107 高普考高考三級 核子工程 原子物理 考古題詳解

核心觀念

本題評量原子核物理中最核心的「質能互換」、「核子束縛能（Nuclear Binding Energy）」與「平均核子束縛能曲線（Binding Energy per Nucleon Curve）」：

1. 核子束縛能（Nuclear Binding Energy, $B$）： 根據愛因斯坦質能等價原理（$E = \Delta m \cdot c^2$），原子核由個別自由核子（質子與中子）經強核力結合而成時所釋放出的能量；等價於將該原子核完全拆解為互不交互作用的個別自由核子所需提供的最小能量。
2. 質量虧損（Mass Defect, $\Delta m$）： 組成原子核之自由核子總質量恆大於結合後原子核的靜止質量。計算時若使用「中性原子質量」，需以氕原子（$^1_1\mathrm{H}$）質量代替質子質量，以自動扣除 $Z$ 個軌道電子的質量： $\Delta m = Z \cdot m(^1_1\mathrm{H}) + (A - Z) \cdot m_n - M(A, Z)$
3. 平均核子束縛能（Binding Energy per Nucleon, $B/A$）： $f = \frac{B}{A}$ 代表原子核內每個核子的平均束縛緊密程度，是衡量原子核穩定度的絕對指標。$B/A$ 值愈大，該原子核愈穩定。
4. 束縛能曲線特徵：

• 輕核區（$A < 20$）：曲線陡升，且偶偶核（如 $^4\mathrm{He}$、$^{12}\mathrm{C}$、$^{16}\mathrm{O}$）具局部極大尖峰。
• 峰值區（$A \approx 56 \sim 62$）：以 $^{56}\mathrm{Fe}$、$^{62}\mathrm{Ni}$ 達到最大值（約 $8.79 \sim 8.8\ \text{MeV/nucleon}$），為全宇宙最穩定的核素。
• 重核區（$A > 60$）：因質子間長程庫侖排斥力隨 $Z^2$ 增加而顯著增強，平均束縛能緩慢下降（$A \approx 235$ 時降至約 $7.59\ \text{MeV/nucleon}$）。此趨勢奠定了「輕核融合」與「重核分裂」皆可釋放能量的物理基礎。

解題方法

(一) 核子束縛能的定義

1. 物理定義： 核子束縛能是指將原子核完全分解成各自獨立、互不影響的自由質子與中子所必須供應的最小能量；亦即個別自由核子在強核力作用下結合成原子核時所釋放的能量。
2. 質能關係與數學表達式： 原子核結合時，系統減少的靜止質量稱為「質量虧損（Mass Defect, $\Delta m$）」。由愛因斯坦質能轉換公式，束縛能 $B$ 表示為： $B = \Delta m \cdot c^2$ 若以實驗量測的中性原子質量表示（忽略電子微小的原子結合能）： $B(Z, A) = \left[ Z \cdot m(^1_1\mathrm{H}) + (A - Z) \cdot m_n - M(Z, A) \right] \times c^2$ 式中：

• $Z$ 為原子序（質子數），$A$ 為質量數，$N = A - Z$ 為中子數。
• $m(^1_1\mathrm{H})$ 為中性氕原子質量（包含質子與一個電子之質量）。
• $m_n$ 為自由中子質量。
• $M(Z, A)$ 為該核種之中性原子質量。

(二) 計算鈾-235與鐵-56的平均束縛能

步驟 1：依題目給定參數換算中子質量 題目提供中子質量 $M_n = 1.67482 \times 10^{-27}\ \text{kg}$，原子質量單位 $u = 1.66043 \times 10^{-27}\ \text{kg}$： $m_n = \frac{M_n}{u} = \frac{1.67482 \times 10^{-27}}{1.66043 \times 10^{-27}} \approx 1.008666\ u$ （亦可直接採用原子物理標準常數 $m_n = 1.008665\ u$，兩者計算結果在有效位數內相同）

步驟 2：計算鐵-56（$^{56}_{26}\mathrm{Fe}$）的平均束縛能

• 質子數 $Z = 26$，質量數 $A = 56$，中子數 $N = 56 - 26 = 30$。
• 構成核子的質量總和： $\Sigma m = 26 \times m(^1_1\mathrm{H}) + 30 \times m_n$ $\Sigma m = 26 \times 1.007825\ u + 30 \times 1.008666\ u = 26.203450\ u + 30.259980\ u = 56.463430\ u$
• 質量虧損 $\Delta m$： $\Delta m = 56.463430\ u - 55.934932\ u = 0.528498\ u$
• 總束縛能 $B$（以 $1\ u = 931.478\ \text{MeV}$ 換算）： $B(^{56}\mathrm{Fe}) = 0.528498 \times 931.478\ \text{MeV} \approx 492.284\ \text{MeV}$
• 鐵-56之平均束縛能（$B/A$）： $\left(\frac{B}{A}\right)_{^{56}\mathrm{Fe}} = \frac{492.284\ \text{MeV}}{56} \approx 8.791\ \text{MeV/nucleon} \approx 8.79\ \text{MeV/nucleon}$

