110 經濟部聯招(台電、中油、台水、台糖)新進職員 土木 國營事業聯招 (大地工程學、結構設計)B 考古題詳解

核心觀念

深開挖除須檢核擋土牆的灌入深度與整體穩定外，開挖底部仍可能發生三類破壞：

1. 隆起（base heave）：主要為軟弱黏土地盤的剪力破壞。
2. 砂湧（boiling、piping）：主要為地下水向上滲流，使砂土有效應力降低甚至消失。
3. 上舉（uplift）：主要為地下水壓或承壓水壓作用，使開挖底部土層、底版產生向上的浮力。

三者均可能造成開挖底部失穩，但控制機制不同：隆起偏重土體剪力平衡，砂湧偏重滲流與有效應力，上舉則偏重水壓與浮力平衡。

一、開挖區隆起

1. 造成因素

開挖後，坑內土體重量減少，擋土牆外側土體的側向土壓仍持續作用於牆體。若牆體灌入深度不足，牆趾以下的軟弱土層無法提供足夠抗剪力，坑外土體便會將牆趾下方土體向開挖區內擠壓，形成開挖底部隆起。

常見因素包括：

• 開挖深度過大，造成坑外土體側向推擠力增加。
• 地盤為軟弱黏土、敏感黏土或高壓縮性土層。
• 黏土不排水抗剪強度 $c_u$ 偏低。
• 擋土牆灌入深度不足，牆趾下方抗剪土體範圍太小。
• 開挖速率過快，土體來不及排水與應力重分配。
• 鄰近堆載、交通荷載或既有建物增加坑外側壓力。
• 降低地下水位造成黏土有效應力增加，進而引起固結沉陷與土體變形。

2. 力學本質

隆起屬於開挖底部土體的剪力穩定問題。開挖造成的卸載與坑外土體的側向壓力，使牆趾下方土體承受剪應力；當作用剪應力超過黏土的不排水抗剪強度時，即發生塑性流動與底部隆起。

可用安全係數概念表示：

對均質軟黏土，常以開挖深度 $H$、黏土不排水抗剪強度 $c_u$、單位重 $\gamma$ 及與開挖幾何形狀相關的穩定係數 $N_c$ 評估：

實際設計仍須依擋土牆型式、牆體灌入深度、分層土性、地下水及鄰近荷載進行分析。

3. 破壞特徵

• 開挖底部中央逐漸向上拱起。
• 擋土牆向坑內變形增加。
• 坑外地表下陷，鄰近建物可能產生沉陷或傾斜。
• 嚴重時形成整體滑動或坑底快速破壞。

二、砂湧

1. 造成因素

砂湧發生於砂土、粉土等滲透性較高且無黏聚力的地層。當開挖區內抽水或坑內水位降低時，坑外地下水會向坑內流動。若地下水流向為由下往上，向上的滲流力會減少土粒所承受的有效應力。

土體有效應力可表示為：

其中：

• $\sigma'$：有效應力
• $\sigma$：總應力
• $u$：孔隙水壓

當向上滲流力逐漸增大，土體有效應力降低；若有效應力接近零，砂粒即失去彼此間的接觸壓力與摩擦抵抗，土體呈現類似液化的流動狀態，砂與水一同由坑底冒出，即為砂湧。

常見因素包括：

• 坑內抽水使內外水位差增大。
• 擋土牆止水深度不足，地下水繞流至坑底。
• 砂層、粉土層具有高滲透性。
• 坑底存在承壓水層，水壓由下往上作用。
• 降水井配置不當，造成局部水力坡降過大。
• 坑底土層厚度不足，無法提供足夠滲流路徑。

