照射量即為 $1\text{ R}$。
3. 單位換算與限制條件：

• SI制換算： $1\text{ R} = \frac{1\text{ esu}}{1.293 \times 10^{-6}\text{ kg}} = \frac{\frac{1}{3 \times 10^9}\text{ C}}{1.293 \times 10^{-6}\text{ kg}} = 2.58 \times 10^{-4}\text{ C/kg}$
• 適用限制：僅適用於光子（$\text{X}$ 射線與 $\gamma$ 射線）、僅介質為空氣、且光子能量限制於約 $3\text{ MeV}$ 以下（高能光子難以滿足帶電粒子平衡，CPE）。

(三) 計畫特別暴露（planned special exposure）

1. 法規定義：依據《游離輻射防護安全標準》（以命題當年民國 107 年法規為準），指輻射工作場所在特殊情況下，採取常規控制措施仍無法避免超逾常規年劑量限度，且無其他可行替代方案時，經雇主或設施經營者事先規劃並獲主管機關核准實施之受控暴露。
2. 法定執行條件：

• 須事先研提作業計畫，報請主管機關核准後始得為之。
• 參與人員必須為志願者，事先告知風險並施以適當防護；女性參與者須先確認未懷孕。

3. 法定劑量限度：

• 個人單次之有效劑量不得超過 $100\text{ mSv}$；一人一生累計之計畫特別暴露有效劑量不得超過 $250\text{ mSv}$。
• 眼球水晶體、皮膚或四肢之等價劑量，單次不得超過常規年劑量限度之 $2$ 倍；一生累計不得超過 $5$ 倍。
• 暴露完畢後應予詳細登錄，並副知主管機關及參與人員。 （註：現行法規已修正水晶體年劑量限度，但計畫特別暴露之管理架構與此原則維持一致。）

(四) 自動放射攝影術（autoradiography）

1. 定義與原理：又稱「自我顯影術」，是一種將含有放射性同位素標記的生物組織切片、凝膠電泳膠片或材料樣品，直接置於感光底片（或感光乳膠、影像板）上緊密接觸接觸曝光的成像技術。

核心觀念

本題評量氣體充填中子偵檢器（$BF_3$ 比例計數管與游離腔）之核心物理原理與電氣特性計算，涵蓋三大考點：

1. 理想氣體狀態方程式與同位素原子數計算：利用 $PV = nRT$ 求得氣體莫耳數，結合亞佛加厥常數 $N_A$ 與 $^{10}\mathrm{B}$ 濃縮度（enrichment）求得目標靶核原子數。
2. 中子偵檢器靈敏度（Sensitivity）：偵檢器靈敏度定義為單位中子通量率所產生的計數率（$S = \frac{CR}{\phi}$）。題幹提供馬克士威熱中子通量率修正關係式 $\phi = 1.128 \times \frac{CR}{N\sigma}$，需依此關係式推導靈敏度。
3. 電流型游離腔之飽和電流（Saturation Current）：當偵檢器操作於游離腔區（飽和區）時，所有產生的游離電荷皆被完全收集，飽和電流 $I_{\text{sat}}$ 等於單位時間內所產生的總電荷量： $I_{\text{sat}} = R \times \frac{E}{W} \times e$ 其中 $R$ 為每秒反應次數（計數率 $CR$）、$E$ 為每次反應沈積能量、$W$ 為平均產生一個離子對所需能量、$e$ 為單一電子電量。

解題方法

(一) 計算此 $BF_3$ 中子偵檢器中 $^{10}\mathrm{B}$ 的原子數

1. 基本參數單位轉換：

• 內部體積 $V = 40\ \mathrm{cm^3} = 40 \times 10^{-3}\ \mathrm{L} = 0.040\ \mathrm{L}$
• 絕對溫度 $T = 27 + 273 = 300\ \mathrm{K}$
• 氣體壓力 $P = 70\ \mathrm{cmHg} = \frac{70}{76}\ \mathrm{atm} \approx 0.9211\ \mathrm{atm}$
• 理想氣體常數 $R = 0.082\ \mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}$
• 亞佛加厥常數取 $N_A = 6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$

