107 高普考高考三級 核子工程 工程熱力學 考古題詳解

核心觀念

本題為典型熱力學基礎原理與基本定律之申論題，測驗考生對工程熱力學三大基石理論之精確定義與工程實務應用的理解：

1. 對應狀態原理（Principle of Corresponding States, PCS）：建立在凡得瓦方程式（van der Waals equation）對比化推導的基礎上。核心觀念為：不同氣體在相同的對比壓力 $P_r$ 與對比溫度 $T_r$ 下，其偏離理想氣體的程度相似，具有近似相同的壓縮因子 $Z$。
2. 熱力學第零定律（Zeroth Law of Thermodynamics）：熱平衡的遞移律（Transitivity of Thermal Equilibrium），為客觀定義「溫度（Temperature）」及溫度計量測原理的物理基礎。
3. 熱力學第三定律（Third Law of Thermodynamics）：能士特熱定理（Nernst Heat Theorem）與普朗克（Planck）陳述，確立「絕對熵（Absolute Entropy）」之零點參考基準，並推導出絕對零度無法藉由有限步驟達到的物理限制。

解題方法

(一) Principle of Corresponding States（對應狀態原理）

1. 原理內涵： 物質之狀態以其臨界點性質（臨界溫度 $T_c$、臨界壓力 $P_c$、臨界比容 $v_c$）予以無因次化，定義出「對比性質（Reduced Properties）」： $P_r = \frac{P}{P_c}, \quad T_r = \frac{T}{T_c}$ 對應狀態原理指出：所有流體在相同的對比溫度 $T_r$ 與對比壓力 $P_r$ 下，具有幾乎相同的壓縮因子（Compressibility Factor, $Z$），即： $Z = \frac{P v}{R T} = f(P_r, T_r)$ （註：近代高精度模型常結合皮策偏心因子 $\omega$ 擴充為三參數對應狀態原理：$Z = Z^{(0)} + \omega Z^{(1)}$）。

2. 具體應用：

• 真實氣體 $P$-$v$-$T$ 狀態預測：當某氣體缺乏實驗數據或缺乏專屬的高階狀態方程式（如 BWR 方程式）時，僅需已知該物質的臨界常數（$T_c, P_c$），即可估算其在任意高壓或低溫狀態下的比容、壓力或溫度。
• 熱力性質偏離函數（Departure Functions）計算：結合 Maxwell 關係式，利用對應狀態圖表估算真實氣體相對於理想氣體的焓差（Enthalpy departure, $(h^* - h)_T$）與熵差（Entropy departure, $(s^* - s)_{T,P}$），廣泛應用於化工相平衡與核能氣冷反應爐工質狀態計算。

3. 應用方式（操作步驟）：

1. 查取臨界常數：由熱力學性質表查得目標流體的 $T_c$ 與 $P_c$ 以及氣體常數 $R$。
2. 計算對比狀態參數：

• 若已知 $T$ 與 $P$，計算 $T_r = T / T_c$ 與 $P_r = P / P_c$。
• 若已知 $v$，因實驗測定之 $v_c$ 誤差較大，改用「擬對比比容（Pseudo-reduced specific volume, $v_r'$）」： $v_r' = \frac{v}{R T_c / P_c}$

3. 查閱通用壓縮因子圖（Nelson-Obert Generalized Compressibility Chart）：以 $(P_r, T_r)$ 或 $(v_r', T_r)$ 為座標，查出對應之壓縮因子 $Z$。
4. 求解目標熱力性質：代入真實氣體狀態方程式： $P v = Z R T$ 解出未知的比容 $v = \frac{Z R T}{P}$、壓力 $P = \frac{Z R T}{v}$ 或溫度 $T$。

