108 高普考高考三級 核子工程 核工原理 考古題詳解

核心觀念

本題比較的是兩種爐心的設計目的不同：研究用反應器以提供研究、測試與照射所需的中子場為主；發電用反應器則以穩定、安全且經濟地產生電力為主。爐心的燃料、冷卻條件、功率與中子通量，都會隨這項設計目標而異。

解題方法

作答時先說明各自的最佳化目標，再用題目指定的規格欄位逐項比較。研究用反應器的設計重點通常是提高實驗位置的中子通量，並保留照射、束流及測試設施的彈性；發電用反應器則著重燃料利用、熱功率輸出、運轉週期、可用率與安全。

下表以常見研究反應器及商用輕水動力反應器為代表。各型反應器設計不同，數值是實務上的典型範疇，並非所有機型的硬性界線。

核心觀念

本題評量熱中子核反應器物理的核心基礎——中子生命週期（Neutron Life Cycle）​與臨界理論。

1. 中子增殖因數（Multiplication Factor, $K$）：描述核分裂鏈鎖反應中，相鄰兩代中子數量的消長關係，本質為中子產生率與消失率的動態平衡。
2. 中子洩漏（Neutron Leakage）：有限幾何體系相較於無限大體系所引入的中子損失機制。
3. 四因子公式（Four-Factor Formula）：費米（Enrico Fermi）針對熱中子反應器提出的經典唯象模型，將中子由產生至引發下一代分裂的生命週期拆解為四個獨立的物理過程：快中子分裂（$\varepsilon$）、共振逃脫（$p$）、熱中子吸收利用（$f$）及吸收後分裂再生（$\eta$）。

解題方法

本題為名詞解釋與觀念說明題，解題切入點應沿著「中子在幾何空間中的行為（洩漏與否）」及「中子在能量空間中的遷移（快中子誕生 $\to$ 減速慢化 $\to$ 熱中子擴散吸收 $\to$ 新快中子誕生）」展開，並列出標準物理定義與數學表示式。

（一）$K_{\infty}$（無限介質增殖因數，Infinite Multiplication Factor）

• 物理意義： 在幾何尺寸無限大（或無任何中子自邊界洩漏，Leakage = 0）的反應器系統中，某一代中子總數與前一代中子總數的比值。
• 數學定義： $K_{\infty} = \frac{\text{體系中中子產生率}}{\text{體系中中子吸收率}} = \frac{\text{下一代產生之快中子數}}{\text{前一代被吸收之中子數}}$ 其值僅取決於反應器爐心之物質組成、材料核截面及幾何均勻性（微觀配置），與爐心的外觀總體幾何形狀及尺寸無關。

（二）$K_{\mathrm{eff}}$（有效增殖因數，Effective Multiplication Factor）

• 物理意義： 在有限大小的實際反應器（存在中子洩漏）中，某一代中子總數與前一代中子總數之比值。
• 數學定義： $K_{\mathrm{eff}} = \frac{\text{體系中中子產生率}}{\text{體系中中子消失率}} = \frac{\text{中子產生率}}{\text{中子吸收率} + \text{中子洩漏率}}$
• 反應器狀態判斷：
• $K_{\mathrm{eff}} = 1$：臨界（Critical），鏈鎖反應維持穩定平衡。
• $K_{\mathrm{eff}} > 1$：超臨界（Supercritical），中子通量與功率隨時間指數上升。
• $K_{\mathrm{eff}} < 1$：次臨界（Subcritical），中子通量隨時間指數衰減。

（三）$K_{\mathrm{eff}}/K_{\infty}$ 之意涵

• 物理意義： 表示系統之總非洩漏機率（Total Non-Leakage Probability, $P_{\mathrm{NL}}$）。
• 數理推導： 在有限反應器中，中子產生後需先避免洩漏才能被吸收引發反應，關係式為： $K_{\mathrm{eff}} = K_{\infty} \cdot P_{\mathrm{NL}}$ 因此： $\frac{K_{\mathrm{eff}}}{K_{\infty}} = P_{\mathrm{NL}}$
• 細部分解： 在熱中子反應器中，非洩漏機率由快中子減速期間的非洩漏機率（$P_{\mathrm{FNL}}$）與熱中子擴散期間的非洩漏機率（$P_{\mathrm{TNL}}$）共同組成： $\frac{K_{\mathrm{eff}}}{K_{\infty}} = P_{\mathrm{FNL}} \cdot P_{\mathrm{TNL}}$ 當反應器尺寸增大時，表面積對體積之比值降低，$P_{\mathrm{NL}} \to 1$，$K_{\mathrm{eff}} \to K_{\infty}$。

