110 經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員 土木 國營事業聯招 (應用力學、材料力學)A 考古題詳解

核心觀念

本題考查物理量與其單位的基本辨識，重點在於區分：

• 質量（mass）：表示物體所含物質的多寡，國際單位制（SI）基本單位為公斤 $\text{kg}$。
• 力（force）：單位為牛頓 $\text{N}$。
• 體積（volume）：加侖（gallon，$\text{gal}$）為體積單位。
• 應力或壓力（stress/pressure）：兆帕（megapascal，$\text{MPa}$）為壓力單位。

解題方法

直接依各選項所代表的物理量判斷。質量的 SI 基本單位為：

因此選項中代表質量單位者為 $\text{kg}$。

選項分析

• (A) $\text{N}$：錯誤。 $\text{N}$ 為牛頓，是力的單位。由牛頓第二定律：

可知牛頓不是質量單位。

核心觀念

二力桿件（Two-force member）是指一個構件只受到兩個外力作用，且構件處於平衡狀態。依剛體平衡條件：

因此，二力桿件所受的兩個力必須同時具備：

1. 大小相等；
2. 方向相反；
3. 作用線重合，即位於同一直線上。

二力桿件的形狀不一定是直線，直線形桿件只是工程與桁架分析中最常見的形式。

解題方法

逐一檢查各選項是否符合二力桿件的定義與平衡條件。

若構件僅受兩力作用，設兩力分別為 $\mathbf{F}_1$ 與 $\mathbf{F}_2$，由力平衡：

可得：

且兩力方向相反。

此外，若兩力作用線不重合，兩力之間會形成力偶，其合力矩不為零：

構件便會產生轉動，無法維持平衡。因此，兩力的作用線必須在同一直線上。

核心觀念

本題考查彈簧的等效彈力常數：

• 並聯彈簧：各彈簧變形量相同，等效彈力常數相加。
• 串聯彈簧：各彈簧受力相同，等效彈力常數為倒數相加。

圖中：

• 左側彈簧 $k_1$ 直接連接滑車與左固定端。
• 右側 $k_2$、$k_3$ 依序連接滑車與右固定端，兩者為串聯。
• 左側的 $k_1$ 與右側 $k_2$、$k_3$ 串聯組合後，對滑車產生恢復力，兩組作用方向相反但彈力效果相加。