2. 計算氣體總莫耳數 $n$： 由理想氣體方程式 $PV = nRT$ 可得： $n = \frac{PV}{RT} = \frac{\left(\frac{70}{76}\ \mathrm{atm}\right) \times 0.040\ \mathrm{L}}{0.082\ \mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} \times 300\ \mathrm{K}} = \frac{0.036842}{24.6} \approx 1.498 \times 10^{-3}\ \mathrm{mol}$

3. 計算 $BF_3$ 分子總數與 $^{10}\mathrm{B}$ 原子數 $N$： 每個 $BF_3$ 分子含有 1 個硼原子，氣體中含 96% 的 $^{10}BF_3$（濃縮度 $f = 0.96$）： $N = n \times N_A \times f = \left(1.498 \times 10^{-3}\ \mathrm{mol}\right) \times \left(6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}\right) \times 0.96 \approx 8.66 \times 10^{20}\ \text{個}$

(二) 計算此 $BF_3$ 中子偵檢器的靈敏度（Sensitivity）

1. 定義與公式推導： 偵檢器的靈敏度 $S$ 定義為「單位中子通量率所產生的計數率」： $S = \frac{CR}{\phi}$ 根據題幹給定關係式 $\phi = 1.128 \times \frac{CR}{N\sigma}$，移項整理可得： $S = \frac{CR}{\phi} = \frac{N\sigma}{1.128}$

2. 數值代入：

• 捕獲截面 $\sigma = 4010\ \mathrm{b} = 4010 \times 10^{-24}\ \mathrm{cm^2} = 4.01 \times 10^{-21}\ \mathrm{cm^2}$
• 原子數 $N = 8.655 \times 10^{20}$
• 總反應截面（巨觀截面與體積乘積）$N\sigma = 8.655 \times 10^{20} \times 4.01 \times 10^{-21}\ \mathrm{cm^2} \approx 3.471\ \mathrm{cm^2}$

代入靈敏度公式：

核心觀念

1. 放射性蛻變圖（Decay Scheme）的繪製法則：

• 橫軸與縱軸意義：縱軸代表核能階能量（向上為高能量），橫軸代表原子序 $Z$。
• $\beta^-$ 蛻變方向：$\beta^-$ 蛻變後原子序增加（$Z \to Z+1$），故母核至子核能階的箭頭應向右下方傾斜。
• $\gamma$ 躍遷：核能階間的退激發（De-excitation）釋放 $\gamma$ 光子，原子序不變，以垂直向下箭頭表示。
• 能量守恆關係：最大 $\beta^-$ 端點能量加上對應的子核激發態能階，必等於該蛻變的總能量崩解值 $Q_\beta$。

2. 放射性活度與衰變定律：

• 活度定義：$A(t) = \lambda N(t)$，單位換算 $1\ \mathrm{mCi} = 3.7 \times 10^7\ \mathrm{Bq} = 3.7 \times 10^7\ \mathrm{s^{-1}}$。
• 蛻變數（產生的子核數）：$\Delta N = \int_0^t A(t)\,dt$。當觀察時間 $t$ 遠小於半衰期 $T_{1/2}$（即 $\lambda t \ll 1$）時，活度視為常數，$\Delta N \approx A_0 \times t$。

3. 吸收劑量（Absorbed Dose）定義與 $\beta$ 連續能譜：

• 吸收劑量：$D = \frac{\Delta E}{\Delta m}$，國際標準單位為格雷（$\mathrm{Gy} = \mathrm{J/kg}$）。
• $\beta$ 連續能譜特性：$\beta$ 衰變發射的帶電粒子具有連續能量分布，其平均動能約為最大端點能量的三分之一（$\bar{E}_\beta \approx \frac{1}{3} E_{\beta,\max}$）。

