110 高普考高考三級 水土保持工程 坡地穩定與崩塌地治理工程 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・水土保持工程
試題代碼 坡地穩定與崩塌地治理工程

第 一 題20 分

土壤無限邊坡單位重 γ\gamma、坡度 β\beta、摩擦角 ϕ\phi、凝聚力 cc，試計算無地下水存在、滑動面深度為 hh 之安全係數。

說明若降雨使邊坡含水量增加並產生地下水壓，如何影響砂土與黏土邊坡的穩定性。

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核心觀念

本題考查無限邊坡（infinite slope）的極限平衡分析。無限邊坡假設坡面很長，滑動面與坡面平行，因此可取單位寬度土體，分析滑動面上的下滑剪應力與抗剪強度。

依莫爾－庫侖破壞準則，土體抗剪強度為

τf=c+σ′tan⁡ϕ\tau_f=c+\sigma' \tan\phi

其中 cc 為凝聚力，ϕ\phi 為摩擦角，σ′\sigma' 為有效正應力。安全係數定義為滑動面抗剪強度與下滑剪應力之比。

解題方法

以下假設題目所稱滑動面深度 hh 是由坡面垂直量至滑動面的垂直深度，並採用乾燥、無地下水壓的情況。

取坡面上一段長度為 LL、單位寬度的土體。其水平投影長為 Lcos⁡βL\cos\beta，土體重量為

W=γhLcos⁡βW=\gamma hL\cos\beta

重量沿滑動面的下滑分力為 Wsin⁡βW\sin\beta，垂直滑動面的正向分力為 Wcos⁡βW\cos\beta。滑動面長度為 LL，故下滑剪應力及正應力分別為

τ=Wsin⁡βL=γhsin⁡βcos⁡β\tau=\frac{W\sin\beta}{L} =\gamma h\sin\beta\cos\beta σ=Wcos⁡βL=γhcos⁡2β\sigma=\frac{W\cos\beta}{L} =\gamma h\cos^2\beta

無地下水壓時，孔隙水壓 u=0u=0，因此 σ′=σ\sigma'=\sigma。代入莫爾－庫侖準則，滑動面抗剪強度為

τf=c+γhcos⁡2βtan⁡ϕ\tau_f=c+\gamma h\cos^2\beta\tan\phi

所以安全係數為

Fs=τfτ=c+γhcos⁡2βtan⁡ϕγhsin⁡βcos⁡β\boxed{ F_s=\frac{\tau_f}{\tau} =\frac{c+\gamma h\cos^2\beta\tan\phi} {\gamma h\sin\beta\cos\beta} }

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第 二 題20 分

試解釋為何有些邊坡不穩定就崩塌垮掉，有些邊坡數十年間歷經了多次的位移而尚未崩塌垮掉？

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核心觀念

本題考的是邊坡的「變形」與「破壞」並非同一件事。邊坡可以因應力調整、地下水變化或地震而發生多次位移；只要坡體仍保有足夠的抗剪強度，且位移沒有形成貫通的滑動面或造成整體失穩，就不一定會崩塌。

邊坡穩定可用安全係數概念說明：

Fs=抗滑力滑動力F_s=\frac{\text{抗滑力}}{\text{滑動力}}

當 Fs>1F_s>1 時，抗滑力大於滑動力；當 FsF_s 降至 11 左右或以下，坡體便達到極限平衡或失穩條件。不過，實際崩塌與否還取決於破壞範圍、滑動面的連續性、材料性質及變形是否能持續發展，不能只看曾經發生過位移。

解題方法

採「位移型態—強度變化—破壞機制」比較兩類邊坡：

  1. 不穩定後迅速崩塌的邊坡 坡體抗剪強度接近或低於作用剪應力，遇到豪雨、地下水位上升、地震或坡腳遭侵蝕等因素，使滑動力增加或抗滑力降低。若弱面連續、坡體脆性高，破壞一旦起始便容易快速擴展，形成貫通滑動面，造成整體滑動或崩落。

  2. 長期多次位移但未整體崩塌的邊坡 位移可能是局部、間歇或緩慢的，代表坡體正在調整或局部剪切，但尚未發展成控制整體坡體的連續滑動面。土體或岩體也可能具有延性、殘餘強度，或由不同區塊分擔變形；因此每次位移後仍能維持新的平衡，未發生快速、整體性的破壞。

關鍵差異

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第 三 題20 分

以下立體投影圖中，粗弧線為坡面的大圓，三條細弧線為弱面的大圓。若弱面摩擦角為 20∘20^\circ，試考慮岩塊的運動，分析此坡面的穩定性。

（立體投影圖請參考原卷。）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考岩坡立體投影的運動學分析：先由坡面與弱面的大圓判斷岩塊是否有可滑出的幾何條件，再以弱面摩擦角 20∘20^\circ 檢查滑動方向是否足以克服摩擦。

運動學上主要檢查三種破壞：

  • 平面滑動：弱面傾向朝向坡外，且弱面傾角小於坡面傾角、大於摩擦角。
  • 楔形滑動：兩弱面交線朝坡外出露，且交線傾伏角大於摩擦角。
  • 傾倒破壞：弱面陡傾向坡內，並有利於岩柱向坡外傾倒。

立體投影只能判斷破壞的幾何條件，不足以單獨算出安全係數。

解題方法與圖形判讀

圖中粗弧線是坡面大圓，三條細弧線是弱面大圓。以坡面大圓界定坡面出露範圍，再查看弱面大圓彼此的交點：若交線朝坡外出露，且傾伏角大於 20∘20^\circ，便符合楔形滑動的運動學條件。

