108 高普考高考三級 核子工程 工程熱力學 考古題詳解

核心觀念

本題為典型的工程熱力學基礎觀念題，涵蓋熱力學第二定律的核心架構：

1. 熵增原理（Principle of Increase of Entropy）：由克勞修斯不等式（Clausius inequality）所推導出的必然推論，界定自然界一切真實過程的演變方向與不可逆性（irreversibility）。
2. 卡諾循環（Carnot Cycle）：運作於兩定溫熱庫之間的極限理想可逆循環，是衡量所有熱力動力循環熱效率的理論上限。
3. 渦輪機等熵效率（Isentropic Efficiency of a Turbine）：穩態流動裝置中，實際輸出功與理想等熵功的比值，反映流體在絕熱膨脹過程中因內部摩擦與擾流造成的機械能損失程度。

解題方法

（一）熵增原理之表述

1. 基本物理意義與定義： 對於任何孤立系統（isolated system，即不與外界發生任何質量與熱量交換之系統），其內部所發生的任何熱力學過程，系統總熵永不減少。
2. 數學式表述： $dS_{\text{isolated}} \ge 0 \quad \text{或} \quad \Delta S_{\text{isolated}} \ge 0$ 若將非孤立系統與受其影響的周遭環境合併視為一個廣義的孤立系統（宇宙，Universe），則熱力學過程必伴隨非負的「熵產」（Entropy Generation, $S_{\text{gen}}$）： $\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{sys}} + \Delta S_{\text{surr}} = S_{\text{gen}} \ge 0$
3. 過程分類判準：

• $\Delta S_{\text{total}} > 0$（或 $S_{\text{gen}} > 0$）：不可逆過程（實際發生之真實自然過程）。
• $\Delta S_{\text{total}} = 0$（或 $S_{\text{gen}} = 0$）：可逆過程（理想極限過程）。
• $\Delta S_{\text{total}} < 0$（或 $S_{\text{gen}} < 0$）：違反熱力學第二定律，不可能發生之過程。

（二）何謂卡諾循環

1. 基本定義： 卡諾循環是由法國工程師卡諾（Sadi Carnot）於 1824 年提出的完全可逆熱機循環。該循環於高溫熱庫（溫度 $T_H$）與低溫熱庫（溫度 $T_L$）之間運轉，循環內部與外部皆無任何不可逆損失，具備兩熱庫間運作熱機之最高熱效率極限。
2. 循環組成之四個可逆行程：

• 過程 1 $\to$ 2：等溫可逆吸熱（Reversible Isothermal Heat Addition） 工作流體在定溫 $T_H$ 下自高溫熱庫吸收熱量 $Q_H$，進行等溫膨脹。
• 過程 2 $\to$ 3：等熵（可逆絕熱）膨脹（Isentropic / Reversible Adiabatic Expansion） 流體絕熱膨脹並對外作功，系統溫度由 $T_H$ 降低至低溫熱庫溫度 $T_L$。
• 過程 3 $\to$ 4：等溫可逆散熱（Reversible Isothermal Heat Rejection） 工作流體在定溫 $T_L$ 下向低溫熱庫排放熱量 $Q_L$，進行等溫壓縮。
• 過程 4 $\to$ 1：等熵（可逆絕熱）壓縮（Isentropic / Reversible Adiabatic Compression） 外界對流體作功使其絕熱壓縮，溫度由 $T_L$ 回升至 $T_H$，回到初始狀態完成循環。

3. 熱效率關係式： $\eta_{\text{th, Carnot}} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$

核心觀念

本題考查**熱力學第二定律（Second Law of Thermodynamics）**在巨觀工程熱機循環中的經典唯象表述。涉及的重要概念與關係式如下：

1. 熱機循環（Heat Engine Cycle）：熱機自高溫熱庫吸收熱量 $Q_H$，對外輸出淨功 $W_{net}$，並向低溫熱庫釋放熱量 $Q_L$。根據熱力學第一定律（能量守恆）： $W_{net} = Q_H - Q_L$
2. 熱機熱效率（Thermal Efficiency, $\eta_{th}$）： $\eta_{th} = \frac{W_{net}}{Q_H} = \frac{Q_H - Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$
3. 第二類永動機（PMM2, Perpetual Motion Machine of the Second Kind）：符合能量守恆定律（第一定律），但企圖從單一熱庫吸熱並完全轉換為功而不產生任何散熱的裝置。