步驟 3：計算鈾-235（$^{235}_{92}\mathrm{U}$）的平均束縛能

• 質子數 $Z = 92$，質量數 $A = 235$，中子數 $N = 235 - 92 = 143$。
• 構成核子的質量總和：

核心觀念

本題評量光子（電磁輻射）與物質相互作用的三大主要機制，是《原子物理》與《游離輻射防護導論》的必考經典題型：

1. 三大光子相互作用機制：光電效應（Photoelectric effect）、康卜頓效應（Compton effect）、成對發生（Pair production）之物理定義、能量轉移關係式及發生門檻。
2. 交互作用相對優勢相圖（Evans Interaction Diagram）：

• 橫軸為入射光子能量 $h\nu$（MeV），縱軸為吸收物質之原子序 $Z$。
• 截面與能量、原子序之比例關係：
• 光電效應原子截面：$\tau \propto \frac{Z^n}{(h\nu)^{7/2}}$（$n \approx 4 \sim 5$），主導於低能量、高 $Z$ 介質。
• 康卜頓效應原子截面：$\sigma \propto Z$（每電子截面與 $Z$ 無關，隨能量增加而單調下降），主導於中能量、中低 $Z$ 介質。
• 成對發生原子截面：$\kappa \propto Z^2 \ln(h\nu)$，有閾能限制（$h\nu \ge 2mc^2 \approx 1.022\text{ MeV}$），主導於高能量、高 $Z$ 介質。
• 分界曲線 $\sigma = T$（康卜頓截面等於光電截面）與 $\sigma = K$（康卜頓截面等於成對發生截面）界定三大優勢區域。

3. 康卜頓散射公式推導：以相對論能量守恆與動量向量守恆為核心，聯立推導出波長位移量 $\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0$ 與散射角 $\theta$ 的關係式。

解題方法

(一) 三大相互作用機制之定義

1. 光電效應（Photoelectric Effect）：

• 定義：入射光子與物質原子的內層束縛電子發生完全吸收作用。光子將所有能量轉移給該電子後完全消失；電子克服原子軌域束縛能 $B_e$ 後自原子逸出，稱為「光電子」（photoelectron）。
• 能量關係：光電子的初動能 $T_e$ 為： $T_e = h\nu - B_e$ 原子留下內層電洞，後續伴隨外層電子填補而釋放特性 X 光（characteristic X-rays）或鄂惹電子（Auger electrons）。

2. 康卜頓效應（Compton Effect）：

• 定義：入射光子與物質中的外層弱束縛電子（或自由電子）發生彈性碰撞（即碰撞過程總動能與相對論動量守恆）。光子將一部分能量轉移給電子使其脫離原子成為「反衝電子」（recoil electron），光子自身則以較低能量（即較長波長）及偏轉角度 $\theta$ 散射出，稱為「散射光子」。
• 能量關係：散射光子能量 $h\nu'$ 小於入射光子能量 $h\nu$，兩者能量差即為反衝電子之動能 $T_e = h\nu - h\nu'$（忽視初始弱結合能）。

3. 成對發生（Pair Production）：

• 定義：高能量光子在鄰近原子核（或軌域電子）的強庫侖電場作用下，光子完全消失，將能量轉換為一對正負電子對（正電子 $e^+$ 與負電子 $e^-$）的現象。
• 能量關係與門檻：由愛因斯坦質能對價關係，產生正負電子對的靜止能量各為 $mc^2 \approx 0.511\text{ MeV}$，故在原子核庫侖場中的能量門檻值為： $(h\nu)_{\text{threshold}} = 2mc^2 \approx 1.022\text{ MeV}$ 剩餘能量轉化為正負電子對的動能： $h\nu - 2mc^2 = T_{e^-} + T_{e^+}$

(二) 圖示區域 (1) 至 (3) 與三大效應之對應

圖中縱軸為靶物質原子序 $Z$，橫軸為入射光子能量（MeV），兩條等截面曲線將平面劃分為三個互斥的優勢主導區域（Dominant regions）：

1. 區域 (1) 對應：光電效應（Photoelectric Effect）優勢區

• 位置特徵：處於圖形左側（分界線 $\sigma = T$ 的左側），涵蓋低光子能量（約數十 keV 至數百 keV）與高原子序範圍。
• 物理機制：光電效應截面與原子序呈高次方正比（$\tau \propto Z^{4\sim 5}$）且與能量的高次方成反比（$\tau \propto E^{-7/2}$）。在低能區 $T > \sigma$，光電截面遠大於康卜頓散射截面，故此區域由光電效應佔絕對優勢。