解題方法

(一) 分析能量關係並繪製蛻變圖

1. 確定總蛻變能量（$Q_\beta$）與子核能階：

• 觀察發射能量：$\beta^-_3$ 具有最大發射能量 $1.37\ \mathrm{MeV}$，其能量最高且無伴隨 $\gamma$ 射線，代表直接躍遷至 $^{198}Y$ 的基態（$0\ \mathrm{MeV}$），故總蛻變能量 $Q_\beta = 1.37\ \mathrm{MeV}$。
• 分析激發態：
• 若經 $\beta^-_2$（$0.69\ \mathrm{MeV}$），剩餘激發能為 $1.37 - 0.69 = 0.68\ \mathrm{MeV}$，對應第一激發態，並伴隨發射 $\gamma_2$（$0.68\ \mathrm{MeV}$）躍遷至基態。
• 若經 $\beta^-_1$（$0.28\ \mathrm{MeV}$），剩餘激發能為 $1.37 - 0.28 = 1.09\ \mathrm{MeV}$，對應第二激發態。該能階可發射 $\gamma_3$（$1.09\ \mathrm{MeV}$）直接降至基態，或發射 $\gamma_1$（$0.41\ \mathrm{MeV}$）降至第一激發態（$1.09 - 0.68 = 0.41\ \mathrm{MeV}$）。

2. 蛻變圖架構示意：

 198_X (100 年)
 ───────┬───────────────────────────────────────
 │ \
 │ \ β1- (0.28 MeV, 0.965%)
 │ \
 │ \ β2- (0.69 MeV, 98.99%)
 │ \
 │ \ β3- (1.37 MeV, 0.045%)
 │ \
 │ \
 ↓ ↓ 1.09 MeV 激發態
 │ ───────────────
 │ │ │
 │ γ1 │ │ γ3
 │ (0.41 MeV) │ │ (1.09 MeV)
 │ ↓ │
 │ 0.68 MeV 激發態│
 │ ────────────── │
 │ │ │
 │ γ2 │ │
 │ (0.68 MeV) │ │
 │ ↓ ↓
 └───────────────────────────────────────
 0 MeV (穩定的 198_Y 基態)

(二) 計算 1 天內產生的 $^{198}Y$ 原子數

1. 半衰期與衰變常數分析：

• 母核半衰期 $T_{1/2} = 100\ \text{年} \approx 36,500\ \text{天}$。
• 衰變時間 $t = 1\ \text{天} = 86,400\ \text{s}$。
• 因 $t \ll T_{1/2}$，放射性核種在此期間活度衰減極微（衰變分數 $\lambda t \approx 1.9 \times 10^{-5}$），故活度可視為恆定： $A(t) \approx A_0 = 1\ \mathrm{mCi} = 3.7 \times 10^7\ \mathrm{Bq}$

2. 生成 $^{198}Y$ 原子數計算：

• 由於母核每次蛻變均產生一個 $^{198}Y$ 原子（各分支比率總和為 $0.965\% + 98.99\% + 0.045\% = 100\%$）： $N_Y = \Delta N = A_0 \times t$ $N_Y = (3.7 \times 10^7\ \mathrm{s^{-1}}) \times 86,400\ \mathrm{s} = 3.1968 \times 10^{12}\ \text{個}$

(三) 計算水吸收 $\beta^-$ 之吸收劑量

核心觀念

本題為典型的中子活化分析（Neutron Activation Analysis, NAA）​定量計算題，考查放射化學與輻射度量學的整合應用，核心觀念包含：

1. 偵檢器計數率與放射性活度之關係： 閃爍偵檢器所測得之特定加馬尖峰計數率（Count rate, $C$），取決於射源放射性活度（Activity, $A$）、該加馬光子的蛻變分支比／發射率（Gamma yield / Branching ratio, $Y_\gamma$）以及偵檢器對該能量光子的計數效率（Efficiency, $\epsilon$）： $C = A \cdot Y_\gamma \cdot \epsilon$
2. 中子活化生成活度公式（照射期累積模型）： 在穩定熱中子通量率 $\phi$ 照射下，目標核種（$^{50}\mathrm{Cr}$）經 $(n,\gamma)$ 反應生成放射性核種（$^{51}\mathrm{Cr}$）。若忽略靶核消耗（Burnout），照射時間 $t_{\mathrm{irr}}$ 結束瞬間的活度為： $A = N_{50} \cdot \sigma \cdot \phi \cdot \left(1 - e^{-\lambda t_{\mathrm{irr}}}\right)$ 其中：