解題方法

先求右側 $k_2$ 與 $k_3$ 的等效彈力常數。

由串聯關係：

因此：

接著，$k_1$ 與右側等效彈簧 $k_{23}$ 對滑車而言屬於並聯作用，因此總等效彈力常數為：

代入 $k_{23}$：

選項分析

• (A) $k_1+k_2+k_3$：錯誤

此式將三個彈簧全部視為並聯，但 $k_2$ 與 $k_3$ 在圖中是串聯，不能直接相加。

核心觀念

本題考查力是否為保守力（conservative force）。

保守力具有以下特性：

1. 力所做的功與路徑無關，只與起點、終點的位置有關。
2. 沿封閉路徑運動一周，保守力所做的總功為零：

3. 保守力可以定義對應的位能，並滿足機械能守恆：

摩擦力的作功會轉化為熱能，且作功大小與運動路徑長度有關，因此屬於非保守力。

解題方法

判斷各選項是否為保守力，可檢查其作功是否具有路徑相依性：

• 若只與起點、終點有關，則為保守力。
• 若與實際行走路徑、摩擦距離等因素有關，則為非保守力。

物體受到摩擦力時，摩擦力作功為：

其中 $f_k$ 為動摩擦力，$s$ 為物體實際移動的路程。由於同樣的起點與終點可能有不同的路徑長度 $s$，摩擦力所做的功會隨路徑改變，故摩擦力為非保守力。

選項分析

(A) 彈簧力

理想彈簧力遵循虎克定律：

其彈簧位能為：

彈簧力所做的功只與初、末位置有關，與運動路徑無關，因此屬於保守力。本選項錯誤。

核心觀念

本題考查「機械能守恆定律」。物體自由落下且不計空氣阻力，表示系統僅受重力作用，重力屬於保守力，因此物體的總機械能保持不變。

總機械能為動能與重力位能之和：

其中：

題目以地面為零位面，因此物體在高度 $y$ 處的重力位能為 $Mgy$。

解題方法

物體初始位於高度 $h$，且由靜止狀態自由落下，因此初始動能為零：

初始重力位能為：

所以物體的初始總機械能為：

由於不計空氣阻力，機械能守恆。當物體下降至高度 $h/2$ 時，雖然部分重力位能轉換為動能，但總機械能仍等於初始值：

也可直接驗算：

當高度為 $h/2$ 時，重力位能為：

物體下降距離為 $h/2$，由能量轉換可知增加的動能為：

核心觀念

本題考查「電梯加速時的單擺週期」。單擺週期公式為

其中：

• $L$ 為單擺長度；
• $g_{\text{有效}}$ 為單擺所在參考系中所感受到的有效重力加速度。

電梯以加速度 $a$ 向上運動時，電梯內的物體除受到向下的重力加速度 $g$ 外，還因電梯參考系為非慣性座標系而受到向下的慣性力效果。因此，電梯內的有效重力加速度為

解題方法

以電梯為參考系分析。

電梯向上加速 $a$，在電梯內觀察時，會產生方向向下、大小相當於加速度 $a$ 的慣性力。因此單擺所受的等效重力加速度為

單擺在小角度擺動下，其切線方向運動方程式為

代入 $g_{\text{有效}}=g+a$：

此為簡諧運動，其角頻率為

週期為

因此正確選項為 (B)。

選項分析

核心觀念

本題考查斜向拋射運動中，水平方向速度與動量的變化。

忽略空氣阻力時，物體僅受重力作用，重力方向為鉛直方向，因此：

• 水平方向合力為 $0$
• 水平加速度為 $0$
• 水平速度保持不變
• 水平動量 $p_x$ 亦保持不變

水平動量定義為：

其中 $m$ 為物體質量，$v_x$ 為水平方向速度。

解題方法

物體初速為 $v_0$，仰角為 $\alpha$，其初始速度可分解為：

斜向拋射過程中，水平方向沒有外力，因此水平速度始終為：

初始水平動量為：

當物體到達最大高度時，鉛直速度降為 $0$，但水平方向速度不受影響，仍為：

因此最大高度時的水平動量為：

水平動量變化量為：

核心觀念

本題考查懸臂梁固定端的平衡反力，包括：

• 垂直力平衡：$\sum F_y=0$
• 固定端力矩平衡：$\sum M_A=0$

圖中兩個大小相等的力 $F$：

• 左側距固定端 $L/3$ 處受向下力 $F$
• 右端距固定端 $L$ 處受向上力 $F$

兩力方向相反、作用線不重合，形成力偶。

解題方法

設固定端為 $A$，固定端垂直反力為 $A_y$，固定端反力矩為 $M_A$。

先取鉛直方向力平衡：

因此：

再對固定端 $A$ 取力矩。取逆時針為正：

外力對 $A$ 的合力矩為：

因此固定端必須產生大小相等、方向相反的反力矩：

核心觀念

角速度是角位移對時間的一階導數，定義為

其中：

• $\theta(t)$：角位移，單位為 rad
• $\omega(t)$：角速度，單位為 rad/s

本題給定角位移函數：

要求 $t=2$ 秒時的瞬時角速度。

解題方法

對角位移函數對時間 $t$ 微分：

利用冪次微分法則：

代入 $t=2$：

因此，$t=2$ 秒時的角速度為

選項分析

核心觀念

本題考查複合斷面的形心位置與平行軸定理。對水平形心軸 $y_c$ 的慣性矩為

其中：

• $I_{G_i}$：各矩形對自身形心水平軸的慣性矩
• $A_i$：各矩形面積
• $d_i$：各矩形形心至總形心軸 $y_c$ 的垂直距離

由圖可分成：

1. 上方翼板：$10\text{ cm}\times 2\text{ cm}$
2. 下方腹板：$2\text{ cm}\times 12\text{ cm}$