(二) 熱力學第零定律與其定義之熱力學性質

1. 定律內容： 若系統 A 與系統 B 各自與系統 C 處於熱平衡（Thermal Equilibrium），則系統 A 與系統 B 彼此之間亦處於熱平衡。

2. 所定義之熱力學性質： 熱力學第零定律所定義的物質熱力學性質為​「溫度（Temperature, $T$）」。

3. 物理意義與說明：

• 熱平衡的數學等價關係：第零定律確認了熱平衡關係具備「自反性」、「對稱性」與「遞移性」，證明存在一個標量單值狀態函數，當且僅當兩系統此函數值相等時，兩者接觸不發生淨熱量傳遞。此狀態函數即為溫度。
• 溫度計量測的理論依據：若以系統 C 作為「溫度計」（測溫物質），當溫度計與系統 A 達熱平衡並展現某測溫性質（如水銀柱長度、電阻值），接著將溫度計置於系統 B 亦展現相同讀數時，即可判定系統 A 與系統 B 具有相同的溫度，而不需將 A 與 B 直接接觸。

(三) 熱力學第三定律

核心觀念

本題的核心在於熱力學第二定律（Second Law of Thermodynamics）兩大古典敘述的邏輯等價性證明（Equivalence of Thermodynamic Statements）：

1. 開爾文－普朗克敘述（Kelvin-Planck Statement）： 不可能製造出一個依循環運作的熱機，其唯一效果是從單一熱庫吸收熱量，並將其全部轉化為對外所作的淨功（亦即熱機必須向低溫熱庫排出廢熱才能維持循環運作，其熱效率必小於 100%）。
2. 克勞修斯敘述（Clausius Statement）： 不可能製造出一個依循環運作的裝置，其唯一效果是將熱量自低溫物體自發傳遞至高溫物體而不需外界提供功輸入（亦即熱量無法自然、自發且不留痕跡地由低溫傳至高溫）。
3. 邏輯等價原理： 在邏輯上，若要證明「命題 $A$（開爾文－普朗克敘述）」與「命題 $B$（克勞修斯敘述）」互為真理（即 $A \iff B$），通常採用熱力學經典的反證法（Proof by Contradiction），亦即證明其對偶命題：

• 若違反克勞修斯敘述，則必然導致違反開爾文－普朗克敘述（$\neg B \implies \neg A$）。
• 若違反開爾文－普朗克敘述，則必然導致違反克勞修斯敘述（$\neg A \implies \neg B$）。

解題方法

證明分為兩大部分，皆透過構造「違反其中一個敘述的假想裝置」與「另一個完全符合熱力學的正常裝置」結合為複合系統（Combined System），並推導出該複合系統將破壞另一個敘述。

第一部分：證明「若違反克勞修斯敘述，則必違反開爾文－普朗克敘述」

1. 假設違反克勞修斯敘述： 設存在一部假想的「超完美冷凍機（或熱泵）」$R$，在循環運作中不需要任何外功輸入（即 $W_{\text{in}} = 0$），能自發地自低溫熱庫（溫度為 $T_L$）吸取熱量 $Q_L$，並將等量的熱量直接排入高溫熱庫（溫度為 $T_H$），即： $Q_{H,R} = Q_L$

2. 引進一台正向運作之常規熱機： 另取一台符合熱力學定律的正常熱機 $E$，運作於同一高溫熱庫 $T_H$ 與低溫熱庫 $T_L$ 之間。

• 該熱機從高溫熱庫吸熱 $Q_{H,E}$；
• 對外輸出淨功 $W_{\text{net}} = Q_{H,E} - Q_{L,E}$；
• 向低溫熱庫排放廢熱 $Q_{L,E}$。 調校熱機之規模，使其排放之廢熱量恰好等於假想冷凍機自低溫熱庫吸取之熱量，即設定： $Q_{L,E} = Q_L$

3. 建構複合系統並進行能量平衡分析： 將假想冷凍機 $R$ 與正常熱機 $E$ 組合成一個封閉循環複合系統：

• 低溫熱庫（$T_L$）的淨熱交換： $Q_{L,\text{net}} = Q_{L,E} - Q_L = 0$ 低溫熱庫完全沒有熱量的淨轉移，實際上可完全將其移除或視為內部熱交換。
• 高溫熱庫（$T_H$）的淨熱交換： 複合系統自高溫熱庫淨吸收的熱量為： $Q_{\text{net, in}} = Q_{H,E} - Q_{H,R} = Q_{H,E} - Q_L$
• 複合系統的淨功輸出： $W_{\text{net}} = Q_{H,E} - Q_{L,E} = Q_{H,E} - Q_L$

