107 高普考高考三級 核子工程 核工原理 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗熱中子反應爐（Thermal Reactor）的中子生命週期（Neutron Life Cycle）與六因子公式（Six-Factor Formula）。

在有限尺寸的熱中子反應爐中，有效增殖因數（Effective Multiplication Factor）$k_{\mathrm{eff}}$ 定義為「次代中子總數」與「前代中子總數」之比值，亦可表為無限增殖因數 $k_{\infty}$（四因子公式）乘上中子不洩漏機率的修正：

$k_{\mathrm{eff}} = \varepsilon \cdot p \cdot f \cdot \eta \cdot P_{\mathrm{FNL}} \cdot P_{\mathrm{TNL}}$

其中六個子因數分別代表中子在反應爐內經歷分裂、洩漏、共振吸收、慢化與熱中子吸收等不同物理階段的轉移機率或倍增比率。題目要求以「分數比值」的形式，精確定義除快中子分裂因數 $\varepsilon$ 外的其餘五個子因數之物理意義。

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解題方法

解題的關鍵切入點為沿著中子生命週期追蹤中子數量變化。假設以「在反應爐內被吸收的熱中子」為週期起點，依序經歷吸收、分裂、快中子產生、減速慢化、熱化擴散，直至下一代熱中子再次被吸收。

為了使六個子因數相乘後各項分子與分母能首尾相接、逐項相消，各因數之分數型定義必須嚴格對應物理歷程的「輸入（分母）」與「輸出（分子）」：

1. 熱中子利用率（Thermal Utilization Factor, $f$）： 在反應爐內被吸收的熱中子中，被核燃料吸收的比例。 $f = \frac{\text{燃料吸收之熱中子數目}}{\text{反應爐內所有物質吸收之熱中子總數}}$

2. 熱中子再生因數（Thermal Reproduction Factor, $\eta$）： 燃料吸收熱中子後，因熱中子分裂所產生的平均快中子數目。 $\eta = \frac{\text{熱中子分裂產生之中子數目}}{\text{燃料吸收之熱中子數目}}$

3. 快中子分裂因數（Fast Fission Factor, $\varepsilon$）（題目已提供）： $\varepsilon = \frac{\text{所有分裂產生之中子數目}}{\text{熱中子分裂產生之中子數目}}$

4. 快中子不洩漏機率（Fast Non-Leakage Probability, $P_{\mathrm{FNL}}$ 或 $\mathcal{L}_f$）： 分裂產生的快中子在減速慢化過程中，未從反應爐邊界洩漏而留在爐內的機率。 $P_{\mathrm{FNL}} = \frac{\text{慢化過程中未洩漏之快中子數目}}{\text{所有分裂產生之中子數目}}$

5. 共振逃脫機率（Resonance Escape Probability, $p$）： 留在爐內慢化的中子在穿過共振吸收能階（主要是 $^{238}\mathrm{U}$ 的共振捕獲）時，未被共振吸收而成功慢化到達熱能區的機率。 $p = \frac{\text{慢化至熱能區之中子數目}}{\text{慢化過程中未洩漏之快中子數目}}$

6. 熱中子不洩漏機率（Thermal Non-Leakage Probability, $P_{\mathrm{TNL}}$ 或 $\mathcal{L}_{\mathrm{th}}$）： 熱中子在熱能區擴散期間，未洩漏出反應爐而被爐內物質吸收的機率。 $P_{\mathrm{TNL}} = \frac{\text{下一代在反應爐中被吸收之熱中子總數}}{\text{慢化至熱能區之中子數目}}$

將六者連乘，可驗證其連鎖相消性：

$k_{\mathrm{eff}} = f \times \eta \times \varepsilon \times P_{\mathrm{FNL}} \times p \times P_{\mathrm{TNL}} = \frac{\text{下一代在反應爐中被吸收之熱中子總數}}{\text{前一代在反應爐中被吸收之熱中子總數}}$