解題方法

取整個 T 形斷面底部為基準，向上為 $y$ 軸。

1. 求形心位置

翼板面積：

翼板形心位置：

腹板面積：

腹板形心位置：

因此總形心位置為

2. 對形心軸 $y_c$ 求慣性矩

翼板部分

翼板自身形心軸慣性矩：

翼板形心至總形心軸距離：

利用平行軸定理：

核心觀念

本題考查質點的動量與動能之間的關係。

質量為 $M$、速度為 $v$ 的質點，其動量大小為

動能為

由動量公式可得

將其代入動能公式：

因此，動能可表示為

選項分析

• (A) $P/M$：錯誤。 由 $P=Mv$ 可知 $P/M=v$，其物理量是速度，不是動能。

核心觀念

本題考查平面共點力的向量分解與合力大小。先將各力分解為水平、垂直分量，再分別相加，最後利用勾股定理求合力：

圖中：

• $P=20\text{ N}$，方向三角形為水平 $3$、垂直 $4$，斜邊為 $5$。
• $Q=10\text{ N}$，方向為右下 $45^\circ$，水平與垂直分量大小相等。

解題方法

取向右為 $x$ 軸正向、向上為 $y$ 軸正向。

力 $P$ 的分量為：

力 $Q$ 向右下方 $45^\circ$，因此：

合力的分量為：

因此合力大小：

核心觀念

本題考查簡支梁受集中載重時的支承反力與最大彎矩。

梁長為

集中載重 $P=10\text{ kN}$，作用點距離：

• $A$ 支承：$3\text{ m}$
• $B$ 支承：$2\text{ m}$

簡支梁的最大彎矩發生在集中載重作用處。

解題方法

設 $A$、$B$ 支承反力分別為 $R_A$、$R_B$。

先取 $A$ 點力矩平衡：

因此

再由垂直方向力平衡：

集中載重處左側彎矩為

因此梁內最大彎矩為 $12\text{ kN}\cdot\text{m}$。

選項分析

核心觀念

本題考查庫侖摩擦定律與靜摩擦力的基本性質。

對乾燥、粗糙接觸面而言：

• 最大靜摩擦力為 $f_{s,\max}=\mu_s N$
• 靜摩擦力的實際大小會依物體的受力狀況調整，滿足 $0\leq f_s\leq \mu_s N$
• 摩擦力作用於接觸面切線方向，用以阻礙或抵抗接觸面間的相對運動或相對運動趨勢。
• 在理想庫侖摩擦模型中，摩擦力大小與名義接觸面積無關。

