108 年專技高考高等考試大地工程技師考古題與詳解

Question 1

有一長方形獨立基礎 $3\ \mathrm{m}	imes4\ \mathrm{m}$，埋置深度 $1.5\ \mathrm{m}$，座落於軟弱土壤，$c=10\ \mathrm{kPa}$、$\phi=15^\circ$、$\gammas=16.5\ \mathrm{kN/m^3}$，地下水位於深處如下圖。 為增加基礎承載能力，於土壤內部進行直徑 $40\ \mathrm{cm}$、中心間距 $1\ \mathrm{m}$ 噴射混凝土基樁改良。經試驗得知，改良部分之土壤單壓強度為 $400\ \mathrm{kPa}$，試求該獨立基礎未偏心之極限承載力（$\mathrm{kN}$）。 提示：$\phi=15^\circ$ 之 $Nc=6.5$、$Nq=2.7$、$N\gamma=1.2$。 $$ F{cs}=1+0.2\left(\frac{B}{L}ight)	an^2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}ight) $$ $$ F{qs}=F{\gamma s}=1+0.1\left(\frac{B}{L}ight)	an^2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}ight) $$ $$ F{cd}=1+0.2\left(\frac{Df}{B}ight)	an\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}ight) $$ $$ F{qd}=F{\gamma d}=1+0.1\left(\frac{Df}{B}ight)	an\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}ight) $$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查長方形淺基礎的極限承載力，以及噴射混凝土基樁改良後的複合地盤強度。依改良面積比，將改良區的單壓強度換算為不排水凝聚力，再以面積加權求等值凝聚力，代入題目提供的承載力公式及形狀、深度修正係數。 改良柱的單壓強度為 $qu=400\ \mathrm{kPa}$，按 $qu=2c$ 換算，改良體凝聚力為 $cg=200\ \mathrm{kPa}$。基礎底面處覆土壓力為 $q=\gammasDf$。 解題方法 1. 計算改良面積比 圖示為三排改良柱，數量依序為 $4、3、4$，共 $11$ 支；每支直徑 $0.4\ \mathrm{m}$。以基礎底面面積 $3	imes4=12\ \mathrm{m^2}$ 計算改良面積比： $$m=\frac{11\left(\frac{\pi(0.4)^2}{4}ight)}{3	imes4}=0.1152$$ 2. 求複合地盤等值凝聚力 以面積加權合併原土與改良體的凝聚力： $$c{\mathrm{eq}}=(1-m)c+mcg$$ $$c{\mathrm{eq}}=(1-0.1152)(10)+(0.1152)(200)=31.89\ \mathrm{kPa}$$ 3. 計算修正係數 基礎短邊 $B=3\ \mathrm{m}$、長邊 $L=4\ \mathrm{m}$、埋置深度 $Df=1.5\ \mathrm{m}$，且 $\phi=15^\circ$。題目所需三角函數值為： $$	an\left(45^\circ+\frac{15^\circ}{2}ight)=	an52.5^\circ=1.3032$$ $$	an^2\left(45^\circ+\frac{15^\circ}{2}ight)=1.6983$$ 因此： $$F{cs}=1+0.2\left(\frac{3}{4}ight)(1.6983)=1.2547$$ $$F{qs}=F{\gamma s}=1+0.1\left(\frac{3}{4}ight)(1.6983)=1.1274$$

Question 2

有一直徑 $\phi=1.5\ \mathrm{m}$ 鋼筋混凝土基樁，混凝土強度 $f'_c$ 為 $27.47\ \mathrm{MPa}$ ，縱向有 $32$ 根直徑 $32\ \mathrm{mm}$ 之主筋，頂部承受 $49.05\ \mathrm{MN}$ 外力，在頂部下方 $5\ \mathrm{m}$ 鋼筋應力值為 $157.0\ \mathrm{MPa}$ ，鋼筋彈性模數 $E_s$ 為 $1.962\times10^5\ \mathrm{MPa}$ ，如下圖。試求該基樁於頂部至下方 $5\ \mathrm{m}$ 間與土壤之平均界面摩擦應力（ $\mathrm{kPa}$ ）。