2. 區域 (2) 對應：康卜頓效應（Compton Effect）優勢區

• 位置特徵：處於圖形中段（介於分界線 $\sigma = T$ 與 $\sigma = K$ 之間），涵蓋中等光子能量（約 0.5 MeV 至數 MeV），並在低原子序物質向兩端能量大幅擴展。
• 物理機制：康卜頓效應原子截面正比於 $Z$（即與電子密度成正比），隨能量增加呈平緩遞減。在中能區，光電截面已隨能量上升而急劇驟降，而成對發生截面尚未顯著上升（或能量低於 1.022 MeV 根本無法發生），此區間滿足 $\sigma > T$ 且 $\sigma > K$，由康卜頓散射主導。

3. 區域 (3) 對應：成對發生（Pair Production）優勢區

• 位置特徵：處於圖形右側（分界線 $\sigma = K$ 的右側），處於高光子能量區（$h\nu \gg 1.022\text{ MeV}$，尤其是大於數 MeV 至數十 MeV 以上），在高原子序物質更為寬廣。
• 物理機制：成對發生的截面在超越門檻能量 1.022 MeV 後隨能量增加而上升，且截面正比於原子序平方（$\kappa \propto Z^2$）。在高能區 $K > \sigma$，成對發生截面超越康卜頓截面，成為主導的交互作用機制。

(三) 康卜頓散射波長關係式之推導

設碰撞前靶電子靜止於原點，靜止質量為 $m$。

• 碰撞前：
• 光子：波長 $\lambda_0$，能量 $E_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$，動量大小 $p_0 = \frac{h}{\lambda_0}$，沿 $+x$ 方向前進。
• 電子：靜止動量 $\vec{p}_e = 0$，相對論靜止能量 $E_{e0} = mc^2$。
• 碰撞後：
• 光子：波長 $\lambda$，能量 $E = \frac{hc}{\lambda}$，動量大小 $p = \frac{h}{\lambda}$，散射方向與原路徑夾角為 $\theta$。
• 電子：動量 $\vec{p}_e$，相對論總能量 $E_e$。

核心觀念

本題旨在評量量子力學中最基礎且核心的一維束縛態系統——一維無限深方形位能阱（1D Infinite Square Well）。解題所需的核心理論與公式包含：

1. 一維非含時薛丁格方程式（Time-Independent Schrödinger Equation, TISE）： $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2} + V(x)\varphi(x) = E\varphi(x)$ 其中 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 為約化普朗克常數，$m$ 為粒子質量，$E$ 為能量本徵值。
2. 位能設定與邊界條件（Boundary Conditions）： 位能阱設置於 $0 \le x \le L$： $V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L \\ \infty, & x \le 0 \text{ 或 } x \ge L \end{cases}$ 由於阱外位能無窮大，粒子穿透機率為零，波函數在阱外必為 $\varphi(x) = 0$。由波函數在空間各處必須連續之性質，阱壁邊界處需滿足迪利克雷邊界條件（Dirichlet boundary conditions）： $\varphi(0) = 0, \quad \varphi(L) = 0$
3. 波函數歸一化條件（Normalization Condition）： 粒子出現在全空間的總機率必須為 $1$： $\int_{-\infty}^{\infty} |\varphi_n(x)|^2 dx = \int_{0}^{L} |\varphi_n(x)|^2 dx = 1$

解題方法

1. 阱內波動方程式與通解

在位能阱內（$0 < x < L$），$V(x) = 0$，薛丁格方程式簡化為： $\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2} + \frac{2mE}{\hbar^2}\varphi(x) = 0$

定義波向量（波數）$k$： $k \equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} > 0$

方程式改寫為標準簡諧振盪形式： $\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2} + k^2\varphi(x) = 0$

其微分方程一般解可表為三角函數形式： $\varphi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$ 其中 $A$、$B$ 為待定常數。

2. 套用邊界條件

1. 左邊界條件（$x = 0$）： $\varphi(0) = A\sin(0) + B\cos(0) = B = 0$ 因此餘弦項係數 $B = 0$，波函數簡化為： $\varphi(x) = A\sin(kx)$

2. 右邊界條件（$x = L$）： $\varphi(L) = A\sin(kL) = 0$ 若 $A = 0$，則全空間波函數恆為零（無粒子存在的非微小解），故必須為： $\sin(kL) = 0$ 此三角方程式之解為： $kL = n\pi, \quad n = 1, 2, 3, \dots$ （註：$n=0$ 會使 $\varphi(x) = 0$，無物理意義；負整數對應相同態僅差一個負號，故取正整數 $n \in \mathbb{N}^+$）。

