107 高普考高考三級 核子工程 微積分與微分方程 考古題詳解

核心觀念

1. 未定式極限（Indeterminate Form）：當 $x \to 0^+$ 時，$x^{-2} \to +\infty$ 且 $e^{-\frac{1}{x^2}} \to 0$，原式呈現「$\infty \cdot 0$」未定式。
2. 變數變換法（Substitution）：處理含 $\frac{1}{x}$ 或 $\frac{1}{x^2}$ 的極限時，透過適當代換將趨於 $0$ 的極限轉換為趨於無窮大的形式，能大幅簡化計算。
3. 羅必達法則（L'Hôpital's Rule）：若 $\displaystyle\lim_{t\to \infty}\frac{f(t)}{g(t)}$ 呈現 $\frac{\infty}{\infty}$ 型態，且分母導數不為零，則： $\lim_{t\to \infty}\frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t\to \infty}\frac{f'(t)}{g'(t)}$

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解題方法

1. 變數變換： 令 $t = \frac{1}{x^2}$。當 $x \to 0^+$ 時，$t \to +\infty$。 原式可改寫為： $\lim_{x\to 0^+} x^{-2}e^{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{t\to +\infty} t \cdot e^{-t} = \lim_{t\to +\infty} \frac{t}{e^t}$

2. 套用羅必達法則： 此時分子 $t \to +\infty$，分母 $e^t \to +\infty$，符合 $\frac{\infty}{\infty}$ 未定式條件。對分子、分母分別對 $t$ 微分： $\lim_{t\to +\infty} \frac{t}{e^t} = \lim_{t\to +\infty} \frac{\frac{d}{dt}[t]}{\frac{d}{dt}[e^t]} = \lim_{t\to +\infty} \frac{1}{e^t}$

3. 求極限值： 當 $t \to +\infty$ 時，$e^t \to +\infty$，因此： $\lim_{t\to +\infty} \frac{1}{e^t} = 0$

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選項分析 本題為計算題，無選項分析。

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解題技巧

1. 考場避坑：切忌直接以 $x$ 為變數進行羅必達法則（即寫成 $\frac{e^{-1/x^2}}{x^2}$ 微分），因為分子鏈鎖律會產生更高次的負次方項 $\frac{2}{x^3}$，使算式越來越繁瑣。務必先令 $t = \frac{1}{x^2}$ 化簡為標準分式。
2. 直觀速驗：在實數範圍內，指數函數 $e^t$ 的增長速度遠快於任何多項式 $t^k$（$k > 0$），故 $\frac{t}{e^t}$ 在 $t \to \infty$ 時必然趨近於 $0$。

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【答案】 $0$

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(二) 泰勒級數展開

核心觀念

1. 泰勒級數定義：函數 $f(x)$ 在 $c=0$ 處的泰勒級數（即馬克勞林級數，Maclaurin Series）形式為： $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

核心觀念

1. 隱函數與曲面法向量： 設空間曲面方程式表示為隱函數形式 $F(x, y, z) = 0$。若 $F$ 在點 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 處可微且梯度向量非零，則曲面在該點的法向量（normal vector）$\mathbf{n}$ 可由梯度向量給出： $\mathbf{n} = \nabla F(x_0, y_0, z_0) = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)\Bigg|_{(x_0, y_0, z_0)}$ 若曲面以顯函數 $z = f(x, y)$ 給定，可令 $F(x, y, z) = f(x, y) - z = 0$（或 $z - f(x, y) = 0$），其法向量為： $\mathbf{n} = (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0), -1)$

2. 空間直線方程式： 通過點 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 且方向向量為 $\mathbf{v} = (A, B, C)$（其中 $A, B, C$ 不全為 $0$）的直線方程式：

• 對稱比例式： $\frac{x - x_0}{A} = \frac{y - y_0}{B} = \frac{z - z_0}{C}$
• 參數式： $\begin{cases} x = x_0 + At \\ y = y_0 + Bt \\ z = z_0 + Ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

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解題方法

1. 驗證點是否在曲面上： 將 $(x, y) = (1, 2)$ 代入 $z = f(x, y)$： $f(1, 2) = 1^3 - 4(1)(2) - 2^2 + 2 + 7 = 1 - 8 - 4 + 2 + 7 = -2$ 確認點 $(1, 2, -2)$ 確實落在該曲面上。

2. 建立隱函數並求偏導函數： 定義 $F(x, y, z) = x^3 - 4xy - y^2 + y + 7 - z = 0$。 計算各變數的一階偏導函數： $F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = 3x^2 - 4y$ $F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = -4x - 2y + 1$ $F_z = \frac{\partial F}{\partial z} = -1$