2. 臨界水力坡降

砂湧的基本判斷係比較實際水力坡降 $i$ 與臨界水力坡降 $i_c$。

臨界水力坡降為：

其中 $\gamma'$ 為土的浮單位重，$\gamma_w$ 為水的單位重。以土粒比重 $G_s$ 與孔隙比 $e$ 表示：

當：

土體有效應力將大幅降低至零附近，砂湧與管湧破壞的風險極高。工程上須使實際水力坡降小於臨界值，並保留適當安全係數：

核心觀念

本題考查：

1. 飽和土壤單位重之計算。
2. 受壓水層之水頭與孔隙水壓力關係：

其中：

• $u$：孔隙水壓力
• $\gamma_w$：水單位重
• $h$：總水頭
• $z$：測點高程，以地表為基準

3. 垂直向總應力：

一、計算飽和黏土單位重

飽和土壤有：

因此黏土之土粒比重為：

飽和單位重公式為：

代入：

二、計算飽和砂土單位重

砂土之孔隙比為：

因此砂土飽和單位重為：

三、A、B 點之孔隙水壓力

以地表為基準面：

• A 點高程：$z_A=-4\text{ m}$
• B 點高程：$z_B=-9\text{ m}$
• B 點測得水頭高於地面 $1\text{ m}$，故總水頭 $h=+1\text{ m}$

砂土層為受壓水層，A、B 點應採用同一受壓水層水頭計算。

A 點

核心觀念

本題要求牆身無摩擦、土體處於靜止狀態時的總側向應力。採用：

1. 靜止土壓係數（正常固結土） $K_0=1-\sin\phi'$

2. 有效應力與孔隙水壓關係 $\sigma'_v=\sigma_v-u$

3. 總側向應力 $\sigma_h=K_0\sigma'_v+u$

其中：

• 地表均佈載重：$q=5\ \text{kPa}$
• $\gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$
• 地下水位位於地表下 $1\ \text{m}$
• 深度 $z$ 由地表向下量，單位為 m

解題方法與計算

一、乾砂層：$0\le z\le1\ \text{m}$

乾砂土參數：

$\gamma=17\ \text{kN/m}^3,\qquad \phi'=33^\circ$

靜止土壓係數：

$K_{0s}=1-\sin33^\circ=0.45536$

因為未達地下水位，$u=0$，有效垂直應力為：

$\sigma'_v=q+\gamma z=5+17z$

因此：

$\sigma_h=K_{0s}(5+17z)$

在地表：

$\sigma_h=0.45536(5)=2.28\ \text{kPa}$

在深度 $z=1\ \text{m}$：

$\sigma'_v=5+17(1)=22\ \text{kPa}$

$\sigma_h=0.45536(22)=10.02\ \text{kPa}$

二、飽和砂土層：$1\le z\le3\ \text{m}$

飽和砂土參數：

$\gamma_{\text{sat}}=19\ \text{kN/m}^3,\qquad \phi'=33^\circ$

有效單位重：

$\gamma'=19-9.81=9.19\ \text{kN/m}^3$

此層仍有：

$K_{0s}=0.45536$

令水位以下深度為 $z-1$，則：

$\sigma'_v=5+17(1)+9.19(z-1)$

$\sigma'_v=22+9.19(z-1)$

孔隙水壓：

$u=9.81(z-1)$

故總側向應力：

$\sigma_h=0.45536[22+9.19(z-1)]+9.81(z-1)$

在深度 $z=3\ \text{m}$：

$\sigma'_v=22+9.19(2)=40.38\ \text{kPa}$

$u=9.81(2)=19.62\ \text{kPa}$

$\sigma_h=0.45536(40.38)+19.62$

$\sigma_h=38.01\ \text{kPa}$

三、飽和黏土層：$3\le z\le7\ \text{m}$

飽和黏土參數：

$\gamma_{\text{sat}}=18\ \text{kN/m}^3,\qquad \phi'=30^\circ$

靜止土壓係數：

$K_{0c}=1-\sin30^\circ=0.50$

黏土有效單位重：

$\gamma'_c=18-9.81=8.19\ \text{kN/m}^3$

在黏土層中：

$\sigma'_v=40.38+8.19(z-3)$

孔隙水壓：

$u=19.62+9.81(z-3)$

因此：

核心觀念

本題依命題當年（民國 110 年）《土木 401-100 鋼筋混凝土設計規範》之極限強度法計算，採用：

• 混凝土等效矩形壓力塊：$0.85f'_c$
• 極限混凝土壓應變：$\varepsilon_{cu}=0.003$
• $\beta_1=0.85$（因 $f'_c=280\text{ kgf/cm}^2$）
• 鋼筋降伏應變：