因此波向量產生量子化： $k_n = \frac{n\pi}{L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$

3. (一) 能量本徵值 $E_n$ 之推導

由波向量定義式 $k_n = \frac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar}$，兩邊平方求解 $E_n$： $E_n = \frac{\hbar^2 k_n^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$

將約化普朗克常數 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 代回： $E_n = \frac{n^2\pi^2}{2mL^2}\left(\frac{h}{2\pi}\right)^2 = \frac{n^2\pi^2}{2mL^2} \cdot \frac{h^2}{4\pi^2} = \frac{n^2h^2}{8mL^2}$

核心觀念

本題評量高能電子與物質（靶材）交互作用產生 X 射線的兩大微觀物理機制及其宏觀光譜特徵：

1. 制動輻射（Bremsstrahlung）：帶電粒子受原子核庫侖電場偏轉減速放出光子，能譜為連續譜，受杜安－哈特定律（Duane-Hunt Law）之最短波長 $\lambda_{\min}$（或最大光子能量 $E_{\max} = eV$）限制。
2. 特性 X 射線（Characteristic X-rays）：入射粒子撞出靶原子內層電子形成空缺，外層電子向下躍遷填補並放出特定能量差之光子，能譜為離散線譜，能量遵循莫斯利定律（Moseley's Law）。
3. 工程與醫學應用劃分：依據「連續可調能譜」與「單色特徵能階」之不同物理特性，分別對應「高穿透造影／放療」與「晶體繞射／元素分析」。

解題方法

1. 第 (一) 小題（發生機制）：採取「微觀碰撞過程 $\to$ 能量轉換方程式 $\to$ 能譜型態」之三層次結構分別闡述兩者。指出制動輻射源於電子受核庫侖場減速，特性 X 射線源於原子內層電離與能階躍遷。
2. 第 (二) 小題（實際應用區分）：由「物理特徵差異」（能譜連續性、能量是否與原子序 $Z$ 具專一對應、管電壓控制性）出發，分項對比兩者在「材料定性定量分析」、「晶格繞射」、「醫學診斷造影」與「放射治療」中的不同角色與選用依據。

選項分析

本題為申論問答題，無選項分析。

解題技巧

1. 作答對稱性：闡述兩者機制時，應保持相同對比維度（作用對象、守恆式、光譜分佈），條理分明。
2. 關鍵公式強化深度：

• 制動輻射務必寫出截止極限：$E_{\max} = h\nu_{\max} = \frac{hc}{\lambda_{\min}} = eV$。
• 特性 X 射線務必寫出躍遷能量：$h\nu = E_{\text{initial}} - E_{\text{final}}$，並提及莫斯利定律 $\sqrt{\nu} \propto (Z - \sigma)$。

3. 應用區分關鍵字：制動輻射強調「連續譜、高強度、管電壓可控穿透力」；特性 X 射線強調「單色性、元素指紋、晶體繞射」。

【答案】

(一) 「制動輻射」與「特性X射線」的發生機制

1. 制動輻射（Bremsstrahlung）

• 微觀機制：高速入射電子穿入靶材物質時，接近原子核附近，受到靶核正電荷強大庫侖電場的吸引作用而發生軌跡彎曲並急遽減速（產生負加速度）。
• 能量轉換：根據古典電動力學與量子電動力學，加速度運動的帶電粒子會向外輻射電磁波。電子損失的動能轉化為向外發射的光子能量： $E_k - E_k' = h\nu$ 其中 $E_k$ 為入射動能，$E_k'$ 為散射後動能。
• 能譜特徵：因碰撞參數（衝擊參數）為隨機連續分佈，電子減速損失的動能可為 $0$ 到初始動能 $E_k = eV$ 之間的任意值，故輻射能譜呈連續光譜（Continuous spectrum）。其最高光子能量（最短截止波長 $\lambda_{\min}$）由電子完全停轉時決定，滿足杜安－哈特定律（Duane-Hunt Law）： $h\nu_{\max} = \frac{hc}{\lambda_{\min}} = eV \quad \Longrightarrow \quad \lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$

2. 特性 X 射線（Characteristic X-rays）

• 微觀機制：當入射電子的動能大於靶原子內層軌道電子（如 K 殼層、L 殼層）的結合能時，入射電子與內層電子發生非彈性碰撞，將內層電子撞擊游離或激發出軌域，使該原子內層產生電子電洞（Vacancy），原子處於高度不穩定的離子激發態。
• 能階躍遷：較外層軌道的高能量電子（如 L、M 殼層）會自發性地向內躍遷填補空缺，釋放出兩能階之間的能量差：