109 高普考高考三級 統計 以實例命題 考古題詳解

109 年・高普考・高考三級・統計
試題代碼 統計實務（以實例命題）

第 一 題20 分

(一) 何謂失業率？如何計算並界定失業者？請舉例說明。

(二) 臺灣 2020 年 3 月失業率為 3.72%、4 月失業率為 4.03%，在顯著水準 α=0.1\alpha=0.1 下，臺灣 2020 年 3 月失業率與 4 月失業率是否有顯著差異（調查樣本數皆為 10000）？（Z0.05=1.64Z_{0.05}=1.64）

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核心觀念

失業率是失業者占勞動力的比率。勞動力由就業者與失業者組成，因此計算時的分母不是全體人口，也不是所有年滿 15 歲的人口。

失業率=失業者人數勞動力人數×100%=失業者人數就業者人數+失業者人數×100%\text{失業率} =\frac{\text{失業者人數}}{\text{勞動力人數}}\times 100\% =\frac{\text{失業者人數}}{\text{就業者人數}+\text{失業者人數}}\times 100\%

依臺灣人力資源調查的定義，失業者須在資料標準週內年滿 15 歲，並同時符合下列條件：

  1. 沒有工作。
  2. 隨時可以工作。
  3. 正在尋找工作，或已找工作而正在等待結果。

因此，沒有工作不必然就是失業者；若沒有尋職，或目前無法工作，通常不列入失業者，而屬非勞動力。

解題方法與例子

例如某地勞動力共 100 萬人，其中 96 萬人就業、4 萬人失業，則：

失業率=496+4×100%=4%\text{失業率}=\frac{4}{96+4}\times 100\%=4\%

若某人沒有工作，且正在找工作、可以立即上班，符合失業者條件；若某人沒有工作，但正在就學且未找工作，則不列入失業者，也不計入勞動力分母。

（二）3 月與 4 月失業率是否有顯著差異

核心觀念與假設

本題比較兩個月份的失業率，可視為兩個樣本比例的差異檢定。題目未提供樣本是否重疊、抽樣設計效果或加權資訊，以下依題意假設兩月樣本為互相獨立的簡單隨機樣本，且各有 10,000 人。

設 3 月失業率為 p1p_1，4 月失業率為 p2p_2，檢定：

H0:p1=p2H1:p1≠p2H_0:p_1=p_2 \qquad H_1:p_1\ne p_2

顯著水準為 α=0.1\alpha=0.1，為雙尾檢定，每尾面積為 0.050.05，臨界值為 ±Z0.05=±1.64\pm Z_{0.05}=\pm1.64。

解題步驟

樣本比例為：

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第 二 題20 分

(一) 請說明我國綠色國民所得帳主要內容為何？

(二) 下表為 107 年臺灣空氣污染排放量，試說明 PM2.5_{2.5} 較高的前 3 名地區之特色及原因。

單位：公噸

地區總計總懸浮微粒（TSP）PM2.5_{2.5}硫氧化物（SOx）氮氧化物（NOx）非甲烷碳氫化合物（NMHC）一氧化碳（CO）鉛（Pb）
北部空品區451,51872,75211,01915,46964,275192,395106,57356
竹苗空品區124,35924,8094,3212,80927,48541,38427,83934
中部空品區347,71766,31311,62423,47264,633103,62789,563109
雲嘉南空品區278,77351,5219,18212,72455,32281,70177,43769
高屏空品區504,85558,39911,88928,64965,26582,442270,02871
宜蘭空品區40,85314,0392,3941,13610,0098,6656,96143
花東空品區63,60118,6864,2254,70517,08211,44311,6831
離島地區26,6926,2351,3253,9989,7323,9012,8260
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核心觀念

本題考兩個觀念：一是綠色國民所得帳如何把自然資源耗用與環境損害納入國民所得衡量；二是如何依表中 PM2.5_{2.5} 排放量排序，再結合各空品區的產業、交通與污染物特徵說明原因。

PM2.5_{2.5} 是空氣動力學直徑小於或等於 2.52.5 微米的細懸浮微粒。它包含直接排放的微粒，也可由硫氧化物、氮氧化物及揮發性有機物等前驅物在大氣中反應生成。

解題方法

（一）我國綠色國民所得帳的主要內容

傳統國民所得帳以市場交易衡量經濟活動，但自然資源耗竭與環境品質惡化可能未充分反映在傳統 GDP 中。綠色國民所得帳則在國民所得帳架構下，補充自然資源與環境資料，並估算環境成本，呈現經濟活動對環境資源的耗用。

主要內容可分為：

  1. 自然資源存量與耗用帳：記錄森林、水、礦產等自然資源的存量變化與耗用情形，估算資源耗竭成本。
  2. 環境污染與損害帳：記錄空氣、水、廢棄物等污染狀況，估算污染造成的環境損害成本。
  3. 環境保護支出帳：整理政府、企業與家戶為污染防治及環境保護所投入的支出。
  4. 環境調整後國民所得指標：將自然資源耗竭與環境損害成本納入國民所得衡量，使經濟成長數字能反映環境代價。

概念上，環境調整後的生產指標可表示為：

環境調整後淨國內生產=GDP−固定資本消耗−自然資源耗竭成本−環境損害成本\text{環境調整後淨國內生產} = \text{GDP} - \text{固定資本消耗} - \text{自然資源耗竭成本} - \text{環境損害成本}

