108 高普考高考三級 核子工程 微積分與微分方程 考古題詳解

核心觀念

本題考查三角函數在 $x=0$ 附近的泰勒展開，以及用少數項估算函數值。當 $x$ 以弧度表示時，

解題方法

令 $x=0.1$，先用餘弦的泰勒展開估算：

再利用 $\ln(1+u)$ 在 $u=0$ 附近的展開：

取 $u=\cos(0.1)-1\approx-0.0049958333$，則

核心觀念

水槽的水量會隨時間改變，因此要先由「進水速率減出水速率」建立體積函數，再將題目給定的溫度變化率寫成微分方程，最後分離變數並積分求解。

解題方法

進水速率為 $20\ \mathrm{m^3/min}$，出水速率為 $10\ \mathrm{m^3/min}$，所以水槽內水量的淨增加速率為

又 $V(0)=400\ \mathrm{m^3}$，因此

題目所述溫度變化率為「水溫平方根除以水量」，故微分方程為

分離變數：

兩側由 $t=0,\ T=25$ 積分至 $t=10,\ T=T(10)$：

核心觀念

這題考「曲線弧長」的計算。若曲線寫成 $y=f(x)$，從 $x=a$ 到 $x=b$ 的弧長為

公式來自微小線段長度 $ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$，兩邊除以 $dx$ 後得到 $ds=\sqrt{1+(dy/dx)^2}\,dx$。

解題方法

題目給定曲線 $y=\dfrac{x^2}{4}$，螞蟻沿曲線從 $x=1$ 走到 $x=2$。先求導數：

代入弧長公式：

使用積分公式

核心觀念

本題考橢圓限制下的極值，可用拉格朗日乘數法處理。若要使 $f(x,y)$ 在 $g(x,y)=0$ 的條件下取極值，且滿足正則條件，則極值點需符合

其中 $\lambda$ 為拉格朗日乘數。

解題方法

令

因為 $f$ 是線性函數，常數項 $10$ 不影響極值點的位置，只會使函數值增加 $10$。計算梯度：

套用拉格朗日乘數條件：

因此

可得 $x=1/\lambda$、$y=1/(4\lambda)$，所以 $x=4y$。代入限制條件：

核心觀念

本題考平面區域繞 $y$ 軸旋轉所形成的立體體積，可用圓柱殼法計算。取一條垂直於 $x$ 軸的細長直條，旋轉後形成薄圓柱殼，其體積微元為

解題方法

區域由 $x=0$、$x=1$、$y=0$ 與 $y=4-x$ 圍成，因此在 $0\le x\le1$ 時，直條高度為 $4-x$。直條繞 $y$ 軸旋轉時，半徑為 $x$。

套用圓柱殼法：