依圖上弱面大圓的交會位置判讀，弱面交線落在坡面可出露的一側，並位於摩擦角所界定的可滑動區域內。因此，岩塊有沿弱面交線向坡外滑出的可能，應判為具楔形滑動潛勢。

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第 四 題20 分

有限元素法是常用的邊坡穩定分析數值方法之一。對於邊坡二維的分析，應選擇平面應力或平面應變？

線彈性完全塑性模型（linear elastic perfectly plastic）是常用較簡單的模型，它定義了什麼？其彈性階段與塑性階段分別可以用什麼參數定義？

說明其計算安全係數的方法。

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核心觀念

本題考有限元素法（FEM）分析邊坡時的二維假設、線彈性完全塑性本構模型，以及以剪力強度折減法求安全係數。

二維分析假設：平面應變

一般邊坡二維剖面代表沿坡向之外的方向延伸很長，且該方向的變形受到限制，因此採用平面應變：剖面外應變為零，亦即 εz=0\varepsilon_z=0。剖面外應力 σz\sigma_z 則不必為零，會由本構關係求得。

平面應力假設剖面外應力 σz=0\sigma_z=0，較適用於厚度相對薄、自由表面附近且厚度方向應力可忽略的構件；一般長延伸的邊坡剖面不符合這個假設。

線彈性完全塑性模型

「線彈性完全塑性」描述材料受力後的應力—應變行為：

  • **彈性階段：**應力與應變呈線性關係，卸載可回復；常以彈性模數 EE、蒲松比 ν\nu（或剪力模數 GG、體積模數 KK）定義。
  • **塑性階段：**應力達到降伏條件後，產生不可回復的塑性變形；完全塑性表示塑性變形增加時，降伏強度不再隨變形硬化或軟化。土壤常以莫耳－庫倫（Mohr–Coulomb）破壞準則描述，參數為凝聚力 cc、內摩擦角 ϕ\phi，若考慮剪脹，另需剪脹角 ψ\psi。

莫耳－庫倫剪力強度可寫為：

τf=c+σn′tan⁡ϕ\tau_f=c+\sigma_n'\tan\phi

其中 σn′\sigma_n' 為破壞面上的有效正向應力。

解題方法：剪力強度折減法

有限元素法以平衡方程、應變－位移關係及材料本構關係逐步求解邊坡應力與變形。求安全係數時，逐次降低土體抗剪強度，觀察模型何時進入整體破壞。

給定試算安全係數 FF，折減後參數為：

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第 五 題20 分

無水壓力狀況下，考慮擋土牆的不移動或移動，請繪圖說明如何估計無凝聚性土壤作用於牆的作用力。

已知牆高為 HH，土壤單位重為 γ\gamma，摩擦角為 ϕ\phi。

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核心觀念

本題考查擋土牆背後無凝聚性土壤的側向土壓力，關鍵是判斷牆體是否移動。牆體位移會改變土壤的側向應力狀態，分別形成靜止土壓力、主動土壓力或被動土壓力。

以下採用 Rankine 土壓力理論，假設牆背垂直、地表水平、牆面光滑，土壤均質且不受地下水壓力；土壓力合力方向為水平。若實際牆背粗糙或地表傾斜，需改用相應的土壓力公式。

解題方法

令 zz 為自地表向下的深度。無凝聚性土壤的垂直應力為

σv=γz\sigma_v=\gamma z

側向應力以土壓力係數 KK 乘上垂直應力表示：

σh=Kσv=Kγz\sigma_h=K\sigma_v=K\gamma z

因此，側向壓力沿牆高呈三角形分布，牆底最大壓力為 KγHK\gamma H。合力為壓力分布圖的面積，作用點位於牆底以上 H/3H/3。

1. 牆體不移動：靜止土壓力

牆體限制土壤側向變形時，土壤處於靜止狀態。一般以 Jaky 公式估算正常固結土的靜止土壓力係數：

K0=1−sin⁡ϕK_0=1-\sin\phi

故牆底側向壓力與合力分別為

σh0,max⁡=K0γH\sigma_{h0,\max}=K_0\gamma H P0=12K0γH2=12(1−sin⁡ϕ)γH2P_0=\frac{1}{2}K_0\gamma H^2 =\frac{1}{2}(1-\sin\phi)\gamma H^2

合力作用點在牆底以上 H/3H/3。

牆背土壤側壓力分布（靜止）

地表 ┃\
 ┃ \
 ┃ \
 ┃ \
牆底 ┃____\ 最大值：K₀γH
 → P₀
 作用點：牆底以上 H/3

2. 牆體向外移動：主動土壓力

牆體離開土壤時，土壤側向應力逐漸降低；達到極限平衡後形成主動土壓力。Rankine 主動土壓力係數為

Ka=1−sin⁡ϕ1+sin⁡ϕ=tan⁡2(45∘−ϕ2)K_a=\frac{1-\sin\phi}{1+\sin\phi} =\tan^2\left(45^\circ-\frac{\phi}{2}\right)

因此

σha,max⁡=KaγH\sigma_{ha,\max}=K_a\gamma H Pa=12KaγH2P_a=\frac{1}{2}K_a\gamma H^2

合力作用點同樣在牆底以上 H/3H/3。

牆體向外移動，土壤形成主動狀態

土壤 牆
 ┃
 ↖ ┃
 ┌─────┃
 \ ┃
 \ ┃
 \ ┃
 \_┃ 最大值：KₐγH
 → Pₐ
 作用點：牆底以上 H/3

3. 牆體向土壤方向移動：被動土壓力

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