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選項分析

本題為高考三級核子工程類科之申論問答題，並非選擇題。針對其餘五個子因數的物理內涵與常見微觀表示式進一步解析如下：

1. 熱中子利用率 $f$：

• 物理意義：熱中子被非燃料材質（如緩和劑、冷卻劑、結構材料、控制棒及毒物）吸收屬於無效寄生吸收。$f$ 反映熱中子被有效用於燃料的比例。

核心觀念

本題旨在評量考生對「輻射生物學」及「輻射防護導論」中輻射生物傷害分類架構之掌握程度。評量焦點在於遊離輻射造成人體分子（DNA）損傷後，於細胞、組織及個體層次所展現之巨觀生物效應。依據命題當年（民國 107 年）施行之《遊離輻射防護安全標準》以及國際放射防護委員會（ICRP 60 與 ICRP 103 號報告），輻射傷害並非單一維度的劃分，而是由三個獨立維度（二元對立關係）交織而成的分類系統：

1. 時間維度（潛伏期長短）：急性效應（Acute Effects）與 慢性效應（Chronic / Late Effects）。
2. 劑量反應與機制維度（有無低限劑量）：確定效應（Deterministic Effects / Tissue Reactions）與 機率效應（Stochastic Effects）。
3. 發病對象維度（基因傳遞路徑）：軀體效應（Somatic Effects）與 遺傳效應（Hereditary / Genetic Effects）。

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解題方法

解答此類申論題，若僅平鋪直敘各名詞定義，無法突顯「關係」與「體系化思維」。高分作答策略如下：

1. 建立三維正交架構：開門見山指出六種效應本質上是從「發生時間」、「反應機制與劑量關係」、「表現主體」三個不同面向切入的分類。
2. 矩陣列表統合：設計「機制 $\times$ 主體 $\times$ 時間」之交叉矩陣表，將六者放入同一個坐標系中，一目了然其交集與互斥關係。
3. 深入解析關聯性：說明確定效應如何對應到急性與慢性軀體損傷、機率效應如何衍生出軀體癌化與後代遺傳缺陷。
4. 佐以量化數據與具體實例：為每一種效應提供具備明確低限劑量（若有）或臨床/核能事故實例（如切爾諾貝爾、日本原爆倖存者研究、醫療照射等），提升作答之專業度。

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解題技巧

1. 三步快篩判斷法：

• 看到傷害案例，先問「受害者是誰？」$\rightarrow$ 本人（軀體）或後代（遺傳）。
• 再問「有無門檻劑量？嚴重度是否隨劑量增加？」$\rightarrow$ 有門檻且越重（確定）或無門檻僅機率增加（機率）。
• 最後問「受照後多久發病？」$\rightarrow$ 數週內（急性）或數月至數十年（慢性）。

2. 常見陷阱破除：

• 陷阱一：不孕屬於遺傳效應？ 錯誤。睪丸或卵巢受照造成生殖細胞大量壞死導致不孕，受害主體是受照者本人，且存在劑量低限（暫時不孕約 $0.15\text{ Gy}$，永久不孕約 $3.5\sim 6\text{ Gy}$），屬於軀體確定效應。遺傳效應必須是後代「出生並顯現缺陷」。
• 陷阱二：機率效應的「嚴重度」隨劑量增加？ 錯誤。機率效應基於「線性無低限（LNT）假說」，劑量增加只會拉高「發病機率」，一旦罹癌，其病程嚴重度與原受照劑量無關。
• 陷阱三：確定效應一定是急性效應？ 錯誤。白內障（水晶體混濁）與器官纖維化（Fibrosis）均有低限劑量，屬於確定效應，但潛伏期長達數年，屬於慢性確定效應。