4. 矛盾推導： 此複合系統在一個完整循環中，僅與單一熱庫（高溫熱庫 $T_H$）發生熱交換，並將自該熱庫所吸取的熱量 $Q_{\text{net, in}}$ 100% 全數轉換為對外輸出的淨功 $W_{\text{net}}$，過程中完全沒有向任何其他熱庫排放廢熱。 這直接違反了開爾文－普朗克敘述。因此： $\text{違反克勞修斯敘述} \implies \text{違反開爾文－普朗克敘述}$

核心觀念

本題旨在評估與比較不同熱力循環裝置在「能量使用」上的熱力學表現與完善程度。涉及的核心熱力學定律與公式包含：

1. 熱力學第一定律（能量守恆定律）：

• 熱機（Heat Engine, HE）：$W_{net,out} = Q_H - Q_L$
• 冷凍機（Refrigerator, R）與熱泵（Heat Pump, HP）：$W_{in} = Q_H - Q_L$

2. 第一定律效能指標（能量轉換比率）：

• 熱機熱效率：$\eta_{th} = \frac{W_{net,out}}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$
• 冷凍機性能係數：$\mathrm{COP}_R = \beta = \frac{Q_L}{W_{in}} = \frac{Q_L}{Q_H - Q_L}$
• 熱泵性能係數：$\mathrm{COP}_{HP} = \beta' = \frac{Q_H}{W_{in}} = \frac{Q_H}{Q_H - Q_L}$

3. 熱力學第二定律與卡諾極限（Carnot Limits）： 任何運轉於高溫熱源 $T_H$ 與低溫熱源 $T_L$ 之間的循環裝置，其效能均受限於可逆卡諾循環效能：

• 卡諾熱機效率：$\eta_{rev} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$
• 卡諾冷凍機性能係數：$\mathrm{COP}_{R,rev} = \frac{T_L}{T_H - T_L}$
• 卡諾熱泵性能係數：$\mathrm{COP}_{HP,rev} = \frac{T_H}{T_H - T_L}$

4. 熱力學第二定律效率（Second-Law Efficiency, $\eta_{II}$）： 熱機、冷凍機與熱泵的物理目標與運轉溫差截然不同，其第一定律效能指標（$\eta_{th}$ 與 $\mathrm{COP}$）無法直接相互比較。由熱力學能量品質與能量使用的角度，必須以「實際效能相對於同溫限下理論最大可逆效能」的比值，即第二定律效率（可用能/有效能利用率）作為統一客觀的優劣評比基準： $\eta_{II} = \frac{\text{實際第一定律效能指標}}{\text{同溫限下可逆卡諾指標}}$ 此外，亦可由循環的總熵產生量（$S_{gen}$）衡量系統不可逆性（不可逆損失越小，能量使用愈完善）： $S_{gen} = \sum \frac{Q_{out}}{T_{boundary,out}} - \sum \frac{Q_{in}}{T_{boundary,in}} \ge 0$

解題方法

1. 轉換絕對溫度：將所有攝氏溫度換算為絕對溫度凱氏溫標（$\mathrm{K}$）：$T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273$。
2. 計算各裝置實際效能指標：利用第一定律能量平衡求出淨功或輸入功，進而計算各裝置之實際 $\eta_{th}$、$\mathrm{COP}_R$ 與 $\mathrm{COP}_{HP}$。
3. 計算各裝置理論卡諾極限：依據各裝置高低溫熱源溫度，計算理論最高之 $\eta_{rev}$、$\mathrm{COP}_{R,rev}$ 與 $\mathrm{COP}_{HP,rev}$，並檢驗熱力學可行性（必須滿足實際效能 $\le$ 理論極限）。
4. 計算第二定律效率與不可逆度：求出各裝置的 $\eta_{II}$ 與單位循環的熵增量 $S_{gen}$。
5. 綜合比較優劣：依據第二定律效率由高至低進行綜合排序與熱力學論述。