解題方法

本題為經典工程熱力學申論題，作答切入點應分為兩大主軸：「精準完整之文字定義」與「深層物理與工程意義之剖析」。

一、 凱爾文—普朗克敘述（Kelvin-Planck Statement）

「不可能製造出任何以循環方式運作的裝置，其唯一效果是自單一熱庫吸收熱量，並將其全部轉化為對外所作的淨功。」 （It is impossible for any device that operates on a cycle to receive heat from a single reservoir and produce a net amount of work.）

二、 實質物理與工程意義剖析

1. 放熱的必然性與熱機熱效率極限（$\eta_{th} < 100\%$）

• 任何連續對外輸出功的熱機，必須以「循環（Cycle）」方式運作。若要完成循環，工作流體在膨脹做功後，必須被壓縮回復至初態。
• 壓縮過程必須冷卻並向低溫熱庫排出熱量（$Q_L > 0$），否則壓縮所消耗的功將等於或大於膨脹所產生的功，導致淨功為零或小於零。
• 故任何熱機必然需要至少兩個不同溫度的熱庫（高溫熱源與低溫熱源/冷槽），熱效率必滿足： $\eta_{th} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H} < 1 \quad (\eta_{th} < 100\%)$ 即使完全不存在摩擦力、壓降等不可逆損失的理想「卡諾熱機（Carnot Engine）」，其效率 $\eta_{th, rev} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ 亦小於 $1$（因 $T_L > 0\text{ K}$）。

2. 否定第二類永動機（PMM2）的存在

• 第一類永動機（PMM1）：企圖無中生有產生功，違反熱力學第一定律（能量守恆）。
• 第二類永動機（PMM2）：自單一無限大熱庫（如自海洋或大氣）汲取熱量，並 $100\%$ 轉化為功。此構想完全遵守能量守恆（$W_{net} = Q_H$），但違反了熱力學第二定律。凱爾文—普朗克敘述直接宣告 PMM2 在物理上是不可能實現的。

3. 能量形式的「品質（Quality）」與方向性

• 機械功或電能為有序能量（High-quality energy），可自發性且 $100\%$ 轉化為熱能（如摩擦阻尼生熱）。

核心觀念

本題考核封閉系統中理想氣體經歷不同熱力過程所組成的「熱力循環」（Power/Heat Engine Cycle）之狀態分析與能量平衡。核心觀念與公式包含：

1. 理想氣體狀態方程式（Ideal Gas Equation of State）： $P V = m R T$
2. 等溫過程（Isothermal Process, $1\rightarrow2$）：

• 溫度固定：$T_1 = T_2$
• 內能變化量：$\Delta U_{12} = m C_v (T_2 - T_1) = 0$
• 膨脹功與熱傳量： $W_{12} = Q_{12} = \int_{1}^{2} P \, dV = m R T_1 \ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right) = m R T_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

3. 等壓過程（Isobaric Process, $2\rightarrow3$）：

• 壓力固定：$P_2 = P_3$
• 邊界功：$W_{23} = P_2 (V_3 - V_2) = m R (T_3 - T_2)$
• 熱傳量：$Q_{23} = m C_p (T_3 - T_2)$

4. 可逆絕熱過程／等熵過程（Reversible Adiabatic / Isentropic Process, $3\rightarrow1$）：

• 絕熱條件：$Q_{31} = 0$
• 狀態關係式： $\frac{T_1}{T_3} = \left(\frac{P_1}{P_3}\right)^{\frac{k-1}{k}}, \quad P_1 V_1^k = P_3 V_3^k$
• 壓縮功（由第一定律 $Q_{31} - W_{31} = \Delta U_{31}$）： $W_{31} = -\Delta U_{31} = -m C_v (T_1 - T_3) = \frac{P_1 V_1 - P_3 V_3}{1-k}$