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【答案】

一、 六大輻射傷害之關係對照表

遊離輻射造成的生物效應可依「發病主體（軀體／遺傳）」與「反應機制（確定／機率）」為橫縱座標，並於各象限內標註「發生時間（急性／慢性）」，其完整關係與對應表如下：

分類維度	確定效應（Deterministic Effects）<br>(組織反應 Tissue Reactions)	機率效應（Stochastic Effects）
生物學機制	大量細胞致死、組織功能喪失、微血管損傷	次致死DNA損傷、未修復或錯修造成之基因突變
低限劑量	有低限劑量（Threshold Dose）	無低限劑量（遵循 LNT 假說）
劑量反應關係	超過低限後，嚴重度與劑量成正比	發生機率與劑量成正比，嚴重度與劑量無關
軀體效應<br>(發病者為受照者本人)	1. 急性軀體確定效應：<br>數小時至數週內發病。<br><br>2. 慢性軀體確定效應：<br>數月至數十年內發病。	3. 慢性軀體機率效應：<br>潛伏期長達數年至數十年（白血病約 $2\sim 5$ 年，固態腫瘤約 $10$ 年以上）。
遺傳效應<br>(發病者為受照者後代)	無<br>(生殖細胞壞死導致之不孕屬於受照者本人的軀體確定效應)	4. 慢性遺傳機率效應：<br>生殖細胞突變傳遞至受精卵，於子代或更後代個體顯現。

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二、 各效應之間的邏輯關係解析

1. 確定效應 vs. 機率效應（機制面向）：

• 確定效應：源於細胞集體壞死（Cell Depletion）。當受照劑量低於低限值時，自體修復機制可補足細胞損失而不顯現臨床症狀；

核心觀念

本題測驗核反應爐燃料棒之「穩態熱傳導」與「對流熱傳」基本原理，主要核心公式與觀念如下：

1. 圓柱座標穩態熱傳導方程式： $\frac{d^2T}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{dT}{dr}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{S}{K}$ 其中 $S$ 為體積發熱率（熱源強度，$q'''$），$K$ 為材料熱傳導係數。

2. 傅立葉熱傳定律（Fourier's Law）與能量守恆： 在半徑 $r$ 處之徑向熱通率 $q''(r)$ 為： $q''(r) = -K \frac{dT}{dr}$ 單位長度燃料棒之發熱率（線發熱率 / 線性功率，$q'$）與熱源強度 $S$ 的關係為截面積分： $q' = \int_0^{R_F} S \cdot 2\pi r\, dr = S \cdot \pi R_F^2$ 依據無軸向熱流的圓柱穩態熱平衡，任一半徑 $r$ 處通過的總熱流率恆等於該半徑內所包覆的總熱產生率： $q' = q''(r) \cdot 2\pi r \implies q''(r) = \frac{q'}{2\pi r}$

3. 牛頓冷卻定律（Newton's Law of Cooling）： 護套表面與冷卻水之間的對流邊界條件為： $q''_0 = h (T_0 - T_f)$ 其中 $q''_0$ 為護套最外表面之熱通率，$h$ 為對流熱傳係數，$T_0$ 為護套表面溫度，$T_f$ 為冷卻水溫度。

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解題方法

步驟一：整理已知幾何與熱工參數（統一轉換為 SI 單位）

• 燃料芯（$\mathrm{UO}_2$）直徑：$D_F = 1\ \mathrm{cm} = 0.01\ \mathrm{m}$
• 燃料芯半徑：$R_F = \frac{D_F}{2} = 0.5\ \mathrm{cm} = 0.005\ \mathrm{m}$
• 護套厚度：$t_c = 0.025\ \mathrm{cm} = 0.00025\ \mathrm{m}$
• 護套外半徑：$R_0 = R_F + t_c = 0.5 + 0.025 = 0.525\ \mathrm{cm} = 0.00525\ \mathrm{m}$
• 護套外直徑：$D_0 = 2 R_0 = 1.05\ \mathrm{cm} = 0.0105\ \mathrm{m}$
• 線發熱率：$q' = 16.4\ \mathrm{kW/m}$
• 護套表面熱傳係數：$h = 2.25\ \mathrm{kW/(m^2\,^\circ C)}$
• 冷卻水溫度：$T_f = 288\ ^\circ\mathrm{C}$