3. 計算點 $(1, 2, -2)$ 處的法向量： 將點 $(1, 2, -2)$ 代入上述偏導函數： $F_x(1, 2, -2) = 3(1)^2 - 4(2) = 3 - 8 = -5$ $F_y(1, 2, -2) = -4(1) - 2(2) + 1 = -4 - 4 + 1 = -7$ $F_z(1, 2, -2) = -1$ 因此，點 $(1, 2, -2)$ 處的法向量為： $\mathbf{n} = (-5, -7, -1)$ 為計算簡潔，取同方向的非零常數倍向量作為方向向量： $\mathbf{v} = -\mathbf{n} = (5, 7, 1)$

4. 寫出法線方程式： 法線通過點 $(1, 2, -2)$ 且平行於向量 $\mathbf{v} = (5, 7, 1)$，其對稱比例式為： $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z + 2}{1}$ 亦可表示為參數式： $\begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = 2 + 7t \\ z = -2 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

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解題技巧

• 正負號化簡：法向量的方向反向不影響直線本身。將 $(-5, -7, -1)$ 同乘 $-1$ 轉化為 $(5, 7, 1)$，可大幅減少分數分母出現負號的筆誤機率。
• 快速驗算：法線必須與切平面（tangent plane）垂直。該點切平面方程式為 $-5(x-1) - 7(y-2) - 1(z+2) = 0 \implies 5x + 7y + z = 17$。法線的方向向量 $(5, 7, 1)$ 恰為切平面的法向量係數，由此可迅速互驗。

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(二) 上半單位球之三重積分

核心觀念

1. 多重積分之對稱性原理： 若積分區域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 關於平面 $x = 0$（即 $yz$ 平面）對稱，意即 $(x, y, z) \in \Omega \iff (-x, y, z) \in \Omega$：

• 若被積函數 $g(x, y, z)$ 關於變數 $x$ 為奇函數，即 $g(-x, y, z) = -g(x, y, z)$，則： $\iiint_\Omega g(x, y, z) \, dV = 0$
• 同理，若積分區域關於 $y = 0$（即 $xz$ 平面）對稱，且被積函數關於 $y$ 為奇函數，積分值亦恆為 $0$。

2. 球座標轉換（Spherical Coordinates）：

核心觀念

本題考查多變數微積分中雙變數函數的極值求法，核心理論包含兩大部分：

1. 臨界點（Critical Point / 駐點 Stationary Point）的求法： 若多元可微函數 $f(x,y)$ 在某點具有相對極值，則該點的梯度向量必為零向量，即滿足聯立方程式： $f_x(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \quad \text{且} \quad f_y(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y} = 0$

2. 二階導數檢定法（Second Derivative Test）： 設 $(a,b)$ 為 $f(x,y)$ 的臨界點，定義 Hessian 行列式（二階判別式）為： $D(a,b) = f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b) - \left[f_{xy}(a,b)\right]^2 = \begin{vmatrix} f_{xx}(a,b) & f_{xy}(a,b) \\ f_{xy}(a,b) & f_{yy}(a,b) \end{vmatrix}$ 判別準則如下：

• 若 $D(a,b) > 0$ 且 $f_{xx}(a,b) > 0$：$f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 處有相對極小值（Relative Minimum）。
• 若 $D(a,b) > 0$ 且 $f_{xx}(a,b) < 0$：$f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 處有相對極大值（Relative Maximum）。
• 若 $D(a,b) < 0$：點 $(a,b,f(a,b))$ 為鞍點（Saddle Point），此處無相對極值。
• 若 $D(a,b) = 0$：檢定無效（Inconclusive），需進一步分析。

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解題方法

步驟一：求一階偏導函數並尋找臨界點

計算 $f(x,y) = x^2 + y^3 + 2xy - 2x - 3y + 3$ 的一階偏導數： $f_x(x,y) = 2x + 2y - 2$ $f_y(x,y) = 3y^2 + 2x - 3$

令一階偏導數均為 $0$：

$$\begin{cases} 2x + 2y - 2 = 0 & \cdots\cdots (1) \\ 3y^2 + 2x - 3 = 0 & \cdots\cdots (2) \end{cases}$$