• $N_{50}$：照射前樣品中 $^{50}\mathrm{Cr}$ 的原子數。
• $\sigma$：熱中子捕獲微觀截面（Microscopic cross section）。
• $\phi$：熱中子通量率（Neutron flux）。
• $\lambda$：生成核種之蛻變常數（Decay constant），$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$。
• $S = 1 - e^{-\lambda t_{\mathrm{irr}}}$：飽和因子（Saturation factor）。

3. 同位素豐度與化學元素質量換算： 中子活化直接反應的是特定目標同位素核數（$N_{50}$）。若求整體天然元素含量，需藉由自然同位素豐度（Isotopic abundance, $\theta$）及原子量（Atomic weight, $M$）進行換算： $m_{\mathrm{Cr}} = \frac{N_{50}}{\theta_{50}} \cdot \frac{M_{\mathrm{Cr}}}{N_A}$
4. 活化分率（Activation Fraction）： 靶核在照射期間吸收中子發生核反應的機率（反應分率），由中子通量率、反應截面與照射時間決定： $f = 1 - e^{-\sigma \phi t_{\mathrm{irr}}} \approx \sigma \phi t_{\mathrm{irr}} \quad (\text{當 } \sigma \phi t_{\mathrm{irr}} \ll 1)$

解題方法

(一) 計算原先樣品中含有多少克的鉻

步驟 1：由計數率求照射結束時 $^{51}\mathrm{Cr}$ 之活度 $A$

• 加馬光子計數率： $C = 3000\ \mathrm{cpm} = \frac{3000}{60}\ \mathrm{cps} = 50\ \mathrm{s^{-1}}$
• 題目給定：加馬發射分支比 $Y_\gamma = 10\% = 0.10$，偵檢器計數效率 $\epsilon = 10\% = 0.10$。
• 題意未提及冷卻時間，視為照射結束後立即量測（冷卻時間 $t_d = 0$）： $A = \frac{C}{Y_\gamma \cdot \epsilon} = \frac{50}{0.10 \times 0.10} = 5000\ \mathrm{Bq}\ (\mathrm{disintegrations\cdot s^{-1}})$

步驟 2：求 $^{51}\mathrm{Cr}$ 蛻變常數 $\lambda$ 與飽和因子 $S$

• 半衰期 $T_{1/2} = 27.8\ \text{天}$，照射時間 $t_{\mathrm{irr}} = 10\ \text{天}$。
• 蛻變常數： $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.69315}{27.8\ \text{天}} \approx 0.02493\ \mathrm{day^{-1}}$
• 飽和因子： $S = 1 - e^{-\lambda t_{\mathrm{irr}}} = 1 - e^{-0.02493 \times 10} = 1 - e^{-0.2493} \approx 1 - 0.7793 = 0.2207$

步驟 3：求照射前靶核 $^{50}\mathrm{Cr}$ 的原子數 $N_{50}$

• 已知參數：
• $\sigma = 13.5\ \mathrm{b} = 13.5 \times 10^{-24}\ \mathrm{cm^2}$
• $\phi = 10^{11}\ \mathrm{neutrons\cdot cm^{-2}\cdot s^{-1}}$
• $\sigma \phi = (13.5 \times 10^{-24}) \times 10^{11} = 1.35 \times 10^{-12}\ \mathrm{s^{-1}}$
• 帶入活化活度公式： $A = N_{50} \cdot \sigma \cdot \phi \cdot S$ $N_{50} = \frac{A}{\sigma \cdot \phi \cdot S} = \frac{5000}{1.35 \times 10^{-12} \times 0.2207} \approx 1.678 \times 10^{16}\ \text{個原子}$

步驟 4：由原子數計算鉻的質量 在中子活化分析中，「樣品中的鉻含量」指天然全鉻元素含量。依物理常數：

• 天然鉻中 $^{50}\mathrm{Cr}$ 的同位素豐度 $\theta_{50} \approx 4.35\%$（或 $4.345\%$）
• 鉻之平均原子量 $M_{\mathrm{Cr}} \approx 52.00\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$
• 亞佛加厥常數 $N_A \approx 6.022 \times 10^{23}\ \mathrm{atoms\cdot mol^{-1}}$

核心觀念

本題考查遠隔治療室主射束防護屏蔽設計（Primary Barrier Shielding Design）​及複合屏蔽之半值層（Half-Value Layer, HVL）衰減計算：