各裝置之熱力學性能分析與比較

(一) 熱機（Heat Engine）

• 運轉條件： $T_H = 800\ \mathrm{K}$、$T_L = 300\ \mathrm{K}$ 吸熱量 $Q_H = 100\ \mathrm{kJ}$，排廢熱 $Q_L = 50\ \mathrm{kJ}$
• 第一定律輸出功與實際熱效率： $W_{net,out} = Q_H - Q_L = 100 - 50 = 50\ \mathrm{kJ}$ $\eta_{th} = \frac{W_{net,out}}{Q_H} = \frac{50\ \mathrm{kJ}}{100\ \mathrm{kJ}} = 0.50\ (50\%)$
• 理論卡諾極限： $\eta_{rev} = 1 - \frac{T_L}{T_H} = 1 - \frac{300}{800} = 1 - 0.375 = 0.625\ (62.5\%)$
• 第二定律效率與不可逆性： 由於 $\eta_{th} = 50\% < \eta_{rev} = 62.5\%$，該熱機符合第二定律，為不可逆實際熱機。 $\eta_{II, HE} = \frac{\eta_{th}}{\eta_{rev}} = \frac{0.50}{0.625} = 0.80\ (80\%)$ 循環熵產生量： $S_{gen} = \frac{Q_L}{T_L} - \frac{Q_H}{T_H} = \frac{50}{300} - \frac{100}{800} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{1}{24} \approx 0.0417\ \mathrm{kJ/K}$

(二) 冷凍裝置（Refrigerator）

• 運轉條件： $T_L = -3^\circ\mathrm{C} = 270\ \mathrm{K}$、$T_H = 37^\circ\mathrm{C} = 310\ \mathrm{K}$ 消耗功 $W_{in} = 50\ \mathrm{kJ}$，低溫吸熱 $Q_L = 100\ \mathrm{kJ}$ 由第一定律可知排放高溫熱量：$Q_H = Q_L + W_{in} = 100 + 50 = 150\ \mathrm{kJ}$
• 實際性能係數： $\mathrm{COP}_R = \frac{Q_L}{W_{in}} = \frac{100\ \mathrm{kJ}}{50\ \mathrm{kJ}} = 2.0$
• 理論卡諾極限： $\mathrm{COP}_{R,rev} = \frac{T_L}{T_H - T_L} = \frac{270}{310 - 270} = \frac{270}{40} = 6.75$
• 第二定律效率與不可逆性：

核心觀念

本題旨在測驗熱力學第二定律的定量準據——克勞希爾斯不等式（Clausius Inequality）​在熱機與熱泵循環之應用，並結合熱力學第一定律（能量守恆）​進行系統檢驗。

1. 熱力學第一定律（循環能量守恆）： 對於經歷完整週期循環運轉的熱泵系統，內能變化為零（$\Delta U = 0$），進入系統之總能量等於離開系統之總能量： $\dot{Q}_L + \dot{W}_{\text{in}} = \dot{Q}_H$ 其中 $\dot{Q}_L$ 為自低溫熱庫（室外環境）吸收之熱率，$\dot{W}_{\text{in}}$ 為外加輸入之功（功率），$\dot{Q}_H$ 為釋放至高溫熱庫（室內環境）之供熱率。

2. 絕對溫標之轉換： 熱力學第二定律相關公式中的溫度必須採用絕對溫度（$\mathrm{K}$）： $T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273.15 \approx T(^\circ\mathrm{C}) + 273$

3. 克勞希爾斯不等式（Clausius Inequality）： 對於任何經歷一熱力循環的封閉系統，邊界熱傳量與邊界絕對溫度比值的循環積分必定滿足： $\oint \frac{\delta Q}{T} \le 0 \quad \text{或以速率形式表示：} \quad \oint \frac{\delta \dot{Q}}{T} \le 0$

• $\oint \frac{\delta Q}{T} = 0$：系統為內部可逆循環（Internally Reversible Cycle），即理想無摩擦、無非平衡損耗的理論極限。
• $\oint \frac{\delta Q}{T} < 0$：系統為不可逆循環（Irreversible Cycle），此為所有實際真實工程裝置運轉之必要條件（因實體必有摩擦阻力、有限溫差熱傳等導致熵生成 $S_{\text{gen}} > 0$）。
• $\oint \frac{\delta Q}{T} > 0$：違反熱力學第二定律，此種循環在物理上絕對不可能存在。