提示：混凝土彈性模數

E_c=4700\sqrt{f'_c}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

鋼筋與混凝土黏結良好，兩者在同一截面具有相同軸向應變。已知 5 m 深處的鋼筋應力，可先求該處應變，再由混凝土彈性模數求混凝土應力，進而計算樁身軸力。

樁頂至 5 m 深處的軸力差，等於這段樁身傳給土壤的總側摩擦力；除以樁側面積即可得到平均界面摩擦應力。

解題方法

混凝土彈性模數為

E_c=4700\sqrt{27.47}=24{,}633.6\ \mathrm{MPa}

由鋼筋應力求軸向應變：

\varepsilon=\frac{f_s}{E_s} =\frac{157.0}{1.962\times10^5} =8.002\times10^{-4}

因此，5 m 深處的混凝土應力為

f_c=E_c\varepsilon =24{,}633.6(8.002\times10^{-4}) =19.712\ \mathrm{MPa}

鋼筋總截面積與混凝土有效截面積分別為

A_s=32\left(\frac{\pi(0.032)^2}{4}\right) =0.025736\ \mathrm{m^2}

A_c=\frac{\pi(1.5)^2}{4}-A_s =1.741410\ \mathrm{m^2}

Question 3

於鄰近砂性土質（$\phi=32^\circ$、$\gammas=17.6\ \mathrm{kN/m^3}$）道路邊緣設置如下圖之兩 L 類型之鋼筋混凝土擋土牆（$\gammac=23.54\ \mathrm{kN/m^3}$），地下水位於深處，試以朗金（Rankine）土壓力理論檢核該兩 L 類型於平時狀態下之抗傾覆（overturning）與抗滑動（sliding）安全性。 底部混凝土與土壤界面摩擦角取 $\frac{2}{3}\phi$，此外另就此兩 L 類型施工期間之安全性與工程經濟性加以比較。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖中標示資料：$\alpha=0^\circ$、牆厚 $0.4\ \mathrm{m}$、牆高 $3.5\ \mathrm{m}$、底板厚 $0.5\ \mathrm{m}$、底板長 $3\ \mathrm{m}$，土壤參數為 $\phi=32^\circ$、$c=0$、$\gammas=17.6\ \mathrm{kN/m^3}$，混凝土單位重為 $\gammac=23.54\ \mathrm{kN/m^3}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查無黏性砂土作用於直立擋土牆的 Rankine 主動土壓力，以及擋土牆的抗傾覆、抗滑動安全係數。另須辨認圖中的兩座 L 型牆為鏡像配置，並比較回填尚未完成時的施工安全與基地條件對工程經濟性的影響。 兩圖的背填面均為水平，故 $\alpha=0^\circ$。砂土無黏聚力且地下水位深，採用： $$ Ka=	an^2\left(45^\circ-\frac{\phi}{2}ight) =\frac{1-\sin\phi}{1+\sin\phi}, \qquad Pa=\frac12 Ka\gammas H^2 $$ 抗傾覆安全係數為抵抗力矩除以傾覆力矩；抗滑動安全係數為底面摩擦力與可計入的被動土壓合力除以主動土壓力。底面摩擦角依題意取 $\delta=\frac23\phi$。 解題方法與計算 以下以每公尺牆長計算。依圖採用：底板寬 $B=3.0\ \mathrm m$、厚 $0.5\ \mathrm m$；牆身高 $H=3.5\ \mathrm m$、厚 $0.4\ \mathrm m$；前方地面至底板底面深度為 $1.0\ \mathrm m$。因此，牆身前方可提供被動土壓的埋置高度為 $1.0-0.5=0.5\ \mathrm m$。牆趾取底板外緣，並計入底板上方背填土重量。 先計算主動土壓係數及合力： $$ Ka=\frac{1-\sin32^\circ}{1+\sin32^\circ}=0.307 $$ $$ Pa=\frac12(0.307)(17.6)(3.5)^2 =33.1\ \mathrm{kN/m} $$ 主動土壓合力作用點在底板頂面上方 $H/3$ 處，距底板底面的力臂為 $0.5+3.5/3=1.667\ \mathrm m$，故： $$ Mo=Pa(1.667)=55.2\ \mathrm{kN\cdot m/m} $$ 牆體及底板自重為： $$ Wb=(3.0)(0.5)(23.54)=35.31\ \mathrm{kN/m} $$ $$ Ws=(0.4)(3.5)(23.54)=32.96\ \mathrm{kN/m} $$ 背填土覆蓋底板剩餘寬度 $3.0-0.4=2.6\ \mathrm m$，其重量為： $$ W{\mathrm{soil}}=(2.6)(3.5)(17.6)=160.16\ \mathrm{kN/m} $$ 以牆趾為力矩基準，底板、牆身及背填土的重心距牆趾分別為 $1.5$、$0.2$、$1.7\ \mathrm m$。故由自重產生的抵抗力矩為： $$ MR=(35.31)(1.5)+(32.96)(0.2)+(160.16)(1.7) =331.8\ \mathrm{kN\cdot m/m} $$ 前方埋置段的 Rankine 被動土壓係數及合力為：