步驟二：推導並計算燃料棒表面熱通率

將題目給定之穩態方程式兩邊同乘以 $r$： $\frac{d}{dr}\left(r\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{S}{K}r$ 積分一次得： $r\frac{dT}{dr} = -\frac{S}{2K}r^2 + C_1$ 中心軸邊界條件：於 $r = 0$ 處由對稱性可知 $\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=0} = 0$，故積分常數 $C_1 = 0$。

代入傅立葉定律求熱通率： $q''(r) = -K \frac{dT}{dr} = \frac{S r}{2}$ 將 $S = \frac{q'}{\pi R_F^2}$ 代入，得： $q''(r) = \frac{q'}{2\pi R_F^2} r$

考量題目中「燃料棒表面熱通率」在核工試題慣例上常有兩種所指範疇，分別計算如下：

核心觀念

本題考核核反應器熱工水力學（Thermal Hydraulics）與熱傳學中的池沸騰曲線（Pool Boiling Curve / Nukiyama Boiling Curve）​及其熱傳機制轉變。核心觀念涵蓋以下四項：

1. 池沸騰曲線之座標定義： 以圓棒加熱表面熱通量 $\frac{q}{A}$（或表示為 $q''$，單位 $\mathrm{kW/m^2}$）為縱軸，加熱表面過熱度（Excess Temperature）$\Delta T_{\mathrm{sat}} = T(s) - T_{\mathrm{sat}}$ 為橫軸，慣例採用雙對數座標（$\log-\log$ scale）作圖。
2. 熱通量控制（Heat-flux Controlled）系統特性： 題目設定為「均勻加熱之圓棒且逐漸增加熱通量」，此為典型的熱通量控制系統（如電阻加熱棒或核燃料棒）。在此系統下，熱通量為自變數，當熱通量超過臨界值時，壁面溫度將發生劇烈飛躍（Temperature Excursion）。
3. 沸騰曲線的三個穩定物理區間： 在逐漸增加熱通量的過程中，系統依序經歷三個不同熱傳特性的穩定區間：

• 區間 I：自然對流區（Natural Convection Region）（單相對流，無沸騰）
• 區間 II：核沸騰區（Nucleate Boiling Region）（高熱傳效率區）
• 區間 III：膜沸騰區（Film Boiling Region）（低熱傳效率、高溫輻射區） (註：介於核沸騰與膜沸騰之間的「過渡沸騰區」，在熱通量控制系統中具負斜率 $dq''/d(\Delta T) < 0$，屬於熱力學不穩定狀態，增加熱通量時無法穩定停留。)

4. 偏離核沸騰（Departure from Nucleate Boiling, DNB）： DNB 發生於核沸騰區所能達到的最高熱通量處，即臨界熱通量（Critical Heat Flux, CHF）​或極大熱通量（$q''_{\max}$）​點。此時壁面氣泡生成速率超過脫離速率，氣泡互相融合成連續蒸氣薄膜，使液體無法潤濕壁面，造成熱阻劇增。

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解題方法

一、 $\frac{q}{A}$ 對 $\left(T(s)-T_{\mathrm{sat}}\right)$ 之變化圖

在雙對數座標下，逐漸增加熱通量 $\frac{q}{A}$ 時之變化曲線如下圖所示：

 log(q/A)
 ^
 | / (區間 III：膜沸騰區)
 | /
 | C (DNB / CHF 點) /
 | * -----------------> * D (溫度飛躍 / 燒毀點)
 | / : /
 | / : (不穩定過渡區) /
 | (區間 II) / : /
 | 核沸騰區 / : * E (Leidenfrost 點, q"_min)
 | / : .
 | * B : .
 | / (ONB) : .
 | / : .
 | / : .
 | / : .
 | / : .
 | / (區間 I：自然對流區)
 | /
 +------------------------------------------------------------>
 0 log(T(s) - T_sat)