解題方法

題目指定使用克勞希爾斯不等式檢驗發明家之熱泵。

步驟一：定義系統邊界與溫度參數

• 高溫熱庫（室內）：$T_H = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273 = 300\ \mathrm{K}$
• 低溫熱庫（室外）：$T_L = -3^\circ\mathrm{C} = -3 + 273 = 270\ \mathrm{K}$
• 外加輸入功耗：$\dot{W}_{\text{in}} = 2\ \mathrm{kW}$

步驟二：依物理意義釐清熱量傳遞關係並進行計算

熱泵之主要功能為「向室內供熱」，故發明家宣稱「自 $-3^\circ\mathrm{C}$ 的室外環境移動 $20\ \mathrm{kW}$ 的能量到 $27^\circ\mathrm{C}$ 的室內」，在標準工程定義下代表提供至室內的供熱率 $\dot{Q}_H = 20\ \mathrm{kW}$。為求嚴謹，以下針對工程標準定義與字面吸熱兩種情況分別驗證：

【情況一：標準熱泵供熱率 $\dot{Q}_H = 20\ \mathrm{kW}$】

1. 依據熱力學第一定律，計算自室外吸入之熱率 $\dot{Q}_L$： $\dot{Q}_L = \dot{Q}_H - \dot{W}_{\text{in}} = 20\ \mathrm{kW} - 2\ \mathrm{kW} = 18\ \mathrm{kW}$
2. 計算熱泵循環之克勞希爾斯循環積分值（熱量流入系統取正、流出取負）： $\oint \frac{\delta \dot{Q}}{T} = \frac{\dot{Q}_L}{T_L} - \frac{\dot{Q}_H}{T_H} = \frac{18\ \mathrm{kW}}{270\ \mathrm{K}} - \frac{20\ \mathrm{kW}}{300\ \mathrm{K}}$ $\oint \frac{\delta \dot{Q}}{T} = \frac{1}{15} - \frac{1}{15} = 0\ \mathrm{kW/K}$
3. 物理意義判斷：

• 根據熱力學第二定律，循環積分與熵生成（$\dot{S}_{\text{gen}}$）的關係為： $\oint \frac{\delta \dot{Q}}{T} = -\dot{S}_{\text{gen}}$

核心觀念

1. 理想郎肯循環（Ideal Rankine Cycle）各狀態點熱力性質：

• 狀態 1（冷凝器出口／泵浦入口）：飽和液體，$h_1 = h_{f@25^\circ\mathrm{C}}$，$s_1 = s_{f@25^\circ\mathrm{C}}$，$v_1 = v_{f@25^\circ\mathrm{C}}$。
• 狀態 2s（泵浦等熵出口）：等熵壓縮，$w_{p,s} = v_1(P_2 - P_1)$，$h_{2s} = h_1 + w_{p,s}$。
• 狀態 3（鍋爐出口／汽渦輪機入口）：飽和蒸汽，$h_3 = h_{g@7\ \mathrm{MPa}}$，$s_3 = s_{g@7\ \mathrm{MPa}}$。
• 狀態 4s（汽機等熵出口）：等熵膨脹，$s_{4s} = s_3$；依乾度 $x_{4s} = \frac{s_{4s} - s_f}{s_{fg}}$ 計算 $h_{4s} = h_f + x_{4s}h_{fg}$。

2. 非理想組件等熵效率（Isentropic Efficiency）：

• 汽渦輪機效率：$\eta_t = \frac{w_{t,a}}{w_{t,s}} = \frac{h_3 - h_{4a}}{h_3 - h_{4s}} \implies w_{t,a} = \eta_t w_{t,s}$。
• 飼水泵浦效率：$\eta_p = \frac{w_{p,s}}{w_{p,a}} = \frac{h_{2s} - h_1}{h_{2a} - h_1} \implies w_{p,a} = \frac{w_{p,s}}{\eta_p}$。
• 循環熱效率：$\eta_{\text{th}} = \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}} = \frac{w_t - w_p}{h_3 - h_2}$。