環境保護支出也須另行觀察；它反映社會投入多少資源進行防治與改善，不能直接等同於環境損害成本。

（二）PM2.5_{2.5} 排放量最高的前三名地區

依表列數據由高至低排序：

排名地區PM2.5_{2.5} 排放量
1高屏空品區11,889 公噸
2中部空品區11,624 公噸
3北部空品區11,019 公噸
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第 三 題30 分

(一) 編製指數時，通常考慮那些因素？

(二) 假設近年來臺中市市民的每週平均早餐類價格與消費量如下表，試求以 2017 年為基期，2018 與 2019 年的拉氏（Laspeyres）物價指數。

商品2017 價格2017 消費量2018 價格2018 消費量2019 價格2019 消費量
豆漿107127127
雞蛋6678810
包子126144163
燒餅油條223244254
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核心觀念

指數用來衡量某項經濟現象相較於基期的變動。編製指數時，須決定比較目的與範圍、基期、代表項目、權數、資料蒐集方式及計算公式，並維持各期資料的可比性。

解題方法

（一）編製指數通常考慮下列因素：

  1. 編製目的與範圍：明確界定指數要衡量的現象，以及涵蓋的地區、對象與期間。
  2. 基期選擇：基期應具代表性，避免受特殊事件影響；距今過久時宜適時更新。
  3. 代表項目與規格：選取足以代表研究範圍的商品或項目，並明確訂定品質、規格與計量單位。
  4. 資料蒐集方式：確認資料來源、調查時點、地區與方法，確保資料正確且可比較。
  5. 權數設定：依項目的相對重要性設定權數，並考量消費或產業結構變化。
  6. 指數公式：依編製目的選擇公式。常見物價指數包括拉氏、帕氏及費雪指數。
  7. 品質變動與項目替換：商品規格改變、停產或有新商品出現時，應適當處理，避免將品質變化誤認為價格變動。

（二）本題採拉氏物價指數，以基期消費量作權數。公式為：

PL=∑ptq0∑p0q0×100P_L=\frac{\sum p_tq_0}{\sum p_0q_0}\times100

其中 ptp_t 是計算期價格、p0p_0 是基期價格、q0q_0 是基期消費量。

先算 2017 年基期支出：

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第 四 題30 分

高雄市美濃區出產的油紙傘頗富盛名，最近每月的銷售量更常供不應求。假設根據交通部觀光局統計，過去 40 個月的銷售量符合一 AR(1) 模式：

Xt=900+0.3Xt−1+εtX_t=900+0.3X_{t-1}+\varepsilon_t

其中 εt∼N(0,1)\varepsilon_t\sim N(0,1)。

(一) 試求美濃區出產的油紙傘銷售量期望值、變異數與 ACF（自迴歸函數，ρ(Xt,Xt+k)=Cov⁡(Xt,Xt+k)σXtσXt+k\rho(X_t,X_{t+k})=\frac{\operatorname{Cov}(X_t,X_{t+k})}{\sigma_{X_t}\sigma_{X_{t+k}}}）值。

(二) 我們從中觀察 40 個月的油紙傘銷售量，若最近一個月的銷售量 X40=1200X_{40}=1200 把，試預測第 41 期、第 42 期、第 43 期的油紙傘銷售量。

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核心觀念

本題考驗平穩 AR(1) 模型的長期平均數、變異數、自相關函數（ACF），以及利用最新一期觀測值進行多期預測。

模型為

Xt=900+0.3Xt−1+εt,εt∼N(0,1).X_t=900+0.3X_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t\sim N(0,1).

AR(1) 模型可寫成 Xt=c+ϕXt−1+εtX_t=c+\phi X_{t-1}+\varepsilon_t。當 ∣ϕ∣<1|\phi|<1 時，模型具有弱平穩解，其均數、變異數與第 kk 階自相關係數分別為

μ=c1−ϕ,Var⁡(Xt)=σε21−ϕ2,ρk=ϕk.\mu=\frac{c}{1-\phi},\qquad \operatorname{Var}(X_t)=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\phi^2},\qquad \rho_k=\phi^k.

本題 c=900c=900、ϕ=0.3\phi=0.3、σε2=1\sigma_\varepsilon^2=1，且 ∣0.3∣<1|0.3|<1，因此可使用上述平穩 AR(1) 公式。

解題方法

（一）期望值、變異數與 ACF

令平穩均數為 μ=E(Xt)=E(Xt−1)\mu=E(X_t)=E(X_{t-1})。對模型兩邊取期望，並利用 E(εt)=0E(\varepsilon_t)=0：

μ=900+0.3μ⟹μ=9001−0.3=9000.7≈1285.714.\mu=900+0.3\mu \quad\Longrightarrow\quad \mu=\frac{900}{1-0.3} =\frac{900}{0.7} \approx 1285.714.

因此，油紙傘月銷售量的期望值約為 1285.7141285.714 把。

令平穩變異數為 γ0=Var⁡(Xt)\gamma_0=\operatorname{Var}(X_t)。由於當期誤差項與前一期銷售量不相關，

γ0=Var⁡(0.3Xt−1+εt)=0.32γ0+1.\gamma_0 =\operatorname{Var}(0.3X_{t-1}+\varepsilon_t) =0.3^2\gamma_0+1.

所以

γ0(1−0.32)=1⟹Var⁡(Xt)=11−0.09=10091≈1.0989.\gamma_0(1-0.3^2)=1 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{Var}(X_t) =\frac{1}{1-0.09} =\frac{100}{91} \approx 1.0989.

對平穩 AR(1)，第 kk 階自相關係數為 ρk=ϕk\rho_k=\phi^k。因此

ρk=(0.3)k,k=0,1,2,…\rho_k=(0.3)^k,\qquad k=0,1,2,\ldots
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