曲線各關鍵特徵點標示說明：

• $0 \rightarrow \mathrm{B}$：區間 I（自然對流區）。
• $\mathrm{B}$ 點：沸騰起始點（Onset of Nucleate Boiling, ONB）。
• $\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$：區間 II（核沸騰區）。
• $\mathrm{C}$ 點：偏離核沸騰點（DNB / CHF 點，極大熱通量值 $q''_{\max}$）。
• $\mathrm{C} \rightarrow \mathrm{D}$（水平箭頭）：熱通量微幅超越 $\mathrm{C}$ 點時，發生的溫度飛躍（Temperature Excursion / Burnout）​現象。
• $\mathrm{D}$ 點以降往右上方：區間 III（膜沸騰區）。
• $\mathrm{E}$ 點：萊登弗羅斯特點（Leidenfrost Point，極小熱通量值 $q''_{\min}$）。
• $\mathrm{C} \rightarrow \mathrm{E}$（虛線段）：過渡沸騰區（Transition Boiling），在熱通量控制升溫過程中跳過而無法穩定存在。

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二、 三個不同區間之特性說明

1. 區間 I：自然對流區（Natural Convection Region，單相對流）

• 過熱度範圍：$\Delta T_{\mathrm{sat}} = T(s) - T_{\mathrm{sat}}$ 較小（通常水中 $\Delta T_{\mathrm{sat}} < 5\,^\circ\mathrm{C}$）。
• 物理機制：圓棒表面溫度略高於水池飽和溫度，但過熱度尚未達到克服氣泡成核所需的熱力學自由能能障，壁面無氣泡產生。
• 熱傳特性：熱量完全依靠單相液體的浮力驅動自然對流帶走。熱傳係數 $h$ 偏低，熱通量與過熱度的關係遵循層流或紊流自然對流經驗式： $\frac{q}{A} = h \left(T(s) - T_{\mathrm{sat}}\right) \propto \left(T(s) - T_{\mathrm{sat}}\right)^{5/4} \sim \left(T(s) - T_{\mathrm{sat}}\right)^{4/3}$ 在雙對數圖上呈現斜率約為 $1.25 \sim 1.33$ 之微斜直線。

2. 區間 II：核沸騰區（Nucleate Boiling Region）

• 過熱度範圍：自 ONB（約 $5\,^\circ\mathrm{C}$）至 DNB 點（約 $30\,^\circ\mathrm{C}$）。
• 物理機制：
• 孤立氣泡子區（Isolated Bubbles）：過熱度稍高時，圓棒表面的微小凹穴（Cavities）開始活化成核，產生個別孤立氣泡並脫離壁面上升。

核心觀念

本題考查輕水式反應器（LWR）之反應度溫度係數（Temperature Coefficient of Reactivity, $\alpha_T$）​的物理組成與安全反饋機制。

1. 反應度溫度係數定義： $\alpha_T = \frac{d\rho}{dT}$ 其中 $\rho$ 為反應度，反應器溫度 $T$ 變化時，反應核心內材料的原子核熱運動、微觀截面分佈及介質密度均隨之改變，進而影響有效增殖因數 $k_{\text{eff}}$。
2. 六因子公式（Six-Factor Formula）觀點： $k_{\text{eff}} = \epsilon \cdot p \cdot \eta \cdot f \cdot P_{\text{FNL}} \cdot P_{\text{TNL}}$ 溫度效應主要透過影響逃脫共振捕獲機率 $p$、熱中子利用因數 $f$、每次吸收再生熱中子數 $\eta$ 以及快／熱中子非洩漏機率（$P_{\text{FNL}}, P_{\text{TNL}}$）來改變系統反應度。
3. 溫度係數之分解： 在反應器物理學中，整體溫度係數可解耦為作用於燃料與作用於緩和劑（冷卻劑）的物理分量： $\alpha_T = \alpha_{\text{fuel}} + \alpha_{\text{mod, density}} + \alpha_{\text{mod, spectrum}}$
4. 固有安全要求： 依據核能安全法規（如一般設計準則 GDC 11），商用動力反應器必須具備固有負反饋（Negative Reactivity Feedback）特性，即總溫度係數必須為負值，以確保功率攀升時能自行抑制。