3. 循環效率改進與熱力學原理：依據卡諾原理，循環熱效率取決於平均吸熱溫度 $\bar{T}_H$ 與平均放熱溫度 $\bar{T}_L$：$\eta_{\text{th}} \approx 1 - \frac{\bar{T}_L}{\bar{T}_H}$。
4. 再生（Regeneration）與再熱（Reheat）系統配置：

• 開放式飼水加熱器（OFWH）：抽汽與飼水直接混合，具除氧功能，出口為飽和液體。
• 封閉式飼水加熱器（CFWH）：管殼式間接熱交換，不直接混合，凝結疏水經疏水閥（Trap）降壓排回低壓側或由疏水泵打入主飼水管。

5. 可用能（Exergy）與熱力學第二定律效率（Second Law Efficiency, $\eta_{II}$）：

• 流體比可用能（忽略動能與位能）：$x = (h - h_0) - T_0(s - s_0)$，流體進出口可用能差為 $\Delta x = \Delta h - T_0 \Delta s$。
• 熱源傳熱可用能（熱源溫度 $T_H$，環境溫度 $T_0$）：$x_{\text{heat}} = q_{\text{in}}\left(1 - \frac{T_0}{T_H}\right)$。
• 鍋爐第二定律效率：$\eta_{II, \text{boiler}} = \frac{\Delta x_{\text{fluid}}}{x_{\text{heat}}}$。
• 循環第二定律效率：$\eta_{II, \text{cycle}} = \frac{w_{\text{net}}}{w_{\text{rev,out}}} = \frac{w_{\text{net}}}{x_{\text{heat}}} = \frac{\eta_{\text{th}}}{\eta_{\text{Carnot}}}$。

解題方法

(一) 計算理想郎肯循環之熱效率（5 分）

1. 確定各狀態點熱力性質：

• 狀態 1（冷凝器出口，飽和液體，$T_1 = 25^\circ\mathrm{C}$，$P_1 = 0.003169\ \mathrm{MPa} = 3.169\ \mathrm{kPa}$）： $h_1 = 104.89\ \mathrm{kJ/kg},\quad v_1 = 1.0029 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3/kg},\quad s_1 = 0.3674\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

• 狀態 2s（泵浦等熵出口，$P_2 = 7\ \mathrm{MPa} = 7000\ \mathrm{kPa}$）： $w_{p,s} = v_1 (P_2 - P_1) = (1.0029 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3/kg}) \times (7000 - 3.169)\ \mathrm{kPa} = 7.017\ \mathrm{kJ/kg} \approx 7.02\ \mathrm{kJ/kg}$ $h_{2s} = h_1 + w_{p,s} = 104.89 + 7.02 = 111.91\ \mathrm{kJ/kg}$

• 狀態 3（鍋爐出口，飽和蒸汽，$P_3 = 7\ \mathrm{MPa}$）： $h_3 = 2772.1\ \mathrm{kJ/kg},\quad s_3 = 5.8133\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

• 狀態 4s（汽渦輪機等熵膨脹出口，$P_4 = 0.003169\ \mathrm{MPa}$，$s_{4s} = s_3 = 5.8133\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$）： 在 $25^\circ\mathrm{C}$ 下，$s_f = 0.3674\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，$s_g = 8.5580\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，$s_{fg} = 8.5580 - 0.3674 = 8.1906\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$： $x_{4s} = \frac{s_{4s} - s_f}{s_{fg}} = \frac{5.8133 - 0.3674}{8.1906} = \frac{5.4459}{8.1906} \approx 0.6649$ $h_{4s} = h_f + x_{4s} h_{fg} = 104.89 + 0.6649 \times (2547.2 - 104.89) = 104.89 + 0.6649 \times 2442.31 = 1728.78\ \mathrm{kJ/kg}$