解題方法

逐項依據摩擦力的定義與公式判斷。題目問「何者有誤」，只要找出不符合摩擦力基本性質的敘述即可。

其中最重要的判斷是：物體即使處於靜止狀態，只要存在沿接觸面方向的外力或運動趨勢，仍可能受到靜摩擦力。因此「靜止狀態不會受到摩擦力」的說法過度絕對，屬於錯誤敘述。

選項分析

(A) 最大靜摩擦力與兩接觸面之正向力成正比

正確。

依庫侖摩擦定律：

$f_{s,\max}=\mu_s N$

其中 $\mu_s$ 為靜摩擦係數，$N$ 為接觸面的正向力。在接觸面材料與狀況固定時，$\mu_s$ 為定值，因此最大靜摩擦力與正向力 $N$ 成正比。

(B) 摩擦力之大小與接觸面積無關

正確。

在理想乾摩擦模型中，摩擦力主要由摩擦係數與正向力決定：

$f=\mu N$

核心觀念

本題考查加速度與速度的微分、積分關係：

因此，已知加速度函數及初速度 $v_0$ 時，$t$ 秒後速度為：

題目說質點「靜止」，表示初速度：

解題方法

已知：

要求 $5$ 秒後的速度：

計算得：

所以 $5$ 秒後質點速度為：

選項分析

• (A) $18.75\ \text{m/s}$：正確。 由速度變化量為加速度對時間的積分，計算結果為 $18.75\ \text{m/s}$。

核心觀念

本題考查懸臂梁受三角形分佈載重時，如何以「等效集中力」計算固定端彎矩。

三角形分佈載重的合力大小等於載重圖形面積；合力作用位置通過三角形形心。圖中載重由固定端的 $0$ 線性增加至自由端的 $w$。

解題方法

三角形分佈載重的合力為：

由於三角形的最大值位於自由端，其形心距離固定端為：

因此固定端彎矩大小為：

故固定端彎矩值為：

選項分析

核心觀念

本題考查力所作的功。力對物體所作的功定義為

其中：

• $F$：力的大小
• $s$：物體沿位移方向移動的距離
• $\theta$：力與位移方向的夾角

題目中水平力方向與木塊移動方向相同，因此 $\theta=0^\circ$，且 $\cos0^\circ=1$。

解題方法

已知

代入功的公式：

因此，水平力對木塊所作的功為 $1000\text{ J}$。

木塊質量 $5\text{ kg}$ 在本題中不影響功的計算，因為題目已直接給出施力大小與位移距離。

選項分析

• (A) $0\text{ J}$：錯誤。 力與位移方向相同，力確實對木塊作正功，不是零功。

核心觀念

本題考查：

• 靜力平衡：$\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$
• 靜摩擦力的性質： $f_s\leq f_{s,\max}=\mu_s N$
• 靜摩擦力會「配合平衡所需」產生，未必等於最大靜摩擦力。