（四）四因子公式（Four-Factor Formula）

熱中子反應器中，無限介質增殖因數 $K_{\infty}$ 可以表達成四個物理因子的乘積： $K_{\infty} = \varepsilon \cdot p \cdot f \cdot \eta$ （亦常表記為 $K_{\infty} = \eta f p \varepsilon$）

（五）說明各因子之物理意義

依照中子從引發分裂到下一代中子誕生的時序，各因子的物理意義與數學定義如下：

1. 快中子分裂因數（Fast Fission Factor, $\varepsilon$）：

• 物理意義：由熱中子引發分裂產生的一批新生快中子中，能量高於快分裂門檻能量（例如 $^{238}\mathrm{U}$ 之快分裂門檻約 $1\text{ MeV}$）的高能中子，在減速前直接引發快分裂，促使產生的總快中子數進一步增加的倍率。
• 數值範圍：$\varepsilon > 1$（典型輕水式反應器中約為 $1.03 \sim 1.08$）。
• 定義式：

核心觀念

本題為國家考試核工原理的經典必考題，涵蓋微觀核反應機制、中子能譜依存性，以及熱中子動力反應器的固有安全度回饋機制：

1. 中子核反應截面分類：微觀截面（$\sigma$）代表單一原子核與入射中子發生特定相互作用的機率面積，總截面（$\sigma_t$）為散射截面（$\sigma_s$）與吸收截面（$\sigma_a$）之總和。
2. 中子能譜區域與截面能量相依性：易分裂核種（如 $^{235}\text{U}$）在快中子（約 $1\sim 2\text{ MeV}$）至熱中子（$0.0253\text{ eV}$）能域間，截面隨能量變化可明確劃分為：$1/v$ 區（熱中子區）、共振區（超熱中子區）及平滑區（快中子區）。
3. 都卜勒增廣（Doppler Broadening）物理機制：靶核之熱運動速率遵從馬克士威–波茲曼分布（Maxwell-Boltzmann distribution），溫度升高造成靶核與入射中子的相對速度分布擴展，使得共振峰高度降低、寬度變寬。
4. 自屏蔽效應與反應度回饋：在非均質燃料丸（Lumped Fuel）中，共振峰增廣使共振能峰邊緣（wings）的吸收增加，降低能量與空間自屏蔽效應，導致有效共振吸收積分增加；在壓水式反應器（PWR）中藉由 $^{238}\text{U}$ 產生瞬時負反應度回饋（$\alpha_D = \partial \rho / \partial T_f < 0$）。

解題方法

1. 第（一）小題：由微觀截面之物理作用分類切入，明確列舉散射、輻射捕獲與核分裂三種最主要的作用截面，並註記其符號與反應式。
2. 第（二）小題：依能量由低至高（熱中子 $\to$ 共振能區 $\to$ 快中子），分三段描述 $^{235}\text{U}$ 總截面與中子能量 $E$ 的數學與物理關係（$1/v$ 律、Breit-Wigner 共振峰、重疊平滑區）。
3. 第（三）小題：從靶核熱振動著手，說明相對速度合成對微觀截面的影響，指出共振峰形變特徵（峰值降低、半高寬增加、總面積在均質介質中守恆，但在非均質系統下打破自屏蔽使共振吸收增加）。
4. 第（四）小題：結合壓水式反應器（PWR）的燃料特徵（低濃縮 $\text{UO}_2$ 中佔絕大多數的 $^{238}\text{U}$），依序推演「功率上升 $\to$ 燃料溫度即時上升 $\to$ 都卜勒增廣 $\to$ 共振逃脫機率 $p$ 下降 $\to$ 引入負反應度」，強調其「無熱傳延遲（瞬時性）」對反應器自穩與抑制反應度外加事故（如控制棒射出事故）的決定性角色。