5. 循環之熱力學第一定律（First Law for a Cycle）：

• 循環經歷一完整路徑回到初始狀態，其狀態函數總變化量為零（$\Delta U_{\mathrm{net}} = 0$）。
• 淨功必等於淨熱傳量： $\oint \delta W = \oint \delta Q \implies W_{\mathrm{net}} = Q_{\mathrm{net}}$

解題方法

步驟一：確定狀態 1 與狀態 2 的熱力性質

1. 狀態 1：

• 給定條件：$m = 10\ \mathrm{kg}$、$T_1 = 500\ \mathrm{K}$、$P_1 = 300\ \mathrm{kPa}$。
• 計算狀態 1 容積 $V_1$： $V_1 = \frac{m R T_1}{P_1} = \frac{10 \times 0.2589 \times 500}{300} = 4.315\ \mathrm{m^3}$

2. 狀態 2：

• 過程 $1\rightarrow2$ 為等溫膨脹至 $P_2 = 100\ \mathrm{kPa}$： $T_2 = T_1 = 500\ \mathrm{K}$
• 計算狀態 2 容積 $V_2$： $V_2 = \frac{m R T_2}{P_2} = \frac{10 \times 0.2589 \times 500}{100} = 12.945\ \mathrm{m^3}$

步驟二：求解狀態 3 之溫度 $T_3$ 與容積 $V_3$

1. 壓力條件：

• 過程 $2\rightarrow3$ 為等壓過程，故： $P_3 = P_2 = 100\ \mathrm{kPa}$

2. 求解溫度 $T_3$：

• 過程 $3\rightarrow1$ 為可逆且絕熱之壓縮過程，滿足等熵關係式： $\frac{T_3}{T_1} = \left(\frac{P_3}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}$
• 代入指數計算： $\frac{k-1}{k} = \frac{1.393 - 1}{1.393} = \frac{0.393}{1.393} \approx 0.2821$ $T_3 = T_1 \left(\frac{100}{300}\right)^{0.2821} = 500 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{0.2821} = \frac{500}{1.3633} \approx 366.76\ \mathrm{K}$

3. 求解容積 $V_3$：

• 依理想氣體狀態方程式： $V_3 = \frac{m R T_3}{P_3} = \frac{10 \times 0.2589 \times 366.76}{100} \approx 9.495\ \mathrm{m^3}$
• 亦可由等熵關係式 $P_3 V_3^k = P_1 V_1^k$ 驗算： $V_3 = V_1 \left(\frac{P_1}{P_3}\right)^{\frac{1}{k}} = 4.315 \times \left(\frac{300}{100}\right)^{\frac{1}{1.393}} = 4.315 \times 3^{0.7179} = 4.315 \times 2.2004 \approx 9.495\ \mathrm{m^3}$

步驟三：各過程之功與熱傳量計算

核心觀念

本題考查穩定流動開放系統（Steady-Flow Open System）之質量守恆與熱力學第一定律能量平衡，並結合理想氣體狀態方程式進行分析：

1. 理想氣體狀態方程式（Ideal-Gas Equation of State）： 用於求取入口處氣體的比容（Specific Volume, $v_1$）或密度（$\rho_1$）： $P_1 v_1 = R T_1 \implies v_1 = \frac{R T_1}{P_1}$
2. 質量守恆（連續方程式）： 在穩定流動條件下，通過控制體積的質量流率 $\dot{m}$ 為定值： $\dot{m} = \frac{A_1 V_1}{v_1} = \rho_1 A_1 V_1$
3. 熱力學第一定律（開系統能量方程式）： 對絕熱渦輪機（Turbine）取控制體積，忽略位能差（$\Delta \mathrm{pe} \approx 0$），在無熱交換（$\dot{Q} = 0$）條件下，能量平衡方程式為： $\dot{Q} - \dot{W}_{\text{out}} = \dot{m} \left[ (h_2 - h_1) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} + g(z_2 - z_1) \right]$ 簡化為： $\dot{W}_{\text{out}} = \dot{m} \left[ (h_1 - h_2) + \frac{V_1^2 - V_2^2}{2} \right]$
4. 理想氣體焓差與動能單位一致性：