圖中鋼筋重心距左右邊緣為 $6\text{ cm}$，故：

$d'=6\text{ cm},\qquad d=40-6=34\text{ cm}$

左右兩側主筋面積各為：

$A_s=A'_s=35\text{ cm}^2$

（一）無軸力作用下之計算彎矩 $M_{no}$

1. 中性軸位置

由於左右兩側鋼筋配置及面積相同，在純彎矩、軸力為零時，中性軸位於斷面中央：

$c=20\text{ cm}$

等效壓力塊深度：

$a=\beta_1c=0.85(20)=17\text{ cm}$

2. 鋼筋應變及應力

兩側鋼筋應變大小為：

因此兩側鋼筋均已降伏：

$f_s=f'_s=f_y=4200\text{ kgf/cm}^2$

每側鋼筋力：

$T=C_s=35(4200)=147000\text{ kgf}$

3. 混凝土壓力

$C_c=0.85f'_cba$

混凝土壓力作用於壓力塊中央，其距斷面中心之力臂為：

$20-\frac{17}{2}=11.5\text{ cm}$

每側鋼筋距斷面中心之力臂為：

$20-6=14\text{ cm}$

4. 計算彎矩

$M_{no}=5977160\text{ kgf-cm}$

因 $1\text{ tf-m}=100000\text{ kgf-cm}$：

$\boxed{M_{no}=59.77\text{ tf-m}}$

（二）平衡應變狀態之 $M_{nb}$ 與 $P_{nb}$

平衡應變狀態定義為：

• 混凝土壓應變達 $\varepsilon_{cu}=0.003$
• 拉力側鋼筋剛好降伏，即 $\varepsilon_t=\varepsilon_y$

1. 平衡中性軸深度

由相似三角形：

整理得：

$c_b=\frac{0.003d}{0.003+\varepsilon_y}$

核心觀念

本題為鋼梁側向扭轉挫屈（LTB）之 LRFD 設計。B 點及 C 支撐處皆有充分側向支撐，因此梁分成兩個側向無支撐段：

• $AB$：$L_b=4\text{ m}=400\text{ cm}$
• $BC$：$L_b=8\text{ m}=800\text{ cm}$

各段須分別計算名義彎矩強度 $M_n$，並檢核：

鋼梁彎曲強度折減係數取：

解題方法

一、計算側向扭轉挫屈界限長度

先計算題目所給之 $X_1$、$X_2$：

比例極限側向無支撐長度：

彈性側向扭轉挫屈長度：

因此：

• $AB$：$L_p<L_b=400<L_r$，屬於非彈性側向扭轉挫屈區間。
• $BC$：$L_b=800>L_r$，屬於彈性側向扭轉挫屈區間。

二、計算塑性彎矩及限制彎矩

塑性彎矩：

限制彎矩：

三、檢核 $AB$ 段

由圖 4，$AB$ 段兩端彎矩大小為：

此段為雙曲率彎曲，因此彎矩比取正值：

計算側向扭轉挫屈修正係數：

但題目規定 $C_b\leq 2.3$，故：

因為 $L_p<L_b\leq L_r$，所以：

核心觀念

本題考查簡支梁在斷面 A 的剪力，以及剪力筋設計：

$V_u \leq \phi(V_c+V_s)$

其中：

• $\phi=0.75$：剪力強度折減係數
• $V_c=0.53\sqrt{f'_c}bd$
• $V_s=\dfrac{A_vf_yd}{s}$
• $A_v$ 為一支箍筋在剪力方向上的總鋼筋面積

D10 箍筋為兩肢箍筋，因此：

$A_v=2(0.71)=1.42\text{ cm}^2$

解題方法

梁全長為：

$L=3+3+3=9\text{ m}=900\text{ cm}$

均佈載重為 $20\text{ kgf/cm}$，總均佈載重：

$wL=20(900)=18000\text{ kgf}$

兩個集中載重各為 $5000\text{ kgf}$，且配置對稱，因此支承反力相等：

$R_A=R_B=\frac{18000+5000+5000}{2}=14000\text{ kgf}$

斷面 A 距左支承：

$x=1.5\text{ m}=150\text{ cm}$

A 斷面左側尚未包含集中載重，因此剪力為：

$V_u=R_A-wx$

$V_u=14000-20(150)=11000\text{ kgf}$

計算混凝土所提供的剪力強度：

$V_c=0.53\sqrt{280}(30)(40)$

$V_c=10642.32\text{ kgf}$

所需箍筋剪力強度由下式求得：

$V_s=\frac{V_u}{\phi}-V_c$