Question 4

於砂性土質（$\phi=30^\circ$、$\phi'=33^\circ$、水位以下飽和單位重 $\gamma{\mathrm{sat}}=18.63\ \mathrm{kN/m^3}$、水單位重 $\gammaw=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$）進行開挖支撐工程如下圖所示，開挖深度 $4.2\ \mathrm{m}$，於頂部下方 $1\ \mathrm{m}$ 處設有背拉地錨，地下水位於地面，隨開挖進行，內部降水位至開挖面位置，外部地下水位保持在地面，試利用自由土壤支撐法（free earth support method），分別以總應力 $$ \sigmah=k	imes\sigmav $$ 與有效應力 $$ \sigmah=k	imes\sigma'v+\sigmaw $$ 方式求解板樁理論埋入深度。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題用自由土壤支撐法求錨定板樁的理論埋入深度。以錨碇位置取矩，錨力的力臂為零，因此令牆背與開挖側的淨土壓力對錨點之力矩平衡，即可求埋入深度 $d$；再由水平力平衡可求錨力，本題不需計算錨力。 圖示開挖深度為 $H=4.2\ \mathrm{m}$，錨碇深度為 $a=1.0\ \mathrm{m}$。以下以牆背側壓力為正，開挖側被動土壓力為負。 解題方法 埋入段以 $x$ 表示距開挖面的深度，則該處深度為 $z=H+x$，錨點至該處的力臂為 $H+x-a$。 一、總應力法 依題目指定的總應力式 $\sigmah=k\sigmav$，採用 $\phi=30^\circ$： $$ Ka=\frac{1-\sin\phi}{1+\sin\phi}=\frac13,\qquad Kp=\frac1{Ka}=3 $$ 土壓力分布為： $$ p(z)= \begin{cases} Ka\gamma{\mathrm{sat}}z, & 0\le z\le H\[2mm] Ka\gamma{\mathrm{sat}}(H+x)-Kp\gamma{\mathrm{sat}}x, & z=H+x,\ 0\le x\le d \end{cases} $$ 錨點以上至開挖面的力矩，加上埋入段的淨土壓力力矩，須等於零： $$ \int0^H Ka\gamma{\mathrm{sat}}z(z-a)\,dz + \int0^d \left[Ka\gamma{\mathrm{sat}}(H+x)-Kp\gamma{\mathrm{sat}}x\right] (H+x-a)\,dx=0 $$ 代入 $H=4.2\ \mathrm{m}$、$a=1.0\ \mathrm{m}$、$\gamma{\mathrm{sat}}=18.63\ \mathrm{kN/m^3}$，解得： $$ \boxed{d=1.58\ \mathrm{m}} $$ 二、有效應力法

108 專技高考高等考試大地工程技師基礎工程與設計（包括開挖工程及基礎相關結構設計）考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

核心觀念

解題方法

第三題25 分

第四題25 分

核心觀念

解題方法

一、總應力法

二、有效應力法

其他考古題

大地工程技師《基礎工程與設計（包括開挖工程及基礎相關結構設計）》其他年度

108 專技高考高等考試 大地工程技師 基礎工程與設計（包括開挖工程及基礎相關結構設計） 考古題詳解

第 一 題25 分

第 二 題25 分

核心觀念

解題方法

第 三 題25 分

第 四 題25 分

核心觀念

解題方法

一、總應力法

二、有效應力法

其他考古題

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第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分