解題技巧

1. 截面分類記憶法：以分支圖架構記憶：總截面 $\sigma_t = \sigma_s (\text{彈性 } \sigma_e + \text{非彈性 } \sigma_i) + \sigma_a (\text{捕獲 } \sigma_\gamma + \text{分裂 } \sigma_f + \dots)$，作答時寫出最常見的 $\sigma_e$、$\sigma_\gamma$、$\sigma_f$ 即可得滿分。
2. 能譜三分法技巧：描述截面與能量關係時，務必寫出三個關鍵詞：「$1/v$ 區（熱能區）」、「共振區（Resonance Region）」、「平滑／未解析區（Fast Region）」，並指出熱能區主要公式 $\sigma \propto 1/\sqrt{E}$。
3. 都卜勒效應陷阱：許多考生誤以為都卜勒效應主要發生在 $^{235}\text{U}$ 上。在 PWR 運轉中，都卜勒負回饋的主要貢獻者是佔燃料絕大部分（約 95%~97%）的 $^{238}\text{U}$ 之共振捕獲，而非 $^{235}\text{U}$。答題時務必點出核種名稱。
4. 瞬時性（Prompt）為評分關鍵：都卜勒係數（Doppler Coefficient）又稱燃料溫度係數（$\alpha_f$），其反應時間在毫秒等級，不需要經過冷卻水熱傳遞延遲，此為 PWR 本質安全核心。

【答案】

（一）中子與原子核作用之三種截面

中子與原子核的作用微觀截面（Microscopic Cross Section, $\sigma$）代表各特定核反應發生的機率，單位為邦（$\text{barn}, 1\text{ b} = 10^{-24}\text{ cm}^2$）。三種最主要的中子作用截面如下：

1. 彈性散射截面（Elastic Scattering Cross Section, $\sigma_s$ 或 $\sigma_e$）： 中子與原子核碰撞後，作用系統之總動能守恆，原子核未被激發，僅進行動量與動能重新分配（反應表示為 $(\mathrm{n},\mathrm{n})$）。此為熱中子反應器中中子慢化（Moderation）的最主要機制。
2. 輻射捕獲截面（Radiative Capture Cross Section, $\sigma_\gamma$ 或 $\sigma_c$）： 入射中子被原子核吸收形成複合核（Compound Nucleus），激發態之複合核隨即釋出一或多個伽馬（$\gamma$）射線光子回到基態（反應表示為 $(\mathrm{n},\gamma)$）。此屬於非分裂吸收反應。
3. 核分裂截面（Fission Cross Section, $\sigma_f$）： 原子核吸收中子形成高度激發之複合核後，克服分裂位能障分裂成兩個質量相當的核碎片，並伴隨釋出 $2\sim 3$ 顆快中子與巨大核能（反應表示為 $(\mathrm{n},f)$）。

（二）U-235 總截面與中子能量之依存關係

中子與 $^{235}\text{U}$ 原子核作用之總微觀截面 $\sigma_t(E) = \sigma_s(E) + \sigma_a(E)$。在分裂快中子能譜（約 $10\text{ MeV}$）至熱中子能譜（約 $0.001\text{ eV}$）區間內，其總截面與中子能量 $E$ 的依存關係可明確分為三個能區：

1. 熱中子區（$1/v$ 區，$E < 1\text{ eV}$）： 在極低能量區，截面主要由核分裂截面 $\sigma_f$ 與捕獲截面 $\sigma_\gamma$ 主導。吸收截面大小與中子速度 $v$ 成反比，即服從 $1/v$ 定律：

核心觀念

本題融合核子物理基本理論與反應爐物理工程計算，為「核工原理」極具代表性的經典考題，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 質能互換與平均核子結合能曲線（Binding Energy per Nucleon）： 依愛因斯坦質能互換關係式 $E = \Delta m \cdot c^2$，原子核的靜止質量小於其組成核子之自由質量總和，差值即為質量虧損 $\Delta m$。平均核子結合能（$B/A$）隨質量數 $A$ 變化，在鐵族元素（$A \approx 56\sim 62$）達到峰值（約 $8.8\ \mathrm{MeV/nucleon}$）。輕核融合與重核分裂皆是朝向「結合能更高、質量虧損更大、系統更穩定」的方向進行，因而釋出巨大能量。
2. 反應爐連鎖反應之控制條件：