由第 $(1)$ 式可得： $x + y - 1 = 0 \implies x = 1 - y \quad \cdots\cdots (3)$

將第 $(3)$ 式代入第 $(2)$ 式消去 $x$： $3y^2 + 2(1 - y) - 3 = 0$ $3y^2 - 2y - 1 = 0$

因式分解： $(3y + 1)(y - 1) = 0$ 解得： $y = 1 \quad \text{或} \quad y = -\frac{1}{3}$

代回第 $(3)$ 式求對應的 $x$ 值：

• 當 $y = 1$ 時，$x = 1 - 1 = 0$，得臨界點 $P_1(0, 1)$。

核心觀念

本題評量微分方程的兩大經典題型：

1. 第 (一) 子題：二階常係數非齊次線性常微分方程（Second-Order Linear Nonhomogeneous ODE with Constant Coefficients）

• 疊加原理（Superposition Principle）：通解 $y(t)$ 由齊次解 $y_h(t)$ 與特解 $y_p(t)$ 相加而成，即 $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$。
• 特徵方程式（Characteristic Equation）：利用特徵多項式求出齊次微分方程的兩個線性獨立基本解。
• 待定係數法（Method of Undetermined Coefficients）：當非齊次項為多項式函數時，依其階數與特徵根是否重疊設定試驗多項式，代入原方程比較係數求出特解。

2. 第 (二) 子題：非線性一階常微分方程之初始值問題（Nonlinear First-Order ODE / IVP）

• 邏輯斯諦方程式（Logistic Equation）：題目形式 $y' = y(r - ky)$ 為典型的族群成長模型，兼具分離變數法（Separation of Variables）與伯努利方程式（Bernoulli Differential Equation）的雙重結構。
• 部分分式展開（Partial Fraction Expansion）：分離變數後，有理分式有兩個一次相異因式，透過部分分式拆解求積分。
• 初始值條件（Initial Condition）：代入 $y(0)=10$ 決定積分常數 $C$。

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解題方法

(一) 求 $y''(t)-y'(t)-2y(t)=t+1$ 之通解

步驟一：求對應之齊次解 $y_h(t)$ 對應之齊次微分方程為：

$$y''(t) - y'(t) - 2y(t) = 0$$

令試驗解 $y(t) = e^{rt}$，得其特徵方程式（Characteristic Equation）：

$$r^2 - r - 2 = 0$$

因式分解得：

$$(r - 2)(r + 1) = 0 \implies r_1 = 2,\quad r_2 = -1$$

兩根為相異實根，故對應之齊次解為：

$$y_h(t) = c_1 e^{2t} + c_2 e^{-t} \qquad (c_1, c_2 \text{ 為任意實數常數})$$

步驟二：利用待定係數法求特解 $y_p(t)$ 非齊次項為一次多項式 $R(t) = t + 1$。由於 $r = 0$ 並非特徵方程式之根，無共振項，故假設特解形式為：

$$y_p(t) = At + B$$

對 $t$ 逐次微分：

$$y_p'(t) = A$$ $$y_p''(t) = 0$$

將 $y_p(t)$、$y_p'(t)$、$y_p''(t)$ 代回原非齊次微分方程：

$$0 - A - 2(At + B) = t + 1$$

整理同類項得：

$$-2A t - (A + 2B) = t + 1$$

比較等號兩側 $t$ 的各次方係數：

$$\begin{cases} -2A = 1 \\ -(A + 2B) = 1 \end{cases}$$

解此聯立方程： 由第一式得：

$$A = -\frac{1}{2}$$

代入第二式得：

$$-\left(-\frac{1}{2} + 2B\right) = 1 \implies \frac{1}{2} - 2B = 1 \implies 2B = -\frac{1}{2} \implies B = -\frac{1}{4}$$

因此，特解為：

$$y_p(t) = -\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}$$

步驟三：合成通解 由線性微分方程疊加原理，原方程之通解為：

$$y(t) = y_h(t) + y_p(t) = c_1 e^{2t} + c_2 e^{-t} - \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}$$

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(二) 求 $y'(t)=y(t)(0.5-0.025y(t)),\quad y(0)=10$ 之解

步驟一：分離變數並改寫常數係數 先將數值化為分數形式以簡化運算：

$$0.5 = \frac{1}{2},\qquad 0.025 = \frac{25}{1000} = \frac{1}{40}$$

方程式可表示為：

$$\frac{dy}{dt} = y\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{40}y\right) = \frac{1}{40}y(20 - y)$$

將含 $y$ 的項移至左側，含 $t$ 的項移至右側進行分離變數：

$$\frac{dy}{y(20 - y)} = \frac{1}{40}\,dt$$

步驟二：利用部分分式展開進行不定積分 將左側分式拆解為部分分式：