1. 未屏蔽每週等價劑量計算： 依據點射源平方反比定律與暴露率常數 $\Gamma$，每週在防護目標點未屏蔽之暴露量（或等價劑量）公式為： $D_0 = \frac{\Gamma \cdot A \cdot t \cdot T}{d^2}$

• $\Gamma$：暴露率常數（$^{60}\mathrm{Co}$ 為 $1.32\ \mathrm{R\cdot m^2\cdot Ci^{-1}\cdot hr^{-1}}$）
• $A$：射源活度（$1500\ \mathrm{Ci}$）
• $t$：射束朝向該屏蔽牆之每週照射時間（$\mathrm{hr/week}$）
• $T$：防護區域之占用因素（Occupancy Factor）
• $d$：射源至防護目標點之距離（$4\ \mathrm{m}$）
• 單位換算：依輻射防護常規，高能加馬射線（$^{60}\mathrm{Co}$）在軟組織中 $1\ \mathrm{R} \approx 1\ \mathrm{rem} = 1000\ \mathrm{mrem}$。

2. 屏蔽穿透分率（Transmission Factor, $B$）與半值層（HVL）： 射線穿透物質後的衰減遵循指數衰減律，以半值層數 $n$ 表示時： $B = \left(\frac{1}{2}\right)^n = 2^{-n}$ 其中 $n = \frac{x}{\mathrm{HVL}}$，$x$ 為屏蔽厚度。

3. 複合屏蔽（Composite Shielding）之衰減： 當有多層屏蔽（混凝土加鉛）時，總穿透分率為各層穿透分率之乘積： $B_{\text{total}} = B_{\text{conc}} \times B_{\text{Pb}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n_{\text{conc}}} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n_{\text{Pb}}}$ 防護目標為使牆外每週劑量 $D$ 不超過法規或設計限值 $P$： $D = D_0 \cdot B_{\text{total}} \le P \implies B_{\text{Pb}} \le \frac{P}{D_0 \cdot B_{\text{conc}}} = \frac{P}{D_{\text{conc}}}$

解題方法

一、基本參數與共用數值計算

1. 射源在 $d = 4\ \mathrm{m}$ 處之未屏蔽劑量率 $\dot{D}$： $\dot{D} = \frac{\Gamma \cdot A}{d^2} = \frac{1.32\ \mathrm{R\cdot m^2\cdot Ci^{-1}\cdot hr^{-1}} \times 1500\ \mathrm{Ci}}{(4\ \mathrm{m})^2} = \frac{1980}{16} = 123.75\ \mathrm{R/hr}$ 換算為每小時毫侖目： $\dot{D} = 123.75 \times 1000\ \mathrm{mrem/hr} = 123,750\ \mathrm{mrem/hr}$

2. 現有混凝土牆之衰減能力：

• 混凝土厚度 $t_{\text{conc}} = 0.72\ \mathrm{m} = 72\ \mathrm{cm}$
• 混凝土半值層 $\mathrm{HVL}_{\text{conc}} = 6\ \mathrm{cm}$
• 混凝土半值層數： $n_{\text{conc}} = \frac{72\ \mathrm{cm}}{6\ \mathrm{cm}} = 12\ \mathrm{HVL}$
• 混凝土穿透分率： $B_{\text{conc}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{12} = \frac{1}{4096} \approx 2.4414 \times 10^{-4}$

(一) 計算北面控制室牆面需補足之鉛屏蔽厚度

1. 條件代入：

• 照射時間 $t = 6\ \mathrm{hr/week}$
• 控制室為工作人員長期居留區域，占用因素 $T = 1$
• 劑量限值 $P = 100\ \mathrm{mrem/week}$

2. 計算北面未屏蔽每週劑量 $D_{0,\text{North}}$： $D_{0,\text{North}} = \dot{D} \times t \times T = 123,750\ \mathrm{mrem/hr} \times 6\ \mathrm{hr/week} \times 1 = 742,500\ \mathrm{mrem/week}$

核心觀念

本題為典型的輻射計數統計學（Radiation Counting Statistics）​考題，主要測驗考生對於放射化學度量中「預設計數法（Preset Count Method）」的數據處理能力，涵蓋四項核心理論：