• 穩態臨界條件：有效中子增殖因數 $k_{\mathrm{eff}} = 1$（反應度 $\rho = 0$），中子產生率等於吸收率與洩漏率之和。
• 時間動態控制：必須仰賴延遲中子（Delayed Neutrons）​提供足夠長的爐心週期（Reactor Period），使系統處於延遲臨界而非即時臨界（$k_p < 1$ 且 $\rho < \beta$）。
• 內在自律穩定性：反應爐必須具備負的反應度溫度回饋（都卜勒效應與減速劑溫度係數均為負值）。

3. 熱功率密度與中子通量關係式： 體積功率密度 $q'''$ 由核分裂率密度與單次分裂釋能決定： $q''' = F''' \cdot E_f = \Sigma_f \cdot \bar{\phi} \cdot E_f$ 其中微觀核數密度 $N = \frac{\rho \cdot w \cdot N_A}{M}$，巨觀分裂截面積 $\Sigma_f = N \cdot \sigma_f$。
4. 燃料燃耗（Burnup）之定義與計算： 燃耗表示單位初始重金屬質量所釋放的累積熱能，常用單位為 $\mathrm{MWD/MT}$（百萬瓦·日／公噸）： $\text{Burnup} = \frac{\text{累積熱發電量 (MWD)}}{\text{燃料重金屬質量 (MT)}} = \frac{q''' \times t}{\bar{\rho}_{\text{fuel}}}$

解題方法

（一）核融合與核分裂等核反應釋出能量之機制

1. 基本物理機制（質能等價原理）： 核反應所釋放之能量來自反應前後系統靜止質量的差額，即質量虧損（Mass Defect, $\Delta m$）： $\Delta m = \sum m_{\text{reactants}} - \sum m_{\text{products}}$ 由愛因斯坦質能等價公式 $E = \Delta m \cdot c^2$，當反應後生成物的質量小於反應物時，減少的質量便轉換為核反應釋出的動能與輻射能。
2. 結合能曲線（$B/A$ 曲線）的趨向： 原子核中每個核子的平均結合能（Binding Energy per Nucleon, $B/A$）隨質量數 $A$ 呈現中間高、兩端低的單峰分布：

• 核融合（Nuclear Fusion）：極輕的原子核（如氘 ${}^2\mathrm{H}$ 與氚 ${}^3\mathrm{H}$，其 $B/A \approx 1\sim 3\ \mathrm{MeV}$）在高溫下克服庫侖位障結合為氦核（${}^4\mathrm{He}$，其 $B/A \approx 7.1\ \mathrm{MeV}$）。由於產物的平均結合能大幅提高，核子緊密束縛造成質量減少，釋放出巨大的核融合能量。
• 核分裂（Nuclear Fission）：重核（如 ${}^{235}\mathrm{U}$，其 $B/A \approx 7.6\ \mathrm{MeV}$）吸收熱中子後形成受激複核，分裂為兩個質量數介於 $95$ 與 $140$ 之間的中等質量核（其 $B/A \approx 8.5\ \mathrm{MeV}$）並釋出 $2\sim 3$ 顆中子。分裂產物的平均結合能高於初始重核（每核子約多出 $0.9\ \mathrm{MeV}$），整體反應產生質量虧損，每次分裂釋放出約 $235 \times 0.9\ \mathrm{MeV} \approx 200\ \mathrm{MeV}$ 的能量。

（二）可控制的核分裂連鎖反應之條件

要實現「可控制」且「自持（Self-sustaining）」的核分裂連鎖反應，必須滿足以下三個充要物理條件：

1. 臨界條件（Criticality Condition）： 爐心的有效中子增殖因數必須恆等於 1（$k_{\mathrm{eff}} = 1$），即反應度 $\rho = \frac{k_{\mathrm{eff}}-1}{k_{\mathrm{eff}}} = 0$。此時新一世代分裂產生的中子數恰好等於被吸收與洩漏至爐外的中子數總和，使中子群密度與爐心功率保持恆定穩態。
2. 延遲中子緩衝機制（Delayed Neutron Control）：