以命題當年（民國 110 年）之力學觀念為準。

解題方法

先分析繩結處。懸吊物體重力為 $20\text{ N}$，且系統力平衡，因此垂直繩段張力為

$T_v=20\text{ N}$

斜向繩段與水平夾角為 $45^\circ$，設其張力為 $T$。繩結垂直方向平衡：

$T\sin45^\circ=20$

因此

$T=\frac{20}{\sin45^\circ}=20\sqrt{2}\text{ N}$

斜向繩段在水平方向的分力為

此水平分力經水平繩作用於木塊，使木塊具有向右的拉力，因此木塊所受靜摩擦力應向左，大小為

$f_s=20\text{ N}$

再檢查最大靜摩擦力：

$N=100\text{ N}$

$f_{s,\max}=\mu_sN=0.3(100)=30\text{ N}$

因為

核心觀念

位置—時間關係曲線的斜率代表速度：

其中 $x$ 為位置，$t$ 為時間。若位置對時間的關係圖為直線，表示其斜率為固定值，因此速度為定值。

加速度為速度對時間的變化率：

由於速度為定值，所以：

因此質點可能是：

• 位置—時間圖為水平直線：$v=0$，質點靜止。
• 位置—時間圖為斜直線：$v$ 為固定非零值，質點作等速直線運動。

解題方法

設位置與時間的關係為直線：

其中 $x_0$ 為初始位置，$k$ 為直線斜率。對時間微分得：

因為 $k$ 為常數，所以速度固定。再對速度微分：

故此質點為靜止或等速運動，選擇：

選項分析

(A) 等加速度運動

不選。一般等加速度運動的位置公式為：

核心觀念

本題考查複合平面圖形的形心。將 L 形斷面分解為兩個矩形，再扣除重複計算的重疊矩形，利用面積形心公式：

取圖示左下角為座標原點，所有尺寸單位一致。

解題方法

將斷面分為：

1. 直立矩形：寬 $2$、高 $13$

其形心座標為：

2. 水平矩形：長 $12$、厚 $3$

其形心座標為：

兩矩形在左下角重疊部分為 $2\times3$ 的矩形，須扣除：

其形心座標為：

因此總面積為：

核心觀念

本題考查功的基本定義、功的正負與力學能守恆，以及功與動能定理的關係。

力對質點所作的功定義為

若力為定值，且力與位移夾角為 $\theta$，則

其中：

• $W>0$：正功，力在位移方向有分量。
• $W<0$：負功，力在位移反方向有分量。
• $W=0$：力與位移垂直，或力為零，或沿路徑的總功為零。

功—動能定理為

亦即質點所受合力作的總功，等於其動能變化量。

力學能為動能與位能之和：

只有在非保守力不作功，或非保守力的總功為零時，力學能才守恆。若非保守力作非零功，通常有

因此力學能一般不守恆。

解題方法

本題問「何者有誤」，可直接依據功的定義與能量定理逐項判斷：

1. 判斷非保守力作功是否必然導致力學能守恆。
2. 利用內積判斷力與位移垂直時的功。
3. 判斷功是純量還是向量。
4. 利用功—動能定理判斷正功、負功對動能的影響。

其中第一項是關鍵，因為非保守力作功通常代表機械能轉換為熱能、聲能等其他形式，故力學能不會守恆。

選項分析

(A) 非保守力作功時，力學能守恆

錯誤。

非保守力所作的功會改變系統的力學能。其關係為

當非保守力作非零功時，

表示力學能不守恆。

例如摩擦力作負功時，物體的部分機械能會轉換為熱能：

核心觀念

本題考查均勻細直桿繞不同位置轉軸的轉動慣量。轉動慣量定義為

其中 $r$ 為微小質量 $dm$ 到轉軸的垂直距離。

均勻細直桿若繞通過桿中心且垂直於桿軸的轉軸旋轉，其轉動慣量為

若改為繞桿端點且轉軸垂直於桿，則各質量微元到轉軸的距離增加，轉動慣量會變大。

解題方法

設細桿沿 $x$ 軸放置，左端為轉軸，桿長為 $L$。由於細桿均勻分布，其線密度為

位置 $x$ 處的微小質量為

該微小質量到端點轉軸的距離為 $x$，因此

代入 $dm$：

所以

亦可利用平行軸定理：

均勻細直桿的質心距端點為 $d=L/2$，因此

核心觀念

本題考查「理想桁架（ideal truss）」的基本假設與桿件內力型態。

理想桁架通常採用下列假設：

1. 桁架由直桿件組成。
2. 各桿件兩端以光滑銷接連結。
3. 外力與支承反力均作用於桁架接點。
4. 桿件自重忽略不計，或視為集中作用於接點。
5. 桿件僅承受兩端接點所產生的軸向力，因此各桿件為二力構件。
6. 桿件內力只有軸力，依受力狀態分為拉力或壓力，不承受彎矩與剪力。

