109 高普考高考三級 統計 迴歸分析 考古題詳解

核心觀念

本題考查迴歸係數的個別 $t$ 檢定、虛擬變數係數解釋、整體迴歸的 $F$ 檢定、判定係數，以及向前選取與向後剔除。

對含 $k$ 個解釋變數、$n$ 筆觀測值的模型，誤差自由度為 $n-k-1$。個別係數檢定使用

以顯著水準 $0.05$ 做雙尾檢定，若 $|t|>t_{0.975,\,n-k-1}$，則拒絕 $H_0$。模型的整體迴歸檢定則檢定所有斜率係數是否同時為 $0$。

（一）檢定各模型中 $X_2$ 係數的顯著性並比較

$X_2$ 出現在模型 B、D、F、G。各模型的自由度與檢定結果如下：

因此，模型 B 與 F 中的 $X_2$ 係數未達顯著；模型 D 與 G 中則達顯著。

比較時須注意，這些是不同控制條件下的係數檢定：B 只放入 $X_2$；F 控制 $X_3$；D 控制 $X_1$；G 同時控制 $X_1$ 與 $X_3$。$X_2$ 在單變數模型 B 中不顯著，但控制 $X_1$ 後的 D、以及控制 $X_1$ 與 $X_3$ 後的 G 中顯著，表示其條件關係與單獨考慮時不同。不能只憑 B 的檢定結果，判斷 $X_2$ 在多元迴歸中也不重要。

（二）比較模型 C 與 G 中 $X_3$ 係數的意義

模型 C 是只以 $X_3$ 解釋 $Y$ 的迴歸：

由於 $X_3=1$ 代表直轄市、$X_3=0$ 代表非直轄市，模型 C 中的 $2600.667$ 是兩組交易總金額平均值的差：直轄市平均值比非直轄市高 $2600.667$ 億元。此比較未控制其他變數。

模型 G 同時納入 $X_1$、$X_2$、$X_3$：

其中 $X_3$ 的估計係數 $-1235.952$ 表示在房仲店數 $X_1$ 與平均每店全年傭收 $X_2$ 相同時，直轄市的預測交易總金額比非直轄市低 $1235.952$ 億元。這是控制其他解釋變數後的差異，與模型 C 的未控制組間差異意義不同。

（三）模型 D 的變異數分析表與整體檢定

模型 D 含 $X_1、X_2$，所以 $n=9$、迴歸自由度為 $2$、誤差自由度為 $9-2-1=6$，總自由度為 $8$。

誤差均方為

因此

由題目所列 $Y$ 值計算：

故

變異數分析表如下（數值因題目所列 $s$ 經四捨五入而為近似值）：

整體檢定為

核心觀念

二維常態分配的條件分配仍為常態。其條件平均數是 $Y$ 對 $X$ 的線性投影，其斜率為 $\operatorname{Cov}(X,Y)/\sigma_x^2$；條件變異數則是扣除線性關係所能解釋的部分後，剩餘的變異數。

已知

因此條件平均數的斜率為

（一）條件分配的均數與變異數

令

則 $Z,W$ 為標準常態變數，且相關係數為 $\rho$。考慮線性組合

當 $|\rho|<1$ 時，$U$ 為標準常態，且 $\operatorname{Cov}(U,Z)=0$。由於 $(U,Z)$ 為聯合常態且不相關即獨立，故 $U$ 與 $Z$ 獨立。整理 $W=\rho Z+\sqrt{1-\rho^2}U$，可得

給定 $X=x_i$ 後，$U$ 的分配不變，故

因此

若 $|\rho|=1$，聯合常態退化於一條直線，條件變異數為 $0$；上述均數與變異數公式仍成立。

（二）迴歸參數

將條件平均數改寫為 $x_i$ 的截距斜率形式：

與 $\beta_0+\beta_1x_i$ 比較，得到

（三）誤差項分配

由 $Y_i\mid X_i=x_i\sim N(\beta_0+\beta_1x_i,\sigma^2)$，且

可知條件於 $X_i$ 時，誤差項均數為 $0$、變異數為 $\sigma^2$，所以

（四）證明 $\sigma_y^2\geq\sigma^2$ 及等號條件

由