• 核分裂產生的中子中，大於 $99\%$ 為分裂當下瞬時釋出的「即時中子（Prompt Neutrons）」，其平均生命期僅約 $10^{-4}\sim 10^{-7}\ \mathrm{s}$；極少部分（以 ${}^{235}\mathrm{U}$ 為例約佔 $\beta = 0.65\%$）為分裂產物前驅核（Precursors）經 $\beta$ 衰變後釋出的「延遲中子（Delayed Neutrons）」，平均壽命長達約 $12.5\ \mathrm{s}$。
• 反應爐必須運轉於延遲臨界（Delayed Critical）​區間，即即時中子增殖因數 $k_p < 1$（反應度滿足 $0 \le \rho < \beta$）。此時反應爐週期（Reactor Period）受限於延遲中子前驅核的衰變時間，動態響應時間延長至數十秒至數分鐘，機械控制棒驅動機構與化學可溶硼注入等工程手段才有足夠的反應時間進行調控。

3. 固有的負反應度溫度回饋（Inherent Negative Reactivity Feedback）： 爐心必須具有負的溫度係數：

• 燃料都卜勒係數（Doppler Coefficient）為負：燃料溫度升高時，${}^{238}\mathrm{U}$ 共振吸收截面因熱運動增寬，增加中子共振捕獲，抑制連鎖反應。
• 減速劑溫度係數（MTC）為負：減速劑溫度升高時密度下降，減速能力變差使熱中子通量減少，自動抑制功率上升。

（三）爐心平均中子通量之計算

1. 已知條件與單位統一：

• 爐心平均熱功率密度： $q''' = 100\ \mathrm{kW/Liter} = \frac{100 \times 10^3\ \mathrm{W}}{1000\ \mathrm{cm^3}} = 100\ \mathrm{W/cm^3}$
• 每次分裂釋放能量： $E_f = 200\ \mathrm{MeV} = 200 \times (1.6 \times 10^{-13}\ \mathrm{J}) = 3.2 \times 10^{-11}\ \mathrm{J}$
• 燃料密度：$\rho_{\text{fuel}} = 10\ \mathrm{g/cm^3}$
• ${}^{235}\mathrm{U}$ 富集度（重量百分比）：$w = 5\% = 0.05$
• ${}^{235}\mathrm{U}$ 之微觀分裂截面積： $\sigma_f = 500\ \mathrm{barns} = 500 \times 10^{-24}\ \mathrm{cm^2} = 5 \times 10^{-22}\ \mathrm{cm^2}$
• 亞佛加厥常數：$N_A = 6.022 \times 10^{23}\ \mathrm{atoms/mol}$
• ${}^{235}\mathrm{U}$ 原子量取 $M_{235} \approx 235\ \mathrm{g/mol}$

核心觀念

本題評量考生對於核反應爐物理中中子傳播、減速、擴散及洩漏特性長度之掌握程度，主要涵蓋下列核心原理：

1. 中子交互作用微觀與巨觀特性：巨觀截面（Macroscopic Cross Section, $\Sigma$）與中子自由飛行距離之機率分布。
2. 中子年齡與擴散理論（Age-Diffusion Theory）：由快中子分裂產生、慢化減速至熱中子能量、再擴散至被吸收的完整生命週期中，各階段之均方根位移（Root-Mean-Square Displacement, $\sqrt{\overline{r^2}}$）。
3. 反應爐臨界理論（Reactor Criticality Theory）：六因子公式或修正單群/兩群擴散模型中，非洩漏機率（Non-leakage Probability, $P_{NL}$）、幾何挫曲（Geometric Buckling, $B_g^2$）與臨界尺寸/體積之直接數學關聯。