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解題方法

將反應核心的溫度效應依「物理作用位置」與「微觀／巨觀物理機制」分開探討：

1. 燃料層面：溫度變化直接引發燃料靶核熱運動加劇，藉由都卜勒增廣效應（Doppler Broadening）​影響共振吸收。
2. 緩和劑層面（巨觀）：水溫升高引起熱膨脹，水密度降低，使中子慢化能力減弱並增表中子洩漏。
3. 緩和劑層面（微觀能譜）：熱中子與水分子熱平衡後的能群分佈（馬克士威能譜）向高能端位移，引發微觀截面比值的改變。

根據各機制在溫度升高時對有效增殖因數 $k_{\text{eff}}$ 的增減影響，判定各係數與總和的正負符號，並建立完整的因果論述。

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詳細解析

(一) 三種溫度係數之名稱

輕水式反應器之反應度溫度係數，在反應器物理中主要分解為以下三種分量：

1. 燃料溫度係數（Fuel Temperature Coefficient, FTC）：亦稱燃料都卜勒溫度係數（Fuel Doppler Temperature Coefficient, $\alpha_D$）。
2. 緩和劑密度溫度係數（Moderator Density Temperature Coefficient, $\alpha_{m,\text{dens}}$）。
3. 緩和劑能譜溫度係數（Moderator Spectral Temperature Coefficient, $\alpha_{m,\text{spec}}$）。

(註：在反應器運轉與工程實務中，後兩者常合稱為「緩和劑溫度係數（Moderator Temperature Coefficient, MTC）」；若將相變沸騰效應獨立考量，亦有將三者列為燃料溫度係數、緩和劑溫度係數、空泡溫度係數之分類法，其背後的物理本質完全相同。)

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(二) 溫度上升時之正負值與綜合相加結果

1. 燃料都卜勒溫度係數：負值（$< 0$）。
2. 緩和劑密度溫度係數：負值（$< 0$）。
3. 緩和劑能譜溫度係數：負值或弱正值（依週期燃耗與同位素組成而異，低濃化新燃料多為弱負值，累積大量 $^{239}\text{Pu}$ 後可能呈弱正值，但量值極小）。
4. 綜合相加結果（總溫度係數 $\alpha_T$）：恆為負值（$< 0$）。

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(三) 各係數主要決定因素及正負值理由

1. 燃料都卜勒溫度係數

• 主要決定因素： 燃料核種（主要是 $^{238}\text{U}$，以及 $^{235}\text{U}$、$^{239}\text{Pu}$）在共振能區的微觀捕獲截面共振峰特性，以及燃料核的熱運動相對速度分佈。
• 造成負值的理由：
• 當燃料溫度上升時，燃料靶核的熱振動加劇，中子與原子核的相對運動速度分佈展寬（都卜勒增廣效應）。
• 都卜勒展寬使得共振峰的峰值高度降低、寬度變寬，共振能量區間內的「自我屏蔽效應（Self-shielding）」被削弱。
• 這大幅增加了中子在慢化過程中被 $^{238}\text{U}$ 吸收的機率，使得逃脫共振捕獲機率 $p$ 明顯下降。
• 由於中子被非分裂性吸收增多，系統增殖因數下降（$\frac{dk_{\text{eff}}}{dT_f} < 0$），因此燃料溫度係數恆為負值。此係數在燃料受熱當下立即可反應（無時間延遲），是防止功率暴走的第一道固有安全屏障。

2. 緩和劑密度溫度係數

• 主要決定因素： 冷卻劑／緩和劑（輕水）之熱膨脹係數、核心之慢化比（Moderating Ratio，即氫與鈾原子數之比值 $N_{\text{H}}/N_{\text{U}}$）、核心中子洩漏率，以及冷卻劑中所含化學補償劑（如可溶性硼酸）之濃度。