因此，理想桁架桿件的內力可表示為軸力 $N$：

若桿件承受彎矩，代表桿件受到非同一直線的力、接頭具有抗彎能力，或外力直接作用於桿件中間，便不再符合理想桁架的基本模型。

解題方法

判斷本題各選項是否符合理想桁架假設即可。

理想桁架中的每一根桿件，兩端受力均作用於桿件端點，且兩端接頭為光滑銷接。由於桿件只承受兩個大小相等、方向相反且作用線相同的端部力量，所以桿件為二力構件。

對桿件取平衡：

可知兩端力的作用線必須通過同一直線，桿件不產生彎矩。故其內力只有軸向拉力或軸向壓力。

選項 (A) 將「彎矩」列為理想桁架桿件所承受的內力，與桁架基本假設不符，因此為錯誤敘述。

選項分析

(A) 桿件內力承受壓力、拉力及彎矩

錯誤。

理想桁架桿件為二力構件，內力僅有軸力，可能是：

• 軸向拉力；
• 軸向壓力。

核心觀念

本題考查平面桁架的：

• 支承反力計算
• 節點法（Method of Joints）
• 二力桿件軸向力判斷
• 桿件受拉、受壓的符號判定

圖中各格尺寸為 $4\text{ m}\times4\text{ m}$，因此斜桿與水平、垂直方向均成 $45^\circ$。

解題方法

先求整體支承反力。設左端 $A$ 為鉸支承，右端 $E$ 為滾支承，外力為：

• $C$ 點向下 $16\text{ kN}$
• $D$ 點向下 $12\text{ kN}$

以 $A$ 點取力矩：

再由整體鉛直力平衡：

取右端節點 $E$ 分析。桿件 $DE$ 為水平桿，桿件 $EH$ 為 $45^\circ$ 斜桿。假設桿件均受拉：

因此桿件 $EH$ 為拉力。

再分析節點 $H$。桿件 $EH$ 對節點 $H$ 的作用力分量為：

核心觀念

本題考查剛架的靜力平衡與接點內彎矩。求接點 $C$ 的內彎矩時，可將剛架視為整體求出右端支承反力，再取右側構件 $CD$ 的自由體圖。

圖中：

• $C$ 點受水平力 $14\text{ kN}$
• 左端固定支承至 $C$ 點的水平距離為 $6\text{ m}$
• $C$ 至右端支承 $D$ 的距離為 $8\text{ m}$
• 左端固定支承至 $D$ 的水平距離為 $6+8=14\text{ m}$
• $C$ 點高度為 $8\text{ m}$

解題方法

設右端支承的鉛直反力為 $R_D$。以左端固定支承 $A$ 為取矩中心，整體靜力平衡：

右端反力 $R_D$ 的力臂為 $14\text{ m}$，而 $C$ 點水平力 $14\text{ kN}$ 的力臂為垂直距離 $8\text{ m}$，因此：

接著取右側構件 $CD$ 為自由體，對 $C$ 點取矩。右端反力 $R_D$ 對 $C$ 點的力臂為 $8\text{ m}$：

因此，接點 $C$ 的內彎矩大小為：

核心觀念

本題考查混凝土短柱承受軸向壓力時，依容許抗壓應力求取所需斷面積。

已知混凝土容許抗壓強度為：

正方形斷面面積為：

其中 $b$ 為正方形邊長。

解題方法

混凝土抗壓強度：

容許抗壓強度：

軸向壓力為 $600\ \text{tf}$，先換算成 $\text{kgf}$：

依容許應力設計：

因此所需最小面積為：

正方形邊長：

故至少需要：

選項分析

• (A) $40\text{ cm}$：錯誤。 面積為 $40^2=1600\ \text{cm}^2$，其承載力為

小於 $600\ \text{tf}$，不足以承受題示荷重。

核心觀念

本題考查材料依破壞前塑性變形量所作的分類。

材料受力時，若外力移除後仍保留的變形稱為永久變形，也稱塑性變形。材料在破壞瞬間若能產生很大的永久變形量，表示材料在破壞前經歷了明顯的塑性階段，此類材料稱為延展性材料（ductile material）。

在應力－應變圖中，延展性材料通常具有下列特徵：

• 超過降伏點後，會產生大量塑性應變。
• 破壞前可承受相當大的變形。
• 破壞通常伴隨明顯的頸縮現象。
• 具有較大的破壞應變。

解題方法

題幹的關鍵語句是「受力破壞瞬間」及「大永久變形量」。

「永久變形」代表材料已超過彈性限度，進入塑性變形階段；「大永久變形量」則表示材料具有良好的塑性與延展性。因此可直接判斷：

故正確選項為 (B) 延展性材料。

選項分析

(A) 脆性材料

核心觀念

本題考查矩形斷面梁的最大剪應力。懸臂梁承受集中力時，梁內最大剪力發生於固定端，且大小等於集中力：

矩形斷面的剪應力分布為拋物線，最大剪應力位於中性軸處，其公式為：

其中 $A$ 為矩形斷面積。

解題方法

斷面尺寸為 $30\text{ cm}\times 60\text{ cm}$，因此：

固定端最大剪力：