解題方法

本題為典型觀念與定義申論題，答題關鍵在於：

1. 定義（Definition）：給出明確的微觀或巨觀參數數學關係式（符號須定義清楚）。
2. 物理意義（Physical Meaning）：強調中子在空間中的「位移」概念（特別是直線性空間傳播的均方根位移 $\sqrt{\overline{r^2}}$），區別「總路徑長（Track Length）」與「淨位移（Net Displacement）」。
3. 爐心臨界尺寸推導：透過修正單群或費米年齡—擴散模型導出臨界條件 $k_{eff} = 1$，求出爐心幾何挫曲 $B_g^2$，再連結至爐心特徵尺寸（半徑 $R$）與臨界體積（$V_c \propto R^3 \propto M^3$），以合乎邏輯的數學式佐證結論。

各小題詳解

（一）Mean free path（平均自由程，$\lambda$）

• 定義： 中子在介質中兩次相鄰交互作用（碰撞或吸收）之間所行進的平均直線距離。其定義為全巨觀截面（Total Macroscopic Cross Section, $\Sigma_t$）的倒數： $\lambda = \frac{1}{\Sigma_t}$ 若針對特定反應類型，亦可定義特定平均自由程，如散射平均自由程 $\lambda_s = 1/\Sigma_s$、吸收平均自由程 $\lambda_a = 1/\Sigma_a$。
• 物理意義： 反映材料對中子的「阻擋能力」或「光學薄/厚（Optically Thin/Thick）」程度。$\lambda$ 愈小，表示材料截面愈大，中子穿透距離愈短、愈容易在短距離內與原子核發生碰撞；$\lambda$ 亦代表平行中子束穿入材料時，通率衰減至原強度 $1/e$（約 36.8%）所需之特徵穿透厚度。

（二）Diffusion Length（擴散長度，$L$）

• 定義： 熱中子在介質中擴散直到被吸收為止的特徵距離參數。數學定義為擴散係數（Diffusion Coefficient, $D$）與熱中子巨觀吸收截面（Macroscopic Absorption Cross Section, $\Sigma_a$）比值之平方根： $L = \sqrt{\frac{D}{\Sigma_a}}$ 其平方 $L^2$ 稱為擴散面積（Diffusion Area）。
• 物理意義： 代表熱中子從熱化完成點（Thermalization point）出發，在介質中隨機漫步擴散直到被原子核吸收所產生的直線均方根位移（Root-Mean-Square Crow-Flight Distance）之 $\frac{1}{\sqrt{6}}$ 倍： $\overline{r_{th}^2} = 6 L^2 \implies L = \sqrt{\frac{1}{6} \overline{r_{th}^2}}$ $L$ 愈大，代表熱中子在被吸收前能擴散滲透的空間範圍愈廣，在有限邊界爐心中熱中子洩漏的機率愈高。

（三）Slowing Down Length（減速長度，$L_s$）

• 定義： 快中子自裂變產生經過多次彈性/非彈性碰撞減速至熱中子能量範圍的特徵長度。定義為費米年齡（Fermi Age, $\tau$）的平方根： $L_s = \sqrt{\tau}$ 其中費米年齡定義為： $\tau = \int_{E_{th}}^{E_0} \frac{D(E)}{\xi \Sigma_s(E) E} dE$ （$\xi$ 為平均對數能量損失，$E_0$ 為分裂能量約 $2\text{ MeV}$，$E_{th}$ 為熱中子能量約 $0.0253\text{ eV}$）。
• 物理意義： 代表裂變中子自分裂誕生（高能量）​開始，經過多次碰撞慢化直至達到熱中子能階為止，在三維空間中移動的淨直線均方根位移之 $\frac{1}{\sqrt{6}}$ 倍： $\overline{r_s^2} = 6 \tau = 6 L_s^2 \implies L_s = \sqrt{\frac{1}{6} \overline{r_s^2}}$ $L_s$ 反映緩和劑（Moderator）的減速特性與空間分佈範圍。$L_s$ 愈大（如石墨緩和劑），表示中子需要較大的空間慢化，快中子共振吸收與快中子洩漏機率通常隨之增加。

（四）Migration Length（遷移長度，$M$）

• 定義： 中子自裂變誕生開始，歷經減速慢化及熱中子擴散，直到最終被吸收之全生命週期特徵長度。定義為遷移面積（Migration Area, $M^2$）的平方根： $M = \sqrt{M^2} = \sqrt{L_s^2 + L^2} = \sqrt{\tau + L^2}$
• 物理意義：