• 焓差：$\Delta h = h_1 - h_2 = C_p (T_1 - T_2)$
• 動能差需由 $\mathrm{m^2/s^2}$（即 $\mathrm{J/kg}$）轉換為 $\mathrm{kJ/kg}$，必須除以 $1000$。

解題方法

步驟一：計算入口處比容與氣體質量流率 $\dot{m}$

將入口溫度轉換為絕對溫度： $T_1 = 450 + 273.15 = 723.15\ \mathrm{K}$ （若取整數換算，則 $T_1 = 450 + 273 = 723\ \mathrm{K}$）

根據理想氣體狀態方程式，計算入口狀態之比容 $v_1$： $v_1 = \frac{R T_1}{P_1} = \frac{0.2081\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \times 723.15\ \mathrm{K}}{1600\ \mathrm{kPa}} \approx 0.094055\ \mathrm{m^3/kg}$

入口截面積為： $A_1 = 60\ \mathrm{cm^2} = 60 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2} = 0.006\ \mathrm{m^2}$

計算氫氣之質量流率 $\dot{m}$： $\dot{m} = \frac{A_1 V_1}{v_1} = \frac{0.006\ \mathrm{m^2} \times 55\ \mathrm{m/s}}{0.094055\ \mathrm{m^3/kg}} \approx 3.5086\ \mathrm{kg/s}$

步驟二：計算單位質量之輸出功與動能變化量

1. 單位質量輸出功（$w_{\text{out}}$）： $w_{\text{out}} = \frac{\dot{W}_{\text{out}}}{\dot{m}} = \frac{190\ \mathrm{kW}}{3.5086\ \mathrm{kg/s}} \approx 54.153\ \mathrm{kJ/kg}$

2. 單位質量之動能差（$\Delta \mathrm{ke}$）：

核心觀念

本題將燃氣輪機的布雷頓循環與蒸汽朗肯循環結合：燃氣輪機排氣在鍋爐中降溫，提供蒸汽循環所需熱量。要先用空氣標準分析求燃氣輪機的狀態與排氣可供熱量，再由蒸汽表資料求蒸汽循環的熱量與功率。

題目開頭稱蒸汽循環為「基本朗肯循環」，後文卻出現「再熱朗肯循環」字樣；但未提供再熱壓力或再熱溫度。以下依題首所述及現有數據，按基本朗肯循環計算；燃氣輪機壓縮機與渦輪、蒸汽渦輪及給水泵均視為理想等熵或理想過程。

解題方法

令布雷頓循環狀態依序為壓縮機入口 $1$、壓縮機出口 $2$、燃氣輪機入口 $3$、燃氣輪機出口 $4$。空氣比熱比為

將溫度換成絕對溫度：

壓縮機壓力比為 $6$，理想等熵關係給出

燃氣輪機膨脹至環境壓力，壓力比同為 $6$：

（一）空氣之流量

蒸汽在 $10\ \mathrm{kPa}$ 的渦輪出口為濕蒸汽。由等熵膨脹，出口熵等於入口熵，因此乾度為

蒸汽渦輪出口比焓：

給水泵比功以液態水比容估算：

泵出口比焓為 $h_2=41.99+2.99=44.98\ \mathrm{kJ/kg}$。鍋爐每公斤蒸汽吸熱為

蒸汽流率為 $2\ \mathrm{kg/s}$，故鍋爐熱輸入為

每公斤空氣在鍋爐可釋出的熱量，是燃氣輪機排氣從 $T_4$ 冷卻至 $473.15\ \mathrm{K}$ 所放出的熱量：