1. 預設計數法與計數率（Count Rate）： 在固定累積計數 $N$ 的條件下記錄所耗費的時間 $t$。當進行多次獨立度量時，最佳毛計數率（Gross Count Rate, $R_g$）為總累積計數除以總度量時間： $R_g = \frac{\sum N_i}{\sum t_i}$
2. 輻射計數之統計誤差與誤差傳遞（Error Propagation）： 放射性衰變遵循卜瓦松分布（Poisson distribution）。當累積計數 $N \gg 30$ 時，可逼近常態分布：

• 計數之標準差為 $\sigma_N = \sqrt{N}$。
• 計數率之標準差為 $\sigma_R = \frac{\sqrt{N}}{t} = \frac{R}{\sqrt{N}}$。
• 淨計數率（Net Count Rate）為 $R_n = R_g - R_b$，其合成標準偏差（偏差值）依獨立變數方差和傳遞： $\sigma_{R_n} = \sqrt{\sigma_{R_g}^2 + \sigma_{R_b}^2} = \sqrt{\frac{N_g}{t_g^2} + \frac{N_b}{t_b^2}}$

3. 變異係數（Coefficient of Variation, $\mathrm{CV}$）： 又稱相對標準偏差（Relative Standard Deviation, $\mathrm{RSD}$），定義為標準差與平均值之比值： $\mathrm{CV} = \frac{\sigma}{\mu} \times 100\%$
4. 信賴水平與常態分布臨界值（Confidence Level and $Z$-score）： 在常態分布下，信賴水平為 $1 - \alpha$ 的雙尾信賴區間半寬度（即偏差值／擴充不確定度 $\Delta$）為： $\Delta = Z_{\alpha/2} \cdot \sigma$ 對於 $96\%$ 信賴水平，雙尾顯著水準 $\alpha = 1 - 0.96 = 0.04$，單尾累積機率為 $1 - 0.02 = 0.98$，對應之標準常態分位數 $Z_{0.02} \approx 2.054$（或取 $2.05$）。

解題方法

(一) 計算樣品淨計數率與偏差值 ($\mathrm{cpm}$)

1. 樣品毛計數率（$R_g$）與其標準差（$\sigma_{R_g}$）：

• 總實驗次數為 $5$ 次，每次計數均為 $40000$ 個： $N_g = 5 \times 40000 = 200000\text{ counts}$
• 總花費時間： $t_g = 36.40 + 35.41 + 36.11 + 36.78 + 36.40 = 181.10\text{ min}$
• 樣品毛計數率： $R_g = \frac{N_g}{t_g} = \frac{200000}{181.10} \approx 1104.36\text{ cpm}$
• 毛計數率之標準差： $\sigma_{R_g} = \frac{\sqrt{N_g}}{t_g} = \frac{\sqrt{200000}}{181.10} = \frac{447.21}{181.10} \approx 2.47\text{ cpm}$

2. 背景計數率（$R_b$）與其標準差（$\sigma_{R_b}$）：

• 背景計數 $N_b = 2000\text{ counts}$，量測時間 $t_b = 20\text{ min}$： $R_b = \frac{N_b}{t_b} = \frac{2000}{20} = 100.00\text{ cpm}$
• 背景計數率之標準差： $\sigma_{R_b} = \frac{\sqrt{N_b}}{t_b} = \frac{\sqrt{2000}}{20} = \frac{44.72}{20} \approx 2.24\text{ cpm}$

3. 樣品淨計數率（$R_n$）與其偏差值（$\sigma_{R_n}$）：

• 淨計數率： $R_n = R_g - R_b = 1104.36 - 100.00 = 1004.36\text{ cpm}$
• 淨計數率之標準偏差值： $\sigma_{R_n} = \sqrt{\sigma_{R_g}^2 + \sigma_{R_b}^2} = \sqrt{(2.469)^2 + (2.236)^2} = \sqrt{6.098 + 5.000} = \sqrt{11.098} \approx 3.33\text{ cpm}$

(二) 計算此樣品的變異係數 ($\mathrm{CV}$)

變異係數代表度量結果的相對離散程度。在放射化學樣品分析中，此樣品的變異係數以「樣品淨計數率」之相對標準差表示：