2. 計算輸出功、輸入熱量與熱效率：

• 汽渦輪機等熵輸出功： $w_{t,s} = h_3 - h_{4s} = 2772.1 - 1728.78 = 1043.32\ \mathrm{kJ/kg}$
• 循環淨功： $w_{\text{net},s} = w_{t,s} - w_{p,s} = 1043.32 - 7.02 = 1036.30\ \mathrm{kJ/kg}$
• 鍋爐吸熱量： $q_{\text{in},s} = h_3 - h_{2s} = 2772.1 - 111.91 = 2660.19\ \mathrm{kJ/kg}$
• 理想熱效率： $\eta_{\text{th, ideal}} = \frac{w_{\text{net},s}}{q_{\text{in},s}} = \frac{1036.30}{2660.19} \approx 0.3896 = 38.96\%$ (註：若忽略泵浦功，$\eta_{\text{th}} \approx \frac{1043.32}{2772.1 - 104.89} = \frac{1043.32}{2667.21} = 39.12\%$)

(二) 考慮汽機效率 $\eta_t = 0.90$ 與泵浦效率 $\eta_p = 0.95$ 之熱效率（10 分）

1. 計算實際功與狀態點焓值：

• 汽渦輪機實際輸出功： $w_{t,a} = \eta_t \times w_{t,s} = 0.90 \times 1043.32 = 938.99\ \mathrm{kJ/kg}$ $h_{4a} = h_3 - w_{t,a} = 2772.1 - 938.99 = 1833.11\ \mathrm{kJ/kg}$

• 飼水泵浦實際耗功： $w_{p,a} = \frac{w_{p,s}}{\eta_p} = \frac{7.017}{0.95} = 7.39\ \mathrm{kJ/kg}$ $h_{2a} = h_1 + w_{p,a} = 104.89 + 7.39 = 112.28\ \mathrm{kJ/kg}$

2. 計算實際循環淨功、吸熱量與熱效率：

• 實際循環淨功： $w_{\text{net},a} = w_{t,a} - w_{p,a} = 938.99 - 7.39 = 931.60\ \mathrm{kJ/kg}$
• 實際鍋爐吸熱量： $q_{\text{in},a} = h_3 - h_{2a} = 2772.1 - 112.28 = 2659.82\ \mathrm{kJ/kg}$
• 實際熱效率： $\eta_{\text{th},a} = \frac{w_{\text{net},a}}{q_{\text{in},a}} = \frac{931.60}{2659.82} \approx 0.3503 = 35.03\%$

(三) 更改設計參數提升熱效率之說明與圖示（5 分）

依卡諾原理，提高平均吸熱溫度 $\bar{T}_H$ 或降低放熱溫度 $\bar{T}_L$ 均可提升熱效率：

1. 降低冷凝器工作壓力／溫度（Lowering Condenser Pressure）：

• 原理：降低冷凝溫度使放熱溫度 $\bar{T}_L$ 下降，循環膨脹功大幅增加。
• 圖示說明：冷凝壓力線由 $P_{\text{cond}}$ 降至 $P_{\text{cond}}'$，包圍面積增加 $\Delta W$。

 T ^
 | 3 (鍋爐出口)
 | /|
 | / |
 | 2 / |
 | +----+ |
 | /| | |
 T_cond +---+------+---+ 4
 | | |\\\\|\\\| <- 面積增加 ΔW
 T_cond' +---+------+---+ 4'
 +-------------------> s

2. 提高蒸汽過熱度（Superheating Steam to Higher Temperature）：

• 原理：將飽和蒸汽進一步過熱至高溫，顯著提升平均吸熱溫度 $\bar{T}_H$，同時改善汽機排汽乾度，減少葉片侵蝕。
• 圖示說明：狀態 3 往右上方延伸至 $3'$，新增面積之平均吸熱溫度高於原循環。

 T ^ 3' (過熱蒸汽)
 | /|
 | 3 / |
 | +------+ |
 | / | |
 | 2 + | |
 | /| | |
 T_cond +---+----------+--+ 4'
 +-------------------> s

3. 提高鍋爐工作壓力（Increasing Boiler Pressure）：

• 原理：提高蒸發壓力使飽和溫度上升，提高平均吸熱溫度 $\bar{T}_H$。
• 圖示說明：蒸發線向上平移，循環包圍面積向高溫區集中。